动态规划求构造最优二叉查找树和最短路径
动态规划专题(六)：树型动态规划
动态规划专题（六）：树型动态规划 （重庆巴蜀中学黄新军） 信息学竞赛中通常会出现这样的问题：给一棵树，要求以最少的代价（或取得最大收益）完成给定的操作。有很多问题都是在树和最优性的基础上进行了扩充和加强，从而变成了棘手的问题。这类问题通常规模较大，枚举算法的效率无法胜任，贪心算法不能得到最优解，因此要用动态规划解决。 和一般动态规划问题一样，这类问题的解决要考虑如下三步： 1、确立状态：几乎所以的问题都要保存以某结点为根的子树的情况，但是要根据具体问题考虑是否要加维，加几维，如何加维。 2、状态转移：状态转移的变化比较多，要根据具体问题具体分析，这也是本文例题分析的重点。 3、算法实现： 由于模型建立在树上，即为树型动态规划。 【例题1】二叉苹果树 【问题描述】 有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉(就是说没有只有1个儿子的结点)，这棵树共有N个结点(叶子点或者树枝分叉点)，编号为1-N,树根编号一定是1。 我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树： 现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。 【文件输入】 第1行2个数，N和Q(1<=Q<=N,1 课程设计 课程名称数据结构课程设计 题目名称二叉排序树的实现 学院应用数学学院 专业班级 学号 学生 指导教师 2013 年 12 月 26 日 1.设计任务 1）实现二叉排序树，包括生成、插入，删除； 2）对二叉排序树进行先根、中根、和后根非递归遍历； 3）每次对树的修改操作和遍历操作的显示结果都需要在屏幕上 用树的形状表示出来。 4）分别用二叉排序树和数组去存储一个班(50人以上)的成员信 息(至少包括学号、、成绩3项),对比查找效率，并说明 为什么二叉排序树效率高（或者低）。 2. 函数模块： 2.1.主函数main模块功能 1.通过bstree CreatTree()操作建立二叉排序树。 2.在二叉排序树t过操作bstree InsertBST(bstree t,int key,nametype name,double grade)插入一个节点。 3. 从二叉排序树t过操作void Delete(bstree &p)删除任意节点。 4. 在二叉排序树t过操作bstnode *SearchBST(bstree t,keytype key)查 找节点。 5. 在二叉排序树t过操作p=SearchBST(t,key)查询，并修改节点信息 6. 非递归遍历二叉排序树。 7. 定义函数void compare()对数组和二叉排序树的查找效率进行比较比 较。 2.2创建二叉排序树CreatTree模块 从键盘中输入关键字及记录，并同时调用插入函数并不断进行插入。最后，返回根节点T。 2.3删除模块： 二叉排序树上删除一个阶段相当于删去有序系列中的一个记录，只要在删除某个节点之后依旧保持二叉排序树的性质即可。假设二叉排序树上删除节点为*p（指向节点的指针为p），其双亲节点为*f（节点指针为f）。若*p节点为叶子节点，则即左右均为空树，由于删去叶子节点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲节点的指针即可；若*p节点只有左子树或只有右子树，此时只要令左子树或右子树直接成为其双亲节点*f的左子树即可；若*p节点的左子树和右子树均不为空，其一可以令*p的左子树为*f的左子树，而*p的右子树为*s的右子树，其二可以令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）。在二叉排序树中删除一个节点的算法为 void DeleteData(bstree &t,keytype key) 若二叉排序树t中存在关键字等于key的数据元素，则删除该数据元素节点，并返回TRUE，否则返回FALSE。 2.4插入模块 二叉排序树是一种动态树表，其特点是树的结构通常不是一次生成的，而是在查找的过程中，当树中不存在关键字等于给定值得节点时在进行插入。 动态规划法实现有向图的最短路径实验 实验题目： 设计一个求解有向图，单源最短路径的算法 实验目的： 1）了解，并掌握分支限界算法思想 2）会编写常见算法。 实验要求： 1.编写实验代码 2.