高等数学(下)典型习题及参考答案

第八章典型习题

一、填空题、选择题

1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是

2、平行于向量}1,2,1{a -=

的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为

且与平面过点=--+-z y x

4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线??

?==++Γ2

10222

5、()==-=+=+=-δ

δλ则平行与设直线,z y x :l z y x :

l 1111212121

()23A ()12B ()32C ()21

6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3

-平行的单位向量为 ( )

（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±

（D ）}11,7,3{179

1-± 【

7、曲线???==++2

z 9

z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（）

（A ）???==+2z 5y x 22 （B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0

z 5y x 22 （D ）5y x 22=+

8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214:

1+=+=+z y x L ，6

313:2+=+=z y x L ，4

312:3-=

+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L

10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面

11、方程05

z 3y 3x 2

22=-+所表示的曲面是（）

（A ）椭圆抛物面（B ）椭球面（

（C ）旋转曲面（D ）单叶双曲面

二、解答题

1、设一平面垂直于平面0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线?

??=+-=010

z y x 的垂线，求该平面方程。

2、的平面且平行于直线求过直线

724532423-=-=+--=+=-z y x z y x .方程 3、()的且平行于直线求过点?

??=+-+=--+-0120

12121z y x z y x ,,.直线方程

4、已知平面022:=-+x y π与直线???=+-=--0

2230

22:z y y x L ，求通过L 且与π垂直的平面方程。

5、求过球面0z 4y 2x 2z y x 222=-+-++的球心且与直线

22y 33x -=-+=-垂直的平面方程。 6、求经过直线

23y 54x =+=-与直线外的点)4,5,3(-所在的平面方程。

、

第九章典型习题

一、填空题、选择题 1、y x z +=

1的定义域为；1

1112

y x

z 的定义域为。

2、1

1lim

0-+→→xy xy

y x ；()xy

y x xy 10

01lim +→→；()x xy y x tan lim

0→→。 3、设()xy z ln =，

x z ??= ；设??

??=x y xf z ， x z ??= ；设xy z 3=， x z ??= ；设()22y x f z -=，()u f 是可微函数，其中22y x u -=，求

??。 4、设y e z x sin =，求dz ；设y

z arctan =，求dz ；设x y

e z =，求dz 。

5、设03=--z xy z ，求x z ??；由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求x

z ??。 6、求曲线32,,

t z t y t x ===在2=t 处的切线方程；

7、求函数()()224,y x y x y x f ---=的驻点。8、设()222,,zx yz xy z y x f ++=，求()1,0,0xx

f ''。】

9、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（）

A 、连续

B 、不连续

C 、不一定连续

D 、可微

10、求曲面1232222=++z x y 在点（1，-2，1）处的切平面方程；

求曲面xy z =在点（1，1，1）处的切平面方程。

11、()()y x y x f +=2sin 2,在点（0，0）处（）A 、无定义 B 、无极限 C 、有极限，但不连续 D 、连续 12、设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，求

??，y z ??； 13、如果()00,y x 为()y x f ,的极值点，且()y x f ,在()00,y x 处的两个一阶偏导数存在，则()00,y x 必为()y x f ,

的（）A 、最大值点 B 、驻点 C 、连续点 D 、最小值点 14、函数()y x f ,在()y x ,处的偏导数连续是它在该点可微的（）

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充要条件

D 、以上均不对 15、函数()y x f ,在()y x ,处的偏导数存在是它在该点可微的（）

《

A 、必要条件

B 、充分条件

C 、充要条件

D 、既非必要又非充分条件

16、如果函数()y x f ,在()00,y x 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且()()()0,,,0000002

<-y x f y x f y x f yy xx xy ，

则()00,y x f （）A 、必为()y x f ,的极小值 B 、必为()y x f ,的极大值

C 、必为()y x f ,的极值

D 、不一定为()y x f ,的极值

二、解答题

1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。

2、为可微函数，，其中已知　f x y y x f z ??? ?

