大学物理静电场习题答案
第12章 静电场
P35．
12．3 如图所示，
在直角三角形ABCD 的A 点处，有点电荷q 1 = 1.8×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = -4.8×10-9
C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，试求C 点的场强．
[解答]根据点电荷的场强大小的公式
22
014q q
E k r r ==
πε， 其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m 2·C -2．
点电荷q 1在C 点产生的场强大小为
1
12
01
4q E AC =
πε 9
94-1
22
1.810910 1.810(N C )(310)
--?=??
=???， 方向向下．
点电荷q 2在C 点产生的场强大小为
222
0||
1
4q E BC =
πε 99
4-1
22
4.810910 2.710(N C )(410)
--?=??=???， 方向向右．
C 处的总场强大小为
E =
44-110 3.24510(N C )==??，
总场强与分场强E 2的夹角为
1
2
arctan
33.69E E ==?θ．
12．4 半径为R 的一段圆弧，圆心角为
60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．
[解答]在带正电的圆弧上取一弧元 d s = R d θ，
电荷元为d q = λd s ，
在O 点产生的场强大小为
22
0001d 1d d d 444q s E R R R
λλ
θπεπεπε=
==， 场强的分量为d E x = d E cos θ，d E y = d E sin θ．
对于带负电的圆弧，同样可得在O 点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x 方向
的合场强为零，总场强沿着y 轴正方向，大小为
2d sin y L
E E E ==?θ
/6/6
000
0sin d (cos )22R R ==-?ππλλθθθπεπε
0(12R
=λπε．
12．5 均匀带电细棒，棒长a = 20cm ，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m -1，求：
（1）棒的延长线上与棒的近端d 1 = 8cm 处的场强；
（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d 2 = 8cm 处的场强．
[解答]（1）建立坐标系，其中L = a /2 = 0.1(m)，x = L+d 1 = 0.18(m)．
在
细棒上取一线元d l ，所带的电
量为d q = λd l ，
根据点电荷的场强公式，电荷元在P 1点产
图
13.1
生的场强的大小为
122
0d d d 4()
q l
E k r x l ==-λπε 场强的方向沿x 轴正向．因此P 1点的总场
强大小通过积分得
12
0d 4()L L l E x l λπε-=-?
014L
L
x l
λπε-=
-
011()4x L x L
λπε=--+ 2201
24L x L λ
πε=
-． ①
将数值代入公式得P 1点的场强为
8
9
122
20.13109100.180.1
E -???=??- = 2.41×103(N·C -1)，
方向沿着x 轴正向．
（2）建立
坐标系，y = d 2． 在细棒上取一线元d l ，所
带的电量为 d q = λd l ，
在棒的垂直平
分线上的P 2点产生的场强的大小为
222
0d d d 4q l
E k
r r
λπε==， 由于棒是对称的，x 方向的合场强为零，y
分量为 d E y = d E 2sin θ．
由图可知：r = d 2/sin θ，l = d 2cot θ， 所以 d l = -d 2d θ/sin 2θ， 因此 02
d sin d 4y E d λ
θθπε-=，
总场强大小为
02
sin d 4L
y l L
E d λθθπε=--=
?
02
cos 4L
l L
d λθπε=-=
L L
=-=
=
． ②
将数值代入公式得P 2点的场强为
8
9
221/2
20.13109100.08(0.080.1)y E -???=??
+ = 5.27×103(N·C -1)． 方向沿着y 轴正向．
[讨论]（1）由于L = a /2，x = L+d 1，代入①式，化简得
10110111
44/1
a E d d a d d a λλπεπε=
=
++， 保持d 1不变，当a →∞时，可得
101
4E d λ
πε→
， ③
这就是半无限长带电直线在相距为d 1的延长线上产生的场强大小．
（2）由②式得
y E =
=
，
当a →∞时，得 02
2y E d λ
πε→
， ④
这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．
如果d 1=d 2，则有大小关系E y = 2E 1．
12．6 一均匀带电无限长细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零．
[解答]设电荷线密
度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．
在圆弧上取一
弧元 d s =R d φ， 所带的电量为
d q = λd s ，
在圆心处产生的场强的大小为
2200d d d d 44q s E k
r R R
λλ
?πεπε===， 由于弧是对称的，场强只剩x 分量，取x 轴方向为正，场强为
d E x = -d E cos φ． 总场强为
2/2
0/2
cos d 4x E R
πθθ
λ??πε--=
?
2/2
0/2
sin 4R
πθθλ?
πε--=
0sin 22
R λθπε=
，
方向沿着x 轴正向．
再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．
根据上一题的公式③可得半无限
长带电直线在延长上O 点产生的场强大小为
`04E R
λ
πε=
，
由于两根半无限长带电直线对称放置，它们
在O 点产生的合场强为
``02cos
cos 2
22
x E E R θ
λθ
πε==
，
方向沿着x 轴负向．
当O 点合场强为零时，必有`
x x E E =，
可得 tan θ/2 = 1， 因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．
12．7 一宽为b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，
如图所示．试求：
（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a
处的场强．
（2）通过薄板几
何中心的垂直线上与
薄板距离为d 处的场
强．
[解答]（1）建
立坐标系．在平面薄
板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的
线密度为
d λ = σd x ， 根据直线带电线的场强公式
02E r
λ
πε=
， 得带电直线在P 点产生的场强为
00d d d 22(/2)
x
E r
b a x λσπεπε=
=
+-，
其方向沿x 轴正向．
由于每条无限长直线在P 点的产生的场强方向相同，所以总场强为
/2
0/2
1
d 2/2b b E x b a x σπε-=
+-? /2
/2
ln(/2)2b b b a x σ
πε--=+-
0ln(1)2b
a
σπε=
+． ①
图13.4
图13.5
场强方向沿x 轴正向．
（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直
线，电荷的线密度仍然为
d λ = σd x ，
带电直线在Q 点产生的场强为
2
21/2
00d d d 22()
x
E r
b x λσπεπε=
=
+，
沿z 轴方向的分量为
221/2
0cos d d d cos 2()z x
E E b x σθθπε==
+，
设x = d tan θ，则d x = d d θ/cos 2θ，因此
d d cos d 2z E E σ
θθπε==
积分得
arctan(/2)
0arctan(/2)
d 2b d z b d E σ
θπε-=
? 0arctan()2b
d
σπε=
． ② 场强方向沿z 轴正向．
[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为
λ = σb ，
①式的场强可化为
0ln(1/)
2/b a E a b a
λπε+=
，
当b →0时，薄板就变成一根直线，应用罗
必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
02E a
λ
πε→
， ③
这正是带电直线的场强公式．
（2）②也可以化为
0arctan(/2)
2/2z b d E d b d
λπε=
，
当b →0时，薄板就变成一根直线，应用罗
必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
02z E d
λ
πε→
，
这也是带电直线的场强公式．
当b →∞时，可得
2z E σ
ε→
， ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式．
