Ransac和圆拟合

Ransac和圆拟合
Ransac和圆拟合

课程实验报告

2017 - 2018 学年第一学期

课程名称:计算机视觉及应用

实验名称:

班级:电通1班

学生姓名: 学号: 。

实验日期: 2017.12.1 地点:

指导教师:

成绩评定: 批改日期:

实验数据分析及处理

示例图片RANSAC拟合情况:

通过在MATLAB上仿真,得到RANSAC圆拟合图,如下所示:图1 第一次运行时RANSAC圆拟合图

图2 第二次运行时RANSAC圆拟合图

图3 第三次运行时RANSAC圆拟合图

实验结果分析

1.图1结果分析

如图1所示,随机生成了300个蓝色的点,其中局内点21个,即黄色点,局外点190个,以抽样点为圆心,拟合了一个圆。

2. 图2结果分析

如图2所示,其中局内点11个,局外点200个,得到较好的拟合结果。

3.图3结果分析

如图3所示,其中局内点14个,局外点200个,得到较好的拟合结果。

4.图1、图2、图3横向对比分析

图一、图二、图三,都是经过多次拟合才拟合成功。可能的原因是样本点是随机产生的,不能确定每次产生的样本点都能成功的拟合。

5.RANSAC拟合原理和流程图

建立模型时利用圆的定义方程:dist(P,A)+dist(P,B)=DIST,其中P为圆上一点,A为圆心。随机选取三点A,P构建圆模型,计算每个点到此两焦点的距离和与DIST的差值,差值小于一定阈值时的点为符合模型的点,点数最多时的模型即为最佳圆模型,再根据符合条件的点,利用圆一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0和得到符合点进行系数拟合,根据函数式画出最终拟合圆。

第三章_曲线拟合算法的研究汇总

第三章 曲线拟合算法的研究 3.1 引言 随着航空、汽车等现代工业与计算机技术的发展,圆锥曲线与列表点曲线已经成为形状数学描述的常用方法,得到了广泛的应用。为了满足激光切割加工任务的需要,自动编程系统集成了多种曲线拟合算法,这样利用现有的激光切割机,即可实现特殊曲线的插补功能,极大地丰富系统的插补能力,满足复杂的生产要求。 3.2 圆锥曲线拟合算法的研究 在经济型数控系统中,对于圆锥曲线即平面二次曲线的加工是数控加工中经常遇到的问题,随着数控加工对圆锥曲线插补的需求,近年来有关各种圆锥曲线的插补算法应运而生[26]。常用的解决方法是先用低次的有理参数曲线拟合或将其离散,再用直线、圆弧逼近,然后才能进行数控加工[28]。本章从一个新的视角利用双圆弧方法,提出先对圆锥曲线进行标准化处理,再用双圆弧拟合逼近,然后再进行数控加工。这样的优点是:圆弧样条的等距曲线还是圆弧;双圆弧样条能达到C 1连续,基本上能满足要求;所有数控系统都具有直线插补和圆弧插补功能,无需增加额外负担。 由于工程应用不同,对曲线拟合的要求也不同。有的只要求拟合曲线光滑,有的要求光顺[9-10]。本章中开发的软件要求是:支持多种常用圆锥曲线的拟合;拟合曲线要求光滑;拟合曲线与函数曲线间的误差应控制在允许的范围之内,且拟合圆弧段数较少。 本章提出的对圆锥曲线的插补,是建立在对平面任意二次曲线可以进行分类的基础上,先将二次曲线进行分类,然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合,这样就可以直接利用数控系统的圆弧插补功能进行插补。 3.2.1 圆锥曲线的一般理论[9] 在平面直角坐标系中,二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线。其中系数A 、B 、 C 、 D 、 E 、 F 为实常数,且A 、B 、C 不同时为零。 022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (3.1) 式(3.1)称为圆锥曲线的隐式方程。令 AC B 42-=? (3.2) 称上式为二元二次方程(3.1)的判别式。 0

