系统工程复习资料2

系统工程复习整理：

一、名词解释（20分）（线性规划，动态规划）

二、解答题（单纯循环，对偶单纯循环，化标准形式，Matlab求解线性规划，解整数规划）

三、论述题（灰色预测，时间序列（实验），最小二乘，马尔克夫例题）

四、案例应用（25分）动态规划

一、名词解释（20分）

（1）系统工程：是从系统的观点出发，跨学科的考虑问题，运用工程的方法去研究和解决各种系统问题，以实现系统目标的综合最优化。

（2）线性规划：

a、可行解：满足线性约束条件和非负条件的决策变量的一组取值。

b、可行解集：所有可行解的集合。

c、可行域：LP问题可行解集构成n维空间的区域，可以表示为：

d、最优解：使目标函数达到最优值的可行解。

e、最优值：最优解对应目标函数的取值。

f、求解LP问题:求出问题的最优解和最优值。

g、基：设A是约束方程组m×n的系数矩阵，A的秩R(A)＝m，B是A中m×m阶非奇

异子式, 即|B|≠0, 则称B是LP问题的一个基。(B是由m个互相独立列向量组成) h、基变量:B=[P1,P2,…,Pm],称Pj(j=1,2, …,m)为基向量, 与Pj对应的变量xj (j=1,2, …,m)

称为基变量,其余的xm+1 , …,xn为非基变量。

i、基本解:令非基变量等于0，从AX＝b中解出的基变量所得的解称为LP关于基B的基

本解。

j、基本可行解（对应的基为可行基）：满足非负条件的基本解。

（3）动态规划：

a、阶段：是针对所给的问题，依据其若干个相互联系的不同部分，给出的对整个过程

的自然划分。通常根据时间顺序或空间特征来划分阶段，以便按阶段的次序解决优化问题。引入了一个变量来表示阶段，通常称为阶段变量。

b、状态：就是决策者在作决策时所依据的某一阶段开始时或结束时所处的自然状况或

客观条件，它描述过程的特征具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后过程的演变与该阶段以前的状态无关而只与当前的状态有关。第1阶段的起始状态--s1(也是整个过程的初始状态),sn+1是第n阶段的终止状态.描述第K阶段状态的变量就是状态变量。

c、决策:当过程处于某一阶段的某个状态时,可以作出不同的选择,从而确定下一阶段的

状态,在最优控制中也称控制.,描述决策的变量叫决策变量。

}0

,

|

{≥

=

=X

b

AX

X

D

在实际问题中,可供选择的策略有一定的范围,称为允许策略集合,用P 表示。从允许策略集合中找出达到最优效果的策略叫最优策略.从第一阶段开始到第n 阶段结束,称为全策略。

通常在第k 阶段某确定的状态sk 下，一旦决策变量取定，则第k+1阶段的状态sk+1也就确定，我们将这一过程称为状态转移。 在第二阶段状态s2=B2下作决策 后，则当转移到第三阶段时，状态便已确定s3=c3 ；

通常我们把描述第k 阶段状态sk 到第k+1阶段的状态sk+1转移规律的函数记作： 。

动态规划

1、初始d 矩阵

322)(C B d =1(,())

k k k k k s T s d s +=

matlab程序：

function [Distance,ph]=dongtaiguihua(a,c)

[m,n]=size(a);

d=a; %设置d和pith的初值

for i=1:n

for j=i+1:n

if d(i,j)~=inf

d(j,i)=d(i,j);

end

end

end

path=zeros(n,n);

for i=1:n

for j=1:n

if d(i,j)~=inf

path(i,j)=j ; %j是i的后继点

end

end

end

%做n次迭代，每次迭代均更新d (i,j)和path (i,j)

for k=1:n

for i=1:n

for j=1:n

if d(i,k) +d(k,j)

d(i,j)=d(i,k) +d(k,j);%修改长度

path (i,j)=k;%修改路径

end

end

end

end

%输出距离distance和路径path

Distance=d(1,n);

Ph=zeros(1,n);

count=n;i=1;

while count>1&i<=c

ph(i)=path(1,count);

i=i+1;count=path(1,count);

end

例题：用动态规划求max Z=x1*x22*x3

x1+x2+x3=c（c>0）xi>=0,i=1,2,3( xi为决策变量)

二、解答题

（1）整数规划

所谓整数规划，就是指决策变量有整数要求的数学规划问题。求解整数规划的分枝定界法

1.求解原问题

2.分枝.新增加2个约束条件

3.定界.把子问题中的最优值作为上(下)界.

