随机过程期中考试试卷
随机过程-期中考试试卷
一、填空题（20分）
1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数?(t)=
2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的
3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)=
4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ=
5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。则{X n,n≥1}的状态空间E=
二、判断题（20分）
1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2).
2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有
C X(s,t)=σX2?min?(s,t)
3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t).
4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)?W(3)与W(4)?W(2)独立.
5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)?N(2)服从参数为3λ的泊松分布.
三、计算题（60分）
1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为
（1）求X(t)的均值函数、方差函数；
（2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。
2. 设某设备的使用期限是10年，已知在前4年每年平均维修次数为0.2，后6年每年平均维修次数为0.
3. 记N(t)表示在时段(0,t]的维修次数。试求
（1）前6年平均维修次数；
（2）前6年维修次数超过1次的概率。
3. 设{W(t),t≥0}是参数为σ2的布朗运动，记随机过程X(t)=W(t+2)?W(t),t≥0，试求随机过程X(t)的相关函数R X(1,4)和R X(1,2).
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
(完整版)答案应用随机过程a
山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为120分钟） 参考答案及评分标准 考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ） 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii p 。（ⅹ ） 二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。 2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。 三． 简答题（每小题5分，共10分） 1． 简述马氏链的遍历性。 答：设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？
答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。 四． 计算、证明题（共70分） 1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分） 解： 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分） 解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y 1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程
随机过程期中考试试卷答案
随机过程-期中考试试卷答案 一、填空题（每题4分，共20分） 1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数?(t)=eλ(e it?1) 2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的参数集 3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t)) 4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ=E(N(t)) t 5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。则{X n,n≥1}的状态空间E={1,2,3,4,5,6} 二、判断题（每题4分，共20分） 1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). Ⅹ 2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有 C X(s,t)=σX2(min(s,t))√ 3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t). √ 4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)?W(3)与W(4)?W(2)独立. Ⅹ 5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)?N(2)服从参数为3λ的泊松分布. √ 三、计算题（每题20分，共60分） 1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为 （1）求X(t)的均值函数、方差函数； （2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。
解 (1) 根据概率论知识，E (V )=0.2,E (V 2)=1，由此可得 ……2分 均值函数 μX (t )=E (tV )=tE (V )=0.2t ……4分 方差函数 σX 2(t )=E(tV)2?(μX (t ))2 =t 2?(0.2t )2=0.96t 2 ……4分 (2) X (2)=2V 的分布律为 于是得一维分布函数F(x;2) F (x;2)={0, x
应用随机过程试卷-湖南科技学院