曲线拟合的数值计算方法实验

曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中,变量间未必都有线性关系,如服药后血药浓度与时间的关系;疾病疗效与疗程长短的关系;毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合(curve fitting)是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据,并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化,这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程,在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线,同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程,实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中,通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对(X i ,Y i )(i=1,2,...m),其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式,y=f(x,c)来反映量x与y之间的依赖关系,即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x,c)常称作拟合模型,式中c=(c 1,c 2 ,…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时,称为线性模型,否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准,最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在

曲线拟合算法

曲线拟合算法: 本人进行测试通过,完全正常使用。 #region splined private void splined(PointF[] temp, ref ArrayList splinedPt) { double x, y, t; double px, py; int q = 3; int phi; int kaw; int naw; int n = temp.Length; int add; phi = 5; naw = n; add = 5 * (naw + q - 1) + 1; for (t = -phi + 1.0; t < naw + phi; t = t + 0.2) { x = 0.0; y = 0.0; for (kaw = -2 * phi + 1; kaw < naw + 2 * phi; kaw++) { px = 0; py = 0; if (kaw < 1) { px = temp[0].X; py = temp[0].Y; } if (kaw > naw) { px = temp[naw - 1].X; py = temp[naw - 1].Y; } if (kaw > 0 && kaw <= naw) { px = temp[kaw - 1].X; py = temp[kaw - 1].Y; } x = x + nqt(q, t - kaw) * px; y = y + nqt(q, t - kaw) * py; } PointF Point1 = new PointF((float)x, (float)y); splinedPt.Add(Point1);

计算方法_数据拟合回顾

第三章数据拟合回顾 keywords 最小二乘法 转化的思想

使误差的平方和为最小: 按最小二乘法, 作直线拟合应使 ∑=+-=N i i i x y b a b a Q 1 2 )]([),(为最小,极小值点一阶导数为0:0,0=??=??b Q a Q 最小二乘法(least squares method ) 2min, ()i i e e y a bx i i i =∑=-+2i i i i i i aN b x y a x b x x y ?+=??+=??∑∑∑∑∑得正规方程组: 2i i i i i i i i i i i i a b x y a x b x x y ωωωωωω?+=??+=??∑∑∑∑∑∑加权正规方程组: IF Y*=a0+a1X1+a2X2+a3X3+……+akXk (n>k ),THEN?

最小二乘法的几何意义(p51) y=a0x0+a1x1+a2x2+a3x3+……+akxk(n>k)其中x0=(1,1,1,.....1),x i=(xi1,xi2,xi3,.....,xin),i=1,2,3.....n

数据拟合方法一览表 线性关系直线拟合非线性关系曲线拟合 单变量直线拟合多 变 量 直 线 拟 合 多项式拟合非多项式拟合 变量 替换 转换 为直 线拟 合 多项 式拟 合的 最小 二乘 法 变量 替换 为多 变量 直线 拟合 方程 两边 取对 数转 换为 直线 拟合 正 交 多 项 式 拟 合 Y*=a0+a1X1+a2X2+a3X3+……+akXk(n>k)本

thank u

最小二乘法圆拟合

最小二乘法拟合圆公式推导及vc实现[r] 最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术,它通过最小化 误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小。最小二乘法通常用于曲线拟合 (least squar es fitting) 。这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 vc实现。

此处使用平方差与最小二乘法差的平方不一样,但是仍然具有实用估计价值,并且可以化简公式。

VC实现的代码:C++类 void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() { if(m_nNum<3) { return; } int i=0; double X1=0; double Y1=0; double X2=0; double Y2=0; double X3=0;

double Y3=0; double X1Y1=0; double X1Y2=0; double X2Y1=0; for(i=0;i

插值拟合数学建模算法

1 20/"geometry.cfg" 20/"natbib.cfg" 20/"bblopts.cfg" 20/"english.cfg"20/"____________.aux"