分析算法时间和空间复杂度 实验主要步骤： 1 算法代码 package suanfa; publicclass ShortPath{ privatestatic Integer M = Integer.MAX_VALUE; publicstaticvoid main(String[]args){ int[][]c={{M,4,2,3,M,M,M,M,M,M}, {M,M,M,M,9,8,M,M,M,M}, {M,M,M,M,6,7,8,M,M,M}, {M,M,M,M,M,4,7,M,M,M}, {M,M,M,M,M,M,M,5,6,M}, {M,M,M,M,M,M,M,8,6,M}, {M,M,M,M,M,M,M,6,5,M}, {M,M,M,M,M,M,M,M,M,7}, {M,M,M,M,M,M,M,M,M,3}, {M,M,M,M,M,M,M,M,M,M}}; shortPath(10,c); } publicstaticvoid shortPath(int n,int[][]c){ int[] cost=newint[n];//cost[i]存储i到n-1的子问题的最短路径值 int[] path=newint[n];//path[i]存储状态，使cij+cost[i]最小的j值 //对数组cost[n]和path[n]进行初始化 for(int i=0;i 第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容 动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。 例1 最短路线问题 下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。 例2 生产计划问题 工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。 1.2 决策过程的分类 根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间决策过程（discrete-time decision process）和连续时间决策过程（continuous-time decision process）；根据过程的演变是确定的还是随机的，分为确定性决策过程（deterministic decision process）和随 树型动态规划 补充二叉树的遍历的相关知识： 在二叉树的应用中，常常要求在树中查找具有某种特征的结点，或者对全部结点逐一进 行某种处理。这就是二叉树的遍历问题。所谓二叉树的遍历是指按一定的规律和次序访问树 中的各个结点，而且每个结点仅被访问一次。“访问”的含义很广，可以是对结点作各种处 理，如输出结点的信息等。遍历一般按照从左到右的顺序，共有3 种遍历方法，先（根）序遍历，中（根）序遍历，后（根）序遍历。 先序遍历的操作定义如下： 若二叉树为空，则空操作，否则 ①访问根结点 ②先序遍历左子树 ③先序遍历右子树 先序遍历右图结果为：124753689 中序遍历的操作定义如下： 若二叉树为空，则空操作，否则 ①中序遍历左子树 ②访问根结点 ③中序遍历右子树 中序遍历右图结果为：742513869 后序遍历的操作定义如下： 若二叉树为空，则空操作，否则 ①后序遍历左子树 ②后序遍历右子树 ③访问根结点 后序遍历右图结果为：745289631 满二叉树： 一棵深度为h且有 2^h-1个结点的二叉树。 满二叉树一定为完全二叉树，但是完全二叉树不一定为满二叉树。 若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。 满二叉树有如下性质： 如果一颗树深度为h，最大层数为k，且深度与最大层数相同，即k=h; 1、它的叶子数是：2^(h-1) 2、第k层的结点数是：2^(k-1) 3、总结点数是：2^k-1 (2的k次方减一) 4、总节点数一定是奇数。 完全二叉树： 若设二叉树的深度为h，除第h 层外，其它各层(1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。 1、二叉树的序遍历 题目描述Description 求一棵二叉树的前序遍历，中序遍历和后序遍历 输入描述Input Description 第一行一个整数n，表示这棵树的节点个数。 接下来n行每行2个整数L和R。第i行的两个整数Li和Ri代表编号为i的节点的左儿子编号和右儿子编号。 输出描述Output Description 输出一共三行，分别为前序遍历，中序遍历和后序遍历。编号之间用空格隔开。 