湖南科技学院二○一 年 学期期末考试 数学与应用数学 专业 年级 应用随机过程试题 考试类型：闭卷 试卷类型：C 卷 考试时量： 120分钟 一 、填空题（每空4分共24分） 1、过程12{()cos sin ;0}X t Z at Z at t =+≥，其中1Z ，2Z 独立同分布，其共同分布为2(0,)N σ， a 为常数，则均值函数(())E X t = ，方差函数(())Var X t = ，协方差函数 (,)s t γ= ． 2、计数过程 {} (),0N t t ≥为参数为2的泊松过程，则 {}(20)(18)2P N N -== ，((3))=E N ． 3、()1 ()N t i i S t Y == ∑ 是复合Poisson 过程，其中{}(),0N t t ≥为参数为3的泊松过程，1Y 服 从正态分布(1,4)N ，则[(5)]E S = ． 二 、判断题（小题2分，共16分） 1、 设{}(),0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间， 则 {}{}()n N t n T t ． （ ） 2、{}(),0N t t ≥是更新过程，则对0t ≤<+∞，有()EN t <+∞． （ ） 3、Poisson 过程具有独立增量性． （ ） 4、{}n Z 是马尔可夫链，则2 02(,)()n n n n P X j X i X k P X j X i ++======．
（ ） 5、Brown 运动的样本路径()B t ，0t T ≤≤具有连续性． （ ） 6、{}n Z 是有限状态的马尔可夫链，其一步转移矩阵为P ，则其n 步转移矩阵() n n P P =． （ ） 7、Brown 运动不是平稳增量过程． （ ） 8、{}(),0N t t ≥是Poisson 过程，n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间，则当t →+∞时， ()1()N t r t T t +=-与()()N t s t t T =-有相同的极限分布． （ ） 三 、计算题（共46分） 1、（12分）设{}(),0N t t ≥是强度为3的Poisson 过程， 求（1）{}(1)2,(3)4,(5)6P N N N ===； （2）{}(5)6(3)4P N N ==； （3）求协方差函数(),s t γ，写出推导过程． 2、（10分）设{}(),0N t t ≥是更新过程，第k 次更新与第1k -次更新的时间间隔k X 服
随机过程期中考试试卷
随机过程-期中考试试卷 一、填空题（20分） 1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数?(t)= 2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的 3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)= 4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ= 5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。则{X n,n≥1}的状态空间E= 二、判断题（20分） 1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). 2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有 C X(s,t)=σX2?min?(s,t) 3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t). 4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)?W(3)与W(4)?W(2)独立. 5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)?N(2)服从参数为3λ的泊松分布. 三、计算题（60分） 1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为 （1）求X(t)的均值函数、方差函数； （2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。
2. 设某设备的使用期限是10年，已知在前4年每年平均维修次数为0.2，后6年每年平均维修次数为0. 3. 记N(t)表示在时段(0,t]的维修次数。试求 （1）前6年平均维修次数； （2）前6年维修次数超过1次的概率。 3. 设{W(t),t≥0}是参数为σ2的布朗运动，记随机过程X(t)=W(t+2)?W(t),t≥0，试求随机过程X(t)的相关函数R X(1,4)和R X(1,2).
应用随机过程试题及答案
应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为
随机过程试题及答案
一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。 例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。 例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10] 例3：E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4：E 都为), 0[∞+ 注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。 （2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 （3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随 机 过 程 的 二 维 分 布 ： T t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21 M 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==，分别求： （1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ； （2）二维分布函数(0,;,)4F x y π ； （3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1 2 ，求 1）画出{()}X t 的样本函数 2）{()}X t 的一维概率分布，1 (;)2F x 和(1;)F x 3）{()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ. （1）分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程： ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? ， 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n = 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24，共12小题，每空1分） 1、数字通信系统的有效性用 传输频带利用率 衡量，可靠性用 差错率 衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可 连续 取值的信号，数字信号是指信号的参量可 离散 取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与 时间 无关，自相关函数只与时间间隔有关。 4、一个均值为零方差为2n σ的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布，相位的一维分布服从均匀分布。 