高考冲刺 三角函数公式及应用(提高)

高考冲刺 三角函数公式及应用

编稿：孙永钊 审稿：张林娟

【高考展望】

高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题，无论是小题还是大题中出现都是较容易的．主要有三种可能：

（1）以小题形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；

（2）以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式； （3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力

复习时，要注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，还要重视相关的思想方法，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用，这有利于缩短运算程序，提高解题效率 【知识升华】

1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在

（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；

（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围

（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等

2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如

tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+， 2

21cos 1cos cos ,sin 2

222

α

ααα

+-=

=

等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。

3.三角函数恒等变形的基本策。

①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2

θ+sin 2

θ=tanx 2cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+;

配凑角(常用角变换):2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、

2

2

αβ

αβ

α+-=

+

、2

2

αβ

αβ

β+-=

-

、()ααββ=+-等.

③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次

④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

⑤引入辅助角。asin θ+bcos θ=2

2

b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=

a

b

确定。 4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，

即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β） ，1= sin 2

α+cos 2

α，

0030tan 130tan 1-+=0

00

030

tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。 5. 正弦定理和余弦定理

注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。（∵sinA>sinB ?22R R

>?a>b ?A>B ） 6．三角形的面积公式：

（1）△＝

21ah a ＝21bh b ＝21

ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2

1

ac sin B ；

（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)

sin(2sin sin 2B A B

A c +；

（4）△＝2R 2

sin A sin B sin C 。（R 为外接圆半径） （5）△＝

R

abc 4； （6）△＝))()((c s b s a s s ---；??

? ?

?++=)(21c b a s ； （7）△＝r 2s 。 7.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换

因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2

sin 2cos ,2cos 2sin

C

B A

C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半

（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=

60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。 【典型例题】

类型一、三角函数的化简与求值

【例1】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

(1)2

sin 13cos17sin13cos17?+?-?? (2)2

sin 15cos15sin15cos15?+?-?? (3)2

sin 18cos12sin18cos12?+?-?? (4)2

sin (18)cos 48sin(18)cos 48-?+?--?? (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-?+?--?? Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数

Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.

【思路点拨】因为(2)中角为15°，二倍后为特殊角，所以本题利用由特殊到一般思想选择(2)式进行计算。 【解析】(1)选择(2)式计算如下213

sin 15cos15sin15cos151sin 3024

?+?-??=-

?= (2)证明:2

2

sin cos (30)sin cos(30)αααα+?--?-

22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+?+?-?+?

2222311

sin cos cos sin cos sin 442

αααααααα=++-

22333

sin cos 444

αα=+= 【思路点拨】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想. 举一反三：

【变式】利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）sin 72cos 42cos72sin 42-

； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-

；

（3）1tan151tan15

+-

． 【思路点拨】利用两角和与差的三角公式逆用可得。 【解析】（1）(

)1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 30

2

-=-==

； （2）(

)cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070

cos90

0-=+==

；

（3）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15

++==+==--

【例2】x x

【思路点拨】此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 【解析】

)()1

cos sin 30cos cos30sin 302x x x x x x x ?-==-=-???

思考：

=我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于

1

2

和

2的.

【总结升华】注意辅助角公式的灵活运用

?)(其中cos ?

,sin ?=

)的形式

【例3】（1(1sin cos )(sin

cos )

)++-<<θ

θ

θθθπ

（2）求值00

000

1cos 201sin10(tan 5)2sin 20tan 5

+-- 【思路点拨】（1）从把角θ变为

2

θ

入手，合理使用公式； （2）应用公式把非10

角转化为10

的角，切化弦。 【解析】（1）原式

222(2sin cos 2cos )(sin cos )cos (sin cos )cos cos

22222cos cos 22θθθθθθθθθθ

θθ+---==

因为0<θ<π,所以0,2

2

θ

π

<<

所以cos

02

θ

>

所以原式=-cos θ

(2)原式2222cos 10cos5sin 5sin10()22sin10cos10sin 5cos5cos10cos 5sin 5cos10cos10sin10sin1012sin10sin 5cos52sin10sin102

=--?-=-=-

cos10cos102sin 20cos102sin(3010)2cos102sin102sin102sin101cos102(cos10)

222sin10---=-==--===

【总结升华】（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则

①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使

用公式；

②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。

（2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号； （3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值。 （4）化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂，和差化积、积化和差等。 举一反三：

【变式】已知3110,tan .4tan 3

παπαα<<+=-

，求

2

2

5sin 8sin

cos

11cos 8

2

2

2

2

)

2

α

α

α

α

α

α++--的值

【思路点拨】化简已知条件→化简所求式子，用已知表示所求→代入已知求解→结论。

【解析】2110

tan ,3tan 10tan 30,tan 3

αααα+

=-∴++= 解得tan α=-3或tan α=1

3

-

.

