线性代数第六章二次型试题及答案

第六章二次型

一、基本概念

n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为

f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12

+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22

+2a 23x 1x 3+

…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2

=212n

ii i ij i j i i j

a x a x x =≠+∑∑.

它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A

????

? ?????????

??==∑∑==n nn n n n n n n i n

j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ

ΛΛΛ212

122221112112111

21),,(),,(

记[]T

x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T

称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.

注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T

=，此时二次

型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，

也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.

标准二次型只含平方项的二次型，即形如2

222211n n x d x d x d f +++=Λ

称为二次型的标准型。

规范二次型形如2

1q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系

对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为

它们的齐一次线性函数

????

?+++=+++=+++=n

nn n n n n

n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵

c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …

c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =

Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===

记AC C B T =，则B B T

=，从而BY Y f T

=。

由AC C B T

=知，两个n 阶对称矩阵A 与B 合同且r(A)=r(B)

定理1：二次型AX X f T

=经可逆线性变换CY X =后，变成新的二次型

BY Y f T =，它的矩阵AC C B T =且)()(B r A r =

定理2：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同.

三、正交变换化二次型为标准型

定理3：对实二次型AX X f T

=，其中A A T

=，总有正交变换QY X =，使2

222211)(n n T T T T y y y Y Y Y AQ Q Y AX X f λλλΛ++=Λ===

其中

?????

???

?=Λn λλλO

1，λ为f 的矩阵A 的特征值。

因为Q 是正交矩阵，则AQ Q AQ Q B T 1

-==，即经过二次型变换，二次型矩阵不仅合同而且相似。

将二次型f 用正交变换化为标准形的一般步骤为：（1）写出二次型f 的矩阵A

（2）求出A 的全部相异特征值m λλλΛ,,21，对每一个特征值求出其线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面两两正交的单位向量作为列向量，排成一个n 阶方阵Q ，则Q 为正交阵且Λ==-AQ Q AQ Q T

为对角阵。（3）作正交变换QY X =，即可将二次型化为只含平方项的标准型

四、配方法(略,见例). 五、惯性定理和惯性指数

定理4：若二次型AX X f T

=经过可逆线性变换化为标准形，则标准型中所

含平方项的个数等于二次型的秩。

定理5：一个二次型所化得的标准二次型虽然不是唯一的,但是它们的平方项

的系数中,正的个数和负的个数是确定的,把这两个数分别称为原二次型的正惯性指数和负惯性指数，这个定理称为惯性定理

一个二次型所化得的规范二次型221

p p p

x x ++--+ΛΛ在形式上是唯一

的,称为其规范形，其中的自然数p,q 就是原二次型的正,负惯性指数。

性质1：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.)

性质2：由正交变换法看出, 实对称矩阵A 的正(负)惯性指数就是它的正(负)

特征值的个数.

六、正定二次型和正定矩阵

定义1：如果当x 1,x 2,…,x n 不全为0时,有f(x 1,x 2,…,x n )>0，称二次型f(x 1,x 2,…,x n )称为正定二次型

如果实对称矩阵A 所决定的二次型正定,则称A 为正定矩阵, 于是A 为正定矩阵也就是满足性质:当X

0时,一定有X T

AX >0，且A 一定是是对称矩阵。

二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的. 即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变.

(2)性质与判断

实对称矩阵A 正定合同于单位矩阵. 即存在可逆矩阵Q 使T

Q AQ E =，或者存

在可逆矩阵P ，使得A EP P T

对任意可逆矩阵C ，AC C T

正定（即合同的矩阵，有相同的正定性）。

A 的正惯性指数等于其阶数n. A 的特征值都是正数. A 的顺序主子式全大于0.

顺序主子式:一个n 阶矩阵有n 个顺序主子式,第r 个(或称r 阶)顺序主子式即

A 的左上角的r 阶矩阵A r 的行列式|A r |.

判断正定性的常用方法: 顺序主子式法,特征值法,定义法.

?=0A A 不可逆

?n A r π)(

?Ax=0有非零解 ?0是A 的特征值

?A 的列（行）向量组线性相关

A是n阶可逆矩阵：

A≠（是非奇异矩阵）；

?()

r A n

=（是满秩矩阵）

?A的行（列）向量组线性无关；

?齐次方程组0

Ax=只有零解；

b R

?∈，Ax b

=总有唯一解；

?A与E等价；

?A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

?A的特征值全不为0；

?T A A是正定矩阵；

β可由α

，α2,…，αn惟一线性表示

β=x1a1+x2α2+…+x nαn

?Ax=β有惟一解x=(x1,x2,…,x n)T,

A=(α1,α2,…,αn)

?r(A)=r(A Mβ)=n

?|A|≠0

?Ax=0只有零解

?λ=0不是A的特征值

AB=0?A(b

,b2,…, b s)=0, B=( b1, b2,…, b s)

?Ab j=0, j=1,2,…,s

?b1,b2,…,b s均为Ax=0的解(?r(A)+r(B)≤n)

?若b j≠0且A为n阶方阵时，b j为对应特征值λj=0的特征向量

?A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。

AB=C?A(b

, b2,…, b r)=(C1, C2,…, C r)

?Ab j=C j,j=1,2,…,r

?b j为Ax=C j的解.

