第一章 三角形的初步认识总复习 讲义

龙文教育学科教师辅导讲义

学员姓名：辅导课目：数学年级：七年级学科教师：汪老师授课日期及时段

课题第一章三角形的初步认识总复习

重点、难点、考点1、三角形的基本概念的应用

2、三角形全等的证明

学习目标1、理解三角形的相关概念

2、会证明三角形的全等

教学内容

第一章三角形的初步认识总复习：

1.1认识三角形

①“△ABC”读作“三角形ABC”。三角形任何两边的和大于第三边。

②三角形三个内角的和等于180°。三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。

1.2三角形的平分线和中线

在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

1.3三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。

1.4全等三角形

能够重合的两个三角形称为全等三角形。

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

“全等”可用符号“≌”来表示。全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

1.5三角形全等的条件

①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ”）。

当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。 ②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）。 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA ”）。 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS ”）。 角平分线上的一点到角两边的距离相等。

1.6作三角形:在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。

【例1】 如下左图，BD 、AC 交于O ，若OA=OD ，用“SAS ”证△AOB ≌△DOC 还需（ ）

A ．AB=DC

B ．OB=O

C C ．∠A=∠

D D ．∠AOB=∠DOC

【分析】 用“SAS ”证全等有三个独立条件，已知OA=OD ，显然还差两个，?由AC 、BD 相交可得∠AOB 与∠DOC 是一对对顶角，第三个条件应该围绕夹角∠AOB 、?∠DOC 找，显然OB 与OC 应是另一组夹边． 【解】 选B ．

【例2】 如上右图，已知AB 、CD 相交于O ，△ACO ≌△BDO ，AE=?BF ，?试说明CE=FD ．

【分析】 本题考查SAS 公理的应用，要证CE=FD ，只要证△OCE ≌△ODF ．?显然∠EOC=∠FOD ．需证OE=OF ，OC=OD ．因AE=BF ，故需证OA=OB ，由已知△ACO ≌△BDO ，可得OC=OD ，OA=OB ．

【解】 ∵△ACO ≌△BDO ∴CO=DO ，AO=BO ∵AE=BF ，∴EO=FO 在△EOC 与△FOD 中

CO DO

COE DOF EC FD =??

∠=∠??=?

∴△EOC ≌△FOD ，∴EC=FD

【例3】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上中线．试说明AD<（AB+AC ）．

【分析】 证明边之间的关系一般是在一个三角形中利用“三角形边的关系推论”，所以考虑把线段AB 、AD 、AC 的等价线段放在一个三角形中．因此需添加辅助线，而涉及到一边的中线问题需要引辅助线，常用方法：延长中线使之延长后的线段与中线相等并连结，构造成两个三角形全等． 【解】 延长AD 到E ，使DE=AD 在△ACD 与△EDB 中

AD ED

ADC EDB CD BD =??

∠=∠??=?

∴△ADC ≌△EDB

∴BE=CA 在△EBA 中，AE

2

（AB+AC ）

学生练习1：

1、两边和一角对应相等的两个三角形（ ）

A ．全等

B ．不全等

C ．不一定全等

D ．以上判断都不对 2、如图，AE=CF ，∠A=∠C ，AD=CB ，试说明△ADF ≌△CB

E ．

3、如图，已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，CE=DF ，AB=EF ．试说明：?AC ∥BD ．

4、如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 上的中线AD 的取值范围是多少？

5、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，延长ED 至P ，使ED=DP ，?连接FP 与CP ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系．

【例4】如图，△ABC ≌△A 1B 1C 1，AD 、A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的高．?试说明：AD=A 1D 1．

【分析】 要证AD=A 1D 1，只需证AD 与A 1D 1所在的两个三角形全等，比如放在△ABD 与△A 1B 1D 1中，已知△ABC ≌△A 1B 1C 1，相当于已知它们的对应边相等、对应角相等，在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系．

【解】 ∵△ABC ≌△A 1B 1C 1 ∴AB=A 1B 1，∠B=∠B 1，

∵AD 、A 1D 1分别是△ABC 、△A 1B 1C 1的高． ∴∠ADB=∠A 1D 1B 1=90°

在△ABD 与△A 1B 1D 1中

1

11111B B ADB A D B AB A B

∠=∠??

∠=∠??=?

∴△ABD ≌△A 1B 1D 1，∴AD=A 1D 1．

【例5】 如图，已知AB=AC ，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且AD=AE ，试说明：△BDF ≌△CEF ．

【分析】 在△BFD 与△CFE 中，有一组对角相等，由已知条件得，BD=CE ，?只要证明它们的另一组对角∠C 与∠B 相等，就可证出结论，为了证∠C=∠B ，可以由△ACD?与△ABE 全等得到．

【解】 在△ABE 与△ACD 中

AB AC A A AD AE =??

∠=∠??=?