2

2

5sin 8sin

cos

11cos 8

312

2

2

2

,tan .43

)

2

1cos 1cos 54sin 118

6α

α

α

α

παπαπ

αααα++-<<∴=---+++-=

==-

又又

【总结升华】对于和式，基本思想是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用。

类型二、三角函数的给值求值问题 【例4】

已知7sin()24

1025π

αα-

=

=，求sin α及tan()3

π

α+．

【思路点拨】利用两角差的正弦公式和二倍角余弦公式，可计算出sin α和cos α得解。 【解析】解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5

7

cos sin =-αα

①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

)sin (cos 5

7

)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51

sin cos -=+αα ②

由①和②式得53sin =α，54

cos -=α

因此，4

3

tan -=α，由两角和的正切公式

11325483

343344

33143

3tan 313tan )3tan(-=+-=+

-

=-+=+ααπα 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得αα2sin 212cos 25

7

-==， 解得 259sin 2

=

α，即5

3sin ±=α 由1027)4

sin(=

-

π

α可得5

7cos sin =-αα 由于0cos 57sin >+=αα，且057sin cos <-=αα，故α在第二象限于是5

3sin =α， 从而5

4

57sin cos -=-=αα

以下同解法一

【总结升华】1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到．

2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 举一反三： 【变式】已知4sin 5α=

，5,,cos ,213παπββ??

∈=- ???

是第三象限角，求()cos αβ-的值.

【解析】因为,2παπ??∈ ???

，4sin 5α=

由此得3cos 5α===-

又因为5cos ,13ββ=-

是第三象限角，所以12sin 13β===-

所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ??????

-=+=-?-

+?-=- ? ? ?

??????

【例5】设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β. (1)求α的取值范围; (2)求tan (α＋β)的值. 【解析】 (1)∵sinx ＋3cosx ＝2(

21sinx ＋23cosx )＝2 sin (x ＋3

π

),

∴方程化为sin (x ＋

3

π

)＝－2a .

∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0, 2π)内有相异二解,

∴sin (x ＋

3π)≠sin 3

π

＝23 .

又sin (x ＋

3

π

)≠±1 (∵当等于23和±1时仅有一解),

∴|－

2a |<1 . 且－2

a

≠23. 即|a |<2且a ≠－3.

∴ a 的取值范围是(－2, －3)∪(－3, 2).

(2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋3cos α＋a ＝0 ①.

sin β＋3cos β＋a ＝0 ②.

①－②得(sin α－ sin β)＋3( cos α－ cos β)＝0. ∴ 2sin

2

β

α-cos

2

β

α+－23sin

2

β

α+

sin

2β

α-＝0, 又sin

2

β

α+≠0,

∴tan

2

β

α+＝

3

3. ∴tan (α＋β)＝

2

tan

22

tan

22β

αβ

α+-+＝3.

【总结升华】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件.

【例6】已知3335

0,cos(),sin()4445413

π

πβαπαπβ<<

<<-=+=，求sin()αβ+的值。 【思路点拨】比较题设中的角与待求式中的角，不难发现3()()()442

πππ

βααβ+--=++或将

cos()

4πα-变化为sin()4πα+，再由()3()44ππαβπαβ??

+++=++ ???

求解。 【解析】方法一：∵

34

4π

πα<<

，3,0.4424

ππππαα∴-<-<--<-<又3

4cos ,sin()45

45ππαα??-=∴-=- ??? 。又330,.444πππββπ<<∴<+< 又35sin()413πβ+=

3sin()cos[()]cos[()()]

244

33cos()cos()sin()sin()

444412354362056()()135135656565

πππ

αβαββαππππ

βαβα∴+=-++=-+--=-+--+-=--?-?-=+=

方法二：3

cos(

)sin()445

π

παα-=+= 4,cos()24453533sin(),,

41344312cos().

