高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义

一、基础知识【理解去记】

1．椭圆的定义，第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离)的点的轨迹，即|P Ｆ1|+｜P Ｆ2|=2a （2ａ＞|F 1F 2|＝2ｃ）.

第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e （0<ｅ＜１)的点的轨迹(其中定点不在定直线上),即

e d

PF =|

|（0＜e<１). 2.椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程,若焦点在x 轴上，列标准方程为

若焦点在y 轴上，列标准方程为

3．椭圆中的相关概念,对于中心在原点，焦点在x ａ称半长轴长，ｂ称半短轴长，c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a ， ０), (0， ±ｂ),

4．椭圆的焦半径公式:对于椭圆=+22

22b

y a x １(a>b>0)， F １(-c, ０), F ２(c, 0)是它的两焦点。若Ｐ(x, y ）是椭圆上的

任意一点，则|PF １|＝a+ex, |PF ２|=a －ex.

5.补充知识点: 几个常用结论：

１)过椭圆上一点P(x 0, y 0）的切线方程为:

12020=+b

y

y a x x ; 2)斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=;3)过焦点F 2（c, 0)倾斜角为θ的弦的长为

θ

2

222

cos 2c a ab l -=。 6.双曲线的定义,第一定义:

满足｜｜PF 1｜-|ＰＦ２||=2a （2a ＜２ｃ=|F １F 2|, a ＞0）的点P 的轨迹； 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数e （>1）的点的轨迹。 7．双曲线的方程:中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线方程为

参数方程为??

?==?

?

tan sec b y a x （?为参数)。

焦点在ｙ轴上的双曲线的标准方程为

8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在x a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, ０)， （ａ， 0). 左、右焦点为F 1(－ｃ,０), F 2(c,

为等轴双曲线。 ９．补充知识点： 双曲线的常用结论，

1）焦半径公式，对于双曲线122

22=-b

y a x ，Ｆ１(-c,0）， F ２(c, 0)是它的两个焦点。设Ｐ（x ，ｙ）是双曲线上的任

一点,若P 在右支上，则｜PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex －a ；若Ｐ(x ，y)在左支上,则|PF 1|＝-e ｘ-a,｜PF 2|＝-ex+a.

２） 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ

2

222

cos 2c a ab -。

抛物线常用结论：若P(x 0， y 0)为抛物线上任一点, 1）焦半径|P Ｆ|＝2

p x +

; 2)过点P 的切线方程为y 0y ＝p(ｘ＋x 0）;3）过焦点倾斜角为θ的弦长为

θ

2

cos 12-p

。 二、直线与圆锥曲线的位置关系

一、知识整理：

1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。

多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。 2.解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：

设线、设点, 联立、消元， 韦达、代入、化简。

第一步：讨论直线斜率的存在性,斜率存在时设直线的方程为y=ｋx+b （或斜率不为零时,设x ＝my ＋a ）； 第二步:设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x １,y 1)B(ｘ２,y 2）;

第三步:联立方程组?

??=+=0)y ,x (f b

kx y ,消去y 得关于x 的一元二次方程;

第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件?

??>?0二次系数不为零，???=?=

+2121x x x x

第五步:把所要解决的问题转化为x 1+x ２ 、ｘ1x 2 ,然后代入、化简。

３.弦中点问题的特殊解法----－点差法:即若已知弦AB 的中点为M(x o ，y o ），先设两个交点为Ａ(ｘ1，y １）,B(x 2,y 2）；

分别代入圆锥曲线的方程,得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，再将o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。 ４.弦长公式：]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k 1|AB |212212212-++=

-+=（ k 为弦A Ｂ所在直线的斜率）

高考真题:

1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32

a x =上一点,1

2PF F ?是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为( )

()

A 12 ()

B 23 ()

C 34 4

5

()D ? 【答案】C

【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题.

【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， 322

c a =

,∴e =3

4,故选

∴0

260PF A ∠=,212||||2PF F F c ==,∴2||AF ＝c ，∴C ．

2．【2０12高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162

=的准线交于,A B 两点,43AB =;则C 的实轴长为( ） ?()

A 2 ()

B 22 ()

C 4 ()

D 8

【答案】C

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题．

【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为:2

2

2

x y a -=,将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB ＝43,∴2216a -=43,解得a =２， ∴C 的实轴长为4，故选C.

