人教版数学七年级上册 平面图形的认识(一)专题练习(解析版)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．

（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．

（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．

（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．

（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．

【答案】（1）解：∵

∴

∵

∴

∴

（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H

∴

∵

∴

∴

∴

即

（3）解：过点G作交BE于点H

∴

∵

∴

∴

∴

即

故的关系仍成立

（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H

∴∠DEC=∠EGH

∵

∴

∴∠HGF+∠BFG=180°

∵∠HGF=∠EGF-∠EGH

∴∠HGF=∠EGF-∠DEC

∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，

，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到

，因为，所以，得到，

即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．

2．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧

（1）若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动

①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；

②点F(异于A，B，C点)在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；

（2）若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式，则

________.

【答案】（1）解：①

又 E为BC中点

；

②设，因点F（异于A、B、C点）在线段AB上，可知：

，和

当时，

此时可画图如图2所示，代入得：

解得：，即AD的长为3

当时，

此时可画图如图3所示，代入得：解得：，即AD的长为5

综上，所求的AD的长为3或5；

（2） .

【解析】【解答】（2）①若DE在如图4的位置设，则

又

（不符题设，舍去）

②如DE在如图5的位置

设，则

又

代入得：

解得：

则 .

【分析】（1）①根据AB的长和可求出AC和BC，根据中点的定义可得CE，再由可得CD，最后根据计算即可得；②设，因点F（异于A、B、C点）在线段AB上，可知，和，所以需分2种情况进行讨论：和，如图2、3（见解析），先根据已知条件判断点E、F位置，再将EF和CE用含x的式子表示出来，最后代入求解即可；

（2）设，先判断出DE在AB上的位置，再根据得出x和y 满足的等式，然后将其代入化简即可得.

3．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点在AC边上，且∠1=∠2= ．

（1）求证：EF∥CD；

（2）若∠AGD=65°，试求∠DCG的度数.

【答案】（1）证明：∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，

∴∠BFE=∠BDC=90°，

∴EF∥CD.

（2）解：∵EF∥CD，

∴∠2=∠DCE=50°，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠DCE,

∴DG∥BC，

∴∠AGD=∠ACB=65°，

∴∠DCG=

【解析】【分析】（1）由垂直的定义，可求得∠BFE=∠CDF=90°，可证明EF∥CD；

（2）利用（1）的结论，结合条件可证明DG∥BC，利用平行线的性质可得∠AGD=∠ACB= ，则∠DCG=∠ACB-∠2即可求得．

4．如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．

（1）求∠MON的度数；

（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；

（3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；

（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？

【答案】（1）解：∠AOB=90°，∠BOC=30°，

∴∠AOC=90°+30=120°．

由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC=60°，∠CON= ∠BOC=15°．

∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，

∴∠MON=60°﹣15°=45°

（2）解：∠AOB=α，∠BOC=30°，

∴∠AOC=α+30°．

由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC= α+15°，∠CON= ∠BOC=15°．

∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，

∴∠MON= α+15°﹣15°= α

（3）解：∠AOB=90°，∠BOC=β，

∴∠AOC=β+90°．

由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC= β+45°，∠CON= ∠BOC= β．

∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，

∴∠MON= β+45°﹣β=45°

（4）解：根据（1）、（2）、（3）可知∠MON= ∠BOC，与∠BOC的大小无关

【解析】【分析】（1）先求得∠AOC的度数，然后由角平分线的定义可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（2）先求得∠AOC=α+30°，由

角平分线的定义可知∠MOC= α+15°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解

即可；（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分线的定义可知∠MOC= β+15°，∠CON= β，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（4）根据计算结果找出其中的规律即可．

5．如图1，已知线段AB=16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点．

（1）若点C恰为AB的中点，求DE的长；

（2）若AC=6cm，求DE的长；

（3）试说明不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变；

（4）知识迁移：如图2，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=65°与射线OC的位置无关．

【答案】（1）解：∵点C恰为AB的中点，

∴AC=BC= AB=8cm，

∵点D、E分别是AC和BC的中点，

∴DC= AC=4cm，CE= BC=4cm，

∴DE=8cm

（2）解：∵AB=16cm，AC=6cm，

∴BC=10cm，

由（1）得，DC= AC=3cm，CE= CB=5cm，

∴DE=8cm

（3）解：∵点D、E分别是AC和BC的中点，

∴DC= AC，CE= BC，

∴DE= （AC+BC）= AB，

∴不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变

（4）解：∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠DOC= ∠AOC，∠EOC= ∠BOC，

∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= （∠AOC+∠BOC）= ∠AOB=65°，

∴∠DOE=65°与射线OC的位置无关

【解析】【分析】（1）由点C恰为AB的中点，得到AC=BC的值，再由点D、E分别是AC

和BC的中点，求出DE的值；（2）由（1）得，DC= AC的值，CE= CB的值，得到DE的值；（3）由点D、E分别是AC和BC的中点，得到不论AC取何值（不超过16cm），DE 的长不变；（4）由OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，根据角平分线定义，得到

∠DOE=∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB，得到∠DOE=65°与射线OC的位置无关.

6．如图

（1）如图1，AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°。求∠EPF的度数。

小明想到了以下方法(不完整)，请填写以下结论的依据：

如图1，过点P作PM∥AB，

∴∠1=∠AEP=40°(________)

∵AB∥CD，(已知)

∴PM∥CD，(________)

∠2+∠PFD=180°(________)

∵∠PFD=130°，∴∠2=180°-130°=50°

∴∠1+∠2=40°+50°=90°

即∠EPF=90°

（2）如图2，AB∥CD，点P在AB，CD外，问∠PEA，∠PFC，∠P之间有何数量关系?请说明理由；

（3）如图3所示，在(2)的条件下，已知∠P=α，∠PEA的平分线和ZPFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数是________。(直接写出答案，不需要写出过程)

【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补

（2）解：

理由如下：过点作，则

∴

∵

∴

∵

∴

∴

即 .

（3）

【解析】【解答】（3）如图：

∵EG平分∠PEA，FG平分∠PFC，

∴∠1=∠PFC，∠2=∠PEA，

∴∠1-∠2=∠PFC-∠PEA=（∠PFC-∠PEA），

∵∠PFC=∠PEA+∠P，

∴∠PFC-∠PEA=∠P，

∴∠1-∠2=∠P，

∵∠3=∠P+∠2，

∴∠G=∠3-∠1=∠P+∠2-∠1=∠P=α.

【分析】（1）根据平行线的性质及平行公理，即可求解；

（2）过点P作PN∥AB，根据平行公理得PN∥CD，得出∠PFC=∠FPN，由AB∥CD得出∠PEA=∠NPE，

从而得出∠FPN=∠PEA+∠FPE，即可求出∠PFC=∠PEA+∠FPE，即可求解；

（3）根据角平分线的定义得出∠1=∠PFC，∠2=-∠PEA，由∠PFC=∠PEA+∠P，得出∠1-∠2=

∠P，由三角形的外角性质得出∠G=∠3-∠1，∠3=∠P+∠2，从而求出∠G=α.

7．如图，已知，在的右侧，平分，平分，，所在直线交于点.

（1）求的度数.

（2）若，求的度数(用含的代数式表示).

（3）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，在图中画出平移后的图形，并判断的度数是否发生改变?若改变，求出它的度数(用含的式子表示)；若不改变，请说明理由.

【答案】（1）解：∵平分，，

.

（2）解：如图，过点作

∵，

，， .

∵平分，平分，，，

，，

..

（3）解：如图2为平移后的图形.

的度数发生了改变.

过点作，平分，平分，，，

， .

∵，

，

，，

.

【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数；

（2）过点E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥EF，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；

（3）∠BED的度数改变.过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=∠ABC，

∠CDE=∠ADC，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：

，进而可由求得答案.

8．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。设∠OCP的度数为x°，∠CDP的度数为y°。

小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，

下面是小明的探究过程，请补充完整；

（1）x的取值范围是________；

（2）按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；

（3）在平面直角坐标系xOy中，

①描出表中各组数值所对应的点(x，y)；

②描出当x＝120°时，y的值；

（4）若∠AOB＝ °，题目中的其它条件不变，用含、x的代数式表示y为________。

【答案】（1）40°

（2）解：∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+ y°，∠DPB= （40°+ x°），∴40°+ y°= （40°+ x°），即y= x-20,

