第52讲 椭圆的几何性质(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
第52讲椭圆的几何性质
一、课程标准
1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质
2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围
3、掌握直线与椭圆的位置关系
二、基础知识回顾
1、椭圆的标准方程和几何性质
2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)y2
a2＋x2
b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积
为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中 (1)当P 为短轴端点时，θ最大．
(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ
2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．
4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋1
k 2|y 1－y 2|；
(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0
a 2y 0.
5、直线与椭圆的关系
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．
再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0?直线与椭圆相交； ②Δ＝0?直线与椭圆相切； ③Δ＜0?直线与椭圆相离．
6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|．
三、自主热身、归纳总结
1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 2
4
＝1的位置关系为( )
A . 相交
B . 相切
C . 相离
D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A
【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A .
第2题图
2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，
F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____． 【答案】
5－1
2
【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝c
a ＝5－12
.
3、中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为1
2，则该椭圆的方程
是____________． 【答案】：x 225＋y 2
75
＝1
【解析】：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2
＝1，联立方程?????
x 2
a 2－50＋y 2
a 2＝1，y ＝3x －2，
消去y ，整理得
(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450
＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 2
75＝1.
4、已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为2
2，焦距为2，则
线段AB 的长是( )
A.22
3
B.423
C. 2 D ．2
【答案】B
【解析】由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2
＝1，联立直线方程与椭圆方程
可得交点坐标为(0,1)，????43，－13，所以|AB |＝423
. 5、(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
9＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为________，
△PF 1F 2的周长为________． 【答案】4
5
18
【解析】由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝4
5.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.
四、例题选讲
考点一 椭圆的离心率的值
例1 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，
第(1)题图
上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．
(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P
为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____． 【答案】（1） 5－12 （2）1
3
【解析】 (1)由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO.又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b
，
得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝
5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－1
2
. (2)设M(－c ，m)，则E(0，am a －c )，OE 的中点为D ，则D(0，am 2（a －c ）)，又B ，D ，M 三点共线，∴
m
2（a －c ）＝
m a ＋c
，解得a ＝3c ，∴e ＝1
3.
变式1、(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为
3
6
的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.2
3 B.12 C.13 D.14
【答案】 D
变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆
x 2＋y 2＝
a 2
9与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为( )
A.33
B.5
3
C.104
D.175 【答案】D
【解析】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA .设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .
∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB . 设|OH |＝d ，则|PE |＝2d ，|PF |＝2a －2d ，|AH |＝a －d
3.
在Rt △OHA 中，|OA |2＝|OH |2＋|AH |2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，|FH |＝45a ，|OH |＝a
5，|OF |＝c . 由|OF |2＝|OH |2＋|FH |2， 化简得17a 2＝25c 2，c a ＝17
5. 即椭圆C 的离心率为17
5.故选D.
变式3、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b
3，则椭圆的离心率为( )
A.14
B.13
C.12
D.23 【答案】C
【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b
3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝1
2，故选C.
变式4、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝
1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．
【答案】
5－1
2
【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →
＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋5
2(负值舍去)．
方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
考点二 椭圆离心率的范围
例2、(2020·福州模拟)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过
C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是________．
【答案】?
??
?0，
55
【解析】 (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c .由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3c ，|BF 2|＝c ，故|AB |＝a ＋c ＋c ＝a ＋2c ，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3c a ＋2c ＝36，解得a ＝4c ，所以e ＝c a ＝14
.
(2)由题设知，直线l ：x －c ＋y
b ＝1，即bx －cy ＋b
c ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将
x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a .又圆与直线l 有公共点，所以2bc b 2＋c 2≤ b 2
a ，化简得
2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0＜e ＜1，所以0＜e ≤5
5.
变式1、设F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝120°，则椭圆离心率e 的取值范围是____． 【答案】[
3
2
，1) 【解析】 (方法1)易知P 点在短轴端点时∠F 1PF 2取最大值，∴只要在此情况下椭圆变得扁就行了，点P
在短轴端点时，若∠F 1PF 2＝120°，则e ＝c a ＝sin 60°＝32.∴e ∈[3
2
，1)．
(方法2)若∠F 1PF 2＝120°，则有PF 21＋PF 22－2PF 1·
PF 2cos 120°＝F 1F 22，且PF 1＋PF 2＝2a ，∴4a 2－PF 1·PF 2＝4c 2，∴PF 1·PF 2＝4b 2，又PF 1·PF 2≤??