?C1, C2,…, C r可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.

[?r(C)=r(AB)≤r(A)或r(B)]

?C的行向量组可由B的行向量组线性表示。

例题

一、概念型题

1.写出二次型

)

=的矩阵

A 2题答案：

2.二次型

)

=的矩阵是______。3.矩阵

A对应的二次型是______。

答案：

4.已知二次型

)

(

)

=经正交变

换x=Py可化成标准型2

f=，则a =

解：

5.已知二次型

x T+

=的秩为2，（2，1，2）T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准型是

解：二次型对应的矩阵A为：

()

→

()b

因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以

，2

,3=

()()?=-+=-036λλλλE A 6,3,0321-===λλλ，22

2163y y f -= 二、化二次型为标准型

1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数，然后写出其

规范形。

（1）3231212

32221321222),,(x x x x x x x x x x x x f -++-+=

解：先集中含有x 1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x 2的项，凑成完全平方

322

3223121213212)22(),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=

=()322

3223223222

32122x x x x x x x x x x x --+---++

()()2

322

32122x x x x x x ++-++=

设?????-==-=??????==+=++32332211322321321y y x y x y y x y x y x x y x x x ，????

????????????????--=??????????321321110100011y y y x x x ，Qy x = 标准型：2

3222122y y y f +-=，正惯性指数：2=p ，负惯性指数：1=q 规范性：2

32221z z z f +-=

(2) f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22

+2x 1x 2-2x 1x 3+2x 2x 3.

解：f(x 1,x 2,x 3)= （x 12

+2x 1x 2-2x 1x 3）+2x 22

+2x 2x 3=()()2

32232152x x x x x x -++-+

设??

???==+=-+332

321

3212y x y x x y x x x ，Cy x =，标准型：2

322215y y y f -+= 正惯性指数：2=p ，负惯性指数：1=q ，规范性：232221z z z f -+=

(3) f(x 1,x 2,x 3)= -2x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3.

解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换：

?????=+=-=332122

11y x y y x y y x ，Cy X =，????

??????-=100011011C ，()2

22231222y y y y f ++--= 设：3322311,,y z y z y y z ==-= ，

z z C y ??

?????==1000101012 标准型：232221222z z z f ++-=，规范性：2

32221z z z f ++-=

2.设二次型f(x 1,x 2,x 3)=X T AX =ax 12+2x 22-2x 32

+2bx 1x 3,(b>0)，其中A 的特征值之和为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x 1,x 2,x 3)为标准型。解：二次型的矩阵：

?????-=200200b b a A ，因为122=-+a ， 212242-=?-=--=b b a A

（2）()

()3,20323212

-===?=+-=-λλλλλλE A

()T 0,1,02

11==αλ ()T 1,0,22=α ()T 2,0,13

33-=-=αλ

因为它们已经两两正交，所以只需要单位化。

()()()T T

2,0,15

11,0,25

110,0321-=

=ηηη

()321,,ηηη=Q 2332222111y y y AQ Q AQ Q T λλλ++==-

3.已知二次型f(x 1,x 2,x 3)=(1-a)x 12+(1-a)x 22+2x 32

+2(1+a)x 1x 2的秩为2.

(1)求a.(2)求作正交变换X =QY ,把f(x 1,x 2,x 3)化为标准形. (3)求方程f(x 1,x 2,x 3)=0的解.

解：本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等多个

知识点，特别是第三部分比较新颖。

二次型的矩阵A 为：????

?????-++-=200011011a a a a A ， 020*******=-++-=a a a a A 得a=0

这里????

?????=200011011A ，可求出其特征值为0,2321===λλλ

解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：()()1,0,0,0,1,121==αα 解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：()0,1,13-=α 由于21,αα3α已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：

()()()0,1,12

1,1,0,0,0,1,12

1321-=

ηηη

令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，

可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222

221y y +

（III ）由),,(321x x x f ==+2

22122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常

数）.

从而所求解为：x=Qy=[]????

?????-==??????????000332

1c c k k ηηηη，其中c 为任意常数。 4. 设二次型()()2

1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22

12y y +，求a 的值。

Ⅱ）若规范形为22

12y y +，说明有两个特征值为正，一个为0。则

若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合

若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =

5. 已知向量T )0 ,1 ,1(-=α是二次型

3231212

321321222),,(x bx x x x x x ax Ax x x x x f T ++-+==的矩阵A 的特征向量，求正交变

换化该二次型为标准型。

解

:???

