(大标题)教你如何学好微积分

（大标题）教你如何学好微积分

4月高数（一）考题重点内容分析

文/机械工程师大学林士中

很多经历了 2005年高等教育自学考试《高数一》的考生，都留意到了这次考题内容全面，基本上覆盖了考试大纲的全部内容；

同时考题重点突出，一元函数微分学和积分学内容

占全部考分 70%，考题有一定难度。因此，要想顺利通过考试，考生必须熟练掌握教材主要内容，必须按考试要求进行学习与复习，力求做到以下三点：第一，学习内容应全面，不要存侥幸心理，数学课程指望期末突击、冲刺是没有出路的；第二，主要内容要反复训练，熟练掌握；第三，要学会总结，使学过的知识系统化。

为使考生顺利通过十月考试，现针对以上问题作具体分析。（小标题）重基础，全面学习

首先，数学课是一门逻辑关系很强的课程，前后紧密联系，前面章节掌握的熟练程度，往往对后面章节的学习有很大影响。

例如一元函数微积分没有掌握好，

多元函数微积分就很

难学好；一元函数微分学掌握的熟练程度，还直接影响微分学的应用和一元函数积分学的学

习。因此，无论是为了学好还是为在考试中取得理想成绩，都应当全面学习、全面复习，这一点对文科学生特别重要。数学的学习是一个长期的过程，

而非期末突击、冲刺就能侥幸过

关。下面就2005年4月高数（一）微积分的主要考试题目进行分析：的面积，所以有:

j'k dx 十

【例一】考题（一）分析：①学员需要知道

(5) f 1 (x 3si nx 2

+2\匸二 -J.

C . 3兀

D . 4兀

x 3 sinx 2

是奇函数，所以有：

)dx=()

f x 3 sin x 2

dx = 0

②要求学员根据定积分的几何意义知道:

J_R

J R 2

-x 2

dx 是半径为R 的上半圆 -x 2

dx = r R2

J ：(x 3sin X 2

-x 2

)dx

1 3

2 1

=f X 3 sin x 2

dx +2 f

= 0+2 —兀=兀应选A 。

X -

f (VH t)t

dt J l -x 2

【例二】考题（一）（3） lim

X T 0

tan X

A . 0

B . 1

C . e

D .不存在

分析：①首先，要求学员知道 X 7 0时，tanx

② 要求学员掌握微积分基本定理：

d /

— f （t ）dt = f （X ） dx a

③ 要求学员掌握第二个重要极限

X 。

八

xd tan - =xtan — 2 2

兀

X 厅兀

1 =—+2ln |cos-— +2ln -j=

2 2'0

④要求学员掌握罗必达法则

L （1 +t ）t dt lim --------- x -s P tan x

=lim ^^0 1

-I ■/ tanx ?x

1°丿

x 1

= lim (1 + x)x

X _^

【例三】考题（三）

(18)计算 J ---------- : ------ dx

匚 2

. x

V 4-x arcs in —

分析：①要求学员熟记积分表:

1 x

r ” 一 dx = arcsi n - + C a d arcsin —=

②要求学员熟记积分表:

’ _____ 1

------ dx =

J 4 -x 2

a r c s+n

f-du =1 n |u | 弋 7

1 . x

d a r c s+

n x a rc s+n

=ln | arcs in —

| +C 2

兀 r ?_-

'）1 +co s< 分析：①需要学员掌握三角函数的倍角公式：

cos2x=2cos X —1

【例四】考题（三）（22）计算

dx 2 x

1 +co s =2c o s-

②需要学员熟记微分公式:

d ta n X = —2— dx

cos x

③需要学员掌握分部积分公式:

J u dv =uv - Jvdu

④需要学员熟记积分表:

J tan xdx = —In | cos x | 七 ='刁 ■兀嘉 x -『tan - dx

JI , c

=——一In 2

(小标题)主要内容反复练习

高数(一)微积分无论从学习还是从考试的角度看，最主要也是最核心的内容是一元函

数的微分学和积分学及其应用：一方面是这部分内容占考分的 70%;另一方面是这一部分

内容掌握好了，其他内容特别是多元微积分部分就迎刃而解了。

【例五】

考题三(17) y =[ln arctan(1 +x 2

)]2

，求 y'