样例输入Sample Input 5 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 样例输出Sample Output 1 2 4 5 3 4 2 5 1 3 4 5 2 3 1 #include 合肥学院 计算机科学与技术系 课程设计报告 2009 ～2010 学年第二学期 课程 数据结构与算法 课程设计 名称 二叉排序树运算学生姓名顾成方 学号0704011033 专业班级08计科(2) 指导教师王昆仑张贯虹 2010 年 5 月 题目：（二叉排序树运算问题）设计程序完成如下要求：对一组数据构造二叉排序树，并在二叉排序树中实现多种方式的查找。基本任务：⑴选择合适的储存结构构造二叉排序树；⑵对二叉排序树T作中序遍历，输出结果；⑶在二叉排序树中实现多种方式的查找，并给出二叉排序树中插入和删除的操作。 ⑷尽量给出“顺序和链式”两种不同结构下的操作，并比较。 一、问题分析和任务定义 本次程序需要完成如下要求：首先输入任一组数据，使之构造成二叉排序树，并对其作中序遍历，然后输出遍历后的数据序列；其次，该二叉排序树能实现对数据（即二叉排序树的结点）的查找、插入和删除等基本操作。 实现本程序需要解决以下几个问题： 1、如何构造二叉排序树。 2、如何通过中序遍历输出二叉排序树。 3、如何实现多种查找。 4、如何实现插入删除等操作。 二叉排序树的定义： ⑴其左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值。 ⑵若其右子树非空，则右子树上所有结点的值大于根结点的值。 ⑶其左右子树也分别为二叉排序树。 本问题的关键在于对于二叉排序树的构造。根据上述二叉排序树二叉排序树的生成需要通过插入算法来实现：输入（插入）的第一个数据即为根结点；继续插入，当插入的新结点的关键值小于根结点的值时就作为左孩子，当插入的新结点的关键值大于根结点的值时就作为右孩子；在左右子树中插入方法与整个二叉排序树相同。当二叉排序树建立完成后，要插入新的数据时，要先判断已建立的二叉排序树序列中是否已有当前插入数据。因此，插入算法还要包括对数据的查找判断过程。 本问题的难点在于二叉排序树的删除算法的实现。删除前，首先要进行查找，判断给出的结点是否已存在于二叉排序树之中；在删除时，为了保证删除结点后的二叉树仍为二叉排序树，要考虑各种情况，选择正确 运用动态规划模型解决物流配送中的最短路径问题 王嘉俊 （盐城师范学院数学科学学院09（1）班） 摘要：随着现代社会的高速发展，物流配送成为了连接各个生产基地的枢纽，运输的成本问题也成为了企业发展的关键。运费不但与运量有关，而且与运输行走的线路相关。传统的运输问题没有考虑交通网络，在已知运价的条件下仅求出最优调运方案，没有求出最优行走路径。文中提出“网络上的物流配送问题“，在未知运价，运量确定的情况下，将运输过程在每阶段中选取最优策略，最后找到整个过程的总体最优目标，节省企业开支。 关键词：动态规划，数学模型，物流配送,最优路径 1 引言 物流配送是现代化物流系统的一个重要环节。它是指按用户的订货要求, 在配送中心进行分货、配货, 并将配好的货物及时送交收货人的活动。在物流配送业务中, 合理选择配送径路, 对加快配送速度、提高服务质量、降低配送成本及增加经济效益都有较大影响。物流配送最短径路是指物品由供给地向需求地的移动过程中, 所经过的距离最短(或运输的时间最少, 或运输费用最低) , 因此, 选定最短径路是提高物品时空价值的重要环节。[1] 经典的Dijkstra 算法和Floyd 算法思路清楚,方法简便,但随着配送点数的增加,计算的复杂性以配送点数的平方增加,并具有一定的主观性。我国学者用模糊偏好解试图改善经典方法[]5,取得了较好的效果。遗憾的是,模糊偏好解本身就不完全是客观的。文献[]6详细分析了经典方法的利弊之后,提出将邻接矩阵上三角和下三角复制从而使每条边成为双通路径,既适用于有向图也适用于无向图, 但复杂性增加了。为了避免上述方法存在的不足,本文以动态规划为理论,选择合理的最优值函数,用于解决物流配送最短路径问题。 动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。1951年美国数学家Bellman（贝尔曼）等人根据一类多阶段决策问题的特性，提出了解决这类问题的“最优性原理”，并研究了许多实际问题，从而创建了最优化问题的一种新方法——动态规划。 动态规划在工程技术、管理、经济、工业生产、军事及现代控制工程等方面都有广泛的应用，而且由于动态规划方法有其独特之处，在解决某些实际问题时，显得更加方便有效。