??PF 1＋PF 222＝a 2，
∴a 2≥4b 2.∴3a 2≤4c 2即e 2≥34，∴e ∈[3
2
，1)．
(方法3)也可利用焦半径公式结合余弦定理将P 点横坐标表示出来，再解不等式－a ≤x 0≤a 即可．
变式2、(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________． 【答案】：
10
5
【解析】由题意知c ＝1，离心率e ＝c
a
，
因为P 在直线l ：y ＝x ＋2上移动， 所以2a ＝|P A |＋|PB |.
点A 关于直线y ＝x ＋2的对称点C ，
设C (m ，n )，则???
n
m ＋1＝－1，
12n ＝1
2(m －1)＋2
解得?
????
m ＝－2，n ＝1即有C (－2,1)，
则2a ＝|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |≥|BC |＝10， 当C ，P ，B 共线时，a 有最小值102
， 对应的离心率e 有最大值
10
5
. 变式3、已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e . (1)若e ＝3
2，求椭圆的方程；
(2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22＜e ≤3
2，求k 的取值范围．
【解析】(1)由题意得c ＝3，c a ＝32，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2
＝3.所以椭圆的方程为x 212＋y 2
3
＝1.
(2)由?????
x 2
a 2＋y 2
b 2＝1，y ＝kx 得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2
b 2＋a 2k 2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2.
因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)， F 2B ―→
＝(x 2－3，y 2)，
所以F 2A ―→·F 2B ―→
＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即－a 2a 2－91＋k 2a 2k 2＋a 2－9＋9＝0，
将其整理为
k 2＝
a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81
a 4－18a 2
.
因为22＜e ≤3
2，所以23≤a ＜32，即12≤a 2＜18. 所以k 2≥18，即k ∈? ????－∞，－24∪????
??
24，＋∞.
变式4、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221(0)
x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．
（1）若椭圆的离心率为
1
2
，短轴长为23．
① 求椭圆的方程；
（2）若在x 轴上方存在P Q ，两点，使O F P Q ，，，四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
【思路分析】（1）列出关于,,a b c 的方程组，解出,a b 值，从而求得椭圆的方程； （2）设出
00()Q x y ，，求出P 坐标，,,P Q F 三点确定以PQ 为直径的圆，要使四点共圆，则第四点O 在圆
上，有两种思路：思路1，求出圆方程，将点O 坐标代入圆方程，思路2，OF 的中垂线经过圆心，求出
2
a x c
c ，根据
点P ，Q 均在x 轴上方，得到2a a c c c -<-<，转化为e 的不等式，求出范围.
规范解答 （1）①设椭圆的焦距为2c ，
由题意，得222
12
2c a b a b c ?=??=??=+??
，
，，
所以2a b =???=??，．所以椭圆的方程为22143y x +=． ②由①得，焦点(10)F ，，准线为4x =，
（2）解法1 设2
()a P t c
，，00()Q x y ，， 因为FP ⊥FQ ，
则△FPQ 的外接圆即为以PQ 为直径的圆2
00()()()()0a x x x y t y y c
--+--=．
由题意，焦点F ，原点O 均在该圆上，所以2
002
0()()00a
c c x ty c a x ty c ?--+=???+=?，
，
消去0ty 得22
00()()0a a c c x x c c ---=，
所以2
0a x c c
=-， 因为点P ，Q 均在x 轴上方，所以2
a a c c c -<-<，即220c ac a +->，
所以210e e +->，又因为01e <<，
1e <<．
解法2 因为O ，F ，P ，Q 四点共圆且FP ⊥FQ ，所以PQ 为圆的直径，
所以圆心必为PQ 中点M ， 又圆心在弦OF 的中垂线2
c x =上，
所以圆心M 的横坐标为2
M c x =，
所以点Q 的横坐标为2
2
2Q M a a x x c c c
=-=-．（以下同方法1）
求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。 考点三 直线与椭圆的综合问题
例3、[2018·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点(3，1
2
)，焦点
F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2. (1)求椭圆C 及圆O 的方程；
(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为26
7
，求直线l 的方程．
【解析】 (1)∵椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)．又
点(3，1
2
)在椭圆C 上，
∴?????3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，
解得?
????a 2＝4，b 2＝1.
∴椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
∵圆O 的直径为F 1F 2，∴其方程为x 2＋y 2＝3.
