四边形知识结构图(汇总)
四边形知识框架图
(平行四边形、矩形、菱形、正方形)
附：平行四边形、矩形、菱形、正方形形里的对角线
（1）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；
（4）两条对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；（5）两条对角线相等的平行四边形是矩形；（6）两条对角线垂直的平行四边形是菱形；（7）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形；（8）两条对角线垂直的矩形是正方形；
（9）两条对角线相等的菱形是正方形。
初中数学知识点总结汇总结构图
有理数数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。 有理数 概念：凡能写成形式的数，都是有理数。（正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数， 也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数。） 有理数的分类：①有理数 正有理数 零 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 ②有理数 整数 分数 正整数 零 负整数 正分数 负分数 相反数 (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数。 绝对值：正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； 有理数比大小 （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数＞0，小数-大数＜0。 互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是； 若ab=1? a、b互为倒数；若ab=-1? a、b互为负倒数。 有理数乘方的法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-a n 或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =a n 或(a-b)n=(b-a)n . 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。 举几个例子：3一共有1个有效数字，0.0003有一个有效数字，0.1500有4个有效数字， 1.9*10^3有两个有效数字（不要被10^3迷惑，只需要看1.9的有效数字就可以了，10^n 看作是一个单位）。 整式的加单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。 单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系 数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。 多项式：几个单项式的和叫多项式。
平行四边形知识结构图
平行四边形全章复习课 一、知识结构图： 二、平行四边形的性质 边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分 菱形对边平行，四边相等对角相等,邻角互补对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 正方形对边平行，四边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组 对角 三、平行四边形的常用判定方法 平行四边形1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2) 两组对边分别相等的四边形； 3) 一组对边平行且相等的；4）两组对角分别相等的四边形 5) 对角线互相平分的四边形； 矩形1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）有三个角是直角的四边形是矩形；3）对角线相等的平行四边形是矩形。 4）对角线平分且相等的四边形是矩形 菱形1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2）四条边都相等的四边形是菱形；3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4）对角线平分且垂直的四边形是菱形 正方形1)有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； 2）有一组邻边相等的矩形是正方形； 3）有一个角是直角的菱形是正方形。
1.三角形的中位线平行且等于第三边的一半 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3.菱形的面积公式： 对角线乘积的一半 练习题： 1．不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） （A ）AB 平行且等于CD 。 （B ）∠A=∠C ，∠B=∠D 。 （C ）AB=AD ，BC=CD 。 （D ）AB=CD ，AD=BC 。 2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ） （A ）邻角互补（B ）内角和为360°（C ）对角线相等 （D ）对角线互相垂直 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） （A ）四条边相等 （B ）对角线互相垂直平分 （C ）对角线平分一组对角 （D ）对角线相等 4、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 5.如图,□ABCD 中,∠C=108°,BE 平分∠ABC,则∠ABE 等于( ) A.18° B.36° C.72° D.108° 6．下列命题中，真命题是（ ） A 、有两边相等的平行四边形是菱形 B 、对角线垂直的四边形是菱形 C 、四个角相等的菱形是正方形 D 、两条对角线相等的四边形是矩形 7、□ABCD 中，∠A =50°，则∠B =__________，∠C =__________。 8．已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm ． 9、菱形ABCD 的周长为36，其相邻两内角的度数比为1:5，则 此菱形的面积为_________。 10、对角线长为22的正方形的周长为___________，面积为__________。 11．如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积 S 1与矩形QCNK 的面积S 2的关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝” ） E D C B A
初三数学圆知识点复习专题经典
《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A
r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B
平行四边形知识结构及知识点
平行四边形知识结构及知识点 1、知识结构 2、对称性： ①平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点； ②等腰梯形是轴对称图形，其对称轴是过上、下两底的中点的直线； ③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 3、相关定理： ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ②如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 ③平行四边形的面积公式：S = 底?高；菱形的面积公式：S = 两条对角线积的一半。 ④梯形的面积公式：S =（上底+下底）?高÷2 = 中位线长?高 4、注意： ⑴四边形中常见的基本图形 ⑵梯形问题中辅助线的常用方法(目的：转化为三角形和平行四边形或构造全等三角形)