由于决策过程的时间参数有离散的和连续的情况，故决 最优二叉查找树 【源程序】 //本程序测试用例为课本例题 #include } return C[1][n]; } int main() { int n; double p[100]; printf("请输入字符个数："); scanf("%d",&n); printf("\n"); printf("请输入每个字符的查找概率："); for(inti=0; i 数据结构第八章习题 及答案 习题八查找 一、单项选择题 1．顺序查找法适合于存储结构为（）的线性表。 A．散列存储 B. 顺序存储或链式存储 C. 压缩存储 D. 索引存储 2.若查找每个记录的概率均等，则在具有n个记录的连续顺序文件中采用顺序查找法查找一个记录，其平均查找长度ASL为( )。 A． (n-1)/2 B. n/2 C. (n+1)/2 D. n 3．适用于折半查找的表的存储方式及元素排列要求为( ) A．链接方式存储，元素无序 B．链接方式存储，元素有序C．顺序方式存储，元素无序 D．顺序方式存储，元素有序 4．当在一个有序的顺序存储表上查找一个数据时，即可用折半查找，也可用顺序查找，但前者比后者的查找速度( ) A．必定快 B.不一定 C. 在大部分情况下要快 D. 取决于表递增还是递减 5．当采用分块查找时，数据的组织方式为 ( ) A．数据分成若干块，每块内数据有序 B．数据分成若干块，每块内数据不必有序，但块间必须有序，每块内最大（或最小）的数据组成索引块 C. 数据分成若干块，每块内数据有序，每块内最大（或最小）的数据组成 索引块 D. 数据分成若干块，每块（除最后一块外）中数据个数需相同 6．二叉树为二叉排序树的充分必要条件是其任一结点的值均大于其左孩子的值、小于其右孩子的值。这种说法（）。 A．正确 B. 错误 7. 二叉查找树的查找效率与二叉树的(（1） )有关, 在 (（2） )时其查找效率最低。 (1): A. 高度 B. 结点的多少 C. 树型 D. 结点的位置 (2): A. 结点太多 B. 完全二叉树 C. 呈单枝树 D. 结点太复 杂。 8．如果要求一个线性表既能较快的查找，又能适应动态变化的要求，则可采用( )查找法。 A. 分快查找 B. 顺序查找 C. 折半查找 D. 基于属性9．分别以下列序列构造二叉排序树，与用其它三个序列所构造的结果不同的是( )。 A．（100，80， 90， 60， 120，110，130） B.（100，120，110，130，80， 60， 90） C.（100，60， 80， 90， 120，110，130） D. (100，80， 60， 90，120，130，110) ● 例：动态规划解最短路径问题： 步骤(1)、(2)已实现。 最优子结构：从起点到终点的最短路径包含了该路径 上各点到终点的最短路径。 递归公式：设v 为图中一个顶点，v 1, v 2,…, v m 为v 的 直接后继，cost(v)表示v 到终点的最短路径 长度，c[u, w]表示边 设有向网G含n个顶点，用邻接矩阵c[1..n, 1..n]表示，起点为s，终点为t 。 有关信息的保存： 数组cost[1..n]: 存储子问题的解。 （cost[i]表示从顶点i到终点t的最短路径长 度。） 数组succ[1..n]: 存储最短路径的有关信息。 （succ[i]表示顶点i到终点t的最短路径上顶 点i的直接后继。） 原问题的最优值为cost[s]。 (1) 自底向上的迭代算法 关键：根据递归公式确定迭代顺序（即子问题的求解顺序）。 原则：计算cost[i]时，顶点i的所有后继的cost值应先计算。 计算顺序：按图G的逆拓扑排序顺序。 算法SHORTEST_ROUTE_LEN1 输入：有向网G的顶点数n, 邻接矩阵c[1..n, 1..n], 起点s和终点t , 1<=s, t<=n。 输出：G的从起点s到终点t的最短路径长度cost[s]和最短路径有关信息的数组succ[1..n]。 //对图G拓扑排序，结果存于数组a[1..n] 中。 toposort(c, n, a) j=n while a[j]< >t j=j-1 //找出j使得a[j]=t 。 for i=j+1 to n cost[a[j]]=∞//排除无关的顶 点。 cost[t]=0 //从终点开始迭代。 while a[j]< >s j=j-1; k=a[j]; i0=0 ; min=∞ for i=1 to n if c[k, i]+cost[i] 第七章动态规划 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划（dynamic programming）同前面介绍过的各种优化方法不同，它不是一种算法，而是考察问题的一种途径。