4133sin()sin()

44

33[sin()cos()sin()cos ]

4444

5665

ππ

παπαπππββππβππ

αβαβππππ

αββα<+

<∴+=-

+=<+<∴+=-∴+=-+++=-+++++=

【总结升华】三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。 （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；

（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。

（3）常见的配角技巧

1

2;();();[()()];221[()()];

(

)

2

4

2

4

=?

=+-=--=++-=+--+=

--α

αααββαββαααβαβπ

π

π

βαβαβαα

类型三、三角函数的给值求角问题 【例7】设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2

cos sin 2π???

<<-+x x x 在π=x 处取最小值.

(1) 求?.的值;

(2) 在?ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 2

3

)(=

A f ,求角C.. 【解析】（1）1cos ()2sin cos sin sin 2

f x x x x ?

?+=?

+- sin sin cos cos sin sin x x x x ??=++- sin cos cos sin x x ??=+ sin()x ?=+

因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1π?+=-,由诱导公式知sin 1?=,因为0?π<<,所以

2

π

?=

.所以()sin()cos 2

f x x x π

=+

=

（2）因为23)(=

A f ,

所以cos 2A =因为角A 为?ABC 的内角,所以6

A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得

sin sin a b

A B

=

,

也就是sin 1sin 22b A B a ===, 因为b a >,所以4π

=

B 或4

3π

=

B .

当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412

C ππππ=--=.

【总结升华】本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 【例8】2

0,0,3sin sin(2),4tan

1tan ,2

2

2

2

π

π

α

α

αββαβαβ<<<<

=+=-+已知且求的值.

【思路点拨】

2,2

,α

αβαβαβαβαβαβαβ+++++由的关系可求出的正切值，再据已知与构造出从而可求出的一个

三角函数值再据、的范围求的范围从而确定角。

【解析】2

2

4tan

1tan ,1tan 0.2

2

2

α

α

α

=--≠ 且

∴2

2tan

12tan 2

1tan 2

α

αα=

=-

3sin sin(2),3sin[()]sin[()],

3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ,2sin()cos 4cos()sin ,0,0,0,sin()0,cos 0.2

2

2sin()c cos()sin 0,βαβαβααβααβααβααβααβααβααβαπ

π

αβαβπαβααβαβα=+∴+-=+++-+=+++∴+=+<<

<<

∴<+<∴+≠≠+∴+≠∴ 又即os 4,

cos()sin tan()

2.tan()2tan 1

1tan 0,0,02

2

2

124

α

αβα

αβαβαα

π

π

αβαβπ

π

αβ=++=∴+==*<<

<<

∴<+<***+=

即

又由和知

【总结升华】（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。若角的范围是0,

2π??

???

，选正、余弦皆可；若角的范围是()0,π，选余弦较好；若角的范围为(,)22

ππ

-

，选正弦较好。 （2）解给值求角问题的一般步骤为：

①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角。 类型四、三角恒等式的证明 【例9】求证：2

2

12(3cos 4)

tan ;tan 1cos 4x x x x

++

=- 【思路点拨】观察本题左、右两边式子间的差异，若选择“从左证到右”，则“切化弦”的方法可用；若选择“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式；

【解析】方法一：

22

2

4

4

2

2

2

2

2

2222

2222221

1sin 2sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 211cos sin sin cos sin 2sin 244

1

1sin 244cos 242(1cos 4)2(3cos 4)211cos 41cos 41cos 4(1cos 4)8

12(3co tan x+tan x x

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x -++-=+===-++++=====----+∴=

左边右边s 4)

1cos 4x x

-

方法二：

()2222

2244

22222222

2222

222(21cos 4)2(22cos 2)2(1cos 2)2sin 22sin 24sin cos 2sin cos (sin cos )(cos sin )2sin cos 2sin cos 1

tan tan 12(3cos 4)

tan tan 1cos 4x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

++++==+++-===+=+∴+=

-右边=左边 【总结升华】首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出引进结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。

举一反三：

【变式1】在△ABC 中，若sinA·cos 2

2C ＋sinC·cos 2

2A

＝23sinB ，求证：sinA ＋sinC ＝2 sinB ．

【证明】∵sinA·cos 22

C ＋sinC·cos 2

2

A ＝2

3sinB

∴sinA·

2

cos 1C

+＋sinC·2

cos 1A +＝2

3sinB

∴sinA ＋sinC ＋sinA·cosC ＋cos Ａ·sinC ＝3sinB ∴sinA ＋sinC ＋sin (A ＋C)＝3sinB ∵sin(A ＋C)＝sinB ∴sinA ＋sinC ＝2sinB 【变式1】已知2tanA ＝3tanB ，求证：ta n(A －B)＝

B

B

2cos 52sin -．

【证明】tan(A －B)＝B B

B B A B A 2

tan 2

31tan tan 23

tan tan 1tan tan +-=?+- ＝B

B B B B

B B B

B B 22222sin 3cos 2cos sin cos sin 32cos sin tan 32tan +=+

=+ ＝

B

B

B

B B

B B B 2cos 52sin sin 242sin sin 6cos 4cos sin 2222-=

+=

+?