特殊四边形 性质判定 边角对角线边角对角线 平行 四边形 对边 平行 且相等对角相等 邻角互补 对角线 互相平分 1、两组对边分别平 行的四边形是平行 四边形 2、两组对边分别相 等的四边形是平行 四边形 3、一组对边平行且 相等的四边形是平 行四边形 4、两组对角 分别相等的 四边形是平 行四边形 5、两条对角 线互相平分 的四边形是 平行四边形 矩形 对边平行且相等 四个角 都是直角 对角线 互相平分 且相等 1、有一个角 是直角的平 行四边形是 矩形 2、三个角是 直角的四边 形是矩形 3、对角线 相等的平行 四边形是 矩形 菱形四边 相等对角相等 邻角互补 对角线 互相垂直 平分, 且每条对 角线平分 一组对角 1、一组邻边相等的 平行四边形是菱形 2、四边相等的四边 形是菱形 3、对角线 互相垂直的 平行四边形 是菱形 正方形 四边 相等 四个角 都是直角 对角线 互相垂直 平分且 相等, 每条对角 线平分 一组对角 1、有一组邻边相等 且有一个角是直角 的平行四边形是正 方形。 2、有一组邻边相等 的矩形是正方形。 3、有一个角 是直角的菱 形是正方形。 4、对角线 相等的菱形 是正方形。 5、对角线互 相垂直的矩 形是正方形。 等腰梯形两底 平行 两腰 相等 同一底 上的两个 底角相等 对角线 相等 1、两腰相等的 梯形是等腰梯形。 2、在同一底 上的两个底 角相等的梯 形是等腰梯 形。 3、对角线 相等的梯形 是等腰梯形
《平行四边形》知识点归纳和题型归类
平行四边形知识点归纳和题型归类【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形 1．定义：的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）； （2）； （3）； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）的四边形是平行四边形； （2）的四边形是平行四边形； （3）的四边形是平行四边形． 角：（4）的四边形是平行四边形； 对角线：的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都； （2）等底等高的平行四边形面积 . 要点二、矩形 1．定义：的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）边：； （2）角：； （3）对角线：； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 的平行四边形是矩形. （2）的平行四边形是矩形. （3）的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的． 高 底 平行四边形 ? = S 宽 ＝长 矩形 ? S
要点三、菱形 1. 定义： 的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1） 的平行四边形是菱形； （2） 的平行四边形是菱形； （3） 的四边形是菱形. 要点四、正方形 1. 定义：四条边都 ，四个角都是 的 形叫做正方形. 2．性质：（（1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 3．面积：=S 正方形边长×边长＝ 1 2 ×对角线×对角线 4．判定：（1） 的菱形是正方形； （2） 的矩形是正方形； （3） 的菱形是正方形； （4） 的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 中点四边形（拓展） 原四边形 一般四边形 矩形 菱形 正方形 图示 顺次连接 各边中点 所得的四 边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 2 对角线 对角线高＝ ＝底菱形??S M G F E D C B A C D E F M G B A B E A C G M F D A F G M B D E C
初中数学知识点及结构图(修改版)
七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正 分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；
5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是 a 1 ；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， 无意义即0 a . 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正
(完整版)人教版初中数学知识结构
【人教版初中数学知识结构图】 1、有理数（正数与负数） 2、数轴 6、有理数的概念3、相反数 4、绝对值 5、有理数从大到小的比较 7、有理数的加法、加法运算律 17、有理数8、有理数的减法 9、有理数的加减混合运算 10、有理数的乘法、乘法运算律 16、有理数的运算11、有理数的除法、倒数 12、有理数的乘方 13、有理数的混合运算 21、代数式14、科学记数法、近似数与有效数字 22、列代数式15、用计算器进行简单的数的运算 23、代数式的值18、单项式 27、整式的加减20、整式的概念19、多项式 24、合并同类项 25、去括号与添括号 26、整式的加减法 28、等式及其基本性质 29、方程和方程的解、解方程 198 32、一元一次方程30、一元一次方程及其解法 初31、一元一次方程的应用33、代入（消元）法 中35、二元一次方程组的解法34、加减（消元）法 数193 36、相关概念及性质 学数39、二元一次方程组37、三元一次方程组及其解法举例 与38、一元方程组的应用40、一元一次不等式及其解法 代45、一元一次不等式43、一元一次不等式41、不等式的解集 数和一元一次不等式组44、一元一次不等式组42、不等式和它的基本性质 46、同底数幂的乘法、单项式的乘法 47、幂的乘方、积的乘方 51、整式的乘法48、单项式与多项式相乘 49、多项式的乘法 56、整式的乘除50、平方差与完全平方公式 52、多项式除以单项式 55、整式的除法53、单项式除以单项式 54、同底数幂的除法 57、提取公因式法 61、方法58、运用公式法 63、因式分解59、分组分解法 62、意义60、其他分解法66、含字母系数的一元 65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算一次方程 72、分式69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用67、分式方程解法、 70、分式的意义和性质增根 71、分式的加减法68、分式方程的应用 75、数的开方73、平方根与立方根 74、实数 86、二次根式的意义76、最简二次根式 79、二次根式的乘除法77、二次根式的除法
四边形知识点和题型归纳
对行 为一一为一四边形 两 组边平 一个 内角R t ∠一个内角为Rt ∠, 一组邻边相等组邻 边相等 组 对边平 行 且另一组对边 不平 行 一 个内角R t ∠组邻 边相等 四边形知识与题型总结 一.本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之 间的内在关系. （1）演变关系图： （2）从属关系 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表 一种图形） 平行四边形