4.把子问题的最优值与上(下)界比较,把不优的分枝全部剪掉

例题：

先不考虑整数要求，解相应的LP 问题，得

增加 就拆分成2个问题 总结： 分枝定界法的解题步骤

1、 不考虑整数约束，解相应LP 问题

2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解，完毕。否则，转下步

3、任取一个非整数变量xi=bi ，构造两个新的约束条件：xi ≤[bi] ,xi ≥ [bi]+1,分别加入到上一个LP 问题，形成两个新的分枝问题。

4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z 值>所有分枝末梢的Z 值，则得最优解。否则， 取Z 值最大的非整数解，继续分解，Go to 3 三、论述题

1、时间序列：

（1）.AR 模型 令 则AR 模型为: （2）.MA 模型 令 MA 模型为: （3）.ARMA 模型

ARMA 模型为:

(4).模型阶的确定

(5).例（实验室习题）ARMA 模型应用

年份 1979 1986 1989 1994 1999 2004 2009

有林地面积 342.89

403.72

437.59 517.18 553.92

584.42 667.97

森林蓄积量

9874 10137.63 11245.65 12660.4 13846.75 19382.93

对1994-1999-2004年森林蓄积量做估计，并对2009年蓄积量做预测。 Matlab 中：当n=3对94，99，04年作估计，对09年作预测：

X 11245.65 10137.63 9874 517.18 437.59 403.72 342.89 12660.4 11245.65 10137.63 553.92 517.18 437.59 403.72

13846.75 12660.4 11245.65 584.42 553.92 517.18 437.59

1][][+≥≤k k k k x x x x 121212

1212max (1)6217 (2)

5944 (3),0 (4), (5)Z x x x x x x x x x x =++??+??

???≤≤≥为整数1201.477, 4.068, 5.545x x Z ===2

111≥≤x x )1()()()2()1()(21k n k y a k y a k y a k y n ξ+-------=L n n z a z a z a ---+++=L 1111)()()()(1k k y z a ξ=-)2()()()1()()(10k n k u b k u b k u b k y n ξ+-++-+=L n n z b z b b z b ---+++=L 1101)()()()()(1k k u z b k y ξ+=-)

3()()()1()()()2()1()(1021k n k u b k u b k u b n k y a k y a k y a k y n

n ξ+-++-++--------=L L )

()()()()(11k k u z b k y z a ξ+=--∑

==p k T k J 1

2)()?(ξθ

Y 12660.4

13846.75

19382.93

X=x'*x;

[m,n]=size(X);

for i=1:m

for j=1:n

if i==j

X(i,i)=X(i,i)+0.0000001*X(i,i);

end

end

end

B=inv(X)*x'*y

得到参数：

B =-0.0144

1.0963

-0.2144

-40.1025

-11.7325

74.5014

-1.1028

作估计：Y=x*B

得到1994，1999，2004年的估计值：

Y =1.0e+004 *

1.2661

1.3848

1.9382

对09年作预测：

x09=[19382.93 13846.75 12660.4 667.97 584.42 553.92 517.18]

y09=x09*B

得到预测值：

y09 = 1.9241e+004

误差：E=y-Y

E = -0.2213

-0.8222

0.9311

并求总误差

n=4时对1999和2004年作估计，对09年作预测：

x=[12660.4 11245.65 10137.63 9874 553.92 517.18 437.59 403.72 342.89 13846.75 12660.4 11245.65 10137.63 584.42 553.92 517.18 437.59 403.72] y=[13846.75 19382.93]’;

Y = 1.0e+004 *

1.3847

1.9383

x09=[19382.93 13846.75 12660.4 11245.65 667.97 584.42 553.92 517.18 437.59]; y09=x09*B

y09 =2.0209e+004

n=5时对04年作估计，对09年作预测： x1=[13846.75 12660.4 11245.65 10137.63 9874 584.42 553.92 517.18 437.59 403.72 342.89]; y1=[19382.93]; Y =1.9383e+004

x09=[19382.93 13846.75 12660.4 11245.65 10137.63 667.97 584.42 553.92 517.18 437.59 403.72]; y09 =2.1969e+004

通过比较找出合适的n 。 （x,y 的确定和最小二乘法） 系统辨识

1、最小二乘法

考虑如下多元线性回归:

要求的参数使下式达到最小就可:

这时有:

(1)式就为: ?????