=,2y z x z ????,求。

3、设()y x z z ,=是由方程

y z z x ln =确定，求x

??，y z ??。 4、求函数22y x z +=在条件22=+y x 下的极值。

5、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。

6、将正数a 分成三个数之和，使它们的乘积为最大。，

7、设?

? ??=y x x f z ,，求dz ；设0=-xyz e z

，求dz 。第十章、第十一章典型习题

一、填空题、选择题

1、将二重积分()dxdy y x f D

??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式

中正确的是（）A 、()dy y x f dx x

??20

4,2 B 、()dy y x f dx ??4

C 、()dx y x f dy y ??0

, D 、()dx y x f dy y

2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω

xyzdxdydz

3、旋转抛物面2

2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（）

A 、

dxdy y x y x ??

≤+--2

22221 B 、

dxdy y x y x ??

≤+++4

22221 C 、

dxdy y x y x ??

≤+--4

22221 D 、

dxdy y x y x ??

≤+++2

22221

4、若()=

??dy y x f dx x

2,1

()()

dx y x f dy y

y g ?

，则()=y g （）A 、y B 、y C 、2y D 、2x

5、利用球坐标计算三重积分()

???Ω

++dV z y x f 222，其中Ω：z z y x 2222≤++，下列定限哪一个是正确

的（）A 、()

r dr r f d d ???2

220

?θ B 、()

dr r r f d d ??θ?

ππsin 2cos 20

C 、()

dr r r f d d ??θ?

sin 2

cos 20

?? D 、()

rdr r f d d ?

???

ππ?θcos 20

6、曲线L 为圆122=+y x 的边界的负向曲线积分=+?L

xdy ydx

7、设D 是长方形区域：31,30≤≤≤≤y x ，则=??dxdy y D

8、设()y x f ,是连续函数，则二次积分()=??dy y x f dx x

,（）

A 、()dx y x f dy y ??010,

B 、()dx y x f dy ??1010,

C 、()dx y x f dy y

??010

, D 、()dx y x f dy y

??1

10,

9、曲线L 为x y =2从（1，-1）到（0，0），则=?L

xdy

10、设L 为圆()0222>=+a a y x 的边界，把曲线积分ds y x L

?+22化为定积分时的正确结果是（）

A 、θπ

d a ?0

B 、θπ

d a ?20

C 、θπd a ?20

D 、θπ

d a ?0

11、设D 是由2,0,0=+==y x y x 所围成的区域，则=??dxdy D

12、设D ：422≤+y x ，f 是域D 上的连续函数，则()

=+??dxdy y x

（）

A 、()dr r rf ?2

2π B 、()dr r rf ?2

4π C 、()d r r f ?2

2π D 、()dr r rf r ?0

4π

13、三重积分中球面坐标系中体积元素为（）

A 、θ??d drd r sin 2

B 、θ??d drd r sin

C 、dz rdrd θ

D 、dz drd θ 14、()

=+?

?-dx y x

dy y a a

2022

0（）

A 、dr r d a

θπ

B 、dr r d a

??0320

θπ

C 、dr r d a

θπ

D 、dr r d a

3230

θπ

15、下列曲线积分哪个与路径无关（）

A 、?+L

dx y dy x 22 B 、?-L

xdy ydx C 、()()

d y xy y x dx y xy L

?-+-2232366 D 、?

+-L

y x xdy

ydx 2

16、设42,31,10:≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，则=???Ω

dxdydz

17、设区域D 是圆122≤+y x 内部，则=??θdrd r D

18、利用柱坐标计算三重积分(

)

???Ω

++dv z y x 222，其中Ω：10,222≤≤≤+z a y x ，下列定限哪一个是

正确的（）A 、dz r dr d a

???π

θ B 、()dz z r r dr d a

221

+???π

—

C 、dz r dr d a

???π

θ D 、()

dz z r

dr d a

??π

19、设D 为环形区域：9422≤+≤y x ，则=??σd D

20、设Ω为球面1222=++z y x 所围成的闭区域，则=???Ω

dxdydz

21、设两点()()2,0,0,0,0,0A O ，则=?OA

yzds x 2

22、若()()()()

dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx y

y x

?--+-=+110

,,,?，则()=y ?