x=60时，y= x-20= ×60-20=10，

x=70时，y= x-20= ×70-20=15，

x=80时，y= x-20= ×80-20=20，

x=90时，y= x-20= ×90-20=25，

补全表格如下：

；（3）解：①②如图：

x=120时，y= x-20= ×120-20=40；

（4）y= （x-a）

【解析】【解答】解：（1）∵∠CPB是△COP的外角，

∴∠CPB=40°+ x°，∠CPB一定小于180°，

即40°+ x°<180°，x<140°，

∵PD平分∠CPB，

∴∠DPB= ∠CPB = （40°+ x°），

∵当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于

40°，即（40°+ x°）>40°，解得x>40°，

∴x的取值范围是40°

∴∠DPB= °+ y°，

∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝ °，∠OCP的度数为x°，

∴∠CPB= °+ x°，

∵PD平分∠CPB，

∴∠DPB= ∠CPB= （ °+ x°），

∴ °+ y°= （ °+ x°），即y= （x-a）.

【分析】（1）根据角平分线和三角形外角的性质，可得∠CPB=40°+ x°，∠DPB= （40°+ x°），当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于40°，且∠CPB是△COP的外角，一定小于180°，即可得出x的取值范围；

（2）根据角平分线和三角形外角的性质列出y与x的关系式，分别计算求值即可；

（3）在平面直角坐标系xOy中描出各点即可；

（4）根据角平分线和三角形外角的性质即可求解.

9．如图(1)，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF.

（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF.

（2）如图(2)，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF 之间的关系.

（3）如图(3)，已知∠BEQ= ∠BEP，∠DFQ= ∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由.

（4）已知∠BEQ= ∠BEP，∠DFQ= ∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系.(直接写结论) 【答案】（1）证明：如图1,过点P作PG∥AB,

∵AB∥CD，

∴PG∥CD，

∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，

又∵∠1+∠2=∠EPF，

∴∠AEP+∠CFP=∠EPF

（2）解：如图2

由(1)，可得

∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，

∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ

∴

（3）解：如图3,

，

由(1)，可得

∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，

∵

∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ

∴

（4）解：由(1)，可得

∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，

∵

∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ

∴

【解析】【分析】（1）如图1,过点P作PG∥AB,根据两直线平行，内错角相等，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，从而可得∠AEP+∠CFP=∠EPF.

（2）由(1)，可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，利用角平分线的定

义，可得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP），利用平角定义，可得∠BEP+∠DFP=360°-（∠AEP+∠CFP）=360°-∠EPF，从而可得∠EPF+2∠EQF=360°.（3）同（2）方法，即可得出∠P+3∠Q=360°.

（4）同（2）方法，即可得出结论.

10．已知直线AB//CD,P是两条直线之间一点，且AP⊥PC于P.

（1）如图1,求证：∠BAP+∠DCP=90°；

（2）如图2，CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直线AH、CQ交于Q,求∠AQC的度数；

【答案】（1）证明：过P作PQ∥AB，

∴∠BAP=∠APQ

∵AB//CD

∴PQ//CD

∴∠DCP=∠CPQ

∴∠BAP+∠DCP=∠APQ+∠CPQ=∠APC

又∵AP⊥PC于P

∴∠APC=90°

∴∠BAP+∠DCP=90°

（2）解：过Q作QM∥AB，

∵CQ平分∠PCG ，AH平分∠BAP，

设∠PCQ=∠QCG=a ，∠BAH=∠HAP=b，

∵QM∥AB，∠BAQ=180° b

∴∠BAQ=∠AQM=180°

又∵AB//CD，

∴MQ//CD，

∴∠CQM=180° a

∴∠AQC=（180° b）（180° a）=a b

又∵由（1）得∴∠BAP+∠DCP=90°

∵∠DCP=180° 2a ，∠BAP=2b

∴2b+180° 2a=90°

∴a b=45°

∴∠AQC=45°

【解析】【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的判定定理得出PQ//CD，由平行线的性质，得到∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，结合AP⊥PC，即可得到答案；

（2）过Q作QM∥AB，由平行线的性质和角平分线的性质，得到角度之间的关系，即可得到答案.

11．已知直线．

（1）如图1，直接写出，和之间的数量关系．

（2）如图2，，分别平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）若点E的位置如图3所示，，仍分别平分，，请直接写出和的数量关系．

【答案】（1）

（2）解：．理由如下：

∵，分别平分，，

∴，，

∴，

由（1）得，，

又∵，

∴

（3）解：，理由如下：

如图3，过点作，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

由（1）知，，

又∵，分别平分，，

∴，，

∴，

∴．