∴△ABE ≌△ACD ， ∴∠B=∠C ∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE

在△BDF 与△CEF 中

B C DFB EFC BD CE ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△BDF ≌△CEF ． 【例6】 如图，BD 、CE 交于O ，OA 平分∠BOC ，△ABD 的面积和△ACE 的面积相等，试说明BD=CE ．

【分析】 有了角平分线性质定理，使证明线段相等又多了一种方法．同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度关系，也是几何证明题中常用的方法．

【解】 过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ．

∵OA 平分∠BOC ∴AF=AG （角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ∵S △ABD =S △ACE ∴12AF ·BD=1

2

AG ·CE ∴BD=CE ．

学生练习2：

1、如图1，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，连接BD 、CD ，并延长交AC 、AB 于F 、E ，?则图形中全等三角形有（ ）

A ．2对

B ．3对

C ．4对

D ．5对

(1) (2) (3) 2、如图2，BC ⊥AC ，BD ⊥AD ，垂足分别是C 和D ，若要根据AAS 定理，使△ABC?≌△ABD （AAS ），应补上条件________或___________．

3、如图3，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明AD=BC的理由．

解：∵_________，__________（已知）∴∠1+∠3=_________．

即_______=_______．

在_________和________中∴△_______≌△_______（）

∴AD=BC（）

4、如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_______的距离相等．

9．如图，已知M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D．说出下列判断正确的理由：

（1）△AMC≌△BMD；（2）AC=BD．

5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE?的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．（1）试说明：AE=CD；（2）AC=12cm，求BD的长．

6、如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个诊断：①AB=AC，②∠B=∠C，?③∠BAC=∠EAD，④AD=AE．请以其中三

×○× ○×的形式）写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，个诊断作条件，余下一个诊断作为结论（用序号○×○

并说明原因．

学生练习3：

一、选择题：

1、下列各组长度的线段能构成三角形的是( )

A 、1.5cm 3.9cm 2.3cm

B 、3.5cm 7.1cm 3.6cm

C 、6cm 1cm 6cm

D 、4cm 10cm 4cm

2、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B=

2

1∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有( )

A 、1个；

B 、2个；

C 、3个；

D 、4个 3、锐角三角形中任意两个锐角的和必大于( ) A 、120° B 、110° C 、100° D 、90°

4、如图1，△ABC 中，CD ⊥BC 于C ，D 点在AB 的延长线上，则CD 是△ABC( ) A 、BC 边上的高； B 、AB 边上的高； C 、AC 边上的高； D 、以上都不对；

5、下列说法错误的是( )

A 、有两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等；

B 、一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；

C 、有一条边和两个角对应相等的两个三角形全等；

D 、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

6、如图2，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，则图中互余的角有( )

A 、2对；

B 、3对；

C 、4对；

D 、5对； 7、如图3，PD ⊥AB ，P

E ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PA 平分∠BAC ，则△APD 与△APE 全等的理由不是( )

A 、SAS

B 、AAS

C 、SSS

D 、ASA

8、如图4，能用AAS 来判断△ACD ≌△ABE 需要添加 的条件是( ) A 、∠AED=∠ABC ，∠C=∠B

B 、∠AEB=∠AD

C ，CD=BE

C 、AC=AB ，AD=AE

D 、AC=AB ，∠C=∠B 9、如图5为两个相同的矩形，若阴影区域的面积 为10，则图6的阴影面积等于( ) A 、40 B 、30 C 、20 D 、10

10、如图7，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时(即n=10)时，需要的火柴棒总数为( )根 A 、165 B 、65

C 、110

D 、55

A C

B D

A B

D C A B

C D P

E

A C D

B E 图5

图6 图4 图3

图2 图1 图7

二、填空题：

11、在△ABC 中，AB=3cm ，BC=7cm ，则AC 边的取值范围是_____________；

12、在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是

___________三角形；

13、把一副常用的三角形如图所示拼在一起，那么如图8中 ∠ADE 是_______度； 14、如图9，∠ACD 是△ABC 的外角，若∠ACD=125°， ∠A=75°，则∠B=_________度；

15、如图10，如果AD=BC ，∠1=∠2， 那么△ABC ≌△CDA ，根据是________________； 16、如图11，已知∠ABC=∠DCB ，现要说明△ABC ≌△DCB ，则还要补加一个条件是_____________或________________或_______________；

17、在△ABC 中，如果∠A ∶∠B ∶∠C=2∶2∶4，则这个三角形中最大的角是_______度，按角分，

这是一个_________三角形；

18、如图12，△ABC 中，AB=AC ，

AD 是∠ABC 的角平分线，则

∠ABD_____∠ACD (填“>”、“<”或“=”) 19、一个三角形的两边长分别为2和9，若第三边的 长为奇数，则第三边的长为_________；

三、解答题：

20、如图14，按下列要求作图： (1)作出△ABC 的角平分线CD ； (2)作出△ABC 的中线BE ； (3)作出△ABC 的高AF 和BG (要求有明显的作图痕迹，不写作法)

A D E B

C 图8 A B C D

A B C D 1 2 A B C D O

图9 图10 图11

A B C D 图12 A

B

C

图14

21、已知：如图15在△ABC ，∠BAC=80°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠B=60°，(1)求∠AEC 的度数；(2)想一想，还有其它的求法吗？写出你的思考。

22、(8分)如图16，已知AB=AC ，BD=CE ，请说明△ABE ≌△ACD

23、(8分)如图17，已知∠ACB 和∠ADB 都是直角，AB 平分∠CAD ，E 是AB 上任一点，请说明CE=DE 的理由。

A B C D E 图15 A B C D E 图16 A B C

D E 图17

24、如图18，在一水库的两测有A 、B 两点，请设计一种方案测量出A 、B 两点的距离(只说明设计方案，不要求数据计算、要求画出图形，并说明理由)

25、(9分)如图19，已知AC 、BD 交于O 点，且∠A=∠B ，OD=OC ，EF 为过O 点的一条线段，分别交AD 、BC 于F 、E 点，现要求补充一个条件，使得O 点能平分线段EF(说明理由) 条件：______________ 理由：

26、如图，△ABC 中，AD 垂直平分BC,H 是AD 上一点，连接BH,CH.

(1)AD 平分∠BAC 吗？为什么？

(2)你能找出几堆相等的角？请把他么写出来（不需写理由）

图18 A B A B C D E F O A

C

B

H

D