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。当然，由于动态规划不是一种特定的算法，因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。1961年贝尔曼出版了他的第二部著作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部著作。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。许多规划问题用动态规划的方法来处理，常比线性规划或非线性规划更有效。特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。 动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法，并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。 §7.1 动态规划的基本理论 1.1多阶段决策过程的数学描述 有这样一类活动过程，其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策，以使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个阶段（stage，即决策点）都是由输入（input）、决策（decision）、状态转移律（transformation function）和输出（output）构成的，如图7-1（a）所示。其中输入和输出也称为状态（state），输入称为输入状态，输出称为输出状态。 算法综合实验报告 学号： 1004111107 姓名：黄琼莹 一、实验内容： 分别用动态规划、贪心及分支限界法实现对TSP问题（无向图）的求解，并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。 二、程序设计的基本思想、原理和算法描述： （包括程序的数据结构、函数组成、输入/输出设计、符号名说明等） 1、动态规划法 (1)数据结构： 利用二进制来表示集合，则集合S可由一个十进制数x相对应，此x所 对应的二进制数为y，如果y的第k位为1，则表示k存在集合S中。 例如： 集合S={0，1}（其子集合为{}{0}{1}{01}），我们用二进制数11（所对应 十进制数为3）表示S，11中右手边第1个数为1表示0在集合S中， 右手边第二个数为1表示1在集合S中，其他位为0表示其它数字不在 集合S中；同理, 集合S={0,2}（其子集合为{}{0}{2}{02}可用二进制数101（所对应十进制 数为5）表示（右手边第1个数为1表示0在集合S中，右手边第二个 数为0表示1不在集合S中，右手边第3个数为1表示2在集合S中， 则说明0，2在集合中，1不在集合中。 (2)函数组成 getmin():获得该数组的最小值； getJ()：根据2进制j和j中1的个数找下一个j getnextj():返回下一个j的十进制数 (3)输入/输出设计 本题通过键盘进行输入，通过屏幕进行输出 由于题目的输入要求是：第一行输入一个整数n（2<=n<=10），接下来的n行，每行输入n-1个整数，表示i与除了自己之外的所有点之间的距离，按点的编号从小到大顺序输入 可以设计两个for循环来实现数据的输入，外层for循环实现一行一行地输入，内层for循环实现某一行中数据的输入 5 3 1 5 8 3 6 7 9 1 6 4 2 5 7 4 3 8 9 2 3 (4)符号名说明 N：节点数，即城市的数目 matr[20][20]：存邻接矩阵 d[20][40000]={0}：存动态填表数据 min：花费的最小值，即答案 jlist[20]：存放j的二进制数组 V[20]：标记节点是不是被访问过 tmpres[20]:存放结果的数组 (5)算法描述 假设从顶点i出发，令d(i,V’)表示从顶点i出发经过V’中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i的最短路径的长度，开始时，V’=V-{i}，于是，旅行商问题的动态规划函数为： d(i,V’) = min{c ik + d(k,V’-{k})} (k∈V’) 1) d(k,{}) = c ki (k ≠ i) 2) 简单来说,就是用递归表达:从出发点0到1号点,假设1是第一个,则剩下的路程就是从1经过剩下的点最后回到0点的最短路径. 