5、当无信号时，加性噪声是否存在？ 是 乘性噪声是否存在？ 否 。 6、信道容量是指： 信道传输信息的速率的最大值 ，香农公式可表示为：)1(log 2N S B C +=。 7、设调制信号为f （t ）载波为t c ωcos ，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 t t f c ωcos )(，频域表达式为)]()([2 1c c F F ωωωω-++。 8、对最高频率为f H 的调制信号m （t ）分别进行AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调信号的带宽分别为 2f H 、 2f H 、 f H 。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为 2W 波特。 10、PSK 是用码元载波的相位来传输信息，DSP 是用前后码元载波的 相位差 来传输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的 码间串扰，二是传输中叠加的 加性噪声 。 12、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时，A 律对数压缩特性采用 13 折线近似，μ 律对数压缩特性采用15 折线近似。 二、填空题 1、模拟通信系统中，可靠性最好的是（FM），有效性最好的是（SSB）。 2、在FM通信系统中，采用预加重和去加重技术的目的是（提高解调器输出信噪比）。 3、时分复用的话路数越多，信息速率（越大）。 4、在2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK通信系统中，可靠性最好的是（2PSK），有效性最好的是（2ASK、2PSK） 5、均匀量化器的量化信噪比与编码位数的关系是（编码位数增加1位，量化信噪比增大6dB），非均匀量化器可以提高（小）信号的量化信噪比。 (式9.4.10) 信号量噪比：（S/N）dB=20lgM=20lg2N (N为编码位数) 编码位数增加一位，（S/N）dB=20lgM=20lg2（N+1）-20lg2N=20lg2=6dB 6、改善FM系统抗噪声性能的有效措施是（采用预加重技术和去加重技术） 7、若信息速率为Wbit/s,则2PSK、4PSK信号的谱零点带宽分别为（）和（）Hz PSK信号为双极性不归零码，对基带信号RB=1/Ts=fs=Rb/log2M, B=fs= Rb/log2M 对调制信号：带宽为B调=2B=2 Rb/log2M=2W/ log2M 随机过程例题 例1 求正态随机变量),0(~2σN X 的特征函数和各阶矩。 解：),0(~2σN X 的概率密度函数为 +∞ <<∞-= - x x f x ,e 21 )(2 22σσ π 2 j 2j 222 2e d e e 21 d e )()(ωσωσωσ πω- ∞ ∞ -- ∞ ∞ -===Φ? ? x x x f x x x ?? ?-????=Φ-==为偶数（为奇数n n n X E n n X n n n ,)1531 ,0d ) (d )j ()(0σωωω 例2 设随机变量X 服从标准正态分布N(0, 1)，定义随机变量Y = X2，求Y 的概率密度函数和 数学期望。 解：X 的概率密度为： y -x y x h(y) = x ， x = g(x) =y 112==，， Y 的概率密度函数为： 0 ,e 21 2)(2)(d d )()(2≥= -+==-y y y y f y y f y x x f y y πψ Y 的数学期望为： 1 d e 2d )()(0 2 ===? ?∞ - ∞+∞ -y y y y y Y E y π ψ 1d e 2d )()()]([)(2 22 ====? ?∞ +∞ --∞+∞ -x x x x f x g X g E Y E x π 例3 已知随机相位正弦波 ）Θ +t cos( a = (t) X ω)，其中 a >0，ω为常数，Θ 为在 ），（π20内均匀分布的随机变量。求随机过程} ) (0, t (t), X {∞∈的均值函数)t (m X 和相关函数 t)(s,R X 解： f ( 安徽大学2010—2011学年第二学期 《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷） （闭卷 时间120分钟） 一、填空题（每小题4分，共24分） 1、设X 是概率空间() ,,F P Ω上的一个随机变量，且EX 存在， C 是F 的子σ－域，定义()E X C 如下：()1 ________________ ； ()2 ________________________________________ ； 2、 在全数学期望公式()EX E E X C ??=??中，取X ＝____，C ＝ ____，即得连续型（广义）全概率公式___________________； 3、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，则()N t 具有_____、 _____增量，且0t ?>，0h >充分小，有：()(){}()0P N t h N t +-=＝ ________，()(){}()1P N t h N t +-=＝_____________； 4、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，{},1n X n ≥、{},1n S n ≥分别为其时间间隔序列和等待时间序列，则12,,,,n X X X 独立同参数为λ的指数分布， n S ～ ______， ()11N t X =～ _______， ()()12,,,n N t n S S S d =_____________________________________； 5、设(){},0W t t ≥为一维标准Brown 运动，则0t ?>，()W t ～____， 且与Brown 运动有关的三个随机过程____________、_____ ______________、______________都是鞅（过程）； 6、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 __________________________________________________. 二、证明分析题（共15分，选做一题） 1、设X 是概率空间(),,F P Ω度函数()f x 满足：(),0x R f x ?∈>.设g 是严格递增的可微函数， 并满足：()lim y g y →-∞=-∞，()lim y g y →∞ =∞，定义随机变量()Y g X =；设()h y 是满足()1h y dy +∞-∞=?的任一非负函数.我们希望改变概率测 H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：综述 院系：电子与信息工程学院 班级： 09硕通信一班 设计者： 学号： 指导教师：田波平 设计时间： 2009-11至2009-12 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学课程设计任务书 特征函数在随机过程研究中的作用与意义 1.