??--=110111b b a A Θ，又因为T )0 ,1 ,1(-=α是A 的特征向量， ∴设α所对应的特征值为λ，有

λαα=A 。

即?

??-=????? ??-????? ??--011011110111λb b a ，

????? ??-=????? ??--+∴0111λλb a ，即?????=--=-=+0111b a λλ 。 ??

???===∴101

b a λ，则

????? ??--=111101110A 。计算A 的特征多项式)3)(1(2--=-λλλA E ，则A 的特征值为11=λ，32=λ，33-=λ，其基础解系为T )31 ,1 ,1(+=βT )31 ,1 ,1(-=γ。

因为γβα、、已经正交，所以只需要把它们单位化。

令T

P ???

??=γγββαα,

,??????????

? ?

--++-+-

-+=3

26313

2631032613261213261326121，则P 为正交矩阵，作正交变换py x =，得

)()(py A py Ax x f T T ==y Ap p y T T )(==2

3222133y y y -+。

解：

3412=?+=+a a

101013011

11113112=???

??????---→??????????=b b b b b b b A ，

因为3个向量已经正交，只需要将其

单位化

三、关于正定的判断

1.判断3元二次型32212

32221445x x x x x x x f -+++=的正定性

解：??

?????--=120252

A ，用顺序主子式判断大于0，所以是正定的。 2.当____时, 实二次型3231212

322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=是正定的.

解： ????

??????--=5212111t t A , 01112>-=t t t , 所以 1||

且 0545

1211

>--=--t t t t , 05

,0452

<<-<+t t t

所以, 当 05

4<<-t 时, 二次型是正定的.

3.设n 阶实对称矩阵A 特征值分别为1, 2, …, n , 则当t ___时, A tE -是正定

的.

解：A tE -的特征值为n t t t ---,,2,1Λ. 若A tE -是正定的, 则

0,,02,01>->->-n t t t Λ

4.设A 是3阶实对称矩阵，满足022

=+A A ，并且r(A )=2. (1) 求A 的特征值.（2）当实数k 满足什么条件时E kA +正定解：()2,002022

-==?=+?=+λλA A A A

因为(),2=A r 所以特征值为0，-2，-2 (2) E kA +的特征值为1,1-2k,2

1021<

?>-k k 5. 2

3212322321321)3()32()2(),,(ax x x x x x ax x x x x f +++++-+=

已知上述二次型正定，则a 的取值为

解：),,,(321x x x f 当321,,x x x 不全为0时，二次型正定。 02321=-+x ax x ，03232=+x x ，03321=++ax x x

若321,,x x x 同时全为0，即齐次线性方程组只有0解，此时1,0≠≠a A 即1=a 时，三个平方项不全为0，二次型正定。

解：由已知可得，对于任意的n x x x ΛΛ21,，有

()0,21≥n x x x f ΛΛ，其中等号仅当以下等式同时为0时成立，

此方程组仅有0解的充要条件是其系数行列式不为0，

()0,21≥n x x x f ΛΛ

7.已知A 是n 阶可逆矩阵，证明A A T

是对称、正定矩阵。

证明：()

A A A

A T T

T =，所以A A T 是对称矩阵。

若A A T

正定，则A A T

=EA A T

，所以A A T

与E 合同合同矩阵有相同的正负惯性指数，所以A A T

是正定矩阵。

（2）因为A 是可逆矩阵，所以0≠A ，0=Ax ，当0≠A 时，只有0解。所以00≠?≠x Ax ，()()()()0>?==Ax Ax Ax Ax x A A x T

所以A A T

正定。

8.设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B 为n m ?实矩阵，T

B 为B 的转置矩阵，

试证：AB B T

为正定矩阵的充分必要条件是()n B r =。

证明：必要性，设AB B T

为正定矩阵，对任意的实n 维列向量0≠x ，

()

()()000≠?>?>Bx Bx A Bx x AB B x T

T T ，即0=Bx 只有0解，()n B r =

充分性，()

AB B B A B AB B T T T T

T ==，AB B T 为实对称矩阵，()n B r =，所以

0=Bx 只有0解，对任意0≠x ，0≠Bx ，又因为A 为正对称矩阵，所以 0≠Bx ，()()0>Bx A Bx T

，()()()0>=x AB B x Bx A Bx T T T

，0≠x ，

所以AB B T 为正定矩阵。

9.设A 为n m ?实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T

+=λ，试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵。

证明：B A A E A A E B T

=+=+=λλ)(，所以A 为n 阶实对称矩阵对于任意的实n 维向量x ，(

)