插值算法February3,2020

需要根据已知的函数点进行数据,模型的处理和分析,有时候现有的数据是极少的,不足以分析支撑的比较,这时候需要数学的方法,模拟产生一些洗呢但又比较靠谱的值来满足需求。 一维插值问题多项式插值分段插值 拉格朗日插值多项式公式 L n(x)= n ∑ k=0 y k ωn+1(x) (x?x k)ω′ n+! (x k) 其中ωn+1(x)=(x?x0)(x?x1)....(x?x n) 龙格现象(runge phenomenon)高次插值会产生龙格现象,在两端处的波动计大,产生明显的震荡.在不熟悉曲线的运动趋势下,不要轻易使用高次插值. 采用分段低次插值的思路:在随便两个点之间,采用分段二次或者三次插值的方法/又叫分段抛物插值. 牛顿插值法:f(x)=f(x0)+f|x0,x1|(x?x0)+f|x0,x1,x2|(x?x0)(x?x1)+.....差商的定义:称f|x0,x k|=f(x k)?f(x0) x k?x0 两种插值的区别在于没有体现在导数的一致上 埃尔米特插值法:要求节点处的函数值相同,同时要求对应的导数值也相同分段三次埃尔米特插值法: matlab里有内存的函数pchip(x,y,new_w)x是已知样本点的横坐标,y是已知样本点的纵坐标,new_x是要插入的对应的横坐标 n维数据的插值了解:p=interpn(x1,x2,...xn,y,new_x1,newx_2,....newx_n,method) x1,x2,x3...是样本点的横坐标 y是样本点的纵坐标 输入的new是要输入点的横坐标 method是要插值的方法拟合算法 拟合和插值的区别:找到一个确定的曲线保证误差足够小,不要求曲线经过每一个样本点,只要足够接近就可以.

数学建模课件--最小二乘法拟合

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1 / 11 数学建模课件--最小二乘法拟合 4. 最小二乘法线性拟合 我们知道, 用作图法求出直线的斜率 a 和截据 b , 可以确定这条直线所对应的经验公式, 但用作图法拟 合直线时, 由于作图连线有较大的随意性, 尤其在测量数据比较分 散时, 对同一组测量数据, 不同的人去处理, 所得结果有差异, 因 此是一种粗略的数据处理方法, 求出的 a 和 b 误差较大。 用最小二乘法拟合直线处理数据时, 任何人去处理同一组数据, 只要处理过程没有错误, 得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。 最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据, 用计算 的方法求出最佳的 a 和 b 。 显然, 关键是如何求出最佳的 a 和 b 。 (1) 求回归直线 设直线方程的表达式为: (2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b 。 对满足线性关系的一组等精度测量数据(xi , yi ),假定自变量 xi 的误差可以忽略, 则在同一 xi 下, 测量点 yi 和直线上的点 a+bxi 的偏差 di 如下: 显 然最好测量点都在直线上(即 d1=d2==dn=0), 求出的 a 和 b 是最 理想的, 但测量点不可能都在直线上, 这样只有考虑 d1、 d2、 、 dn 为最小, 也就是考虑 d1+d2++dn 为最小, 但因 d1、 d2、 、 dn

曲线拟合——最小二乘法算法

曲线拟合——最小二乘法算法 一、目的和要求 1)了解最小二乘法的基本原理,熟悉最小二乘算法; 2)掌握最小二乘进行曲线拟合的编程,通过程序解决实际问题。 二、实习内容 1)最小二乘进行多项式拟合的编程实现。 2)用完成的程序解决实际问题。 三、算法 1)输入数据节点数n ,拟合的多项式次数m ,循环输入各节点的数据x j , y j (j=0,1,…,n-1) 2)由x j 求S ;由x j ,y j 求T : S k = ∑-=10n j k j x ( k=0,1,2, … 2*m ) T k = ∑-=1 0n j k j j x y ( k=0,1,2,… m ) 3)由S 形成系数矩阵数组c i,j :c[i][j]=S[i+j] (i=0,1,2,…m, j=0,1,2,…,m);由T 形成系数矩阵增广部分c i,m+1:c[i][m+1]=T[i] (i=0,1,2,…m) 4)对线性方程组CA=T[或A C ],用列主元高斯消去法求解系数矩阵A=(a 0,a 1,…,a m )T 四、实验步骤 1)完成最小二乘法进行曲线拟合的程序设计及录入、编辑; 2)完成程序的编译和链接,并进行修改; 3)用书上P105例2的例子对程序进行验证,并进行修改; 4)用完成的程序求解下面的实际问题。 5)完成实验报告。 五、实验结果 1. 经编译、链接及例子验证结果正确的源程序: #include #include #define Q 100 float CF(int,float); main() { int i,j,n1,n,p,k,q; float x[Q],y[Q],s[Q]={0},t[Q]={0},a[Q][Q]={0},l,sum=0; /*以下是最小二乘的程序*/ printf("input 数据组数n");