所以当V’为空的时候, d(k,{}) = c ki (k ≠ i), 找的是最后一个点到0点的距离.递归求解1之后,再继续求V’之中剩下的点,最后找出min. 如果按照这个思想直接做,对于每一个i都要递归剩下的V中所有的点,所以这样的时间复杂度就近似于N!,其中有很多重复的工作. 可以从小的集合到大的集合算,并存入一个二维数组,这样当加入一个节点时,就可以用到之前的结果,如四个点的情况: 邻接矩阵: node 0 1 2 3 0 5 3 2 动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告 算法设计与分析实验报告 实验名称 动态规划算法实现多段图的最短路径问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号 一.实验要求 1. 理解最优子结构的问题。 有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段，而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态，与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关。这类问题的解决是多阶段的决策过程。在50年代，贝尔曼（Richard Bellman ）等人提出了解决这类问题的“最优化原理”，从而创建了最优化问题的一种新的算法设计方法－动态规划。 对于一个多阶段过程问题，是否可以分段实现最优决策，依赖于该问题是否有最优子结构性质，能否采用动态规划的方法，还要看该问题的子问题是否具有重叠性质。 最优子结构性质：原问题的最优解包含了其子问题的最优解。 子问题重叠性质：每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。 2.理解分段决策Bellman 方程。 每一点最优都是上一点最优加上这段长度。即当前最优只与上一步有关。 U s 初始值，u j 第j 段的最优值。 ? ????+==≠}.{min , 0ij i j i j s w u u u 3.一般方法 1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3）以自底向上的方式计算出最优值； 4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个 最优解。 步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。 二.实验内容 1.编程实现多段图的最短路径问题的动态规 划算法。 2.图的数据结构采用邻接表。 3.要求用文件装入5个多段图数据，编写从文件到邻接表的函数。 4.验证算法的时间复杂性。 三.程序算法 多段图算法： Procedure FGRAPH（E,k,n,P） //输入是按段的顺序给结点编号的，有n个结点的k段图。E是边集，c（i，j）是边 最短路径动态规划问题及其程序设计 林旭东 (深圳大学管理学院,广东深圳518060) [摘要]本文以最短路径问题为例,在给出佛洛伊德算法的基础上,设计了求解该算法的计算程序,这样可大大提高最短路径计算的效率。 [关键词]最短路径; 动态规划; 程序设计 1 佛洛伊德算法 已知有n个顶点的有向图,佛洛伊德算法能够求解出每一对顶点之间的最短路径。假设使用邻接矩阵d ( i, j)来对图进行存储, d ( i, j)表示υi 到υj 之间的距离,可是该距离不一定是最短距离。佛洛伊德算法的基本思想是:为求顶点υi→υj 之间的最短距离,需要进行n次试探。首先将υ0 加入路[收稿日期] - 12 - 22[作者简介]林旭东(1972 - ) ,男, 湖北武汉人,深圳大学管理学院副教授,博士后,主要研究方向:数量模型与决策分析。径,考虑路径υi →υ0 →υj 是否存在,如果存在,则比较υi →υj和υi →υ0 →υj 的路径长度,取长度短的路径作为υi →υj 的路径,记作(υi ,υj ) 。接着在路径上再增加一个顶点υ1 ,比较υi→υ1 →υj 和(υi ,υj )的路径长度, 取长度短的路径作为(υi ,υj) 。不断将顶点υ2 ,υ3 , .,υn - 1加入进行试探, 最后得到的(υi ,υj )必定为υi →υj 的最短路径。若使用数组dk ( i, j)表示加入顶点k后,最短路径长度的变化情况,使用数组pk ( i, j)表示加入顶点k后,最短路径上顶点的变化情况,这样佛洛伊德算法就会产生一组d 0 ( i, j) ,d1 ( i, j) , ., dn - 1 ( i, j)和一组p0 ( i, j) , p1 ( i, j) , ., pn - 1 ( i, j) 。 