图2 F E D C B A 图1 F E D C B A 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 名称 平行四边形 矩形 菱形 正方形 定 义 的四边形是平行四边形 的平行四边形是矩形 的平行四边形是菱形 的平行四边形是正方形 性 质 边 角 对角线 对 称性 判 定 边 角 对角线 面 积 周 长 3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积. 如图1， ABCD S =BC·AE=CD·BF
30? 60? 60? （2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， ABCD S =BCFE S 4.三角形中位线定理 定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）; 定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分. 拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ; （4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线 5.正方形： （1）对角线：若正方形的边长为a ，则对角线的长为2a ; 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等 （3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的 一半. 周长相等的四边形中， 正方形的面积最大. 6. ※梯形的中位线 （1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半. （3）梯形的面积S=12 ×（上底+下底）×高=中位线×高 7.几种特殊四边形的对角线 ① 矩形对角线交角为60?(120?)时,可得： 等边三角形和含30?角直角三角形 （① 图） ② 菱形有一个角为60?时, 可得： ③ 正方形中可得： 含30?角的四个全等直角三角形 四大四小等腰直角三角形
四边形知识点与经典例题
第十九章 四边形 一、 基础知识 （一）四边形由一般到特殊的演变示意图 （二）特殊四边形
（三）1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、例题 例1：如图1，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABE =∠CDF ，AB= CD. 又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB =∠CFD = 90°， ∴△ABE ≌△CDF. ∴∠BAE =∠DCF. 例2如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F. 求证：BE = CF. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB = OC. 又∵BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，∴∠BEO =∠CFO = 90o. ∵∠BOE =∠COF. ∴△BOE ≌△COF. ∴BE = CF. 评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定. 例3已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE = 2EA ，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB. 证明：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB. 又∵AB = DC ，BE = 2EA ，CF = 2FD ， ∴BE = CF. ∵BC = CB ， ∴△BEC ≌△CBF. ∴∠BEC =∠CFB. 例4如图6，E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点，且 （1）求证：△ABE ≌△CDF ； （2）若M 、N 分别是BE 、DF 的中点，连结MF 、EN ， 试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD ，∠A =∠C. ∵AE = CF ，∴△ABE ≌△CDF. （图1） A D B C E F (图6) M N O A B C D E F （图2）
圆中知识结构图
关于《圆》的知识结构整理 一．主要定理及其作用： 1．圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理: 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角②两条弧,③两条弦④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等：（等弧---等角---等弦……） 用的最多的依据： ①在同圆或等圆中,如果两个圆心角相等,那么它们所对的两条弧相等 ②等弧所对的圆心角相等： ③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的两条弧相等 ④等弧所对的两条弦相等 2．垂径定理: 如果一条直线①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. （直角三角形---等弧……） 用的最多的依据： ①垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧 ②平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. ③一条弦的垂直平分线||经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 ④平分弧的直径过圆心的直线垂直平分这条弧所对的弦. 3．圆周角定理: (1)直径所对的圆周角是直角； (2)90°的圆周角所对的弦是直径。 (3)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (4)同弧所对的圆周角相等； (5)等弧所对的圆周角相等； (6)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等； （等弧---等角---直角三角形） 4．切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径（直径）。(垂直关系) 5．切线的判定定理： 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 6．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（等弦---等弧---等角） 7．相切和相交两圆的性质定理： 如果两圆相切，连心线必过切点。如果两圆相交，连心线垂直平分公共弦 二．主要辅助线及其作用： 1．作弦心距：弦的中点．弧的中点。 2．过某一点作弦：构造相等的圆周角。 3．作直径：构造直角三角形和同弧所对的圆周角。
初中数学圆知识点总结