圆曲线拟合

最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小。最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。

VC实现的代码: void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() { if (m_nNum<3) { return; } int i=0;

double X1=0; double Y1=0; double X2=0; double Y2=0; double X3=0; double Y3=0; double X1Y1=0; double X1Y2=0; double X2Y1=0; for (i=0;i

最小二乘法圆拟合

最小二乘法圆拟合 1.最小二乘法圆拟合原理 理论 最小二乘法(Least Square Method )是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。 最小二乘圆拟合模型公式推导 在二维平面坐标系中,圆方程一般可表示为: ()22020)(r y y x x =-+- (1) 对于最小二乘法的圆拟合,其误差平方的优化目标函数为: [] 2 12020)()(∑=--+-=n i i i r y y x x S 式中:()i i y x ,n i ,...,2,1=为圆弧上特征点坐标;n 为参与拟合的特征点数。 在保持这优化目标函数特征的前提上,我们需要对其用一种稍微不同的改进方法来定义误差平方,且其避免了平方根,同时可得到一个最小化问题的直接解,定义如下: [] 2 122020)()(∑=--+-=n i i i r y y x x E (2) 则(2)式可改写为: ( )2 12 20 0220 02 22∑=-+-++-=n i i i i i r y y y y x x x x E (3) 令,02y B -=,02x A -=22020r y x C -+= 即(3)式可表示为:

() 2 22∑=++++=n i i i i i C By Ax y x E 由最小二乘法原理,参数A ,B ,C 应使E 取得极小值。根据极小值的求法,A ,B 和C 应满足 () 020 22=++++=??∑=i n i i i i i x C By Ax y x A E (4) () 020 22=++++=??∑=i n i i i i i y C By Ax y x B E (5) () 020 22=++++=??∑=n i i i i i C By Ax y x C E (6) 求解方程组,先消去参数C ,则 式()()∑=*-*n i i x n 064得 ( )0 02 202 030000002=+-++?? ? ??-+??? ??-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n i i n i i i n i i i n i i n i n i i i n i i i n i n i i i n i i x y x y x n x n B y x y x n A x x x n (7) 式()()∑=*-*n i i y n 065得 ( )0 02 202 030002000=+-++?? ? ??-+??? ??-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n i i n i i i n i i i n i i n i n i i i n i i n i n i i i n i i i y y x y x n y n B y y y n A y x y x n (8) 令 ??? ??-=∑∑∑===n i n i n i i i i x x x n M 000211(9) ?? ? ??-==∑∑∑===n i n i i i n i i i y x y x n M M 0002112(10) ?? ? ??-=∑∑∑===n i n i i i n i i y y y n M 000222(11)

线性拟合C语言算法

最小二乘法拟合一条直线(C语言代码) #include #define N 10 //N为要拟合的数据的个数 float X[10] = {1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,4.6,1.6,5.5,3.4}; float Y[10] = {0.7,-1.0,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,0.0,0.8,3.7,2.0}; float K=0; //拟合直线的斜率 float R=0; //拟合直线的截距 float x_sum_average=0; //数组X[N] 个元素求和并求平均值 float y_sum_average=0; //数组Y[N] 个元素求和并求平均值 float x_square_sum=0; //数组X[N] 个个元素的平均值 float x_multiply_y=0; //数组X[N]和Y[N]对应元素的乘机 float Squre_sum(float c[N]) ; float Sum_Average(float d[N]); float X_Y_By(float m[N],float n[N]); float Squre_sum(float c[N]); void Line_Fit(void); void Line_Fit(void) { x_sum_average= Sum_Average(X); y_sum_average= Sum_Average(Y); x_square_sum = Squre_sum(X); x_multiply_y = X_Y_By(X,Y); K = ( x_multiply_y - N * x_sum_average * y_sum_average)/( x_square_sum - N * x_sum_average*x_sum_average ); R = y_sum_average - K * x_sum_average; printf("K = %f\n",K); printf("R = %f\n",R); } float Sum_Average(float d[N]) { unsigned int i=0; float z=0;