R2 = 01314 014 01286 0 01197 01263 01394 01146 学号 数据结构课程设计 设计说明书 排序二叉树的遍历 起止日期：2011 年12月12日至2011 年12月16日 学生姓名 班级 成绩 指导教师(签字) 电子与信息工程系 2011年12月16日 天津城市建设学院 课程设计任务书 2011 —2012 学年第二学期 电子与信息工程系软件工程专业班级 课程设计名称：数据结构课程设计 设计题目：排序二叉树的遍历 完成期限：自2011 年12月12 日至2011 年12月16 日共 1 周 设计依据、要求及主要内容（可另加附页）： 一、设计目的 熟悉各种数据结构和运算，会使用数据结构的基本操作解决一些实际问题。 二、设计要求 （1）重视课程设计环节，用严谨、科学和踏实的工作态度对待课程设计的每一项任务； （2）按照课程设计的题目要求，独立地完成各项任务，严禁抄袭；凡发现抄袭，抄袭者与被抄袭者皆以零分计入本课程设计成绩。凡发现实验报告或源程序雷同，涉及的全部人员皆以零分计入本课程设计成绩； （3）学生在接受设计任务后，首先要按设计任务书的要求编写设计进程表； （4）认真编写课程设计报告。 三、设计内容 排序二叉树的遍历（用递归或非递归的方法都可以） 1)问题描述 输入树的各个结点，建立排序二叉树，对建立的排序二叉树进行层次、先序、中序和后序遍历并统计该二叉树中叶子结点的数目。 2)基本要求 (1)用菜单实现 (2)能够输入树的各个结点，并能够输出用不同方法遍历的遍历序列和叶子结点的数目。 四、参考文献 1．王红梅．数据结构．清华大学出版社 2．王红梅．数据结构学习辅导与实验指导．清华大学出版社 3．严蔚敏，吴伟民．数据结构（C语言版）．清华大学出版社 指导教师（签字）： 教研室主任（签字）： 批准日期： 2011 年 12 月 17 日 主要内容： 一、需求分析： 输入树的各个结点，建立排序二叉树，对建立的排序二叉树进行层次、先序、中序和后序遍历并统计该二叉树中叶子结点的数目。 我自己的思想：首先设想把源程序分成头文件，调用和主函数三部分。在头文件中申明类和定义结构体，把先序，中序，后序，层次和叶子节点数的函数定义在类中。然后在调用文件中，把几个函数的实现定义写在里面。最后在主函数中把输出结果以菜单的样式输出来的方式写完主函数程序。实现的过程是先想好自己要输入的是什么，然后通过输入节点制，判断其是否是满足前序遍历，满足则可以实现下后面的功能。 二、问题求解： 现实中的问题：给同学排队问题。 层次是从头开始每一层一层的排，然后分别记号码。 前序是先从最上面的那一个开始往左手边开始排，排之前先计算好人数，然后开始排，排玩左边排右边。 中序是先从最左边开始，然后左斜上角，然后右下角，再左斜上角，直到最上层为止，然后安这个顺序继续排右边的。 后序是先从最左边开始的，左边的一次排过来，然后直接排右边的，也是安依次的顺序，最后才是最上层的。 最短路径问题 下图给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路长度。 现在，我们想从城市a到达城市E。怎样走才能使得路径最短，最短路径的长度是多少？设DiS［x］为城市x到城市E的最短路径长度（x表示任意一个城市）； map[i，j]表示i，j两个城市间的距离，若map[i，j]=0，则两个城市不通； 我们可以使用回溯法来计算DiS［x］： var S：未访问的城市集合； function search(who{x})：integer； {求城市who与城市E的最短距离} begin if Who＝E Then Search←0 {找到目标城市} Else begin min←maxint；{初始化最短路径为最大} for i 取遍所有城市 Do if（map[Who，i]＞0{有路}）and（i S{未访问}） then begin S←S－[i]；{置访问标志} j←map[Who，i]+ search(i)； {累加城市E至城市Who的路径长度} S←S＋[i]； {回溯后，恢复城市i未访问状态} if j＜min Then min←j； {如果最短则记下} end；{then} search←min；{返回最短路径长度} End；{else} End；{search} begin S←除E外的所有城市； Dis[a]←search（a）；{计算最短路径长度} 输出Dis[a]； end．{main} 这个程序的效率如何呢？