12．8 （1）点电荷q 位于一个边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？
（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？
[解答]点电荷产生的电通量为
Φe = q/ε0．
（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为
Φ1 = Φe /6 = q /6ε0．
（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为
Φ1 = Φe /24 = q /24ε0；
立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．
12．9 面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O 为中心，R 为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的
电通量．
[解答]设想
在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为
q = πR 2σ， 通过球面的电通量为
图13.7
Φe = q /ε0， 通过半球面的电通量为
Φ`e = Φe /2 = πR 2σ/2ε0．
12．10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 1 > R 2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强．
[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．
（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以
E = 0，（r < R 1）．
（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl ， 穿过高斯面的电通量为
d d 2
e S
S
E S E rl Φπ=?==??E S ?，
根据高斯定理Φe = q /ε0，所以
02E r
λ
πε=
， (R 1 < r < R 2)． （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以
E = 0，（r > R 2）．
12．11 一厚度为d 的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．
[解答]方法一：高斯定理法．
（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`．
在板
内取一底
面积为S ，
高为2r 的圆柱面作为高斯面，
场强与上
下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为
d e S
Φ=??E S
2
d d d S S S =?+?+????E S E S E S 1
`02ES E S ES =++=，
高斯面内的体积为 V = 2rS ， 包含的电量为 q =ρV = 2ρrS ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，
可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r ≦d /2)．①
（2）穿过平板作一底面积为S ，高为2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES ， 高斯面在板内的体积为V = Sd ， 包含的电量为 q =ρV = ρSd ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，
可得场强为 E = ρd /2ε0，(r ≧d /2)． ②
方法二：场强叠加法． （1）
由于平板的可视很多薄
板叠而成的，以r 为界，下面平
板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层d y ，面电荷密度为
d σ = ρd y ，
产生的场强为 d E 1 = d σ/2ε0， 积分得
100/2
d ()222r
d y d
E r ρρεε-=
=+?，③ 同理，上面板产生的场强为
/2
200d ()222
d r
y d E r ρρεε=
=-?
，④ r 处的总场强为E = E 1-E 2 = ρr/ε0．
（2）在公式③和④中，令r = d /2，得
E 2 = 0、E = E 1 = ρd /2ε0，
E 就是平板表面的场强．
平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．
12.12
12．13 一半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去
一块半径为R` 的小球体，如图所 示，试求两球心O 与O`处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场． [解答]挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加． 对于一个半径为R ，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P 在球内时，过P 点作一半径为r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 23 01443 E r r ππρε= P 点场强大小为 3E r ρε=． 当场点P 在球外时，过P 点作一半径为r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 2 3014 43 E r R ππρε= P 点场强大小为 3 2 03R E r ρε=． O 点在大球体中心、小球体之外．大球体在O 点产生的场强为零，小球在O 点产生的场强大小为 3 2 0`3O R E a ρε=， 方向由O 指向O `． O`点在小球体中心、大球体之内．小球 体在O`点产生的场强为零，大球在O 点产生的场强大小为 `0 3O E a ρ ε= ， 方向也由O 指向O `． [证明]在小球内任一点P ，大球和小球产生的场强大小分别为 0 3r E r ρε=， `0 `3r E r ρ ε= ， 方向如图所示． 设两场强之间的夹角为θ，合场强的平方为 222``2cos r r r r E E E E E θ=++ 22 20 ( )(`2`cos )3r r rr ρθε=++， 根据余弦定理得 222 `2`c o s () a r r r r πθ=+--， 所以 0 3E a ρ ε= ， 可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：场强的方向沿着O 到O `的方向．因此空腔内的电场为匀强电场． 12．14 如图所示，在A 、B 两点处放有电量分别为+q 和-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一 正试验电荷q 0 从O 点经过半圆 弧路径移到C 点，求移动过程 中电场力所做的功． [解答]正负电荷在O 点的电势的和为零： U O = 0； 图13.10 图13.11 在C 点产生的电势为 0004346C q q q U R R R πεπεπε--= + = ， 电场力将正电荷q 0从O 移到C 所做的功为 W = q 0U OD = q 0(U O -U D ) = q 0q /6πε0R ． 12．15 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A 和B ．A 平面的电荷面密度为2σ，B 平面的电荷面密度为σ，两面间的距离为d ．当点电荷q 从A 面移到B 面时，电场力做的功为多少？ [解答]两平面产生的电场强度大小分别为 E A = 2σ/2ε0 = σ/ε0，E B = σ/2ε0， 两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = E A - E B = σ/2ε0， 方向由A 平面指向B 平面． 两平面间的电势差为 U = Ed = σd /2ε0， 当点电荷q 从A 面移到B 面时，电场力做的功为 W = qU = qσd /2ε0． 12．16 一半径为R 的均匀带电球面，带电量为Q ．若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？ [解答]带电球面在外部产生的场强为 2 04Q E r πε= ， 由于 d d R R R U U E r ∞ ∞ ∞-=?=?? E l 200d 44R R Q Q r r r πεπε∞ ∞ -== ? 04Q R πε= ， 当U R = 0时，04Q U R πε∞=- ． 12．17 电荷Q 均匀地分布在半径为R 的球体内，试证明离球心r （r 223 0(3) 8Q R r U R πε-=． [证明]球的体积为34 3 V R π=， 电荷的体密度为 3 34Q Q V R ρπ= = ． 利用13．10题的方法可求球内外的电场强度大小为 3 0034Q E r r R ρεπε= =， （r ≦R ）； 2 04Q E r πε= ，（r ≧R ）． 取无穷远处的电势为零，则r 处的电势为 d d d R r r R U E r E r ∞ ∞ =?