(2)①设直线l 与圆O 相切于P(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则x 20＋y 20＝3，∴直线l 的方程为y ＝－x 0
y 0
(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3
y 0
.
由???x 24
＋y 2
＝1，y ＝－x 0
y 0
x ＋3
y
，消去y ，得(4x 20
＋y 20
)x 2
－24x 0
x ＋36－4y 20
＝0(*)，
∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
∴Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)(36－4y 2
0)＝0.
∵x 0，y 0>0，∴x 0＝2，y 0＝1. ∴点P 的坐标为(2，1)．
②∵三角形OAB 的面积为267，∴12AB·OP ＝267，从而AB ＝427.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由(*)得
x 1，2＝24x 0±48y 20（x 2
0－2）2（4x 20＋y 2
0）
， ∴AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝
????1＋x 20y 20·48y 20（x 2
0－2）（4x 20＋y 20
）2. ∵x 20＋y 20＝3，∴AB 2
＝
16（x 20－2）（x 20＋1）
2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52，x 20＝20，由椭圆的范围得－2≤x 0≤2，∴x 20＝52，∴y 2
0＝12，∴P 的坐标为????102，22.∴直线l 的方程为y ＝－5x ＋3 2.
变式1、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆
E ：x 24＋y 2
b
2＝1(0 圆E 的标准方程； (2)设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M(－1，0)，N(1，0)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当2m 2－2k 2＝1时，求k 1·k 2的值． 【解析】 (1)∵0 c ＝b ，∴2b 2＝4，即 b 2＝2，∴椭圆 E 的方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)(方法1)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，T(x 0，y 0)，联立?????x 2 4＋y 2 2＝1， y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－ 4＝0，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，又2m 2－2k 2＝1，∴x 1＋x 2＝－2k m ，∴x 0＝－k m ，y 0＝m －k·k m ＝1 2m ，则k 1·k 2＝12m －k m ＋1·1 2m －k m －1＝14k 2－4m 2＝1－2（2m 2－2k 2）＝－12. (方法2)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，T(x 0，y 0)，则 ? ??x 214＋y 21 2＝1，x 224＋y 22 2 ＝1，两式作差，得()x 1＋x 2()x 1－x 24＋()y 1＋y 2() y 1－y 22＝0，又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， ∴ x 0（x 1－x 2） 2 ＋y 0()y 1－y 2＝0， ∴x 02＋y 0() y 1－y 2x 1－x 2＝0，又P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)在直线y ＝kx ＋m 上，∴y 1－y 2x 1－x 2＝k ，∴x 0＋2ky 0＝0，① 又T(x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋m 上，∴y 0＝kx 0＋m ，② 由①②可得x 0＝－2km 1＋2k 2 ，y 0＝m 1＋2k 2. 以下同(方法1)． 变式2、（浙江杭州高级中学2019届模拟）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝5 5，直线l 交椭圆于M ，N 两点． (1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦|MN |的长； (2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 【解析】(1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝1 5， 所以a 2－b 2a 2＝15，解得a 2 ＝20，所以椭圆方程为x 220＋y 2 16＝1. 将4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0， 所以x 1＝0，x 2＝409，所以|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝ 402 9. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知B F →＝2FQ → ，又B (0,4)，所以(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2，即Q 的坐标为(3，－2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 22 16＝1， 以上两式相减得 x 1＋x 2 x 1－x 2 20 ＋ y 1＋y 2 y 1－y 2 16 ＝0， 所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4 ＝6 5， 故直线MN 的方程为y ＋2＝6 5(x －3)，即6x －5y －28＝0. 方法总结：直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)求直线方程：可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程． (2)求面积：先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值． (3)弦长问题：利用根与系数的关系、弦长公式求解． (4)中点弦或弦的中点问题：一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交． 五、优化提升与真题演练 1、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）设A ，B 分别为椭圆C ：22 221x y a b +=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C 过点P(2，1)，当线段AB 长最小时椭圆C 的离心率为_______. 【答案】 2 2 【解析】因为A ，B 分别为椭圆C ：22 221x y a b +=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点， 所以(,0)A a ，(0,)B b ， 又椭圆C 过点(2,1)P ， 所以 22 41 1a b +=， 所以222 2 2 2 22224 14()4193??=+=++=+++= ???a b AB a b a b a b b a ， 当且仅当22 224a b b a =，即222a b =时，取等号， 此时222a c =，所以离心率为2 = == c e a . 故答案为 2 2、【2019年全国Ⅲ卷】设12F F ，为椭圆C :22 +13620 x y =的两个焦点， M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】( 【解析】由已知可得2 2 2 2 2 36,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=， 11228MF F F c ∴===，∴24MF =． 设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则1212001 42 MF F S F F y y =??