3.【2012高考山东文１1】已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点

到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y = (Ｂ） 2163

x y = (Ｃ)28x y = (D)216x y = 【答案】D

考点：圆锥曲线的性质

解析:由双曲线离心率为２且双曲线中a,b,c 的关系可知a b 3=

,此题应注意C2的焦点在y 轴上,即(０

,ｐ/２)到直线

x y 3=的距离为2,可知p=8或数形结合,利用直角三角形求解。

4＼【2012高考全国文１0】已知1F 、2F 为双曲线22

:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上,12||2||PF PF =，则

12cos F PF ∠=

(A ）

14 (B ）35 （Ｃ)34 (D)45

【答案】Ｃ

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由题意可知,2,2a b c =

=∴=，设12||2,||PF x PF x ==，则12||||222PF PF x a -===，故

12||42,||22PF PF ==,124F F =,利用余弦定理可得

22222212121212(42)(22)43

cos 2422242

PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===???。

5\(2011年高考广东卷文科8）设圆C 与圆 错误!未找到引用源。 外切,与直线0y =错误！未找到引用源。相切．则C 的圆心轨迹为（ )

A ． 抛物线

B ． 双曲线 Ｃ． 椭圆 Ｄ. 圆

6.【２012高考四川文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =( )

A 、22 Ｂ、3 C 、4 Ｄ、5【答案】B

［解析]设抛物线方程为y ２

＝２ｐｘ(p>0）,则焦点坐标为（

0,2p ),准线方程为x ＝2

p

-,

3

2)22(2||22,22

2,13

2p 22p -22202202=+=∴∴===+=+∴∴OM M y p y M M 有：），根据两点距离公式（点解得：）（）（线的距离，即到焦点的距离等于到准在抛物线上，

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |M Ｆ|=d,（M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，ｄ为点M 到准线的距离）.

7.(2011年高考湖南卷文科6)设双曲线22

21(0)9

x y a a -

=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为( ） A ．４ Ｂ.３ C ．2 Ｄ．1 答案：C

解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3

y x a

=±

，故可知2a =。 8.【２012高考四川文1５】椭圆22

21(5

x y a a +

=

为定值，且a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ?的周长的最大值是１2,则该椭圆的离心率是＿_＿___。

【答案】3

2

，

[解析]根据椭圆定义知:4ａ=１2, 得ａ=3 , 又52

2

=-c a

3

2,2==

∴=∴a c e c ［点评］本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.

9.【2012高考辽宁文１5】已知双曲线x ２

- ｙ2

＝1,点F 1，Ｆ2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若P F １⊥Ｐ Ｆ2,则∣P F １∣＋∣P F 2∣的值为____＿__＿___________.

【答案】【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适

中。

【解析】

由双曲线的方程可知121,22,a c PF PF a ==∴-==

22

112224PF PF PF PF ∴-+=

22

21212122

1212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+=

【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。

1０.【2０１2高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22

214

x y m m -=+则m 的值

为 ▲ . 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由22

214x y m m -=+得a b c

∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。 11.【２０1２高考安徽文１4】过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,若||3AF =,则||BF ＝______。 【答案】

32

【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =;则点A 到准线:1l x =-的距离为3 得:1323cos cos 3θθ=+?=

又232cos()1cos 2

m m m πθθ=+-?==+ 1２.(2011年高考辽宁卷文科7）已知 F 是抛物线2

y x = 的焦点,Ａ.Ｂ是该抛物线上的两点,|ＡＦ|+|BF|＝3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为——————。

解析:设Ａ、B 的横坐标分别是m 、n ，由抛物线定义,得AF BF 3+==ｍ+

14+n ＋14= m+n+12＝3，故m+ｎ=5

2

，524

m n +=，故线段ＡＢ的中点到y 轴的距离为5

4。

１３、【2012高考广东文20】（本小题满分１4分）

在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C :22

221x y a b

+=(0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上.

(1）求椭圆1C 的方程;

(2)设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：2

4y x =相切,求直线l 的方程. 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =,

点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得21

1b

=,即1b =,

所以2

2

2

2a b c =+=,

所以椭圆1C 的方程为2

212

x y +=. （2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+,

2

212

x y y kx m ?+=???=+?

,消去y 并整理得222

(12)4220k x kmx m +++-=, 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2

2

2

2

164(12)(22)0k m k m ?=-+-=， 整理得2

2

210k m -+= ①

24y x y kx m

?=?

=+?，消去y 并整理得222

(24)0k x km x m +-+=。 因为直线l 与抛物线2C 相切,所以2

2

2

(24)40km k m ?=--=, 整理得1km = ②

综合①②，解得222k m ?=???=?或222k m ?=-

???=?

。

所以直线l 的方程为222y x =

+2

22

y x =-。 １４、【２０12高考安徽文20】(本小题满分13分）

如图,21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22

b

y =１（0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与

椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =6０°.