分析：这是一道多次复合而成的函数的导数问题，只要关于复合函数的导数经过反复训

练，经过多次复合函数导数公式便可容易得到结果，请看：

2 2

y'=2[ln arctan(1 +x )][ln arctan(1 +x )] ‘ 1 2 , 亍[arctan(1 + x )] arctan(1 +x )

-3x

lim 盘壬伫=lim +7^

x -j O J 1 + x —j1—X 1° ,-3( =lim -- ；=

X T O

2( “ 【例七】

2 1

分析：

解法一:

: ①需要学员熟记积分公式: 1 . 1 .

—2 --- 2 dx = — In a 2 -X 2

1 —2

x a +x a -x a +x

-dx =-- ln -a 2

2a ②需要学员知道完全平方公式：

(X ±a)2

=x ±2ax + a 2

1 . / 1

2 丄.丄 c dx - J 0 2

a -x X2+4X+3- J0(x+2)2T d(X +2)

=2 In arctan0 +x ) 2

2ln arctan(1 = 2 arctan(1 +x ) 1 2 -------- (1 +x )

1 +(1 +x 2)2

+ x 2

)

4x In arctan(1 (X 4

+2x 2

+2)arcta n(1 +x 2

)

【例六】考题三(16) J 4 -2x - J 4 +x lim —==——I ----- T J 1 +x - J 1 -X

本题虽然是未定式e b ,但不宜用罗必达法则，但在教材的例题和作业中，经 2丿

2 2

a-b=a

变形后计算，所以有：

a +b

计算

分析: 常利用公式

-2x + J 4 + X)

计算定积分

1 1

）dx =-ln

X +3 2 1 1 9 :—In - 3 2 5

【例八】

考题三（21） y = J x +仮求dy

分析：本题是只有一次复合而生成的函数，直接用复合函数导数公式即可

dy = y dx = （X + T x ） dx

2j x +/X

1 1 2j X +1 =

（1 +—^）dx = — dx

2j x +仮

J x 4yl x +yi X yf x

【例九】

考题四（24）

y =x 2

+ax （ a >0）, y=0 , x=1所围图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为

1 +(x +2) 1 -(X +2)

1 5 1 9

=——In — =— In

—

2 9 2 5

解法二: ①部分分式需要学员知道: a -b 1 ab b

1 2 解：V x =兀 ty

1 2 "0(x

R0(x 4

+ ax)2

+ 2ax 3 +a 2x 2

)dx

”5

5 11

=兀(一+ — a

5 2 1 . 1 2 一 a

+-a

2 3 ,2 4,1 2 3\ + 一 ax 中-a X )

4 3 ,1 2兀

+—a )=一 3

5 a

=0 a

【例十】

一 !（舍去）

考题三（23）

②学员应熟记积分公式：

Ob 1

dx =— In |ax + b |

￡ a

1 21(X +3)-(X +1) -------- d x = ----- --- --- dx X

2 + 4x +

3 」02 (x +3)(x +1) 2 2 1 X +1

3 .

=-(In — 一In —)= X +1 X +3

ff sin y de

因为sin y 对y 积分原函数不是初等函数，所以应先对 x 积分

O w y w 2, K x < 1+y

14y 2

JJ sin y db = ￡ dy [ siny dx

解：?/ F =e z

-xy 2

+sin(xz)

?- F x' = -y 2

+zcos(x z)

Fy' = -2xy F ； =e z

+xcos(x z) _ F x' _ -y 2

+zcos(xz)

F ；

e z

+xcos(xz)