=△， 又1201 4,42 MF F S y = ?=∴=△，解得0y =， 2 2 0136 20 x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去） ，则M 的坐标为(． 3、(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 4＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.22 D.223 【答案】C 【解析】因为a 2＝b 2＋c 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以e ＝c a ＝2 2. 4、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 【答案】A 【解析】以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点O (0,0)，半径为a ，由题意，圆心到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离为2ab a 2＋b 2 ＝a ，即a 2＝3b 2.又e 2 ＝1－b 2a 2＝23，所以e ＝63.故选A. 5、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的 圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A ．63 B ． 33 C ． 23 D ．13 【答案】 A 【解析】以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， ∴ |b ×0－a ×0＋2ab | b 2＋－a 2 ＝a ，即2b ＝a 2＋b 2， ∴a 2＝3b 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴ c 2a 2 ＝23，∴e ＝c a ＝63 . 6、(2017扬州期末）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线 l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q ，设AP →＝λPQ → . (1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C 的方程； (2) 若λ＝3，求椭圆C 的离心率e 的取值范围． 规范解答 (1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上，得b ＝3. 又点Q 在椭圆C 上，得(－4)2a 2＋(－1)2 32＝1，解得a 2＝18， 所以椭圆C 的方程是x 218＋y 2 9 ＝1.(5分) (2) 解法1 由? ???? y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb 1＋k 2.(7分) 由????? y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2 a 2k 2＋ b 2.(9分) 因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34 AQ → ， 所以2kba 2a 2k 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k 2，所以k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. 因为k 2＞0，所以4e 2＞1，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以1 2＜e ＜1.(16分) 解法2 A (0，b )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则有 x 21＋y 21＝b 2 ①，x 22a 2＋y 22 b 2＝1 ②.(7分) 又因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34AQ → ，即(x 1，y 1－b )＝34(x 2，y 2－b )．解得x 2＝43x 1，y 2＝43y 1－13 b ，代 入②得16x 219a 2＋16y 21－8by 1＋b 2 9b 2 ＝1.(9分) 又x 21＝b 2－y 21，消去x 21整理得2(a 2－b 2)y 21－a 2by 1－b 2(a 2－2b 2)＝0， 即[2(a 2－b 2)y 1＋b (a 2－2b 2)](y 1－b )＝0，解得，y 1＝b (2b 2－a 2) 2(a 2－b 2) 或y 1＝b (舍去)，因为－b ＜y 1＜b ，所以－b ＜b (2b 2－a 2)2(a 2－b 2) ＜b ，解得b 2a 2＜34.(14分) 而e 2＝1－ b 2a 2＞1－34＝14，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以12 ＜e ＜1.(16分) 7、(2017苏北四市摸底）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF . (1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程； (2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率； 思路分析 第(1)问根据条件求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆的方程；第(2)问根据条件转化为a ，b ，c 的等量关系，即可求得椭圆的离心率，对运算求解的能力要求较高；第 规范解答 (1) 因为点P (3，1)，所以k OP ＝1 3 ， 又因为AF ⊥OP ，则－b c ×1 3＝－1， 所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分) 又点P (3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1 b 2＝1， 解得 a 2＝ 133，b 2＝134.故椭圆方程为x 2133＋y 2 13 4 ＝1.(4分) (2) 解法1 由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1联立消去y ，得a 2＋ c 2a 2c 2x 2－2x c ＝ 0, 解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以点Q 的坐标为? ????2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.(7分) 所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b (c 2－a 2) a 2＋c 2＋b 2a 2c a 2＋c 2＝bc a 2， 又OP ⊥AF ，所以k OP ＝c b . 由题意得c b ＝2bc a 2，所以a 2＝2 b 2.(9分) 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝ 1－b 2a 2＝2 2 .(10分) 解法2 设点Q 坐标为(x 0，y 0)，则有x 20a 2＋y 20b 2＝1，得y 20＝b 2 ????1－x 20a 2， 又k AQ ＝y 0－b x 0，k BQ ＝y 0＋b x 0，所以k AQ ·k BQ ＝y 20－b 2 x 20 ， 将y 20＝b 2 ????1－x 2 0a 2 代入上式，化简得k AQ ·k BQ ＝－b 2 a 2 .(7分) 又k AQ ＝－b c ，所以k BQ ＝bc a 2. 因为OP ⊥AF ，所以k OP ＝c b . 由题意得c b ＝2bc a 2，所以a 2＝2 b 2.(9分) 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝ 1－b 2a 2＝2 2 .(10分) 解后反思 从阅卷的情况看，主要的问题是考生运算与化简的能力差，对复杂式子的运算缺乏信心和耐心，缺乏方法；问题的解决缺乏严谨，综合运用知识的能力差， 8、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ， 右顶点为A ，上顶点为B. (1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为2 2，求椭圆的标准方程； (2) 已知△ABF 外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值． 