=+???E l 3 2 00d d 44R r R Q Q r r r R r πεπε∞ =+? ? 2 3 0084R r R Q Q r R r πεπε∞ -= + 223 00()84Q Q R r R R πεπε= -+ 223 0(3)8Q R r R πε-=． 12．18 在y = -b 和y = b 两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为ρ，其他地方无电荷． （1）求此带电系统的电场分布，画E-y 图； （2）以y = 0作为零电势面，求电势分布，画E-y 图． [解答]平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`，但方向相反． （1）在板内取一底面 积为S ，高为 2y 的圆柱面作为高斯面， 场强与上下两表面的法线方 向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为 d e S Φ=??E S d d d 2S S S ES =?+?+?=???E S E S E S 1 2 ． 高斯面内的体积为 V = 2yS ， 包含的电量为 q = ρV = 2ρSy ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρy/ε0， (-b ≦y ≦b )． 穿过平板作一底面积为S ，高为2y 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为地 Φe = 2ES ， 高斯面在板内的体积为 V = S 2b ， 包含的电量为 q = ρV = ρS 2b ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρb/ε0， (b ≦y )； E = -ρb/ε0， (y ≦-b )． E-y 图如左图所示． （2）对于平面之间的点，电势为 d d y U y ρε=-?=-?? E l 20 2y C ρε=-+， 在y = 0处U = 0，所以C = 0，因此电势为 2 2y U ρε=-，(-b ≦y ≦b )． 这是一条开口向下的抛物线． 当y ≧b 时，电势为 d d nqb nqb U y y C εε=-?=-=- +?? E l ， 在y = b 处U = -ρb 2/2ε0，所以C = ρb 2/2ε0， 因此电势为 2 00 2b b U y ρρεε=-+ ，(b ≦y )． 当y ≦-b 时，电势为 00 d d b b U y y C ρρεε=-?==+??E l ， 在y = -b 处U = -ρb 2/2ε0，所以C = ρd 2/2ε0，因此电势为 2 00 2b b U y ρρεε=+ ， 两个公式综合得 2 00 ||2b b U y ρρεε=-+ ，(|y |≧d )． 这是两条直线． U-y 图如右图所示．U-y 图的斜率就形成E-y 图，在y = ±b 点，电场强度是连续的，因此，在U-y 图中两条直线与抛物线在y = ±b 点相切． [注意]根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量．根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即 d U =-??E l 这是因为积分的起点位置是积分下限． 12．19 两块“无限大”平行带电板如图所示，A 板带正电，B 板带负电并接地（地的电势为零），设A 和B 两 板相隔5.0cm ，板上各带电 荷σ=3.3×10-6C·m -2，求： （1）在两板之间离A 板1.0cm 处P 点的电势； （2）A 板的电势． [解答]两板之间的电场强度为 E=σ/ε0， 方向从A 指向B ． 以B 板为原点建立 坐标系，则r B = 0，r P = -0.04m ，r A = -0.05m ． （1）P 点和B 板间的电势差为 d d B B P P r r P B r r U U E r -=?=??E l ()B P r r σ ε=-， 由于U B = 0，所以P 点的电势为 612 3.3100.048.8410 P U --?=??=1.493×104 (V)． （2）同理可得A 板的电势为 ()A B A U r r σ ε=-=1.866×104(V)． 12．20 电量q 均匀分布在长为2L 的细直线上，试求： （1）带电直线延长线上离中点为r 处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为r 处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强． [解答]电荷的线密度为λ = q/2L ． （1）建 立坐标系，在细线上取一 线元d l ，所带的电量为 d q = λd l ， 根据点电荷的电势公式，它在P 1点产生的电势为 101d d 4l U r l λπε= - 总电势为 10d 4L L l U r l λπε-=-? 0 ln()4L l L r l λπε=--=- 0ln 8q r L L r L πε+= -． （2）建立坐标系，在细线上取一线元d l ，所带的电量为 d q = λd l ， 在线的垂直平分线上的P 2点产生的电势为 2221/2 0d d 4() l U r l λπε=+， 积分得 2221/201 d 4()L L U l r l λπε-= +? )4L l L l λ πε=-= 08q L πε= 0ln 4q L πε=． （3）P 1点的场强大小为 1 1U E r ?=- ? 011 ( )8q L r L r L πε= --+ 22 01 4q r L πε= -， ① 方向沿着x 轴正向． P 2点的场强为 2 2U E r ?=- ? 01[4q L r πε= = ， ② 方向沿着y 轴正向． [讨论]习题13．3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为 122 01 24L E x L λ πε= -， 由于2L λ = q ，取x = r ，就得公式①． （2）习题13．3的解答还计算了中 垂线上的场强为 y E = 取d 2 = r ，可得公式②． 由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算． 12．21 如图所 示，一个均匀带电，内、外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算： （1）A ，B 两点的电势； （2）利用电势梯度求A ，B 两点的场强． [解答]（1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A 点的电势就等于球心O 点的电势． 在半径为r 的球壳处取一厚度为d r 的薄壳，其体积为 d V = 4πr 2 d r ， 包含的电量为 d q = ρd V = 4πρr 2 d r ， 在球心处产生的电势为 00 d d d 4O q U r r r ρ πεε= = ， 球心处的总电势为 2 1 2 2210 d ()2R O R U r r R R ρρεε= = -?， 这就是A 点的电势U A ． 过B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生 的． 球面外的电荷 在B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得 2 2120 ()2B U R r ρε= -． 球面内的电荷在B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B 点产生的电势．球壳在球面内的体积为 3 314()3 B V r R π=-， 包含的电量为 Q = ρV ， 这些电荷集中在球心时在B 点产生的电势为 3 32100()43B B B Q U r R r r ρπεε= = -． B 点的电势为 U B = U 1 + U 2 322 120(32)6B B R R r r ρε=--． （2）A 点的场强为 0A A A U E r ?=- =?． B 点的场强为 3120()3B B B B B U R E r r r ρε?=-=-?． 图13.18 [讨论] 过空腔中A 点作一半径为r 的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空腔中A 点场强为 E = 0， (r ≦R 1)． 过球壳中B 点作一半径为r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为 3314 ()3 V r R π=-， 包含的电量为 q = ρV ， 根据高斯定理得方程 4πr 2E = q/ε0， 可得B 点的场强为 3120()3R E r r ρ ε=-， (R 1≦r ≦R 2)． 这两个结果与上面计算的结果相同． 在球壳外面作一半径为r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为 3 3214()3 V R R π=-， 包含的电量为 q = ρV ， 根据高斯定理得可得球壳外的场强为 332122 00() 43R R q E r r ρπεε-==，(R 2≦r )． A 点的电势为 d d A A A r r U E r ∞ ∞ =?=??E l 12 1 31200d ()d 3A R R r R R r r r r ρ ε=+-?? 