??++++=++++=++++=np p n n n

p p p p x

b x b x b b y x b x b x b b y x b x b x b b y L L

L L 22110222221102112211101

min

)(12110→----=∑

=n

i ip p i i x b x b b y Q L ?

???????

?==-----=??=-----=??∑∑==p

j x x b x b b y b Q

x b x b b y b Q

n i ij ip p i i j n

i ip p i i ,,2,10)(20

)(211101

1100L L L )1(112

1111

01

11112

111101

11110???

?????

???=+++=+++=

+++?∑

∑∑∑

∑

∑∑∑∑

∑

∑

===========n i i ip n i ip p n i i ip n i ip n

i i

i n i ip i p n i i n i i n

i i

n

i ip p n

i i y x x b x x b x b y x x x b x b x b y x b x b n b L L L L ???

???

?

???????=np n n p p x x x x x x x x x X L M M M M M L L 2122221

11211111??????????????=????????????=p n b b b B y y y Y M M 1021,Y X XB X ''=Y X X X B

'1')(?-=?

这就是最小二乘公式.

实例:三次趋势预测

X=[1 -4 16 -64 Y=[39 -150 -134 …]’; B=[a b c d]’; 1 50 502 503 1 … … …

. ]9×4 2、马尔克夫过程（无后效性，即X 在tn 时刻的状态只与t n-1时刻有关，与其他时刻无关。）

2.转移概率函数

给定马氏过程 ,条件概率 称为马氏过程的转移概率函数。马氏过程中X(t)的取值x 称为状态, X(t)=x 表示。过程在时刻t 处于状态x,过程所有取值的集合。 称为状态空间。 3.离散参数马氏链

1)设 为随机序列,状态空间为 如果对任意非负整数k 及 以及 有下式成立:

则称 为离散参数马氏链. 2)定义:设 为离散参数马氏链 , 称条件概率

为马氏链在m 时刻的k 步转移概率。

k 步转移概率:质点在m 时刻处于状态i,再经过K 步(k 个单位时间)处于状态j

3

2}0),({≥t t X }

)(|)({),;,(x s X y t X P y x t s p =<=},)(:{T t x t x x E ∈==},2,1,0),({L =n n X },2,1,0{L =E m n n n l <<<

)(|)({})(,)(,,)(|)({11m k m m l l k m i m X i k m X P i m X i n X i n X i k m X P ==+=====+++L },2,1,0),({L =n n X },2,1,0),({L =n n X })(|)({),(i m X j k m X P k m p ij ==+=

的条件概率。

例子:

A,B,C 三家毛巾厂市场销售占有率预测

毛巾是生活必需品,故假定其平均使用期为1年因此,3家毛巾厂每年的总小量是常数,引起

:

1)齐次马氏链的性质 性质1:齐次马氏链 的转移矩阵 满足C —K 方程:

写成矩阵的形式是: },2,1,0),({L =n n X )(k p ij )()()(l p k p l k p rj E

r ir ij ?=+∑

∈)

()()(l P k P l k P =+

从时刻s 的状态X(s)=i 到时刻s+k+l 的状态X(s+k+l)=j 分成2个阶段 性质2:齐次马氏链的n 步转移矩阵等于1步转移矩阵的n 次方,即 定义5:给定齐次马氏链 称 即 的概率分布,为齐次马氏链的初始分布.

定义6:给定齐次马氏链，称 即 的概率分布,为齐次马氏链的绝对分布. 性质3:绝对分布由初始分布与转移概率确定,且 定义7: 为齐次马氏链,如果对一切状态i 和j,存在与i 无关的极限

则称此齐次马氏链具有遍历性,且 为齐次马氏链的极限分布或最终分布。

性质5:齐次马氏链 的状态空间 为有限,若存在正整数n0,对任意的 ,有 ,则称此链具有遍历性,

且极限分布 是方程组

在满足条件 下的唯一解。

性质6:齐次马氏链具有遍历性,则 遍历齐次马氏链的绝对分布与转移概率有相同的极限.