【解】(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝1 2，则a ＝2c. 因为线段AF 中点的横坐标为 22，所以a －c 2 ＝2 2 . 所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6. 所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2 6 ＝1.(4分) (2)因为A(a ，0)，F(－c ，0)， 所以线段AF 的中垂线方程为：x ＝a －c 2 . 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上， 所以C ?? ?? a －c 2 ，－ a －c 2.(6分) 因为A(a ，0)，B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y － b 2＝a b ????x －a 2. 由C 在线段AB 的中垂线上，得－a － c 2－b 2＝a b ???? a －c 2－a 2， 整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分) 即(b －c)(a ＋b)＝0. 因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分) 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝2 2.(14分) 教案设计高中数学 《椭圆》 一、椭圆的定义 1、平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 定点F1, F2叫做椭圆的焦点，|F1F2|叫做椭圆的焦距。 2、点集P=﹛M | |MF1| + |MF2|=2a,2a2a＞|F1F2|﹜,其中两定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两 焦点的距离叫做椭圆的焦距。 二、椭圆的标准方程 1、焦点在x轴上，焦点坐标（±c,0）,焦距为2c。 2、焦点在y轴上，焦点坐标（0,±c）,焦距为2c。 三、一般方程式 1、Ax2+By2=C 2、Ax2+By2=1 四、椭圆标准方程的求解方法 1、定义法 2、待定系数法 五、几种题型的讲解 1、共焦点 2、焦点三角形 3、与椭圆有关的的轨迹方程的求解 4、直线与椭圆关系 5、中点弦问题及点差法 例题1：过已知圆内的一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是（）。 A.圆 B.椭圆 C.圆或椭圆 D.线段 例题2：如图，Rt△ABC中，|AB|=|AC|=1，以点C为一个焦点的椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A，B两点，则这个椭圆的焦距长为。 例题3：求适合下列条件的椭圆的标准方程。 （1）、两个焦点的坐标分别是（-4,0），（0，-4），椭圆上任意一点p 到两焦点距离之和等于10； （2）、两个焦点的坐标分别为（0，-2），（0,2），并且椭圆经过 (23 -,25) (3)、焦点在y 轴上，且经过两个点（0,2），（1,0); (4)、经过点P(-23,1),Q(3,-2). 共焦点问题： 例题4：过点（-3,2）且与92x +142 =y 有相同焦点的椭圆的方程为 。 焦点三角形问题： 例题5：已知P 为椭圆174252 2=+y x 上的一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60°,求△F 1PF 2的面积。 与椭圆有关的的轨迹方程的求解问题： 例题6：已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′,点M 在PP ′上，并且 求点M 的轨迹。 直线与椭圆关系问题 例题7：已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，直线y=x+1与该椭圆交于点P 、Q ，且 0·=→ → OQ OP ,|PQ|=210 ,求椭圆的方程。 ' =→→MP PM 2 （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理 1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( ) A. B.(1,+∞) C.(1,2) D. 2.(xx黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为( ) A.2 B.2 C.4 D.4 4.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( ) A.3 B.3或 C. D.6或3 5.已知椭圆+=1(0 人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案 一、课型 新授课 二、教学内容 1、椭圆的定义； 2、椭圆的两类标准方程； 3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。 三、教学目标 1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标 准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程； 2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力； 通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系； 3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学 习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。 四、教学重点、难点 重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程； 难点：椭圆标准方程的推导过程。 五、教学方法 教师引导为主、学生自主探究为辅。 六、教学媒体 幻灯片、黑板。 七、教学过程 （一）创设情境，导入新课 用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。 （二）问题探究 老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？ 1、椭圆的形成 下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？ 如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。 将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。 再用课件给学生进行演示： 通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？ 2、椭圆的定义 平面内到两定点F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做 椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数 高中数学-圆锥曲线与方程 第1讲椭圆及其性质 考点一椭圆的标准方程 知识点 1椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数． 2椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S△PF 1F 2 ＝ 1 2|PF1||PF2|·sinθ＝b 2· sinθ 1＋cosθ ＝b2tan θ 2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为 bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种： (1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)． (2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y2 a2＋ x2 b2＝1(a>b>0)． 