（Ⅰ)求椭圆C 的离心率；

(Ⅱ)已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值． 【解析】（Ｉ)121

6022

c F AF a c e a ο

∠=?=?=

= (Ⅱ)设2BF m =；则12BF a m =-

在12BF F ?中,222

12122122cos120BF BF F F BF F F ο

=+-?? 2

2

2

3

(2)5

a m m a am m a ?-=++?=

1AF B ?面积211133sin 60()403

2252

10,5,53S F F AB a a a a c b

ο=??????+?=?===

１５．【2１0２高考北京文1９】(本小题共14分)

已知椭圆C ：22x a +2

2y b

=１(a>b ＞0）的一个顶点为Ａ （2，０),离心率为22， 直线y=k （ｘ－1)与椭圆C 交与不

同的两点Ｍ,N

（Ⅰ）求椭圆C 的方程 (Ⅱ）当△AMN 的面积为

10

时,求k 的值 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是非常熟悉的,相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

解：（1）由题意得2

2222a c

a a

b

c =??

?=

??=+??

解得2b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=． （２）由22(1)142

y k x x y =-???+

=??得2222

(12)4240k x k x k +-+-=.

设点Ｍ,N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ,则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+，2122

24

12k x x k

-=+． 所以｜MN|=2

2

2121()()x x y y -+-＝2

2

1212(1)[()4]k x x x x ++-＝222(1)(46)

k k ++.

由因为点Ａ(2,０)到直线(1y k x =-）的距离2

12d k

=+，

所以△ＡMN 的面积为21||46||2k k S MN d +=?=. 由2||4610

k k +=,解得 1k =±.

16.【21０2高考福建文２1】（本小题满分12分)

如图,等边三角形OAB 的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py(p ＞0）上。

（1） 求抛物线E 的方程;

（2） 设动直线l 与抛物线Ｅ相切于点P,与直线ｙ＝-1相较于点Q 。证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点。

考点:圆锥曲线的定义,直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。 难度：难。

分析:本题考查的知识点为抛物线方程的求解,直线和圆锥曲线的联立,定值的表示及计算。 解答:

(I)设1122(,),(,)A x y B x y ;则22

11222,2x py x py ==

222222

11221122

1212121222()(2)0(2,,0)

OA OB x y x y py y py y y y p y y y y p y y =?+=+?+=+?-++=?=>

得:点,A B 关于y 轴对称(lf ｘlby)

(OA OB AB A B ===-

代入抛物线E 的方程得:2

22x p y

==?抛物线E 的方程为24x y =

（I Ｉ）设200(,)4x P x ;则211

42

y x y x '=?=

过点P 的切线方程为200011()42y x x x x -

=-即2

00

1124

y x x x =- 令2

00

4

1(,1)2x y Q x -=-?-

设(0,)M t 满足:0MP MQ =及200004

(,),(,1)2x MP x y t MQ t x -=-=--

得：22

04(2)(1)0t t t x +-+-=对00x ≠均成立

2

20,101t t t t ?+-=-=?= 以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点(0,1)M

17.【201２高考上海文２２】(本题满分16分）本题共有３个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分,第3小题满分６分

在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2

2

:21C x y -=

（1）设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点,

若MF =,求点M 的坐标；

（2)过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3)设斜率为k

(k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点,若l 与圆2

2

1x y +=相切,求证:OP ⊥OQ

［解](1）双曲线1:

22

12

=-y C x ,左焦点)0,(2

6-

F ．

设),(y x M ，则2

2

2222

62)

3()(||+

=++=x y x MF ， ……2分

由Ｍ是右支上一点，知2

2≥x ，所以223||2

2=+=x MF ,得2

6

=

x .

所以)2,(2

6±M . ……5分 （2)左顶点)0,(2

2-

A ,渐近线方程:x y 2±=.

过Ａ与渐近线x y 2=

平行的直线方程为：)(22

2+

=x y ,即12+=x y .

解方程组???+=-=122x y x y ，得?????=-

=2

1

4

2y x . ……8分 所求平行四边形的面积为4

2

||||=

=y OA S . 0

(3)设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故

11

||2=+k b ,

即12

2

+=k b (*). 由??

?=-+=1

22

2y x b kx y ,得012)2(2

22=----b kbx x k . 设Ｐ(x 1, y 1)、Q (x ２, y ２），则?????==+----2

2

2

21212221k b k kb

x x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以

2

212122121)()1(b x x kb x x k y y x x ++++=+=?

2

2

222

22

2221222)

1)(1(k k b k b k k

b k --+-----+=

+.

由(*）知0=?,所以OP ⊥OQ ． ……1６分

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线,它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．