类型五、三角形中的三角函数问题

【例10】已知?ABC 中，∠A 060=

，a 求

sin sin sin a b c

A B C ++++

【思路点拨】可通过设一参数k(k>0)使sin sin a b A B =sin c

k C

==,

证明出

sin sin a

b

A

B =

sin c

C =

=

sin sin sin a b c

A B C

++++

【解析】设sin sin a

b

A

B

=

(>o)sin c

k k C

=

= 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =

从而

sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C

A B C

++++=k

又sin a A

=

2k ==，所以sin sin sin a b c

A B C

++++=2 【总结升华】?ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c

k k A B C ++=>++恒成立。

（1）定理的表示形式：sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c

k k A B C

++=>++；

或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >

（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角

【例11】在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=1

3

. （I ）求sinA 的值；

(II)设

，求?ABC 的面积.

【思路点拨】（I ）利用三角形中三个角的关系，再结合诱导公式可得。 （Ⅱ）利用正弦定理，再结合两角和的正弦公式进行求解。 （Ⅰ）由2C A π-=

，且C A B π+=-，∴42

B

A π=-

，∴sin sin()sin )4222B B B A π=-=-，

∴2

11

sin (1sin )23

A B =-=，又sin 0A >

，∴sin 3A =

（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BC

B A

=

∴sin 31sin 3

AC A

BC B

=

=

=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+

133333

=

+=

∴11sin 223

ABC S AC BC C ?=

??== 【总结升华】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。

A B

C

举一反三：

【变式1】在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，227

4sin cos 22

B C A +-=. (1)求角A 的度数；

(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值. 【解析】2

7

(1)4sin cos 2180,:22

B C A A B C +-=++=?由及得 2227

2[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5

2

1

4cos 4cos 10,cos ,

2

0180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=?<

即

222

22222(2):cos 211

cos ()3.222

312

3: 2 :.

221b c a A bc

b c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=

+-=∴=∴+-=+===???=+==???===???

由余弦定理得代入上式得由得或

【变式2高清视频三角函数公式及应用 例题5 ID 369144】在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，若b 2

=ac ，求1sin 2sin cos B

y B B

+=

+的取值范围.

【解析】

2222222b ac

a c

b a

c ac 1a c 11

cos B ()2ac 2ac 2c a 220B ,

31sin 2B (sin B cos B)y sin B cos B )sin B cos B sin B cos B 47B ,4412sin(B )1241y =+-+-∴===+-≥

π

∴<≤++π===+=+++πππ<+≤π∴<+≤∴<≤

类型六、三角函数公式的综合应用

【例12】设()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,,0a b R ab ∈≠，若()()6

f x f π

≤对一切x R ∈恒成立，则

①11(

)012

f π

= ②7(

)10

f π

＜()5f π

③()f x 既不是奇函数也不是偶函数

④()f x 的单调递增区间是2,()6

3k k k z π

πππ?

?

+

+

∈???

?

⑤存在经过点（a,b ）的直线与函数()f x 的图象不相交.

以上结论正确的是 _____________________________(写出正确结论的编号). 【思路点拨】先将()sin 2cos2,,,0f x a x b x a b R ab =+∈≠’变形为)2sin()(22?++=x b a x f ，再

由()6

f x f

π

≤对一切x R ∈恒成立得a,b 之间关系，然后顺次判断命题真假.

【解析】答案:①③.),2sin(2cos 2sin )(22?++=+=x b a x b x a x f

由()()6

f x f π

≤对一切x R ∈恒成立知

22)6

(b a f +=π

，求得03>=b a 。所以

)6

2s i n (22c o s 2s i n 3)(π

+=+=x b x b x b x f

①0)6

611sin(2)1211(=+=πππb f ，故①正确.