4特殊的椭圆系方程 (1)与椭圆x2 m2＋y2 n2＝1共焦点的椭圆可设为 x2 m2＋k ＋ y2 n2＋k ＝1(k>－m2，k>－n2)． (2)与椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为 x2 a2＋ y2 b2＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或 y2 a2＋ x2 b2＝k2(k2>0，焦 点在y轴上)． 2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习 1．椭圆的简单几何性质 直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相切?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交? ????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1________实数解，即Δ______0. 一、选择题 1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，4 5 C ．5,3，35 D ．10,6，3 5 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 2 36＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 2 4 ＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1 2 ，则m 等于( ) A ． 3 B ．32 C ．83 D ．2 3 4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°， 则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.2 2 5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。满足1MF ·MF 2→ ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．??? ?0，12 C ．???0，2 D ．???2 ，1 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5 5 ，且过点P (－5,4)，则椭圆的 方程为______________． 8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的 离心率等于______． 9．椭圆E ：x 216＋y 2 4 ＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ____________． 三、解答题 10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦 点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2 c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交 点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e . 一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； 第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的 选修1-1《2.1.1 椭圆及其标准方程》教学设计 一、指导思想与理论依据 1. 新课程标准理念——高中数学新课程标准指出：“强调本质，注意适度形式化。高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的思想方法。”在“椭圆及其标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程，让学生逐步将认识由感性上升到理性，把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学，努力揭示知识的发生、发展过程。 2. 建构主义理论——建构主义认为：知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过意义建构而获得。由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。 二、教学背景分析 1. 教材分析 解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法来研究几何问题。 在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上，通过求椭圆的标准方程，是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。因此，“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。 2. 学情分析 知识方面 （1）在必修2第二章里学生已经学习了直线和圆的方程，并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤，具备主动探究椭圆知识的基础； （2）根据日常生活中的经验，学生对椭圆有了一定的认识，但仍没有上升到成为“概念”的水平，将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战； （3）在初中阶段没有涉及过含两个字母、两个根式的方程化简问题； 自身特征方面 （1）我所教授的班级是文科班，他们普遍对数学有一定的畏难情绪，但是他们思维比较活跃，对新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望，对老师的讲授敢于质疑，有自己的想法和主见，愿意自己去探索是什么和为什么。并且具备了初步的探索能力； 《椭圆及其标准方程》教学设计及反思 教学目标： （一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程． （二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力． （三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神． 教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳． 教学过程 （一）设置情景，引出课题: 1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的 实 物和图片，让学生从感性上认识椭圆. 2．通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规 律”运动的轨迹。 提问：点M 运动时，F 1、F 2移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？ 下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题： 1．在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？ . （二）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ 2、研讨探究 问题：如图已知焦点为21,F F 的椭圆，且21F F =2c,对椭圆上任一点M ，有 a MF MF 221=+，尝试推导椭圆的方程。 M 河北阜城中学--高二数学组 组题人：高泽宁 审核人：沈志华 日期：2019年 月 日 …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 学校： 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 第 1 页 共 3 页 学习目标： 1：熟练掌握椭圆的定义。 2：熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆并确定椭圆的标准方程。 学习重点：椭圆的定义及标准方程。 学习难点：椭圆的定义及标准方程的推导。 教学过程： 一：椭圆概念的引入： 1：动画演示：（1）天体行星和卫星运行的轨道。 （2）立体几何中作圆的一种直观图。 2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F 1,F 2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 分析：在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长。 