用多项式模型进行数据拟合实验报告(附代码)

实验题目: 用多项式模型进行数据拟合实验 1 实验目的 本实验使用多项式模型对数据进行拟合,目的在于: (1)掌握数据拟合的基本原理,学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况; (2)掌握最小二乘法的基本原理及计算方法; (3)熟悉使用matlab 进行算法的实现。 2 实验步骤 2.1 算法原理 所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线,最不失真地去表现测量数据。反过来说,对测量 的实验数据,要对其进行公式化处理,用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。由于函数构造方法的不同,有许多的逼近方法,工程中常用最小平方逼近(最小二乘法理论)来实现曲线的拟合。 最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线,使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。模型主要有:1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型等,根据应用情况,选用不同的拟合模型。其中多项式型拟合模型应用比较广泛。 给定一组测量数据()i i y x ,,其中m i ,,3,2,1,0Λ=,共m+1个数据点,取多项式P (x ),使得 min )]([020 2=-=∑∑==m i i i m i i y x p r ,则称函数P (x )为拟合函数或最小二乘解,此时,令 ∑==n k k k n x a x p 0 )(,使得min ])([02 002=??? ? ??-=-=∑∑∑===m i n k i k i k m i i i n y x a y x p I ,其中 n a a a a ,,,,210Λ为待求的未知数,n 为多项式的最高次幂,由此该问题化为求),,,(210n a a a a I I Λ=的极值问题。 由多元函数求极值的必要条件:0)(200 =-=??∑∑==m i j i n k i k i k i x y x a a I ,其中n j ,,2,1,0Λ= 得到: ∑∑∑===+=n k m i i j i k m i k j i y x a x )(,其中n j ,,2,1,0Λ=,这是一个关于n a a a a ,,,,210Λ的线 性方程组,用矩阵表示如下所示:

(完整版)最小二乘法拟合椭圆附带matlab程序

最小二乘法拟合椭圆 设平面任意位置椭圆方程为: x 2+Axy +By 2+Cx +Dy +E =0 设P i (x i ,y i )(i =1,2,…,N )为椭圆轮廓上的N (N ≥5) 个测量点,依据最小二乘原理,所拟合的目标函数为: F (A,B,C,D,E )=∑(x i 2+Ax i y i +By i 2+Cx i +Dy i +E)2 N i=1 欲使F 为最小,需使 ?F ?A =?F ?B =?F ?C =?F ?D =?F ?E =0 由此可以得方程: [ ∑x i 2y i 2∑x i y i 3∑x i 2y i ∑x i y i 2∑x i y i ∑x i y i 3∑y i 4∑x i y i 2∑y i 3∑y i 2∑x i 2y i ∑x i y i 2∑x i 3∑x i y i ∑x i ∑x i y i 2∑y i 3∑x i y i ∑y i 2∑y i 2∑x i y i ∑y i 2∑x i ∑y i N ] [ A B C D E ] =-[ ∑x i 3y i ∑x i 2y i 2∑ x i 3∑x i 2y i ∑ x i 2] 解方程可以得到A ,B ,C ,D ,E 的值。 根据椭圆的几何知识,可以计算出椭圆的五个参数:位置参数(θ,x 0,y 0)以及形状参数(a,b )。 x 0=2BC?AD A 2?4B y 0=2D ?AD A 2?4B a =√2(ACD ?BC 2?D 2+4BE ?A 2E )(A 2?4B )(B ?√A 2+(1?B 2)+1) b =√2(ACD ?BC 2?D 2+4BE ?A 2E )(A 2?4B )+√A 2+(1?B 2)+1) θ=tan ?1√ a 2? b 2B a 2B ?b 2