证明:

定义8: 是齐次马氏链,若存在 满足下列条件:

(1) (2)

(3)

则称此链是平稳的,称 为此链的平稳分布。 性质7:遍历齐次马氏链的极限分布是平稳分布 证明:由遍历性得 由C-K 方程得

n

P n P =)(}

,2,1,0),({L =n n X )}()0({E i i X P p i ∈==)0(X ∑

∈=∈=E i i i p E i p P 1

),,(~

0)

}()({)(E i i n X P n p i ∈==)(n X ∑

∈=∈=E i i i n

n p E i n p P 1

)(),),((~

n n E i ij i j P

P P n p p n p ~

0~,)()(==∑

∈},2,1,0),({L =n n X ),(0)(lim E j i n p j ij n

∈>=∞→π1

=∑∈E j j π

},{E j j ∈π∑

===s

i ij i j s j p 1

),,2,1(,L ππ1

,01=>∑

=s j j j ππ},2,1,0),({L =n n X }

,,2,1{s E L =E j i ∈,0)(0>n p ij j π)()(lim E j n p j j

n ∈=∞→πj

E i i j E i j i E i ij n i j n E i ij i j p p n p p n p n p p n p πππ====?=∑

∑∑∑

∈∈∈∞→∞→∈)(lim )(lim )

()(},2,1,0),({L =n n X },{E j v j ∈E j v j ∈≥,01

=∑

∈E j j v ∑

∈=E

i ij

i j p v v },{E j v j ∈j

ij n n p π=∞

→)(lim

令 由平稳分布的定义知性质成立。

例:设有6个球(其中2个红球,4个白球)分别于A,B 两个盒子中,每盒放3个,今每次从2个盒子中各取一个球并进行交换,以X(0)表示开始时A 盒中的红球个数,X(n),n=1,2,…,表示经n 次交换后甲盒的红球个数。{X(n),n=0,1,2,…,}为齐次马氏链，状态空间E={0,1,2} 求初始分布,转移矩阵,遍历性,极限分布,平稳分布,绝对分布。 3、灰色预测 一.灰色模型

二.模型辨识

1.数据的累加(AGO)与累减(IAGO)生成处理

对原始数据进行累加生成新的数据列,可以弱化原始数据反映系统行为的随机性

一般来说累加多次效果不好,所以常加一次。

∑∈=+E r rj ir ij p n p n p )()1(∞→n ∑

∈=E

r rj

r j p ππ

3.估计GM(n,h)的参变量

∑∑=--=+?-?-=?m

j j j n i n n i i n t x b t x a t x a t x 1

)1()1(00)1(011

)1(0)

()()]([)(?

???

?????-?-=????

??

?

????????-?-?-?-?-?-?-?-?-=------)3()3()3()2()2()2()()()()3()3()3()2()2()2()

1()1(1)1(00)1()1(1)1(00)

1(01)1(02)1(01)

1(01)1(02)1(01)

1(01)

1(02)1(01x x x x x x B T x T x T x x x x x x x A m m n n n n n n M M M M L

L

L M

M M M L L

例:GM(1,2)

原始数据：

X 0=(2.874，3.278，3.307，3.390，3.679) X 1=(7.040，7.465，8.075，8.530，8.774)

要求求出模型参数。 对x0，x1作一次累加：

x0 x1 2.874 7.04 2.874 7.04 3.278 7.465 6.152 14.505 3.307 8.075 9.459 22.58 3.39 8.53 12.849 31.11 3.679 8.774 16.528 39.884

Y 3.278 3.307 3.39 3.679 得到B ，即为公式中C

B -4.513 14.505 -7.8055 22.58 -11.154 31.11

-14.6885

39.884

由

得到，即a 1=2.355，b 1=0.9578

a 2.355 0.9578

根据公式对x0,x1进行估计，并进行累减，得到下表：

0 2.874

1 5.612233 2.738233

1

1110110x b x a dt

dx =+

2 9.126677 3.514443

3 12.64437 3.517689

4 16.2201 3.575739

另，GM(1,1)模型

线性规划

线性规划问题的提出—最大限度利用有限资源

定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划（LP）。

问题:某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗量，见表1-1。该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利润2元，每生产一件产品Ⅱ可获利润3元，问应如何安排生产计划使该工厂获得的利润最大？

2、线性规划模型的特点：

(1)用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量.

(2)存在一定的限制条件，且为线性表达式.

(3)有一个目标要求（最大化，也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数.