上面所列考题，都是教材和作业中常见的练习题和例题的类型题，

只要考生在学习过程

中反复练习，就不会感到生疏或困难。建议考生将教材中的练习做过一遍以后，过两周再重

做一遍，考前再做一遍，通过考试就会有较大把握。

如今社会上的辅导材料太多，有的并不完全符合考试要求，建议考生还应以教材为主，学习之余感到教材练习已做得很熟练后，再考虑看

参考辅导材料。

材或习题中见过，不要因为试卷中有个别偏题，题都会有个别题目难度偏大，并不为怪，例如在五(25)就比较困难。

例如考题五(25)

已知f(x)在［0 , 1］上连续，在(0, 1)内可导，且f(0)=0，证明存在C € (0, 1)，使得

Cf '(C) + f (C) = f '(C)

本题明显和微分中值定理有关系，需要用微分中值定理证明，如果直接做，则有

f(1)-f(0)= f'(0(1-0)

f(0)=0 ,但f(1)不知道，立即就出现问题和困难，习惯是引入一个新函数，对于大多数学员来说，如何引进新函数是比较困难的，在本题中，因为 f(1)不知道，因此新函数中不应

出现f(1)，因此，令

D 是x=1 , y=2 , y=x-1所围区域求

解： D : 【例十一】

=L(sin y )x 1

=一一 cos y

考题三(20) e z

dy = t ysin y 2

dy 1

=? (1 —cos4)

-xy 2

+sin(xz) =0 确定 z ；, z y ?- z x

e z

+xcos(x z)

—2xy

Z y

有个别考题，未见得在教就盲

目到处找辅导材料。其实任何一份考试 1995年4月

高数(一)的考题中的证明题

F(x)=(1-x)f(x)

??? F(x )在［0 , 1］上连续，且在(0 , 1)内有F'(X)=—f (x)+(1 + x)f'(X)

由于F(1)=0, F(1)=0

由罗尔中值定理，存在 C € (0, 1)，使

F (C) =0 ,即卩-f (C) +(1 -C)f '(C) =0

??? f(C) =(1 -C)f (C)

??? Cf '(C) +f(C) = f '(C)

(小标题)随时总结知识，记忆积分表

考生一定要对学过的知识进行总结，使知识系统化并掌握其中的要点。例如，学过不定积分的概念和计算方法以后，可以小结如下：

(I)不定积分的概念

Jf(x)dx=F(x)+C u f(x)=F'(x)

(n)不定积分的性质

(1)J f'(x)dx =f(X)+C 或Jdf(x) = f(x)+C

(2)一ff(x)dx = f(x) 或d f f (x)dx =df(X)

dx .

(3)f k f (x)dx = k J f (x)dx

(4)J[f1(x) + f2(x)]dx = J f1(x)dx + J f2(x)dx

(川)基本积分表

(1)Jkdx =kx +C

(2)fx a d^ = ---- x a^ +C (aH—1)

" a +1

J—dx =1 n I x| 弋

? x

1 1

f----- dx =— In | ax + b | 弋

、ax +b a

fa X dx +C

ln a

Je X dx =e X +C

(7) Je ax dx=le ax+C

(8) J sin xdx =-cosx +C

(9)J sin(ax + b)dx = -一cos(ax + b) + C

(10)Jcosxdx=sin x+C

(11)Jcos(ax +b)dx =-sin(ax +b) +C

? a

2 1

(12)Jsec xdx = J --- 2—dx =tanx+C

cos x

2 1

(13)f csc xdx = J —2~ dx = - cot X + C

sin2x

(14)fsecxtanxdx =secx +C

(20H ----- dx =arcta nx +C

T +x 1 2

1 1 x

(21) f ----- dx =— arctan- +C

a +x a a 1 1 a +x

(22) 1 — ln| ——|P

'a 2-x 2

2a a —X

(23) 『 ----- dx=arcsin x + C

(24)