回归拟合算法优秀论文2

Random Walks and Rehab: Analyzing the Spread of the Opioid Crisis Ellen Considine Suyog Soti Emily Webb University of Colorado Boulder Boulder,Colorado USA ellen.considine@https://www.360docs.net/doc/1e5263405.html, Advisor:Anne Dougherty Summary We classify69types of opioid substances into four categories based on synthesis and availability.Plotting use rates of each category over time re-veals that use of mild painkillers and natural alkaloids has stayed relatively constant over time,semi-synthetic drugs have declined slightly,and syn-thetic drugs such as fentanyl and heroin have increased dramatically.These ?ndings align with reports from the CDC.We select54of149socioeconomic variables based on their variance in?ation factor score(a common measure of multicollinearity)as well as on their relevance based on the public health literature. To model the spread of the opioid crisis across Kentucky,Ohio,Penn-sylvania,West Virginia,and Virginia,we develop two completely different models and then compare them. Our?rst model is founded on common modeling approaches in epidemi-ology:SIR/SIS models and stochastic simulation.We design an algorithm that simulates a random walk between six discrete classes,each of which represents a different stage of the opioid crisis,using thresholds for opioid abuse prevalence and rate of change.We penalize transitions between cer-tain classes differentially based on realistic expectations.Optimization of parameters and coef?cients for the model is guided by an error function in-spired by the global spatial autocorrelation statistic Moran’s I.Testing our model via both error calculation and visual mapping illustrates high accu-racy over many hundreds of trials.However,this model does not provide much insight into the in?uence of socioeconomic factors on opioid abuse The UMAP Journal40(4)(2018)353–380.c Copyright2019by COMAP,Inc.All rights reserved. Permission to make digital or hard copies of part or all of this work for personal or classroom use is granted without fee provided that copies are not made or distributed for pro?t or commercial advantage and that copies bear this notice.Abstracting with credit is permitted,but copyrights for components of this work owned by others than COMAP must be honored.To copy otherwise, to republish,to post on servers,or to redistribute to lists requires prior permission from COMAP.

曲线拟合的最小二乘法讲解

实验三 函数逼近与曲线拟合 一、问题的提出: 函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数,记作],[b a C ,称为连续函数空间,而函数类B 通常为n 次多项式,有理函数或分段低次多项式等,函数逼近是数值分析的基础。主要内容有: (1)最佳一致逼近多项式 (2)最佳平方逼近多项式 (3)曲线拟合的最小二乘法 二、实验要求: 1、构造正交多项式; 2、构造最佳一致逼近; 3、构造最佳平方逼近多项式; 4、构造最小二乘法进行曲线拟合; 5、求出近似解析表达式,打印出逼近曲线与拟合曲线,且打印出其在数据点上的偏差; 6、探讨新的方法比较结果。 三、实验目的和意义: 1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程; 2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较;

3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较; 4、掌握曲线拟合的最小二乘法; 5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组; 6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系; 四、 算法步骤: 1、正交多项式序列的生成 {n ?(x )}∞ 0:设n ?(x )是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式,)(x ρ为],[b a 上权函数,如果多项式序列{n ?(x )} ∞0 满足关系式???=>≠==?.,0,, 0)()()()(),(k j A k j x d x x x k k j b a k j ??ρ?? 则称多项式序列{n ?(x )}∞ 0为在],[b a 上带权)(x ρ正交,称n ?(x )为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。 1)输入函数)(x ρ和数据b a ,; 2)分别求))(),(()),(,(x x x x j j j n ???的内积; 3)按公式①)()) (),(()) (,()(,1)(1 0x x x x x x x x j n j j j j n n n ??? ???∑-=- ==计算)(x n ?,生成正交多项式; 流程图: 开始