即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 3：由此总结椭圆定义： 平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 说明 注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点------两点间距离确定。 （2） 绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。 思考： 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 二：根据定义推导椭圆标准方程： 1：复习求轨迹方程的基本步骤： 2：推导：取过焦点21F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。 设P （x,y ）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （ c>0）. 则：)0,()0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a （常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得： )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22> 022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得： 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得： 选修2-1 第一章 2.2.2 椭圆的标准方程 教案 试卷类型 学案 ※ 数学是一切知识的最高形式----柏拉图 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 第十章 圆锥曲线 本章知识结构图 第一节 椭圆及其性质 考纲解读 1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质 3. 了解椭圆的简单应用 4. 理解数形结合的思想 命题趋势研究 椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型 预测2019年高考对本节考查内容为： （1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题. （2） 利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标 准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分. 知识点精讲 曲线与方程 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线） 离心率 对称性问题 中心对称 轴对称 点(x 1，y 1) ───────→关于点(a ，b )对称点(2a －x 1，2b －y 1 ) 曲线f (x ，y ) ───────→ 关于点(a ，b )对称曲线f (2a －x ，2b －y ) ? ????A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 2 2＋C ＝0y 2－y 1x 2－x 1·(－A B )＝－1 特殊对称轴 x ±y ＋C ＝0 直接代入法 点(x 1，y 1)与点(x 2，y 2)关于 直线Ax ＋By ＋C ＝0对称 第2课时：椭圆的简单几何性质（二） 【学习目标】 １．进一步熟悉和掌握椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率等）； ２．掌握求曲线方程的一些基本方法； ３．会利用椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。 【知识线索】 椭圆两种标准方程的性质比较 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 2 1 F F）的点的轨迹 标准方程 )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b x a y 图形 焦点坐标 范围 对称性 顶点坐标 离心率 c b a, ,的含义及关系 【知识建构】 1.椭圆中方程思想的应用； 2.注意椭圆的焦点的位置的确定； 3.利用椭圆的定义接相关椭圆问题是很重要的方法。 【典例透析】 高二选修2-1：第二章圆锥曲线与方程 四环节导思教学导学案 课时目标呈现 目标导航 课前自主预习 新知导学 疑难导思课中师生互动 x A2 B2 F2 y O A1 B1 F1 y O A1 B1 x A2 B2 F1 F2 例1．与椭圆)0(2 32 2>=+λλy x 有相同的离心率，且过点)2,32(的椭圆的标准方程是 例2．如图，点B A ,分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点， 点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方， PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。 【课堂检测】 1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为_______． 2.已知点P 是椭圆14 52 2=+y x 上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为定点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标。 【课堂小结】 y F O A B x 课后训练提升 达标导练 M P 《椭圆的简单几何性质》教学反思 数学组冶有得 为了提高年轻教师的业务能力和专业素养，学校邀请乌市专家到我校听年轻教师上课, 为了上好木节课，我做了充分准备，下面我从的前期准备、课堂自我感觉及专家评课等方面进行反思，反思如下： 一、课前准备：在前期认真翻看了课木和课标，并多次请教粟登科老师、高志华老师；根据木班学生的实际情况制定了木节的教学目标、教学重难点，列出了框架，再依据框架撰写了教学设计、导学案并制作ppt。 二、课堂自我感觉：从课堂上来看，学生反应积极，教学进程流畅，学生对于知识点达到了掌握和理解，同时能紧跟着老师的思路；基木实现了木节课的预期目标，可惜的是最麻一道练习没处理完。 三、专家评课：一是优点：本节课采用了数形结合的数学思想，更加直观、形象的说明的椭圆的几何性质，使得将难度降低，学生更容易理解、掌握；讲练结合，讲完一个性质练习一道题，使得学生巩同了所学内容，更进一步加深了记忆；课堂较顺利，推进的速度也比较快, 板书较为桀齐；课堂采用了几何曲板，使得复杂的问题简单化。问题的设置较好，层层递进, 使得与学生的互动也比较多，充分体现了新课标要求，以学生为本，将课堂还给学生。 二是缺点：在推到离心率公式的时候速度过快，没有足够的时间去分析和挖掘；例1的讲解只采用了代数法讲解，若结合图形就更能说明问题，学生也更容易理解；本节课的容最较大。四、课后反思： 1.细节决定成败。细节是往往我们忽略的地方，如在复习椭圆的定义时没有强调（| PF】I + I PF2 |= 2a（2a >\ F}F2 |）,如果不满足条件（2a>2c）,那么这个点的轨迹就不是椭圆了，所以要注重教学内容的严谨性。 2.对个别学生的关注度不够，通过检杏笔记和练习本发现上课时没有动笔，一两个学生有打嗑睡的现象。 3.教学语言还需要锤炼。在叙述椭圆的离心率时，语言的表达不是那么精准，也不到位。尔对于一个教师来说最基木就是能够把白己的知识准确的、简单的传授给学生，把复杂的问题简单化，使学生更容易接受，让学生更加认可你。 4?对于教材的挖掘有所欠缺，如叙述离心率是课本上有详细的解答，描述的也比较到位。 五、听专家课的一些想法：乌市专家在高三（14）班上了一节公开课《解三角形》，作为高三的复习课，我们上课的方式一般会是知识梳理、讲解例题、课堂练习；对于公式的推到、背景很少讲解，但是赵老师先复习了最基础的、最简单的公式（三角形的面积公式、锐角三角函数）；Z后利用这两个公式一步步得出了面积公式、正弦定理、余弦定理及推论，使学生更加熟悉了并会应用公式，记忆也比较牢固；然后出了一些较为简单的高考题型进行练习, 最示讲解两道相对复杂的例题。从上课的模式、心态、语言表达等方面给我留下了深刻的印象，也是我学习的内容。 总Z,作为一名年轻教师，要不断的学习，不断地改进，争取早U成熟起来。