特征函数的定义 在介绍特征函数在随机过程研究中的作用和意义之前，首先介绍一下特征函数的定义。 特征函数是一个统计平均值，它是由随机变量X 组成的新的随机变量j X e ω的数学期望，记为： ()()j X E e ωωΦ= （1） 当X 为连续随机变量时，则X 的特征函数可表示成 ()()i X i x Ee f x e dx ωωω∞ -∞ Φ== ? （2） 其中()f x 为X 的概率密度函数。 对于随机过程的特征函数的定义与随机变量的特征函数的定义一致。 对任意时刻t ,随机过程的一维特征函数为： () (,)[](,)i X t i x X t E e f x t e dx ωωω∞ -∞ Φ== ? （3） 2.特征函数的性质 以下本文不加证明的给出特征函数的几个性质： (1) |()|(0)1ωΦ≤Φ=； (2) 共轭对称性()()ωωΦ-=Φ； (3) 特征函数()ωΦ在区间(,)-∞∞上一致连续； (4) 设随机变量Y aX b =+，其中,a b 是常数，则()()ib Y X e a ω ωωΦ=Φ； 其中(),()X Y ωωΦΦ分别表示随机变量,X Y 的特征函数。上式对于随机过程同样适用。 (5) 设随机变量,X Y 相互独立，又Z X Y =+，则()()()Z X Y ωωωΦ=ΦΦ； 此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特征函数的乘积。 3.特征函数在随机过程研究中的作用与意义 由于特征函数在随机过程中和随机变量中的定义是一致的，仅是将X 变为X (t ),将概率密度函数也做相应的变化即可。故本文为方便起见，将随机过程和随机变量的特征函数的作用与意义做统一的讨论。 利用特征函数求随机过程的概率密度 应用随机过程学习汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。 1、设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P （1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： ??? ??? ? ? ??=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯， 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 （1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么 （3）j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +内， 它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t )，-∞ 遵义师范学院课程教学大纲 应用随机过程教学大纲 （试行） 课程编号：280020 适用专业：统计学 学时数：48 学分数： 2.5 执笔人：黄建文审核人： 系别：数学教研室：统计学教研室 编印日期：二〇一五年七月 课程名称：应用随机过程 课程编码： 学分：2.5 总学时：48 课堂教学学时：32 实践学时：16 适用专业：统计学 先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学） 一、课程的性质与目标： （一）该课程的性质 《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。 （二）该课程的教学目标 （1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。 （2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。着重基本思想及方法的培养和应用。 （3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。 二、教学进程安排 课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。 三、教学内容与要求 第一章 预备知识 【教学目标】 通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。 【教学内容和要求】 随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。 【课外阅读资料】 《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。 【作业】 1.已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0()arcsin ,011,1x F x A x x x ≤? ? =< 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数， 表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 若已知100 100!1 !(100)()!2 k k k P A -= ，则2f dP Ω=? . 0 2 10(),2550 2525k k kP A =+=∑ 4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度 2,01,0, (,)0,x y x f x y <<<? =??? 其他，20(1())E X t dt π ω=? 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1 ()()X t W t =，则相关 函数2 (1,2)2 X R σ= . 7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为 0.50.500.50.500.20.30.5P ?? ?= ? ??? 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ， U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) 2 1(),321 x t t t f x e x t π--- += ?-∞≤≤∞?+ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： 2222 (,)991 (,)()()999911 B s t st st s t D s D t s t s t ρρ++== == ?+?++?+ )(t X 的二维概率密度函数为： 22112222222(22)(22)(22)(22)1292(1)9(1)4(1)11,122 2 2 1 (,)18111x s x s x t x t s t s t s t f x x e s t ρρπρ ????---------?? -+????-++????+?+???? = ??+?+?- 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=???(完整版)应用随机过程期末复习资料
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