计算流体力学作业习题

2014级西安理工大学计算流体力学作业

1.写出通用方程，并说明其如何代表各类守恒定律。

由守恒型对流-扩散方程：

()()()

div U div T grad S t φφρφρφφ?+=+? 其中φ为通用变量；T φ为广义扩散系数；S φ为广义原项。

若令1;1;0T S φφφ===时，则得到质量守恒方程（mass conservation equation ）

()()()()

0u v w t x y z

ρρρρ????+++=???? 若令;i u φ=时，则得动量守恒方程（momentum conservation equation ） 以x 方向为例分析，设;u P

u S S x φφ?==-

?，通用方程可化为：

()()()()(2)u uu vu wu P u

divU t x y z x x x ρρρρλη???????+++=-++???????

z v u u w F y x y z z x ηηρ????????????

??+++++?? ? ?????????????????

同理可证明y 、z 方向的动量守恒方程式 若令;;T p

T T S S C φφλ

φ===时，则得到能量守恒方程(energy conservation

equation)

()()()

()h

h div Uh div U div gradT S t ρρρλφ?+=-+++?

()()()T

p h div Uh div gradT S t C ρλ

ρ?+=+?

证毕

2.用控制体积法离散

0)(=+++s dx

dT k dx d dx dT u dt dT ，要求对S 线性化，据你的理解，谈谈网格如何划分？交界面传热系数何如何计算？边界条件如何处理？

根据守恒型对流-扩散方程： ()()()u T S t x x x ρφρ?φ

????'

+=+????，对一维模型

进行分析，则有：

0)(=+++s dx dT

k dx d dx dT u dt dT

将该一维模型的守恒形式在图A 所示的控制容积P 在△t 时间内做积分。

图A

[]()()

()()()e

t t

t t

e

t t

t

e

w e w w

t

t

w

T

T T

T dx uT uT dt K

dt Sdsdt x x +?+?+?????-+

-=--+?????????

? （1）非稳态项

选定T 随x 变化且为阶梯式，既有：

()()e

t t t t t t P P w

T T dx T T x +?+?-=-??

（2）对流项

选定T 随t 的变化规律符合阶梯显示，既有：

[]()

()()()t t

t t

e

w e w t

uT uT dt uT uT t

+???-=-????

（3）扩散项

()()()()t t

t

t e w e w t

T T T T dt t x x x x +?????????-=-??????????????

(

)()E P

e e T T T x x δ-?=? ()()P w w T T T

w x

x δ-?=? （4）原项

令S 对t 和x 呈阶梯式变化，既有：

t t

e

t

t

w

Sdsdt S x t

+?=???

?

综上所述，可以推导出下式：

2()()22t t t t t

t t t t E w

E P w P P u u T T T T T K S t x x φφ+?--+-+=-+???

由图A 可知，本次网格划分采用的是外节点法结构化网格划分。对于交界面的传热系数的数值确定，可根据算术平均法（arithmetic mean ），在图B 中在P 、E 两点间的λ与x 构成线性关系，则可由P,E 两点的λ值，确定在e 点的传热系数λ值的大小。即：

()()()()e e e P E e e x x x x δδλλλδδ++

--????

=+????????

在计算求解是，若边界为第一边界则可以直接进行迭代计算，若边界为第二、

三边界（边界节点的数据为未知数），则采用附加原项计算法进行求解。 3.用幂函数格式离散三维通用方程。

在直角坐标系下，三维通用方程的离散方程可表述为：

P P E E w w

a a a φφφ=+

4.采用有限体积法离散对流——扩散方程中的对流项时，根据你的理解写出格式的进化过程。

由《数值传热学》知，对流-扩散方程表达式：

2j j j j u

u S t u x x φφφλ???+=+????

其中j j u u φ??为对流项；2j j u

x x λ???为扩散项。

现以一维对流-扩散方程问题模型方程来阐述对流项格式演变进化过程。

()()d d d u dx dx dx φρφ=Γ

为了分析数值传热问题，人们最早先提出了控制体积中心差分法，即在P 点控制容积处做积分，取分段线性型线，最终可演化得：

p P E E W W

a a a φφφ=+

12E e a D Fe =- 1

2W w a D Fw =- ()

P E W a a a Fe Fw =++-

该类方程的优点在于，连续性方程在数值计算过程中始终得到满足，系数E a 、

W a 包括了扩散和对流作用对热传导问题的影响；与流量有关的部分则是界面上

分段线型在均匀网格下的表现，很好地体现了对流作用。但是当P ?>2后，中心差分所解得的解将会失去物理意义，因为当P ?>2时，则E a <2，又因为E a W a P a 三个系数的值都应当大于零，故在这种情况下使用中心差分格式将会使得计算存

在问题。

为了克服由于对流项因为采用中心差分算法引起的问题，进一步提出了对流项的迎风格式算法，在该格式中对流项的一二阶导数均为线性的型线，同时一阶迎风格式离散方程系数E a 、W a 永远大于零，因而无论在何种条件下计算都不会引起解得震荡，其解永远具有物理 意义。并且在迎风格式的使用实践，也能为构造更优良的结构网格提供了启示和指导。

5.简述压力校正法的基本思想及过程（用详细的方程离散说明）。

压力校正法的基本思想：

在对于Navier-Stokes 方程的离散形式迭代求解的任一上层次，可以给定一个压力场，它可以给是假定的或是上一层次计算所得出的。一个给定的正确的压力场应该使得计算得到速度场满足连续性方程。但是根据这样的给定的压力场计算而得到的速度场，未必能满足连续性方程，因此要对给定的压力场进行修正。

图A

在时间间隔△t 内对主控制体（如上图A 所示）做积分，且以0

P P t ρρ-?代替t ρ

??，

采用全隐格式，可得：

[][]0

()()()()0

P P

e w n s x y u u y v v x t

ρρρρρρ-??+-?+-?=?