通过这次的上课和听课，让我也认识到了白己的不足，明确了改进的方向，同时给白己也提出了很多问题，怎样让自己的教学方法多样化，吸引学生？怎样让学生喜欢数学？在今示的教学屮会更加努力。 椭圆的简单几何性质试题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3 5的椭圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 2 36＝1 B.x 2100＋y 2 64＝1 C.x 225＋y 2 16＝1 D.x 225＋y 2 9＝1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝3 5，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16＝1，故选C. 【答案】 C 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12 B.13 C.14 D.22 【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1 2. 【答案】 A 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2 25－k ＝1(0 A ．有相等的焦距，相同的焦点 B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对 【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 2 25－k ＝ 1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.5 13 B ．－513 C.21313 D ．－21313 【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝ a 2－ b 2＝ 4－3＝1. 不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2 3＝1， 解得y 0＝±3 2， 所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12 ＋? ?? ??322＝13 2. 由余弦定理知 cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2 2|OM ||ON | ＝ 椭圆专题 ★知识梳理★ 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点. （2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆 （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质: 21F F 、|)|2(222F F a a >P 21F F 、F l F l e 10< 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1),此时小球经过的路程为2(a －c); (2), 此时小球经过的路程为2(a+c); A C A --A B D B A ----O x y D P A B C Q (3)此时小球经过的路程为4a,故选D 1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为（ ） A.3 B.6 C.12 D.24 2.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆 上的点，则的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 3．设k ＞1，则关于x ，y 的方程（1﹣k ）x 2 +y 2 =k 2 ﹣1所表示的曲线是（ ） A.长轴在x 轴上的椭圆 B.实轴在y 轴上的双曲线 C.实轴在x 轴上的双曲线 D.长轴在y 轴上的椭圆 4．椭圆2 2 99x y +=的长轴长为（ ） A ．2 B.3 C.6 D. 9 5．已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点为12,F F ,以12F F 为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的另外两条边，且124F F =，则a 等于___________. A Q B P A ----53 2 = e P 22 12516 x y +=,M N 22(3)1x y ++=22(3)4x y -+=PM PN + 椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集 M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个?Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜ B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ?? ?==θ θ sin cos b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程：c a x 2± =；或c a y 2 ±= ⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0； 高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为 参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个 焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0? 椭圆（高三复习课） 恩平市第一中学张雪梅 一、教学内容分析 圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。 二、学生学习情况分析 本班是普通文科班，此课之前，学生已经在人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学选修1—1》（A版）第二章《圆锥曲线与方程》中学习过相关内容。此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上来讲，由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。因此根据尝试教学法，教学过程中遵循“练习探索——自主复习——课堂研究——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练”、“思”、“究”的自主学习。通过学生的“练”、“思”、“究”，再到教师的“讲”，使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质”。 三、教学目标 1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。 2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理 解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。 3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 四、教学重点与难点 教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。 2、了解椭圆的简单应用。 教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。 五、教学过程高中数学《椭圆》教案设计
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理
完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
高中数学精讲教案-椭圆及其性质
2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习
高中数学椭圆的几何性质
椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
高中数学椭圆的教学设计
高三年级数学椭圆的教学设计与反思
椭圆的标准方程教案
椭圆及其性质
椭圆的简单几何性质(二)
《椭圆的简单几何性质》教学反思.doc
椭圆的简单几何性质试题
2020届高三数学二轮复习椭圆专题教案
高中数学椭圆性质总结
(新)高中数学椭圆的经典知识总结
椭圆(高三复习课教案)