我们可以看到，每次除了已经访问过的城市外，其他城市都要访问，所以时间复杂度为O（n！），这是一个“指数级”的算法。那么，还有没有效率更高的解题方法呢？ 树形动规题型分析北京大学李煜东 Ural1039 没有上司的舞会 题目大意：Ural大学有N个职员，编号为1~N。他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。每个职员有一个快乐指数。现在有个周年庆宴会，要求与会职员的快乐指数最大。但是，没有职员愿和直接上司一起与会。 F[i][0]表示以i为根的子树，i不参加舞会时的最大快乐指数。 F i0= s∈Son i Max(F s0,F[s][1]) F[i][1]表示以i为根的子树，i参加舞会时的最大快乐指数。 F i1=Happy i+ s∈Son i F s0 通过DFS求出F数组，目标就是Max(F[1][0],F[1][1])。 Nescafé8 创世纪 题目大意：上帝手中有着N(N<=1000000)种被称作“世界元素”的东西，现在他要把它们中的一部分投放到一个新的空间中去建造世界。每种世界元素都可以限制另外一种世界元素，上帝希望所有被投放的世界元素都有至少一个没有被投放的世界元素能够限制它。 上帝希望知道他最多可以投放多少种世界元素？ 每个世界元素的出度都是1(只能限制另外一种)，所以题目中的限制条件构成内向树森林。 如果题目中的限制条件构成的图是一棵树，那么DP方法和上一题类似：F[i][0]表示i没有被投放时，以i为根的子树里最多可以投放多少种世界元素。 F[i][1]表示i被投放时，以i为根的子树里最多可以投放多少种世界元素。 F i0=s∈Son i Max(F s0,F[s][1]) F i1=Max F s0+s′∈Son i,s′≠s Max F s′0,F s′1|s∈Son i 如果是内向树，那么任意枚举基环上的一条边，先把它断开(不使用这个限制条件)，在剩余的树上进行树状动规；然后再强制使用这个限制条件，再进行一次树状动规。 课程题目:按给定的先序序列来建立二叉树 班级：10计算机2班姓名：熊芸芸学号：10070518 完成日期：12月2日星期五 一、需求分析 1、题目要求 1.1 存储结构: 以二叉链表作为二叉树的存储结构 1.2 二叉树的创建：以给定的先序序列来创建二叉树 1.3 输出二叉树: 以中序和后序序列输出二叉树的结点 2、测试数据： A B $ D G $ $ $ C E $ H $ $ F $ $（$表示空格符号） 二、概要设计 ADT BinaryTree { 数据对象D： D是具有相同特性的数据元素的集合。数据关系： R1＝{ |a i-1,a i ∈D, i=2,...,n } 数据关系 R：若D为空集，则称为空树； 否则:(1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root, (2) 当n>1时，其余结点可分为m (m>0)个互不相交的有限集T1, T2, …, Tm, 其中每一个子集本身又是一棵树,称为根root的子树。 基本操作： InitStack(SqStack &s) //初始化栈 StackElemty(SqStack &s) //判断栈是否为空 Push(SqStack &s,BiTree e) //将元素e进栈 Pop(SqStack &s,BiTree &e) //出栈，栈顶元素返回给e CreateBiTree(BiTree &t) //用先序建立一个二叉树，空格表示空树 InOrderTraverse(BiTree t,Status(* Visit)(TElemType e))//用非递归方式实现中序遍历，对每个元素调用函数visit PostorderTraverse(BiTree t) //用递归方式实现后序遍历 } ADT BinaryTree 三、详细设计 #include 数据结构课程设计报告二叉排序树的实现
用动态规划法实现有向图的最短路径问题。
数学建模算法动态规划
树型动态规划(C++版)
二叉排序树运算-数据结构与算法课程设计报告_l
运用动态规划模型解决最短路径问题
最优二叉查找树_动态规划
数据结构第八章习题及答案教学提纲
例：动态规划解最短路径问题：
动态规划习题
贪心、分支限界、动态规划解决最短路径问题
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告
最短路径Floyd算法动态规划问题及其程序设计样本
数据结构 课程设计 排序二叉树
动态规划-最短路径问题
树形动规题型分析
按给定的先序序列来建立二叉树