将改进后的速度式

*//

*//()()

e e e P E n n n P E u u d p p u u d p p =+-=+- 代入整理得关于P 一阶导数的代数方程：

/////

P P E E W W N N S S a p a P a P a P a P b

=++++

其中：

,,,E e e W w w N n n S s s a d y a d y a d y a d y

ρρρρ=?=?=?=?

P E W N s

a a a a a =+++

****

()()()()()P P w e s n b u u y v v x t

ρρρρρρ-????=+-?+-?????? 即压力修正算法可以归纳为以下4个基本步骤：

（1）

假定一个压力场，记为*P ；

（2）

利用*

P ，求解动量离散方程，得出相关的速度**u v ；

（3）利用质量守恒方程来改进压力场，并要求改进后的压力场对应的速度场能满足连续性方程要求；

（4）以*/()P P +以及*/()u u +，*/()

v v +作为本层次的解并据此开始下层次

的计算迭代。

6以具体方程式为例详细说明离散方程的迁移特性的概念。

我们将中心差分应用于一维非稳态纯对流方程的非守恒形式：

0u t x

φφ??+=?? 有：

其中流速u 为常数。

采用类似的分析方法，对于节点位于111

2n n

n n i i i i u

t

x φφφφ++---=-??（i+1）

在（n+1）时层有：

111

22n n n n

i i i i

u

t

x

φφφφ++++--=-??

其中：

120,n n

i i φφ++== 所以 11(),2n i u t x εφ++?=?

而在i -1点处则有：

111

2

2n n n n i i i i u

t

x

φφφφ+-----=-??

因为120,n n i i φφ--==于是得到1

1(

),2n i u t x ε

φ+-?=?。

可见在i 点的扰动同时沿着相反的两个方向传递，所以对流项的中心差分不具有迁移性。

下面对u>0的情况来进行分析。对节点i+1，在n 时层产生在节点i 的扰动对i+1点的影响由下式确定：

111

11

1,(0)2n n n n

n i i i i i u

t

x

φφφφφ++++-+--=-=??

由此可得 1

1(),n i u t

x φε++?=? 而在i -1处则有

111

22n n n n

i i i i

u

t

x

φφφφ++++--=-??

得 1

10n i φ+-=

可见采用一阶迎风格式时，扰动仅仅向着流动的方向传递，故一阶迎风格式

具有迁移性。

7．以具体方程式为例详细说明离散方程的守恒性的概念。

为了便于分析现将一维对流-扩散方程简化为纯对流方程：

()0u t t

φφ??+=?? 再将方程离散为显式格式，然后在一定大小范围内求和。为了讨论书写简便故将对流项中的时间标记删去。

11111

(

)

2n n

i i i i i i u u t

x

φφφφ+++----=-??

在如下图所示的均匀网格系统中，任取一段有限区间进行分析，得：

2

21

1

()l l l l u dx dx t t

φ

φ??=-???

?

2

2

1

1

111

()()2n n

I I i i i i i I i I u u t

x φφφφ++-==--=-??∑

∑

或 2

2

1

1

111

()()(){}2I I n n i i i

i

i I

i I u u x t φφφφ+-+==--?=?∑∑

进一步分析可得：

2

1

1

0()[()()]I n n i

i in ut i I x u u t φ

φφφ+=-?=-?∑

上式表明在△t 时间内流入与流出某区域中的通量之差等于改时间间隔内该

区域中φ的增量，又由守恒性质可得：

2

11

1[()

()]()()I iu i in out i I u u u u φφφφ-+=-=-∑

8．详细说明差分格式的相容性和收敛性的概念。

以一维稳态对流-扩散方程为例，用符号,()i n

L φ表示对函数

φ在点（I,n ）作

某些微分运算的算子。

2,,2()()i n

i n

L u S t x x

φφφφρρ???=+--???Γ 其中

,()0

i n L φ=是节点（I,n ）处的一维模型方程。

用符号,()n

x t i L φ??表示对n i φ作某些差分运算的算子，例如：

111

11

,2

2()2n n

n n

n n n

n

n

i i i i i i i x t i

i L u

S t

x

x φφφφφφφφρρ++-+-??---+=+--???Γ

于是

,()0

i n L φ=就代表了一维模型方程的显式格式。

所谓一个离散方程的截断误差是指其差分方程算子与相应的微分算子的差，

记为TE,即：

,()()n x t i i n TE L L φφ??=-

在通过Talor 级数展开得：

2,()()(,)n x t i i n TE L L O t x φφ??=-=??

由此可见，当时间空间的网格步长趋于零时，如果离散方程的截断误差趋于零，则称该离散方程与微分方程相容。

同样在点（I,n ）处也存在离散误差：

(,)n n

i i i n ρφφ=-

当时间空间的网格步长趋于零时，如果离散方程的离散误差趋于零，则称该离散方程是收敛的。

9．就计算流体力学的内容与应用问题，谈谈自己的一些想法。