2 33212 0()d 3R R R r r ρε∞ -+? 2 2210 ()2R R ρε= -． B 点的电势为 d d B B B r r U E r ∞ ∞ =?=??E l 2 3120()d 3B R r R r r r ρ ε=-?2 33212 0()d 3R R R r r ρε∞ -+? 322 120(32)6B B R R r r ρε=--． A 和 B 点的电势与前面计算的结果相同． 12．21 （1）设地球表面附近的场强约为200V·m -1，方向指向地球中心，试求地球所带有的总电量． （2）在离地面1400m 高处，场强降为20V·m -1，方向仍指向地球中心，试计算在1400m 下大气层里的平均电荷密度． [解答]地球的平均半径为 R =6.371×106m ． （1）将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量． 根据公式 E = -σ/ε0， 电荷面密度为 σ = -ε0E ； 地球表面积为 S = 4πR 2， 地球所带有的总电量为 Q = σS = -4πε0R 2E = -R 2E /k ， k 是静电力常量，因此电量为 629 (6.37110)200 910 Q ??=-?=-9.02×105(C)． （2）在离地面高为h = 1400m 的球面内的电量为 2()` `R h E Q k +=- =-0.9×105(C)， 大气层中的电荷为 q = Q - Q` = 8.12×105(C)． 由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体积约为 V = 4πR 2h = 0.714×1018(m 3)， 平均电荷密度为 ρ = q /V = 1.137×10-12(C·m -3)． 大学物理静电场知识点总结 1. 电荷的基本特征：（1）分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特性（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷总是存在一种对称性 2． 电荷守恒定律 ：一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。 3．点电荷：点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。 4．库仑定律： 表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的基本定律之一，是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律 12 12123 012 14q q F r r πε= 5． 电场强度 ：是描述电场状况的最基本的物理量之一，反映了电 场的基 0 F E q = 6． 电场强度的计算： （1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得 （2）带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解 πεπε== = ∑? n i i 3 3i 1 0i q 11 dq E r E r 44r r （3）具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定 理来求解 （4）根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度 7．电场线： 是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布 （1）电场线是这样的线：a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致 b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。 （2）电场线的性质：a ．起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远）。b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断。c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交 8． 电通量： φ= ??? e s E dS （1）电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电通量理解为穿过曲面的电场线的条数。（2）电通量是标量，有正负之分。 9． 高斯定理： ε?= ∑ ?? s S 01 E dS i （里） q （1）定理中的E 是由空间所有的电荷（包括高斯面内和面外的电荷）共同产生。（2）任何闭合曲面S 的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷，而与S 以外的电荷无关 10． 静电场属于保守力：静电场属于保守力的充分必要条件是，电荷在电场中移动，电场力所做的功只与该电荷的始末位置有关，而与 真空中的静电场 一、选择题 1．如图4—2所示，半径为 的半球面置于电场强度为 的 均匀电场中，选半球面的外法线为面法线正方向，则通过该半球面 的电场强度通量ΦE 为： A ． B ．0 C ． D ． E ． （） 2．如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在 S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则； ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 3．两块平行平板，相距d ，板面积均为S ，分别均匀带电＋q 和―q ，若两板的线度远大于d ，则它们的相互作用力的大小为： A ． B ． C ． D ． 4．真空中两块互相平行的无限大均匀带电平面。其电荷密度分别为σ+和2σ+，两板之间的距离为d ，两板间的电场强度大小为 A .0 B. 023εσ C.0 εσ D. 02εσ 5．两无限长的均匀带电直线相互平行，相距2a ，线电荷密度分别为λ+ 和λ- ，则每单位 长度的带电直线受的作用力的大小为 A.2202a λπε B.2204a λπε C.220a λπε D.2 2 08a λπε 6．某区域静电场的电场线分布情况如图4—5所示，一负电荷从M 点移到N 点，有人根据此图做出下列几点结论，其中哪点是正确的? A ．电场强度E M ＞E N ，电场力做正功； B ．电势U M ＜U N ，电场力做负功； C ．电势能W M ＜W N ，电场力做负功； D ．负电荷电势能增加，电场力做正功。 Q ’ A P S Q B 练习题 7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q ，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大? 解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q ，则另一个点电荷带电q Q -， 两点电荷之间的库仑力为 ()2 41r q q Q F -= πε 由极值条件0d d =q F ，得 Q q 2 1= 又因为 2 02221 d d r q F πε-=<0 这表明两电荷平分电荷Q 时，它们之间的相互作用力最大。 7-2 两个相同的小球，质量都是m ，带等值同号的电荷q ，各用长为l 的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2θ很小。（1）试证平衡时有下列的近似等式成立： 3 1022??? ? ??=mg l q x πε 式中x 为两球平衡时的距离。 (2)如果l = 1.20 m ，m =10 g ，x =5.0 cm ，则每个小球上的电荷量q 是多少? (3)如果每个球以-19s C 1001??-.的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率d x /d t 是多少? 解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有 F T =θsin mg T =θcos 由此二式可得 mg F = θtan 因为θ很小，可有()l x 2tan ≈θ，再考虑到 2 024x q F πε= 可解得 3 1 022? ?? ? ??=mg l q x πε （2）由上式解出 C 10382282 13 0-?±=??? ? ? ?±=.l mgx q πε （3） 由于 t q q x t q q mg l t x d d 32d d 322d d 313 10=???? ??==-πευ 带入数据解得 -13s m 10401??=-.υ 合力的大小为 2 22 220 1222412cos 2? ? ? ??+? ? ? ? ??+? ? ===d x x d x e F F F x πεθ () 2 322 2043241 d x x e += πε 令0d d =x F ，即有 ()()0482341825222 232202=??? ?????+?-+d x x d x e πε 由此解得α粒子受力最大的位置为 2 2d x ± = 第7章 习题精选 （一）选择题 7-1、下列几种说法中哪一个是正确的？ （A ）电场中某点场强的方向，就是点电荷在该点所受电场力的方向． （B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同． （C ）场强可由q F E / =计算，其中q 为试验电荷，q 可正、可负，F 为试验电荷所受电场力． （D ）以上说法都不正确． ［ ］ 7-2、图中实线为某电场的电场线，虚线表示等势面，由图可看出： （A ）C B A E E E >>，C B A V V V >>．（B ）C B A E E E <<，C B A V V V <<． （C ）C B A E E E >>，C B A V V V <<．（D ）C B A E E E <<，C B A V V V >>． ［ ］ 7-3、关于电场强度定义式0/q F E =，下列说法中哪个是正确的？ （A ）场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比． （B ）对场中某点，试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变． （C ）试验电荷受力F 的方向就是场强E 的方向． （D ）若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E ． ［ ］ 7-4、有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O 点垂直距离为a /2处，有一电量为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为 （A ）03εq ． （B ）0 4επq （C ）03επq ． （D ）06εq ［ ］ 7-5、已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和0=∑q ，则可肯定： （A ）高斯面上各点场强均为零． （B ）穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为零． （C ）穿过整个高斯面的电场强度通量为零． （D ）以上说法都不对． ［ ］ q 第七章、静 电 场 一、两个基本物理量（场强和电势） 1、电场强度 ⑴、 试验电荷在电场中不同点所受电场力的大小、方向都可能不同；而在 同一点，电场力的大小与试验电荷电量成正比，若试验电荷异号，则所 受电场力的方向相反。我们就用 q F 来表示电场中某点的电场强度，用 E 表示，即q F E = 对电场强度的理解： ①反映电场本身性质，与所放电荷无关。 ②E 的大小为单位电荷在该点所受电场力,E 的方向为正电荷所受电场力 的方向。 ③单位为N/C 或V/m ④电场中空间各点场强的大小和方向都相同称为匀强电场 ⑵、点电荷的电场强度 以点电荷Q 所在处为原点O,任取一点P(场点),点O 到点P 的位矢为r ,把试 验电荷q 放在P 点,有库仑定律可知,所受电场力为： r Q q F E 2 041επ== ⑶常见电场公式 无限大均匀带电板附近电场： εσ 02= E 2、电势 ⑴、电场中给定的电势能的大小除与电场本身的性质有关外，还与检验电荷 有关，而比值 q E pa 0 则与电荷的大小和正负无关，它反映了静电场中某给 定点的性质。为此我们用一个物理量-电势来反映这个性质。即q E p V 0 = ⑵、对电势的几点说明 ①单位为伏特V ②通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有: ?∞ ?==p p dr E V q E 0 即P 点的电势等于场强沿任意路径从P 点到无穷远处的线积分。 ⑶常见电势公式 点电荷电势分布：r q V επ04= 半径为R 的均匀带点球面电势分布：R q V επ04= ()R r ≤≤0 r q V επ04= ()R r ≥ 二、四定理 1、场强叠加定理 点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对 该点的电场强度的矢量和。即 第12章 静电场 P35． 12．3 如图所示， 在直角三角形ABCD 的A 点处，有点电荷q 1 = 1.8×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = -4.8×10-9 C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，试求C 点的场强． [解答]根据点电荷的场强大小的公式 22 014q q E k r r == πε， 其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m 2·C -2． 点电荷q 1在C 点产生的场强大小为 1 12 01 4q E AC = πε 9 94-1 22 1.810910 1.810(N C )(310) --?=?? =???， 方向向下． 点电荷q 2在C 点产生的场强大小为 222 0|| 1 4q E BC = πε 99 4-1 22 4.810910 2.710(N C )(410) --?=??=???， 方向向右． C 处的总场强大小为 E = 44-110 3.24510(N C )==??， 总场强与分场强E 2的夹角为 1 2 arctan 33.69E E ==?θ． 12．4 半径为R 的一段圆弧，圆心角为 60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强． [解答]在带正电的圆弧上取一弧元 d s = R d θ， 电荷元为d q = λd s ， 在O 点产生的场强大小为 22 0001d 1d d d 444q s E R R R λλ θπεπεπε= ==， 场强的分量为d E x = d E cos θ，d E y = d E sin θ． 对于带负电的圆弧，同样可得在O 点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x 方向 的合场强为零，总场强沿着y 轴正方向，大小为 2d sin y L E E E ==?θ /6/6 000 0sin d (cos )22R R ==-?ππλλθθθπεπε 0(12R =λπε． 12．5 均匀带电细棒，棒长a = 20cm ，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m -1，求： （1）棒的延长线上与棒的近端d 1 = 8cm 处的场强； （2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d 2 = 8cm 处的场强． [解答]（1）建立坐标系，其中L = a /2 = 0.1(m)，x = L+d 1 = 0.18(m)． 在 细棒上取一线元d l ，所带的电 量为d q = λd l ， 根据点电荷的场强公式，电荷元在P 1点产 图 13.1 真空中的静电场 一、选择题 1、下列关于高斯定理的说确的是（A ） A 如果高斯面上E 处处为零，则面未必无电荷。 B 如果高斯面上E 处处不为零，则面必有静电荷。 C 如果高斯面无电荷，则高斯面上E 处处为零。 D 如果高斯面有净电荷，则高斯面上 E 处处不为零。 2、以下说法哪一种是正确的（B ） A 电场中某点电场强度的方向，就是试验电荷在该点所受的电场力方向 B 电场中某点电场强度的方向可由0q F E 确定， 其中0q 为试验电荷的电荷量，0q 可正可 负，F 为试验电荷所受的电场力 C 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的电场强度处处相同 D 以上说法都不正确 3、如图所示，有两个电 2、 下列说确的是（D ） A 电场强度为零处，电势一定为零。电势为零处，电场强度一定为零。 B 电势较高处电场强度一定较大，电场强度较小处电势一定较低。 C 带正电的物体电势一定为正，带负电的物体电势一定为负。 D 静电场中任一导体上电势一定处处相等。 3、点电荷q 位于金属球壳中心，球壳外半径分别为 21,R R ,所带静电荷为零B A ,为球壳外两点，试判断下 列 说法的正误（C ） A 移去球壳， B 点电场强度变大 B 移去球壳，A 点电场强度变大 C 移去球壳，A 点电势升高 D 移去球壳，B 点电势升高 4、下列说确的是（D ） A 场强相等的区域，电势也处处相等 B 场强为零处，电势也一定为零 C 电势为零处，场强也一定为零 D 场强大处，电势不一定高 5、如图所示，一个点电荷q位于立方体一顶点A上，则通过abcd 面上的电通量为（C ） A 6 q ε B 12 q ε C 24 q ε D 36 q ε 6、如图所示，在电场强度E的均匀电场中，有一半径为R的半球面， 场强E的方向与半球面的对称抽平行，穿过此半球面的电通量为（C） A E R2 2π B E R2 2π C E R2 π D E R2 2 1 π 7、如图所示两块无限大的铅直平行平面A和B，均匀带电，其电荷密 度均为） （2 0- ? ?m C σ σ，在如图所示的c b a、 、三处的电场强度分别 为（D） A 0, ,0 0, ε σ B 0, 2 ,0 0, ε σ C , , 2ε σ ε σ ε σ D ,0, ε σ ε σ 8、如图所示为一具有球对称性分布的静电场的E～r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的．