数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法

第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列,当所得数据比较准确时,可构造插值函数逼近客观存在的函数,构造的原则是要求插值函数通过这些数据点,即。此时,序列与 是相等的。 如果数据序列,含有不可避免的误差(或称“噪音”),如图6.1 所示;如果数据序列无法同时满足某特定函数,如图6.2所示,那么,只能要求所做逼近函数最优地靠近样点,即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数,称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点;拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如: 用各点误差绝对值的和表示: 用各点误差按模的最大值表示: 用各点误差的平方和表示: 或(6.1)

其中称为均方误差,由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中,最小二乘法都是很重要的求解方法。例如,它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权,在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文,这时高斯指出,他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中,怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线?关键在选择适当的拟合曲线类型,有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型;在对拟合曲线一无所知的情况下,不妨先绘制数据的粗略图形,或许从中观测出拟合曲线的类型;更一般地,对数据进行多种曲线类型的拟合,并计算均方误差,用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如,某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路,景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列;设主干路为一条直线 ,即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程(见图6.2)。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据,做拟合直线,均方误差为 (6.2) 是二元函数,的极小值要满足 整理得到拟合曲线满足的方程:

最小二乘法圆拟合资料讲解

最小二乘法圆拟合

最小二乘法拟合圆公式推导及vc实现[r] 最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小。最小二乘法通常用于曲线拟合 (least squares fitting) 。这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 vc实现。

此处使用平方差与最小二乘法差的平方不一样,但是仍然具有实用估计价值,并且可以化简公式。

VC实现的代码:C++类 void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() { if (m_nNum<3) { return; } int i=0; double X1=0; double Y1=0; double X2=0; double Y2=0;

double Y3=0; double X1Y1=0; double X1Y2=0; double X2Y1=0; for (i=0;i

数据拟合文献综述

一、前言部分 本文首先指明了数据拟合的研究背景和意义,以及关于数据拟合问题所做的相关工作和当前的研究现状。二次拟合曲线由于有着良好的几何特性、较低的次数及灵活的控制参数,成为基本的体素模型之一,在计算机图形学和计算机辅助几何设计等领域中起着重要的作用。 解决数据拟合问题的基本思想是最小二乘法,本文中给出了最小二乘法的基本思想。分析解决数据拟合问题所采用的算法,并对典型性的算法进行了较为详细的求解。 关键词数据拟合;最小二乘法;多项式拟合; 二、主题部分 2.1 国内外研究动态,背景及意义 数学分有很多学科,而它主要的学科大致产生于商业计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。而在科技飞速发展的今天数学也早已成为众多研究的基础学科。尤其是在这个信息量巨大的时代,实际问题中国得到的中离散数据的处理也成为数学研究和应用领域中的重要的课题。 比如科学实验中,我们经常要从一组试验数据(,) i i x y,i = 0,1,...,n中来寻找自变量x和因变量y之间的函数关系,通常可以用一个近似函数y = f (x)表示。而函数y = f (x)的产生方法会因为观测数据和具体要求不同而不同,通常我们可以采用数据拟合和函数插值两种方法来实现。 数据拟合主要考虑到了观测数据会受到随机观测误差的影响,需要寻求整体误差最小、能够较好的反映出观测数据的近似函数y = f (x),这时并不要求得 到的近似函数y = f (x)必须满足y i = () i f x,i = 0,1,…,n。 函数插值则要求近似函数y = f (x)在每一个观测点 i x处一定要满足y i= () i f x,i = 0,1,…,n。在这种情况下,通常要求观测数据相对比较准确,即不考虑观测误差的影响。 所以,可以通过比如采样、实验等方法而得到若干的离散的数据,根据这些离散的数据,我们往往希望能得到一个连续函数(也就是曲线)或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合。这个过程叫做拟合。也就是说,如果数据不能满足某一个特定的函数的时候,而要求我们所要求的逼近函数“最优的” 靠近那些数据点,按照误差最小的原则为最优标准来构造出函数。我们称这个函数为拟合函数。 2.1.1 国内外研究现状 在通过对国内外有关的学术刊物、国际国内有关学术会议和网站的论文进行参阅。数据拟合的研究和应用主要是面对各种工程问题,有着系统的研究和很大的发展。通过研究发展使得数据拟合有着一定的理论研究基础。尤其是关于数据

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