dx =arcsin-+C

70^

(25) J^=^^dx =l n|J a 2

+x 2

+ x| 弋 ‘ J a 2

+x 2

(26) f^^dxTn |P(x)| 十C

P(x) 2 x

dx =1 n | X 2

± a 2

古 x ±a

P '(x) , ____

(27) f^^dx =2j P(x) +C

1 j ； ---- dx =

dx +

V x 2

』x 2

\/x 2

=J x 2 +1 +ln | J x 2

+1 +x|+c

(15) Jcsccot xdx = _cscx + C (16) J tan xdx =_ln |cosx | +C 2x dx =?J x 2 +a 2

￡x 2 ±a 2

由于不定积分难度较大，最好多记一些积分表大有好处。例如，根据公式(20)和(26)便有：

r X +1 , r X 1 丄 r 1 ,

dx = J ---- dx + J ----- 2 dx '1+x '1+x

1 2

=-1n(1 +x )+ arctanx+C 2 (^el^dx

1 +e x

e x

----- )dx =x-l n(1 +e x ) +C 1 +e x

特别情形:

1 +x 2

= J (1 根据公式(25 )和(27)便有：

F X 中1 . F x

(17) (18) (19)

特别情形:

（X ）中含有- 均能达到有理化的目的。

（W ）分部积分公式

f X +1 dx " X dx r 1

+ arcsin x + C

(W)换元积分公式(一)凑微分法

Jf[g(x)]g'(x)dx = Jf[g(x)]dg(x) =f f (u)du 令u = g(x)

常见情形有:

(1) f f (ax +b)dx=- f f(ax +b)d(ax +

b) 、 a 、 ⑵ f f (x n

)x n

^d^- f f (x n

)dx n

、 n 、

⑶ f f (ln X)- dx = f f (In x)d

In x ‘ X 、

⑷ J f (e X )e X dx = J f (e x )de x

(5) J f (sin X)cosxdx = J f (sin x)d sin x

(6) J f (cosx)sin xdx = — J f (cosx)d cosx

2 1

(7) J f (tan x)sec xdx = f f (tan x)———

dx 、 cos X =J f (tan x)d tan x 2

(8) J f (cot x) csc xdx = -J f (cot x) d cot x 1 (9) J f (arcs in x) ； dx = J f (arcs in x)d arcs in x

? J 1 —X 2

1 (10) J f (arctan x) - dx = J f (arctan x)d arctanx

1 +x 此外，还需注意： d j x

2 ±a 2 = d J a 2 -X 2 — J X dx

i/a 2 —x 2

din （J x 2

±a 2

+x ） =—j ： 1

（V ）换元积分法（二）

=dx

令 X =g(t) = dx =g '(t)dt

J f(x)dx= J f[g(t)]g'(t)dt

常见情形有:

①f （X ）中含有 ^ax + b 时，令 U ax + b = t

（X ）中含有（X ）中含有

70^ 时,

J a 2 +x 2

时,

x=a Sint x=a tant V x 2 -a 2 时,

x=a sect

Judv =uv _ Jvdu J uvdx =uv 一 J u V dx

常见情形有：

/八 r n ax F n 1

(1) f x e dx = f x d(—e )

、 a

1 (2) rx n sin axdx = rx n

d(一一cosax)

n 1

(3) f x cosaxdx = f x d(—sin ax)

‘ a

(4) Jxsec xdx=Jxdtanx

(5) [(In x)x n d^ = [In xd —x n

"^ n +1 1 (6) f(arctanx)x n dx = farctanxd( ---- x "申) 、 n +1

(7) f(arcsinx)x n

d^ = farcsinxd( ---- x ^) 、、 n +1 此外，需记住下列结果： ax 1 ax Je sinbxdx = --- e (asinbx-bcosbx)+C a +b fe a X cosbxdx = _ e ax (bs in bx +acosbx) +C ， a 2 +b 2 （小标题）打好基础练习，做拔高训练

在基本练习题已经比较熟练的基础上，可以做一些下面的例题，以达到提高水平的目的。

【例一】计算 f(arcsin -) , 1

dx ， 3

f(arcsin △) , 1

= dx = f (arcsin-)d arcsin^

70^

‘

3 3

(arcsi n^2

2 3 farcsin - dx

farcsi n x

dx =x arcsi n — — f —^=^=dx

? 3

3 V^x 2

解:

= xarcsi n △+ J 9-x 2

计算

【例二】

(1) Jin (J x 2

+1 +x)