②).30

13sin(2)5()107(

πππb f f ==故②错误. ③)()(x f x f ±≠-.所以③正确. ④因为b>0,所以2

26

22

2π

ππ

π

π+

≤+

≤-

k x k ，解得6

3

π

ππ

π+

≤≤-

k x k .故④错误.

⑤因为03>=b a ，要经过点（a,b ）的直线与函数)(x f 图象不相交，则此直线与x 轴平行，又)(x f 的振幅为b b 32>，所以直线必与)(x f 图象有交点. ⑤错误.

【例13】已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)3

A

m x n x x A ==> ,函数()f x m n =? 的最大值为6.

(Ⅰ)求A ;

(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移

12

π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,

纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24

π

上的值域.

【解析】(Ⅰ)??? ?

?+=+=+

=?=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f , 则6=A ;

(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6

)12(2sin[6π

π++=x y 的图象, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)3

4sin(6)(π

+=x x g .

当]245,0[π∈x 时,]1,2

1

[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g .

故函数()g x 在5[0,]24

π

上的值域为]6,3[-.

另解:由)3

4sin(6)(π

+=x x g 可得)3

4cos(24)(π

+

='x x g ,令0)(='x g ,

则)(234Z k k x ∈+

=+

π

ππ,而]24

5,

0[π∈x ,则24π

=x , 于是36

7sin 6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======π

ππππg g g ,

故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,]24

π

上的值域为]6,3[-.

(

)()()()()200[2sin()sin ]cos .

3

152[0]12

f x x x x x x f x x f x m m =+

+-∈∈<π

π

R 已知函数，求函数【例14】的最小正周期；若存在，

，使不等式成立，求实数的取值范围．

()()0min 2(sin())2.

y A x B T f x m =++=

ω?ω

求函数的周期，一般要把函数化成单名函数的形式如：，再用公式；

第问的存在性问题，其等价条件是【思路点拨】

()(

)()()2221[2(sin cos

cos sin )sin ]cos 33

2sin cos sin2 2sin(2)3

2.2

5772[0]2[]2123363f x x x x x x

x x x x x x x f x T x x x =++-=+-=+=+

=

=∈+∈+= π

π

π

π

πππππππ．

所以函数的最小正周期当，

时，，，所】以【解析当()6

51.12

(1)x f x m =

--+∞π

，即时，取最小值故的取值范围是，．

【总结升华】若函数f(x) 的解析式通通过三角恒等变换可转化为y=asinx+bcosx+k 的形式，则函数

f(x)的解析式可化为

sin(x+?)+k(其中cos ?

,sin ?

)的形式。

注意：解析式与三角函数有关的函数若求函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要转化为y=Asin(ωx+?)+k 的形式。

举一反三：

(

)()()()()22sin (

)[]442

122[]42

f x x x x f x f x m

x m =+-∈-<∈π

ππ

ππ

已知函数，，．求的【变式1最大值和最小值；若不等式在，上】恒成立，求实数的取值范围．

()(

)()()max min 1[1cos(

2)]2

1sin212sin(2)3

2[]2426331sin(2)123212sin(2)33 2.

3

f x x x

x x x x x x x f x f x =-+-=+-=+-∈≤-≤≤-≤≤+-≤==π

π

πππππ

π

π

因为．

又因为，，所以，

所以，

即，所以，【解析】 ()()()()()()()max min 2222[]4222141,4f x m f x m f x x m f x m f x m m --<+<<ππ

因为

，，，

所以且，所以，即的取值范围是．

【变式2】已知：(

)

)()2

2

2sin cos 2cos (1f x x x x x R =++-+∈

（1）请说明函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象经过怎样的变换得到；

（2）设函数()y f x =图象位于y 轴右侧的对称中心从左到右依次为A 1、A 2、A 3、A 4、…、n A …、()n N *

∈，试求A 4的坐标

【解析】（1） (

)22sin cos )cos 2f x x x x =++

-2cos 2x x =+

∴1()2cos 22f x x x =

+ cos sin 2sin cos 266

x x ππ

=+ sin 26x π??=+ ???sin 212x π?

?=+ ??

?

所以函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向左平移12

π

个单位得到 （2）∵函数sin y x =图象的对称中心为(,0)k π，k Z ∈ 由2,6

x k k Z π

π+

=∈得函数()y f x =的对称中心为(

,0)212

k ππ

-， k 依次取1，2，3，4……可得A 1、A 2、A 3、A 4……各点，

∴A 4的坐标为23(

,0)12π