23、L 是曲线2x y =上点（0，0）与点（1，1）之间的一段弧，则=?

ds y L

（）

A 、()dx x ?+1

21 B 、dx x x ?+10212 C 、()dx x x ?+102

21 D 、dx x ?+1

24、设(){}

1,22≤+=y x y x D ，则=??+dxdy e D

y x

25、=?

?---2

y x x dz dy dx

26、三重积分柱面坐标系中体积元素为（） #

A 、θ??d drd r sin 2

B 、θ??d drd r sin

C 、dz rdrd θ

D 、dz drd θ

27、设()y x f ,在区域(){}

0,,222>≤+=a a y x y x D 上连续，则()=??σd y x f D

,（）

A 、()rdr r r f d a

??0

sin ,cos θθθπ B 、()rdr r r f d a

??0

sin ,cos 4θθθπ

C 、()rdr r r f dx x a x a a

?-----222

2sin ,cos θθ D 、()rdr r r f d a

??-θθθπ

sin ,cos 220

28、设D 由x 轴和[]π,0,sin ∈=x x y 所围成，则积分=??σd D

29、设K z y x ≤≤≤≤≤≤Ω0,10,10:，且4

???Ω

xdxdydz ，则=K 二、解答题

1、计算三重积分()

???Ω

+dv y x 22，其中Ω是由曲面()z y x =+222与平面4=z 所围成的区域。

2、求由曲面()222y x z +-=与22y x z +=所围立体的体积。

3、计算曲线积分()()dy x y dx y x L

-++?，其中L 是曲线1,1222+=++=t y t t x 上从点（1，1）到（4，2）

的一段弧。，

4、计算()()

dy y x dx xy x L

223+++?，其中L 为区域10,10≤≤≤≤y x 的反向边界。

计算()()dy x y dx y x L

63542-+++-?，其中L 以（0，0）、（3，0）、（3，2）为顶点的三角形区域的正

向边界。

计算()()dy x y dx y x L

-++?，其中L 是沿从（1，1）到（1，2）再到（4，2）的折线段。

5、计算三重积分???Ω

zdxdydz ，其中Ω是为球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成的闭区域。

6、计算二重积分()

d xdy x y D

??-2，其中D 由直线2,2,===y x y x y 所围成的区域。

计算二重积分dxdy e D

y x

??+2

22，其中D 由422=+y x 与922=+y x 所围成的圆环形区域。

7、计算曲线积分?

+-L

x xdy

ydx 2

2，其中L 是从（1，0）到（1,e ）的曲线段。 8、计算σd x y

??arctan ，D 是由圆周922=+y x ，422=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限内的