（B） A 半径为R的均匀带电球面． B半径为R的均匀带电球体． C半径为R的、电荷体密度为Ar = ρ（A为常数）的非均匀带电球体 D半径为R的、电荷体密度为r A/ = ρ（A为常数）的非均匀带电球体 9、设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中 的 U和b皆为常量)：(C) 10、如图所示，在半径为R的“无限长”均匀带电圆筒的静电场中，各点的电场强度E的大小与距轴线的距离r 关系曲线为（A） d a b c q A 大学物理静电场练习题带答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 大物练习题（一） 1、如图，在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O'的矢量用a表示。试证明球形空腔中任一点电场强度为 . A、 3 ρ ε a B、 ρ ε a C、 2ρ ε a D、 3ρ ε a 2、如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强 A、 2πR λ ε - B、 πR λ ε - C、 00 ln2 2π4 λλ εε + D、 00 ln2 π2 λλ εε + 3、 如图所示，一导体球半径为1R ,外罩一半径为2R 的同心薄导体球壳, 外球壳所带总电荷为Q ,而内球的电势为0V ，求导体球和球壳之间的电势差 （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）。 A 、10 20214R Q V R R πε??? ?- - ? ????? B 、102024R Q V R R πε?? - ??? C 、002 4Q V R πε- D 、1020214R Q V R R πε?? ? ?+ - ? ?? ??? 4.如图所示，电荷面密度为1σ的带电无限大板A 旁边有一带电导体B ，今测得导体表面靠近P 点处的电荷面密度为2σ。求：（1）P 点处的场强 ；（2）导体表面靠近P 点处的电荷元S ?2σ所受的电场力 。 A 、20σε B 、202σε C 、2202S σε? D 、2 20 S σε? 5．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ Q O p r ) 大学物理静电场考试题及答案 5 －1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A)放置，其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B)中的( ) 分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为0 2εσ，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B). 5 －2 下列说法正确的是( ) (A)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷 (B)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零 (C)闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零 (D)闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 分析与解 依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面内一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B). 5 －3 下列说法正确的是( ) (A) 电场强度为零的点，电势也一定为零 (B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零 (C) 电势为零的点，电场强度也一定为零 (D) 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零 分析与解 电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为 (D). *5 －4 在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p 的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将( ) (A) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p 水平指向棒尖端而停止 (B) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 (C) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动 (D) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 分析与解 电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为 (B). 5 －5 精密实验表明，电子与质子电量差值的最大范围不会超过±10－21 e ，而中子电量与零差值的最大范围也不会超过±10－21e ，由最极端的情况考虑，一个有8 个电子，8 个质子和8 个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？ 若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力的大小. 分析 考虑到极限情况， 假设电子与质子电量差值的最大范围为2×10－21 e ，中子电量为10－21 e ，则由一个氧原子所包含的8 个电子、8 个质子和8个中子可求原子所带的最大可能净电荷.由库仑定律可以估算两个带电氧原子间的库仑力，并与万有引力作比较. 解 一个氧原子所带的最大可能净电荷为 ()e q 21max 10821-??+= 二个氧原子间的库仑力与万有引力之比为 1108.2π46202max < 第五章静电场 习题5-9 若电荷均匀地分布在长为L的细棒上，求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为 （2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为 若棒为无限长（即L→），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。 证明：（1） 延长线上一点P的电场强度，故由几何关系可得 电场强度方向：沿x轴。 （2） 若点P在棒的垂直平分线上，如图所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此点P的电场强度E方向沿y轴，大小为利用几何关系，，则 当L→时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P点电场强度 其结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。 习题5-10 一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。 解：将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元，在点O 激发的电场强度为 （圆环电场强度） 由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系，，，统一积分变量，电场强度大小为 积分得 习题5-12 两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。 解：（1）设点P在导线构成的平面上，E+E-分别表示正负电导线在P点的 电场强度，则有 （2）设F+，F-分别表示正负带电导线单位长度所受的电场力，则有 显然有，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。 习题5-15 边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz和Ozx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度E= (E1+kx)i+E2j (k，E1，E2为常数)的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。 解：如图所示，由题意E与Oxy面平行，所以任何相对Oxy面平行的立方体表面，电场强度的通量为零，即。而 考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有 同理 因此，整个立方体表面的电场强度通量 习题5-18 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。 分析：本题的电场强度分布虽然不具备对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带圆盘的电场叠加，求出电场的分布，要回灵活应用。 若把小圆孔看做由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度）的小圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和。 解：（由5-4例4可知，）在无限大带点平面附近 为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场 它们的合电场强度为 习题5-20 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。