解：

fin(J x 2

+1 +x) ■ 0 ' dx

T X ^

=J I n(J x 2 +1 +x)d in(J x 2

+1 +x)

= l[ln( J x 2 +1 +x)]2

+C 2

(2) jln( J x 2

+1 + x)dx

解： Jin (J x 2

+1 + x) dx

=xln(J x 2

+1 + X)-『

——dx

=xln( J x 2

+1 + X)- J x 2

+1 +C 【例三】计算J e 亦dx

解：令 7x =t ??? x=t 2

, dx=2tdt

J e J x dx = f2te t d^2(t -1)e^C =2(7x -1)^'x

【例四】计算f e 3x

cos 2

xdx

解：

fe 3x cos 2 xdx =- fe 3

x (1 +cos2x)dx =*{ J e 3x dx + fe 3x

cos2xdx}

1 1 3x 1 3x

=—{-e + — e (2cos2x +3sin 2x)} +C 2 3 13

【例五】考题三(18) 1 计算

解:

J ------- dx

(4 一 X 2

arcsin-

??? dx=2 cost dt

令 x=2 Sint

.x =arcsi

n — 2

” 1

J 4 —x 2

arcsin -

"Zos^dt 、(2 cost)t

微积分中10大经典问题

微积分中10大经典问题最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

大一微积分下册经典题目与解析

微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题：（1）若y x xy y x y x f tan ),(2 2 -+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(2 2 y y y x x y f += ，则__________)(=x f （4）若2 2),(y x x y y x f -=+，则____________),(=y x f （5）函数) 1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________ （6）函数y x z -= 的定义域是_______________ (7)函数x y z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限：（1）xy xy y x 4 2lim 0 0+-→→ (2)x xy y x sin lim 0→→ (3)2222220 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim 2 2 ) 0,0(),(=+→y x xy y x 4.证明：极限0lim 2 42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在 5.函数?? ? ?? =≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题（1）设y x z tan ln =，则 __________________,=??=??y z x z ;

大一微积分下册经典题目及解析

微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题：（1）若y x xy y x y x f tan ),(2 2 -+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(2 2+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(2 2 y y y x x y f += ，则__________ )(=x f （4）若2 2 ),(y x x y y x f -=+，则____________ ),(=y x f （5）函数) 1ln(42 2 2y x y x z ---= 的定义域是_______________ （6）函数y x z -=的定义域是_______________ (7)函数x y z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限：（1）xy xy y x 4 2lim 0+-→→ (2)x xy y x sin lim 0→→ (3)2222220 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim 2 2 ) 0,0(),(=+→y x xy y x 4.证明：极限0lim 2 42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在

5.函数?? ? ?? =≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(2 2y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=??=??y z x z ; （2）设)(y x e z xy +=，则 __________________,=??=??y z x z ; （3）设z y x u =，则________,__________________,=??=??=??z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则________ _________,_________,22222=???=??=??y x z y z x z （5）设z y x u )(=，则________ 2=???y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________) ,(),(lim =--+→x b x a f b x a f x 2.求下列函数的偏导数 y xy z )1()1(+= z y x u )arcsin()2(-= 3.设x y z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数 4.设)ln(xy x z =，求y x z ???23和2 3y x z ??? 5.)11(y x e z +-=，试化简y z y x z x ??+??22

四套经典《微积分》期末考题(含答案)

湖北汽车工业学院微积分(一)(下)考试卷（ 2011-2012-2）一、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．='?]sin [2 x tdt 2sin 2x x ． 2．过点)3,2,1(-且与平面0144=-++z y x 平行的平面方程为 044=+++z y x . 3．设y x z =，则 =dz xdy x dx yx y y ln 1+- . 4．??+-=D dxdy y x I )432(，其中D }4),{(22≤+=y x y x ，则=I π16 . 5．微分方程)1)(1(22y x y --='的通解为C x y +-=2)1(arcsin . 6．平面曲线2x y =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积为 15/2π . 7．设数项级数∑∞=1 n n u 收敛且和为s ，则级数∑∞ =++1 1)(n n n u u 的和为12u s - ．二、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）：【B 】1. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,)(x F 是)(x f 在),(+∞-∞内的一个原函数，0≠c ，则 dx c x f b a ? +)(等于 )(A )()(c a F c b F ---. )(B )(C )()(c b F c a F ---. )(D )()(c b F c a F +-+. 【C 】2．设)2,1,3(--=a ，)1,2,1(-=，则? 等于 )(A 3. )(B 7. )(C )7,1,5(. )(D )7,1,5(-.