闭区域。

9、计算曲线积分()()?-++L

dy x y dx y x ，其中L 为抛物线x y =2上从（1，1）、（4，2）的一段弧。

第十二章典型习题

一、填空题、选择题

1、下列级数是发散的为（）A 、∑

∞

=12

n n

B 、∑∞

sin

n n π

C 、∑∞

cos

n n π

D 、∑∞

tan

n n π

2、如果∑∞

n n u 收敛，则下列级数中一定收敛的是（）A 、∑∞

100n n u B 、()∑∞

=+1

100n n u C 、()∑∞

=-1

100n n u D 、∑∞

=1n n u

如果∑∞=1

n n u 收敛，则下列级数中一定收敛的是（）A 、∑∞=1n n u B 、∑∞=12

n n

u C 、()∑∞

=++11n n n u u D 、∑∞

n n u

3、如果11

=∑∞

=n n u ，则=∞

→n n u lim

4、函数()x +1ln 的麦克劳林级数展开式为（）A 、()n n n x n

∑

∞

=--1

11 B 、n n x n ∑∞

=11 C 、()n n n x n ∑∞

=--1

!1 D 、n n x n ∑∞=1!1 5、幂级数n n n x n ∑∞

=12

的收敛半径R= ；幂级数()n

n n x n 131-∑∞

=的收敛半径R= ；

6、下列级数中是收敛的级数为（）A 、∑∞

=+121n n n B 、∑∞=+-121n n n n C 、∑∞=13n n

D 、∑∞

=12

3n n

7、级数()∑

∞

=-1

1n n n α

是绝对收敛级数，则（）A 、0<α B 、10≤<α C 、2≥α D 、1>α

8、级数()∑

∞

=--1

311n n n

是（）

；级数

∑

∞

4cos n n

n π是（）

A 、绝对收敛

B 、条件收敛

C 、发散

D 、敛散性不定

9、设∑∞

n n u 为任意项级数，且∑∞

n n u 收敛，则（）

A 、原级数绝对收敛

B 、原级数条件收敛

C 、原级数发散

D 、原级数敛散性不定 10、幂级数()n n n x n ∑

∞

=--12

11的收敛区间是

11、设幂级数n n n x a ∑∞

在2-=x 发散，则它在3=x 是（）

A 、绝对收敛

B 、条件收敛

C 、发散

D 、敛散性不定 12、如果51

=∑∞

=n n u ，101

=∑∞

=n n v ，则()=-∑∞

32n n n u v

13、函数()x

x f 211

展开成x 的幂级数为（） A 、()()∑∞

=-1

21n n

x B 、∑∞

n n

x C 、()()∑∞

=-0

21n n

x D 、()∑∞

2n n

14、0lim =∞

→n n u 是级数∑∞

n n u 收敛的（）

—

A 、充要条件

B 、必要条件

C 、充分条件

D 、既不充分又不必要条件

15、设正项级数∑∞

n n u 与∑∞

n n v ，如果n n v u 100≤，且∑∞

n n u 发散，则∑∞

n n v （）

A 、一定收敛

B 、绝对收敛

C 、一定发散

D 、敛散性不定

16、级数∑∞

=+?

??01

52n n 满足（）

A 、发散

B 、收敛且其和为1

C 、收敛且其和为2

D 、收敛且其和为2/3

17、下列级数发散的是（）A 、∑∞

=121n n B 、()∑∞

=-1

1n n

n C 、∑∞=??? ??

-1cos 1n n π D 、∑∞=12cos n n π

18、设幂级数()n

n n x a 11

-∑∞

=在4=x 收敛，则它在1-=x 是（）

A 、绝对收敛

B 、条件收敛

C 、发散

D 、前三者都有可能 19、若n n n x a ∑∞

=1在0x x =收敛，则该级数收敛半径R 满足（）

A 、0x R =

B 、0x R <

C 、0x R ≤

D 、0x R ≥

《

20、设正项级数∑∞=1

n n u 的部分和数列为{}n S ，如果{}n S 有界，则级数∑∞

n n u （）

A 、收敛

B 、发散

C 、无法确定

D 、以上都不对 21、若级数∑∞

n n u 与∑∞

n n v 均发散，则()∑∞

=+1

n n n v u （）

A 、收敛

B 、发散

C 、可能收敛也可能发散

D 、绝对收敛 22、级数()()

∑

∞

=+-112121

n n n 的和是（）A 、2 B 、0 C 、∞ D 、1/2

23、若级数()∑

∞=-1

1n n n α

为条件收敛级数，则常数α的范围是（）

A 、10≤<α

B 、1>α

C 、2≥α

D 、10<<α 24、下列级数中条件收敛的级数是（）A 、()∑

∞

=+-11

1n n n n B 、

()