(4)对决策变量有非负要求

3、LP的标准型

α目标函数约定是极大化Max（或Min）;

α约束条件均用等式表示;

α决策变量限于取非负值;

α右端常数b均为非负值;

（1）目标函数的标准化

MinZ=CX Z’=-Z MaxZ’=-CX

（2）约束条件的标准化

& 约束条件是≤类型

——左边加非负松弛变量

& 约束条件是≥类型

——左边减非负剩余变量

& 变量符号不限，即xi无约束

——引入新变量

单纯形法的基本思想 (1)、顶点的逐步转移

即从可行域的一个顶点（基本可行解）开始，转移到另一个顶点（另一个基本可行解）的迭代过程，转移的条件是使目标函数值得到改善（逐步变优），当目标函数达到最优值时， 问题也就得到了最优解。 (2)．需要解决的问题：

第一:为了使目标函数逐步变优，怎麽转移？ 第二:目标函数何时达到最优—— 判断标准是什麽？

二、单纯形法原理（用代数方法求解LP ）

maxZ=2x1+3x2

第一步：引入非负的松弛变量x3,x4,x5, 将该LP 化为标准型

121

21228416

412, 0x x x x x x +????

???≤≤≤≥1234512314max 2300028416Z x x x x x x x x x x =++++++=??

+=?

第二步：寻求初始可行基，确定基变量

对应的基变量是 x3 x4 x5。

第三步：写出初始基本可行解和相应的目标函数值 两个关键的基本表达式：

①用非基变量表示基变量的表达式

→

②用非基变量表示目标函数的表达式

第四步：分析两个基本表达式，看看目标函数是否可以改善？ ① 分析用非基变量表示目标函数的表达式

非基变量前面的系数均为正数，所以任何一个非基变量进基都能使Z 值增加 通常把非基变量前面的系数叫“检验数”； ② 最大正检验数对应的非基变量优先进基。

③ 确定出基变量：由用非基变量表示基变量的表达式

当x2的值从0增加到3时，x5首先变为0，此时x5=12到0。因此选x5为出基变量（换出变量），称为 “最小比值原则”（或θ原则）。

④基变换:新的基变量——x2, x3,x4；新的非基变量x1, x5 ；写出用非基变量表示基变量的表达式,可得新的基本可行解X （1）=（0,3,2,16,0）T ⑤ 写出用非基变量表示目标函数的表达式

:

可得相应的目标函数值为Z （1）=9。若检验数仍有正的，返回①进行讨论。

当用非基变量表示目标函数的表达式中，非基变量的系数（检验数）全部非正时，当前的基本可行解就是最优解!原因：用非基变量表示目标函数的表达式，如果让负检验数所对应的变量进基，目标函数值将下降！

（2）表格设计依据：将-Z 看作不参与基变换的基变量，把目标函数表达式改写成方程的形

1234512100()400100400

1????==??????

，，，，A P P P P P 3124152

82164124x x x x x x x =--=-=-3124152

82164124x x x x x x x =--=-=-

式，和原有的m 个约束方程组成一个具有n+m+1个变量、m+1个方程的方程组，取出系数写成增广矩阵的形式：

-Z ，Xn+1，…，Xn+m 所对应的系数列向量构成一个基

增广矩阵的最后一行就是用非基变量表示目标函数的表达式, (j=1,2,…,n)就是非基变量的检验数。

3）检验数的两种计算方法：

①利用矩阵的行变换，把目标函数表达式中基变量前面的系数变为0； ②使用计算公式—— 为换入变量。

Matlab 求解线性规划

[x,fval]=linprog(c,a,b,[],[],Ib)

[x,fval]=linprog(c,a,b,Aeq,beq,Ib,ub,x0)X0:迭代初值

k k j x ,)0max(σσ=>

l lk

l ik ik i x a b

a a

b ,)0|min(=>=θn j z

c P C c a c c j j j B j m

i ij i n j j ,,2,1,1 ==-=-=-=+∑

σ

如c=[-2 -3];a=[1 2;4 0;0 4]; b=[8 16 12]’;Aeq=[];beq=[];Ib=zeros(3,1);

案例:某城市的一个工业小区有两个燃煤电厂和一个水泥厂。发电厂每烧1t煤排放粉尘95kg；水泥厂每生产1t水泥排放85kg粉尘。为保证该市用电要求和水泥需要量，两个发电厂每年的燃煤量分别为40万t和30万t；水泥厂年产量为25万t 。根据该市环境目标的要求，该区域内尘的排放量需削减80％，现有5种控制方法可以采用。对每个污染源，可行的控制方法及其相应费用列于下表,那么究竟采用何种控制措施，才能以最小治理费用达到环境目标的要求。

Xij为第i污染源在第j种控制方法下的燃煤量或生产水泥量,Xi0为不经过控制处理的煤或水泥量.