【A 】3．下列级数中条件收敛的是 )(A ∑∞ =+-111 ) 1(n n n . )(B ∑∞ =+-1211)1(n n n . )(C ∑∞=--1 1 )107() 1(n n n . )(D ∑∞ =-1 51 )1(n n n . 【A 】4. 下列微分方程中是齐次方程的是 )(A dx y x ydx xdy 22-+=. )(B x y y x y sin 2= +'. )(C y y x y ln sin ='. )(D x x y y sec tan =-'．【D 】5. 设)(x f 在]1,0[上连续且满足1)()(10 -=?dt t f x x f ，则?1 )(dx x f 等于 )(A 1 . )(B 2. )(C 1-. )(D 2-．【C 】6. 设x y y x D ≤≤≤+≤0,41:22，则二重积分=??σd x y D arctan )(A 2163π . )(B 2323π. )(C 264 3 π. )(D 2 128 3π．【C 】7. 函数x x f /1)(=的在1=x 点处的幂级数展开式为 )(A ∑∞ =--0)1()1()(n n n x x f ＝, 11<<-x ． )(B ∑∞ =-0 )1()(n n x x f ＝, 20<

大一微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题一．单项选择题 1．设()0 x f '存在，则下列等式成立的有（） A ． ()() () 0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()() () 0000 lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ． ()() () 0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()() 0000 2 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（） A ． 201 sin lim x x x → B ．1 2lim 2+-+∞ →x x x x C ． x x e 1 lim → D ．()x x x x +-∞ →63 2 213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数 ?? ???>+=<≤=1,11 ,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振

荡间断点 5．设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（） A ．当()()0

⒒ 1.曲线1)(+=x x f 在)2,1( ⒓ 2.若 ?+=c x x x f 2sin d )(，则 (x f ⒔ 3.微分方程0)(3= '+''y y x ⒕ 4.函数) 2ln(1 )(+= x x f 的定义域是 ⒖ 5.函数3 3 22 ---=x x x y 的间断点是 ⒗ ⒈函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= ⒘ ⒉若函数?? ??? =≠+=0,0 ,13 sin )(x k x x x x f ,在0=x 处连续，则=k ⒙ ⒊曲线x y = 在点)1,1( ⒚ ⒋'? x x s d )in ( ⒛ ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+'' 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设 1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （ C ） A ．)1(+x x B ．2 x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x ⒉若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的． A ．函数f (x)在点x0处有定义 B ． A x f x x =→)(lim 0 ，但 )(0x f A ≠ C ．函数f (x)在点x0处连续 D ．函数f (x)在点x0处可微 ⒊函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 ⒋ =''?x x f x d )(（ A ） A. c x f x f x +-')()( B. c x f x +')( C. c x f x +')(212 D. c x f x +'+)()1( ⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）

微积分习题讲解与答案

微积分习题讲解与答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

习题 1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4) θθ 2sin d d =+p p 解 (1) 1阶非线性 (2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x x y x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) x Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x x e C e C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数) (5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x x x x x x x cos sin sin cos 2=+-=右 (2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右 (3) 是，左=02=+-x x x Ce Ce Ce =右 (4) 是，左=

=右 (5) 是，左==-=---y x y x y x y x 222)2(右 (6) 是，左=x xy y x xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(2 2332 =0) ())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右 3.求下列微分方程的解 (1) 2d d =x y ; (2) x x y cos d d 22=; (3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) y x x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==??2,d 2d (2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''?? (3) ??=+-x y y y d d 11 ??=+++-x y y y d d 12)1( 解得 ???=++-x y y y d d 12d 即 C x y y +=++-|1|ln 2 (4) ??+=+dx x x dy y y ) 1(122 解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+ 整理得 222 11C x y =++