球电场分 大学物理（下）试题库 第九章 静电场 知识点1：电场、电场强度的概念 1、、【 】下列说法不正确的是： A ： 只要有电荷存在，电荷周围就一定存在电场； B ：电场是一种物质； C ：电荷间的相互作用是通过电场而产生的； D ：电荷间的相互作用是一种超距作用。 2、【 】 电场中有一点P ，下列说法中正确的是： A ： 若放在P 点的检验电荷的电量减半，则P 点的场强减半； B ：若P 点没有试探电荷，则P 点场强为零； C ： P 点的场强越大，则同一电荷在P 点受到的电场力越大； D ： P 点的场强方向为就是放在该点的电荷受电场力的方向 3、【 】关于电场线的说法，不正确的是： A ： 沿着电场线的方向电场强度越来越小； B ： 在没有电荷的地方，电场线不会中止； C ： 电场线是人们假设的，用以形象表示电场的强弱和方向，客观上并不存在： D ：电场线是始于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远。 4、【 】下列性质中不属于静电场的是： A ：物质性； B ：叠加性； C ：涡旋性； D ：对其中的电荷有力的作用。 5、【 】在坐标原点放一正电荷Q ，它在P 点(x=+1, y=0)产生的电场强度为E ．现在，另外有一个负电荷-2Q ，试问应将它放在什么位置才能使 P 点的电场强度等于零？ (A) x 轴上x>1． (B) x 轴上0 2/εδE o x 02/εδE o x 2/εδ0 2/εδ-E o x 0 2/εδ0 2/εδ-o E x 第六章 电荷的电现象和磁现象 序号 学号 专业、班级 一 选择题 [ C ]1 .一带电体可作为点电荷处理的条件是 (A)电荷必须呈球形分布。 (B)带电体的线度很小。 (C)带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。 (D)电量很小。 [ D ]2．真空中一“无限大”均匀带负电荷的平面如图所示，其电场的场强分布图线应是（设场强方向向右为正、向左为负） （A ） （B ） （C ） （D ） 二 填空题 1． 在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于 ________________________________略________________________________________________, 这称为场强叠加原理。 2．静电场中某点的电场强度，其数值和方向等于_________略____________________________ ___________________________________________________________________________。 3．两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密度分别为δ（δ> 0）及-2δ，如图所示， 试写出各区域的电场强度E 。 Ⅰ区E 的大小 0 2εσ ， 方向 向右 。 Ⅱ区E 的大小 23εσ ， 方向 向右 。 δ -x o I II III σ 2-σ 02/εσ0/εσ0 2/2ε0 22εσ Ⅲ区E 的大小 0 2εσ， 方向 向左 。 4．A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小都为E 0 , 两平面外侧电场强度大小都为 E 0 / 3 ，方向如图。则A 、B 两平面上的电荷面密度分别为 A δ= 3/E 200ε－ ， B δ = 3/E 400ε 。 三 计算题 1．一段半径为a 的细圆弧，对圆心的角为θ0，其上均匀分布有正电荷 q ，如图所示，试以 a , q , θ0表示出圆心O 处的电场强度。 解：建立如图坐标系，在细圆弧上取电荷元l a q q d d 0 ?=θ， 电荷元视为点电荷，它在圆心处产生的场强大小为： θθπεθπεπεd 4d 44d d 0 2003020a q l a q a q E === 方向如图所示。将E d 分解， θθcos d d ,sin d d E E E E y x -=-= 由对称性分析可知，? ==0d x x E E 2 sin 2d cos 4d 0 202 2 02 000 θθπεθ θθπεθθ a q a q E E y y - =-==??- 圆心O 处的电场强度j a q j E E y 2 sin 200 20θθπε- == 电学 一、选择题： 1．图中所示曲线表示某种球对称性静电场的场强大小E 随径向距离r 变化的关系，请指出该电场是由下列哪一种带电体产生的： A ．半径为R 的均匀带电球面； B ．半径为R 的均匀带电球体； C ．点电荷； D ．外半径为R ，内半径为R /2的均匀带电球壳体。 （ ） 2．如图所示，在坐标( a ，0 )处放置一点电荷＋q ，在坐标(a ，0)处放置另一点电荷－q 。P 点是x 轴上的一点，坐标为(x ，0)。当a x >>时，该点场强的大小为： A ． x q 04πε ； B ． 3 0x qa πε ； C ． 3 02x qa πε ； D ．2 04x q πε 。 （ ） 3．在静电场中，下列说法中哪一种是正确的？ A ．带正电的导体，其电势一定是正值； B ．等势面上各点的场强一定相等； C ．场强为零处，电势也一定为零； D ．场强相等处，电势梯度矢量一定相等。 （ ） 4．如图所示为一沿轴放置的无限长分段均匀带电直线，电荷线密度分别为()0<+x λ和 ()0>-x λ，则o — xy 坐标平面上P 点(o ，a ) A ．0； B ．a i 02πελ?； C ．a i 04πελ?； D ．a j i 02) (πελ??+。 （ ） -a x -Q +q P 5．如图，两无限大平行平板，其电荷面密度均为+σ，则图中三处的电场强度的大小分别为： A ． 0εσ，0，0εσ； B ．0，0 εσ，0； C ． 02εσ，0εσ，02εσ； D ． 0，0 2εσ ，0。 （ ） 6．如图示，直线MN 长为l 2，弧OCD 是以N 点为中心，l 为半径的半圆弧，N 点有点电荷+q ，M 点有点电荷－q 。今将一实验电荷＋q ，从O 点 出发沿路径OCDP 移到无穷远处，设无穷远处的电势为零， 则电场力作功： A ．A <0，且为有限常量； B ．A >0，且为有限常量； C ．A =∞； D ．A =0。 （ ） 7．关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是： A ．电势值的正负取决于置于该点的实验电荷的正负； B ．电势值的正负取决于电场力对实验电荷作功的正负； C ．电势值的正负取决于电势零点的选取； D ．电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。 （ ） 8．一个未带电的空腔导体球壳,内半径为R ，在腔内离球心的距离为d 处（d 第七章、静 电 场 一、两个基本物理量（场强和电势） 1、电场强度 ⑴、 试验电荷在电场中不同点所受电场力的大小、方向都可能不同；而在 同一点，电场力的大小与试验电荷电量成正比，若试验电荷异号，则所 受电场力的方向相反。我们就用 q F 来表示电场中某点的电场强度，用 E 表示，即q F E = 对电场强度的理解： ①反映电场本身性质，与所放电荷无关。 ②E 的大小为单位电荷在该点所受电场力,E 的方向为正电荷所受电场力 的方向。 ③单位为N/C 或V/m ④电场中空间各点场强的大小和方向都相同称为匀强电场 ⑵、点电荷的电场强度 以点电荷Q 所在处为原点O,任取一点P(场点),点O 到点P 的位矢为r ,把试 验电荷q 放在P 点,有库仑定律可知,所受电场力为： r Q q F E 2 041επ== ⑶常见电场公式 无限大均匀带电板附近电场： εσ 02= E 2、电势 ⑴、电场中给定的电势能的大小除与电场本身的性质有关外，还与检验电荷 有关，而比值 q E pa 0 则与电荷的大小和正负无关，它反映了静电场中某给 定点的性质。为此我们用一个物理量-电势来反映这个性质。即q E p V 0 = ⑵、对电势的几点说明 ①单位为伏特V ②通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有: ?∞ ?==p p dr E V q E 0 即P 点的电势等于场强沿任意路径从P 点到无穷远处的线积分。 ⑶常见电势公式 点电荷电势分布：r q V επ04= 半径为R 的均匀带点球面电势分布：R q V επ04= ()R r ≤≤0 r q V επ04= ()R r ≥ 二、四定理 1、场强叠加定理 点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对 该点的电场强度的矢量和。即 E E E n E +++= (21) 2、电势叠加定理 V 1 、V 2 ...V n 分别为各点电荷单独存在时在P 点的电势点电荷系 的电场中，某点的电势等于各点电荷单独 存在时在该点电势的代数和。 3、高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该闭合曲面包围的所 有电荷的代数和除以 ε 说明： ①高斯定理是反映静电场性质的一条基本定理。 ②通过任意闭合曲面的电通量只取决于它所包围的电荷的代数和。 ③高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。 三、静电平衡 1、静电平衡 当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，带电 体系即达到了静电平衡。 