∑∞

=-1

1n n

n C 、()∑∞

=-1311n n

n D 、()∑∞

=-1

1n n n

25、将()x x f -=41展开成x 的幂级数为（）A 、∑∞=04n n x B 、()∑∞=-01n n

n x C 、∑∞=+014n n n x D 、()∑∞

=+-0

41n n n n

x 26、幂级数∑∞

=0!n n n x 的和函数是（）；幂级数()∑∞=-0

!1n n n n x

的和函数是（）

(

A 、x e

B 、x e -

C 、()x +1ln

D 、x arctan

27、收敛级数加括号后所成的级数（）

A 、收敛但级数和会改变

B 、发散且级数和不变

C 、发散

D 、敛散性不确定 28、若级数∑∞

=1n n u 收敛，则∑

∞

=11

n n

u （） A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、敛散性不确定

二、解答题

1、判别级数∑∞

=12sin n n π

的敛散性；判别级数∑∞

5sin 3n n n

的敛散性；判别级数∑∞

=13

3n n n 的敛散性；

判别级数∑∞

=1!2n n n n n 的敛散性并说明理由；判别级数∑∞

7tan 3n n n π

的敛散性。

2、求幂级数∑∞

=1n n n x 的和函数；求幂级数()

∑∞

=-21n n

n n x 的和函数。

3、判别级数()∑∞

=+1121n n n 的敛散性，若收敛并求和S 。4、判别级数()∑

∞

=--1

cos

1n n n n π

的敛散性。

5、求幂级数()∑

∞

=--1

11n n n x n

的收敛区间及其和函数。6、求幂级数

()∑

∞

=?-1

21n n n n

x 的收敛区间。

第八章典型习题答案

一、1、5； 2、{}1,2,16

-±

； 3、3

12-+=-=z y x ； 4、622=+z x ； 5、B ；6、D ；7、C ；8、D ；9、D ；10、D ；11、C 。

二、1、 012=++y x ； 2、0153101623=-+-z y x ；3、1

11231

-=--=+z y x ；

4、022=-+-z y x ；

5、03z y 2x 3=---；

6、0103z 8y 21x 10=---。

第九章典型习题答案

一、1、(){}0,>+y x y x ；(){}

1,1,22>

()xy y y y f f ;y ln ;yf x y x x x ????

''--- ? ?????

22332

6、

128

4412-=

-=-z y x ；

7、（2，-2）； 8、2； 9、C ； 10

1、()()()0161412=-+-+-z y x ;6

1-=-=-z y x

2、

2212f x

f xy x z '-'=??；2121f x f x y z '+'=??。 3、()y z y z y z y z x z ln 1ln ,ln 1ln 1-+=??-+=?? '

4、极小值54525452,542

2=??

??+??? ??=??? ??z 5、长、宽、高分别为2，2，1m 时，…

6、3/,3/,3/a a a

7、xy e xzdy

yzdx dz dy y x dx f y f dz z -+=-???

? ??'+'=;1221 第十、十一章典型习题答案

第十二章典型习题答案

；

1、收敛；收敛；收敛；发散；收敛。

2、∑∞

=-=111ln n n x n x ；()()()∑

∞

=--+-=-2

1ln 1ln 1n n

x x x x n n x 3、收敛，S=1/2 4、绝对收敛 5、（-1，1]，()()x x S +=1ln 6、[-1，3）

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合第八章多元函数及其微分法最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿的定义域是从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护与z? = / 1 定义域的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂，T() 丿解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂〉?T O 〉?T O兀十〉于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考答案内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =

2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是（） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

高等数学试题及答案新编

《高等数学》一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数例求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数．解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='．指出函数的复合关系例指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程．解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．求函数的导数例求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

高等数学试题及答案91398

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为（ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面积为（D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）

(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为（ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值为（ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

高数下典型习题及参考答案

第八章典型习题一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知　，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。第九章、第十章典型习题一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式中正确的是（）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（）

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷) 命题教师：杨勇适用班级：理工科本科考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

高等数学(下)练习题和答案

高等数学一、填空、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????.

高等数学试卷和答案新编

高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为（2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交（2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值得分阅卷人

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α，因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

2019高数(下)试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

关于高等数学经典方法与典型例题归纳

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限【说明】 (1)常见等价无穷小有：