高等数学(下)典型习题及参考答案

第八章典型习题一、填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是 2、平行于向量}1,2,1{a -= 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3 -平行的单位向量为 ( ) （A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-± （D ）}11,7,3{179 1-± 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（）（A ）???==+2z 5y x 22 （B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0 z 5y x 22 （D ）5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214: 1+=+=+z y x L ，6 7 313:2+=+=z y x L ，4 1 312:3-= +=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面是（）（A ）椭圆抛物面（B ）椭球面（C ）旋转曲面（D ）单叶双曲面

《微积分初步》期末复习典型例题

《微积分初步》期末复习典型例题一、函数、极限与连续（一）考核要求 1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法. 2.了解极限概念，会求简单极限. 3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题（1）函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x . （2）函数24) 2ln(1 )(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-?-- （3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f （4）若函数?? ??? ≥<+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2 -=x x f （6）函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x （7）=∞→x x x 1 sin lim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数答案：B （2）下列函数中为奇函数是（）． A ．x x sin B ．2 e e x x +- C ．)1ln(2x x ++D ．2 x x + 答案：C

微积分典型例题和重点知识点

微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导应用题的是弹性函数和利用函数求最值以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整

高等数学典型例题

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。知例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设解：在令t=cosx-1，得

又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。例5： f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。例 8：函数的反函数是（）。

微积分习题讲解与答案

习题 1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2 =+'-'xy y y y x (2) 02 =+'-y y x y x (3)0)(sin 42 =+''+'''y x y y x (4)θθ 2sin d d =+p p 解 (1) 1阶非线性 (2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x x y x y y x sin ,cos = =+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) x Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x x e C e C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数) (5) C y xy x y x y y x =+--='-2 2 ,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2 xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x x x x x x x cos sin sin cos 2 =+-=右 (2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1) 1(22 2 =-++---=右 (3) 是，左=02=+-x x x Ce Ce Ce =右 (4) 是，左= 0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ =右

【浙大】高等数学经典测试题2

第九章检测试题B 一、选择题（每小题2 分，共20分） 1、L 为逆时针方向的圆周:22(2)(3)4x y -++=,则L ydx xdy -=??( )。 A ． 8π B ． 8π- C ． 4π D ． 4π- 2、设L 是曲线3x y =与直线x y =所围成区域的整个边界曲线，),(y x f 是连续函数，则曲线积分ds y x f L ?),(＝( ) （Ａ）??+1 10 3),(),(dx x x f dx x x f （Ｂ）??+1 1 3 2),(),(dx x x f dx x x f （Ｃ）11 30 (,(,f x x f x x +?? （Ｄ）[]dx x x f x x x f 2),(91),(41 1 3++? - 3、已知L ：)(),(),(βαφ?≤≤==t t y t x 是一连接)(),(βαB A 两点的有向光滑曲线段，其中始点为)(βB ，终点为)(αA 则?=L dx y x f ),(( ) （A ）dt t t f ))(),((φ?βα ? （B ） dt t t f ))(),((φ?α β ? (C) dt t t t f )())(),((/ ?φ?α β ? (D) dt t t t f )())(),((/?φ?β α ? 4、对于对于格林公式dxdy y P x Q Qdy Pdx L D )( ??-??=+???，下列说法正确的( ) ，D 为L 围成的单连通区域。 (A)L 取逆时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶徧导数且 x Q y p ??=?? (B)L 顺时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶徧导数且 x Q y p ??=?? (C)L 取逆时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶连续的偏导数 (D) L 取顺时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶连续的偏导数 5、设曲线L:()23 ,,,0123 t t x t y z t ===≤≤,其线密度ρ