Ax A x x x x A A E x Bx x T

T T T

+=+=λλ

()()Ax Ax x x T

+=λ，当0≠x 时，0>x x T

，()()0≥Ax Ax T

，

当0>λ时，任意的0≠x ，有()

()0>+=Ax Ax x x Bx x T

T λ，

所以B 为正定矩阵。

矩阵的合同、相似、等价都有自反性，对称性，传递性。

矩阵A 与B 等价记作：A B =%

?A 经过有限次初等变换化为B ，即A 与B 是同型矩阵 ?)()(B r A r =?存在可逆矩阵P 与Q ，使得PBQ A = A 与B 合同，记为A ≌B

?存在n 阶可逆阵P 使得B AP P T =，即A 与B 都是方阵 ?Ax x T 与Bx x T 的正、负惯性指数相等. ?()()r A r B = ?合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定合同矩阵A 与B 相似，记作A ∽B ，

?存在n 阶可逆矩阵P 使P 1AP B ，即A 与B 都是方阵?()()r A r B = ?相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。

?相似的实对称矩阵一定合同，但合同的对称矩阵不一定相似。

因为实对称矩阵的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数，相似的矩阵

有相同的特征值，所以相似的实对称矩阵有相同的正,负惯性指数，所以相似的实对称矩阵一定合同。

对任意实对称矩阵A 都存在正交矩阵P ，使Λ==-AP P AP P T

，即任意实对称矩阵都和对角阵即相似又合同。

若矩阵不是实对称矩阵，相似的矩阵不一定合同，合同的矩阵也不一定相似。

相似的矩阵一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩阵不一定等价。特征值相同的实对称矩阵A 和B 一定相似，因为实对称矩阵都能相似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根据相似的传递性，A 和B 一定相似。

特征值相同的普通矩阵A 和B 可能相似，也可能不相似。若A 和B 都能相似对角化，一定相似。

若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。若都不能对角化，可能相似，也可能相似。例题：已知矩阵A 和B ，判断能否相似，

?????---=063010162A ??????????--=300032121B

A 和

B 有相同的特征值，A 能对角化，B 不能对角化，所以A 和B 不相似。

??????????------=786675161613A ??

?????-=300010011B ??????????---=112111234P AP P B 1-= A 和B 有相同的特征值，都不能相似对角化，但是A 和B 相似。 1.设????

??=21A ，B=??

????43，判断A 与B 是否等价、相似、合同。 2. 1 1 1 1 4 0 0 0

A = 1 1 1 1 ,

B = 0 0 0 0 , 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

判断A 与B 是否等价、相似、合同。

解：根据指示点，两个实对称矩阵若相似，则必合同，又r (A )=1，其特征值为，显然A 、B 为实对称矩阵，且A ~B ，于是A 与B 也合同。

当A 、B 为实对称矩阵时，若A ~B ，则A 、B 有相同的特征值?x T

Ax 与x T

Bx 有

相同的正负惯性指数?A 与B 合同.但若A 、B 为非对称矩阵，则A 与B 不合同（合同矩阵必为对称矩阵）. 3.已知A=????????

??444

，B=??????????000140014，C=??

?????200022022，试判断A ，B ，C 中那些矩阵相似，那些矩阵合同。

4.设矩阵???

?? ??------=211121112A , ??

??=000010001B , 则A 与B

(A)合同, 且相似.(B) 合同, 但不相似 (C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又

不相似

解：0,30321===?=-λλλλE A ，特征值不同，不相似，但是有相同的

正负惯性指数。 5.设1221A ??

???

则在实数域上与A 合同矩阵为（） ()A 2

2-??

?-??

. ()B 2112-?

-??

. ()C 2112??

???

. ()D 1

221-??

-??

解：D 有相同的正负惯性指数。

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题一．单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化为规范型。 ( × )

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为（） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则（） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与（） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似（D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系是。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为。

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （密） … … … … … … … … … … … … （封） … … … …… … … … … … … … （线） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个）二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ）（A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例（B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例（C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例（D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于（ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数第五章答案

第五章相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）

线性代数第五章作业参考答案(唐明)

第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求：（1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-

线性代数期末考试试卷答案

线性代数期末考试题样卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设均为3阶矩阵，且，则。解：答案：72 因为，且

所以例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。解：答案：A 因为，所以A可进行。关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。例3 已知求。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得。

例4 设矩阵求。解：方法一：伴随矩阵法可逆。且由得伴随矩阵则=

方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵求的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解：。

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）（A ）任意r 个列向量线性无关

上海财经大学《线性代数》课程考试卷(B)及答案

诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。上海财经大学《线性代数》课程考试卷（B ）闭卷课程代码 105208 课程序号姓名学号班级一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装订线…………………………………………………

8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。（A ）充分必要条件；（B ）充分条件；（C ）必要条件；（D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。（A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+