说明： ①导体的特点是体内存在自由电荷。在电场作用下，自由电荷可以移动， 从而改变电荷分布；而电荷分布的改变又影响到电场分布。 ②均匀导体的静电平衡条件：体内场强处处为零。 ③导体是个等势体，导体表面是个等势面。 ④导体外靠近其表面的地方场强处处与表面垂直。 大物练习题（一） 1、如图，在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O'的矢量用a表示。试证明球形 空腔中任一点电场强度为. A、 3 ρ ε a B、 ρ ε a C、 2ρ ε a D、 3ρ ε a 2、如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强 A、 2πR λ ε -B、 πR λ ε - C、 00 ln2 2π4 λλ εε +D、 00 ln2 π2 λλ εε + 3、 如图所示，一导体球半径为1R ,外罩一半径为2R 的同心薄导体球壳, 外球壳所带总电荷为Q ,而内球的电势为0V ，求导体球和球壳之间的电势差 （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）。 A 、10 20214R Q V R R πε?? ? ?- - ? ????? B 、102024R Q V R R πε?? - ??? C 、0024Q V R πε- D 、10 20214R Q V R R πε?? ??+- ? ???? ? 4.如图所示，电荷面密度为1σ的带电无限大板A 旁边有一带电导体B ，今测得导体表面靠近P 点处的电荷面密度为2σ。求：（1）P 点处的场强 ；（2）导体表面靠近P 点处的电荷元S ?2σ所受的电场力 。 A 、20σε B 、202σε C 、2202S σε? D 、2 20 S σε? 5．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ Q O p r 大学物理静电场试题 库 真空中的静电场 一、选择题 1、下列关于高斯定理的说法正确的是（A ） A 如果高斯面上E 处处为零，则面内未必无电荷。 B 如果高斯面上E 处处不为零，则面内必有静电荷。 C 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零。 D 如果高斯面内有净电荷，则高斯面上E 处处不为零。 2、以下说法哪一种是正确的（B ） A 电场中某点电场强度的方向，就是试验电荷在该点所受的电场力方向 B 电场中某点电场强度的方向可由0 q F E 确定，其中0q 为试验电荷的电荷 量，0q 可正可负，F 为试验电荷所受的电场力 C 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的电场强度处处相同 D 以上说法都不正确 3、如图所示，有两个电 2、下列说法正确的是（D ） A 电场强度为零处，电势一定为零。电势为零处，电场强度一定为零。 B 电势较高处电场强度一定较大，电场强度较小处电势一定较低。 C 带正电的物体电势一定为正，带负电的物体电势一定为负。 D 静电场中任一导体上电势一定处处相等。 分 3、点电荷q 位于金属球壳中心，球壳内外半径别为21,R R ,所带静电荷为零B A ,为球壳内外两点，试判断下列说法的正误（C ） A 移去球壳， B 点电场强度变大 B 移去球壳，A 点电场强度变大 C 移去球壳，A 点电势升高 D 移去球壳，B 点电势升高 4、下列说法正确的是（D ） A 场强相等的区域，电势也处处相等 B 场强为零处，电势也一定为零 C 电势为零处，场强也一定为零 D 场强大处，电势不一定高 5、如图所示，一个点电荷q 位于立方体一顶点A 上，则通过abcd 为（C ） A 06q ε B 0 12q ε C 024q ε D 036q ε 6、如图所示，在电场强度E 的均匀电场中，有一半径为R 的半球面，场强E 的方向与半球面的对称抽平行，穿过此半球面的电通量为（C ） A E R 22π B E R 22π C E R 2π D E R 22 1 π d a b c q A 第五章真空中的静电场 第一节电荷、库仑定律 一、 电荷 电子具有电荷191.6021910e C -=-?(库仑)，质子具有电荷 191.6021910p C e -=?，中子不带电。物理学对电荷的认识可概括为： (1)电荷和质量一样，是基本粒子的固有属性； (2)电荷有两种：正电荷和负电荷，一切基本粒子只可能具有电子或质子所具有电荷的整数倍； (3)电荷具有守恒性； (4)电荷之间的相互作用，是通过电场作媒质传递的。 不同质料物体相摩擦后，每个物体有若干电子脱离原子束缚，进入到对方物体中去，双方失去电子数目不一样，一个净获得电子，一个净失去电子，这就是摩擦起电。核反应中，电荷也是守恒的，例如 用α粒子42He 去轰击氮核147 N ，结果生成178O 和质子11H 反应前后，电荷总数皆为9e 。 根据(2)，电荷€电场€电荷，质量€引力场€质量。 在电解液中，自由电荷是酸碱盐溶质分子离解成的正、负离子；在电离的气体中，自由电荷也是正、负离子，不过负离子往往就是电子；在超导中，传导电流的粒子是电子对(库珀对)，还可能是极化子、双极化子、孤子等。 从微观上去看，电荷是分立的，宏观上来看，其最小变化量与宏观粒子系统的总电荷量比较完全可被当作无穷小处理。所以宏观小微观大的带电体，电荷的连续性与分立性得到了统一。 二、 库仑定律 12301 4q q F r r πε=r r 或122014r q q F e r πε=r r 0ε为真空电容率(vacuumpermittivity)， 其数值为()()1222122208.85418781810/8.8510/C N m C N m ε--=??≈?? 介质中的库仑力 0r εεε=是电介质的介电常数，r ε是相对介电常数。 电介质中作用力比真空中小，是因为介质极化后，在点电荷周围出现了束缚电荷。它削弱了原点电荷之间的作用。 三、 叠加原理 实验表明，如果同时存在多个点电荷相互作用，则任意两个点电荷之间的相互作用，并 大学物理静电场知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 大学物理静电场知识点总结 1. 电荷的基本特征：（1）分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特性（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷总是存在一种对称性 2． 电荷守恒定律 ：一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。 3．点电荷：点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。 4．库仑定律： 表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的基本定律之一，是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律 12 12123 0121 4q q F r r πε= 5． 电场强度 ：是描述电场状况的最基本的物理量之一，反映了电 场的基 0 F E q = 6． 电场强度的计算： （1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得 （2）带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解 πεπε== = ∑ ? n i i 33i 1 i q 11dq E r E r 44r r （3）具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定理来求解 （4）根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度 7．电场线： 是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布 （1）电场线是这样的线：a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致 b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。 （2）电场线的性质：a ．起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远）。b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断。c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交 8． 电通量： φ= ??? e s E dS （1）电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电通量理解为穿过曲面的电场线的条数。（2）电通量是标量，有正负之分。 9． 高斯定理： ε?= ∑?? s S 01 E dS i （里） q （1）定理中的E 是由空间所有的电荷（包括高斯面内和面外的电荷）共同产生。（2）任何闭合曲面S 的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷，而与S 以外的电荷无关大学物理静电场知识点总结
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