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题 1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的阶无穷小。 4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、???≤+>+=0,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。 7、=+→x x x 6)13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时,1)1(3 12-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域就是__________。 13 、lim ____________x →+∞ =。 14、设8)2( lim =-+∞→x x a x a x ,则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。二、选择题 1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。 (Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。 2、x x x +-= 11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有。 (Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。 3、函数?? ???=-≥≠-+-+=0)1(0,1 111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续,则=k 。 (Ａ)23; (Ｂ)3 2 ; (C)1; (D)0。 4、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 (Ａ)1; (Ｂ)1-; (C)∞; (D)不存在但非∞。

《高等数学》中部分典型习题较难习题解答(

《高等数学》中部分典型习题、较难习题解答（或提示）（二） 1

167页第24题提示：根据罗尔定理容易知道()0f x '=至少有4个实根。同时注意到()f x 是5次多项式，则()0f x '=是4次方程，它最多有4个实根。 167页第26题证明：由于(())()0f x ax f x a ''-=-=，根据拉格朗日定理的推论1，()f x ax -为一常数，不妨设此常数为b,则有 (). f x a x b =+ 167页第27题（2）（3）（4）（2）证明：设()ln(1).f t t =+显然0,x ?> ()f t 在[0，x]上连续，在（0，x ）内可导，根据拉格朗日中值定理，()f t 在（0，x ）内至少存在一点0,x 使得 1ln(1)ln1(0)1x x x +-=-+ 即0 ln(1)1x x x +=+ 注意到00,x x <<所以， 11x x x x x <<++，即得到 ln(1).1x x x x <+<+ （3）证明：设(),().t f t e g t t ==显然0,x ?>()f t ，()g t 在[0，x]上连续，在（0，x ）内可导，且()0g t '≠.根据柯西中值定理， ()f t ,()g t 在（0，x ）内至少存在一点0,x 使得 00110x x x e e e e x x --==>-,所以, 1,x e x -> 即1.x e x >+ （当x<0时可以类似得证．）（4）提示：和上例类似，设(),t f t e = (),g t et =在区间[1，x]上用柯西定理。 168页第29题（6）（7）（10）解：（6） 2222222tan33sec 33cos lim lim lim tan sec cos 3x x x x x x x x x πππ→→→== 26cos sin lim 6cos3sin3sin 22cos 2lim lim sin 66cos61.3x x x x x x x x x x x π ππ→→→-=-===

微积分基本定理典型例题解析

微积分基本定理典型例题解析一、填空题 ⒈设G x t t a x ()sin = ? d 2，则'=G x () ．解：222sin 2)()sin()(x x x x x G ='?='． ⒉ 1624 4-=? x x d －．解：由定积分的几何意义，此积分计算的是圆2224=+y x 的上半部，故结果为π8． 3． (x x x a a 5 -+=?212 )d －．解：由定积分的性质和奇偶函数在对称区间的性质得 x x x x x x x x a a a a a a a a d 21d 2d d )212(---5 -5 ????+-=+- a x x a a ==+-=??0 0d d 21200 二、单项选择题 ⒈ d d d x t t x b (ln )2 ?=（）． A.2ln x ； B.ln 2t ； C.ln 2x D.-ln 2 x 解： x t t x t t x x b b x 222ln )d ln (d d )d ln (d d -=-=??，故选项D 正确． ⒉由曲线y f x y g x ==(),()及直线x a x b a b ==<,()所围成的平面图形面积的计算公式是（）． A. (()())f x g x x a b -?d ； B.(()())g x f x x a b -? d ； C. g x f x x a b ()()-? d ； D. (()())f x g x x a b -? d 解：A, B 选项的积分可能出现负值，而D 选项虽非负，但面积可能被抵消，故选项C 正确． 3．下列广义积分中，（）收敛． A. 1 d x x 21+∞ ?； B.1d x x 201?； C.1d x x 1+∞?； D.1d x x 01? 解：对于?∞+1d 1x x p ，当p >1时积分收敛；对于?10d 1 x x p ，当p <1时积分收敛。故选项A 正确．三、计算题 ⒈计算下列积分： ⑴ d x x 4201 -? ⑵ln x x d e １? ⑶d x x x 221()+∞?１＋解：⑴将被积函数作变换