对偶理论

某工厂生产A、B两种产品，其成本决定于所用的材料．己知单位产品所需材料量、材料日供应量及单价如下表所示，若每生产A或B产品一个单位，所需生产费用同为30元，又A、

才能使所获总利润最大？

A产品的单位材料成本为1.00*6+2.30*4+14.6*3=59 ，单位利润为:120-59-30=31(元)

B产品的单位材料成本1.00*2+2.30*10+14.6*5=98，单位利润为:150-98-30=22(元)

设工厂日产A、B产品分别为x1,x2单位，可获利润为z，则:Max Z=31*x1+22*x2

6*x1+2*x2≤180

4*x1+10*x2≤400

3*x1+5*x2≤210

x1≥0,x2≥0

以上是原问题,下面研究下它的对偶问题:

问题的提出:

(1).假设工厂既可用材料a ，b ，c 生产产品A ，B,也可不生产产品而转手出售材料获利． (2).产品投入市场销售可得一定的利润(单利A 为31元，B 为22元)．但如果正逢产品 滞销而材料却为紧缺，则可将材料直接出售给愿出高价的急需者。也许获利会更丰厚或 至少一样.

今y1，y2，y3为出售材料a ，b ，c 的单位利润(售价与成本之差)．按工厂经营原则，决策者当然要求出售原来用于一个单位产品的材料数量所获利润不能低于制成产品销售后所获利润，于是有如下约束条件： 6*y1+4*y2+3*y3≥31 2*y1+10*y2+5*y3≥22 (y1,y2,y3≥0)

Z=180*y1+400*y2+210*y3

最低利润无疑是工厂可以接受的竞争力最强的条件，因此应是一个目标函数Z 求最小值的优化问题.

Min

Z=180*y1+400*y2+210*y3

2、对称形式的对偶关系

如果原问题约束含有≥,可乘-1变为≤。 3、非对称形式的对偶关系：

4、对偶单纯形

对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始线性规划的一种方法——在原始问题的单纯形表格上进行对偶处理。注意：不是解对偶问题的单纯形法！

单纯形法求解的过程，从对偶的观点来看，是在始终保持对偶可行解的条件下，不断改进原始可行性的过程。一个从对偶不可行的解，经过几次叠代，逐步向对偶可行解靠拢，一旦得到的解既是原始可行的，又是对偶可行的，这个解就分别是原始问题和对偶问题的最优解。 初始可行基（对应一个初始基本可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基本可行解），直至所有检验数≤0, b 列≥0为止。 计算步骤：

①建立初始单纯形表，计算检验数行。

②基变换：

先确定换出变量——b 列中的负元素（一般选最小的负元素）对应的基变量出基；即 出基，相应的行为主元行。 然后确定换入变量——原则是：在保持对偶可行的前提下，减少原始问题的不可行性。 如果

(最小比值原则),则选

为换入变量 , 相应的列为主元列 , 主元行和主元列交

叉处的元素

为主元素。

③按主元素进行换基迭代（旋转运算、枢运算），将主元素变成1，主元列变成单位向量，得到新的单纯形表。继续以上步骤，直至求出最优解 例:对偶单纯形法（初始解原始不可行的问题）

{}

l l i i i

x b B b B b B ,)(0)()(min 111---=<'''0min lk k k lj lj j j j a z c a a z c -=??

????????<-

已获得最优解：

（x1, x2, x3, x4, x5, x6）=（5, 7, 6, 0, 0, 0） min z=35 对偶问题的最优解为：

（w1, w2, w3, w4, w5, w6）=（1, 5, 7, 0, 0, 0） max y=35

系统分析：

2225324..23min 3

2

1

32

1321321321≥≥+-≥-+-≤+-++=

x x x x x x x x x x x x t s x x x z 0

2225324..23max 6

5

4

3

2

1

6

32

1

5

3214

321321

≥=-+-=--+-=++----=-x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x z