A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆内 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BC BD =AC AD = 《四边形》核心知识 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形 矩形的性质： 矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等 矩形的对角线相等且互相平分。 特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形具有平行四边形的一切性质 矩形的判定方法 有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(菱形是平行四边形：一组邻边相等) 性质： 菱形的四条边都相等 菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 菱形的判定方法: 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 正方形: 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。 性质：正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质。 正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 梯形： 定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。 直角梯形：有一个角是直角的梯形是直角梯形 等腰梯形的性质： 等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线所在的直线是对称轴， 等腰梯形同一底边上的两个角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形的判定定理 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 等腰梯形的判定方法：先判定它是梯形，再用两腰相等或同一底上的两个角相等来判定它是等腰梯形。 解决梯形问题常用的方法： 1.“平移腰”把梯形分成一个平行四边形和一个三角形 2.“作高”：使两腰在两个直角三角形中 3."平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中 4.“延腰”构造具有公共角的两个三角形 5.“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。 初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆接四边形的对角互补；外角等于它的对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 为 四边形两 组 对 边 平 行 一个 内角 R t∠ 一个内角为Rt∠, 一组邻边相等 一组邻 边相等 一组 对边 平行 且另 一组 对边 不平 行一个 内角 为R t∠ 一组邻 边相等 四边形知识与题型总结 一.本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系. （1）演变关系图： （2）从属关系 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形） 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和 常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 名称平行四边形矩形菱形正方形定 义的四边形是平行四 边形的平行四边形是矩 形 的平行四边形是 菱形 的平行四边形是 正方形 性质边 角对角线 判定边 角对角线 面积周长 图2 F E D C B A 图1 F E D C B A 3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积. 如图1， ABCD S =BC· AE=CD·BF （2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， ABCD S = BCFE S 4.三角形中位线定理 定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）; 定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分. 拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的 小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ; （4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线 60? 60? A D C B F E 30? 60? 60? 5.正方形： （1）对角线：若正方形的边长为a，则对角线的长为2a; 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等（3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的一半. 周长相等的四边形中，正方形的面积最大. 6. ※梯形的中位线 （1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半. （3）梯形的面积S= 1 2 ×（上底+下底）×高=中位线×高 7.几种特殊四边形的对角线 ①矩形对角线交角为60?(120?)时,可得： 等边三角形和含30?角直角三角形（①图）②菱形有一个角为60?时, 可得：③正方形中可得： 含30?角的四个全等直角三角形四大四小等腰直角三角形 （②图）（③图） ④对角线互相垂直的梯形, ⑤对角线互相垂直的等腰梯形平移腰可得：双垂图可得：等腰直角三角形 （④图）（⑤图） 《圆》单元测试题 一、精心选一选，相信自己的判断！(每小题4分，共40分) 1.如图，把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆，则它们的位置关系是（ ） A .外离 B .外切 C .相交 D .内切 2.如图，在⊙O 中，∠ABC =50°，则∠AOC 等于（ ） A ．50° B ．80° C ．90° D ．100° 3.如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABC =30°，则∠BAC =（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°（ ） 4. 如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 大小为 ( ) A ．25° B ．30° C ．40° D ．50° 5.已知⊙O 的直径为12cm ，圆心到直线L 的距离为6cm ，则直线L 与⊙O 的公共点的个数为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．不确定 6.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 和7cm ，两圆的圆心距O 1O 2 =10cm ，则两圆的位置关系是（ ） A ．外切 B ．内切 C ．相交 D ．相离 7.下列命题错误．． 的是（ ） A ．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 8.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A ．与x 轴相离、与y 轴相切 B ．与x 轴、y 轴都相离 C ．与x 轴相切、与y 轴相离 D ．与x 轴、y 轴都相切 9已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652 =+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是( ) A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．外切 10.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（ ） A ． 2 ∶1 B ．2∶1 C ．1∶2 D ．1∶ 2 11.在Rt △AB C 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ） A ．25π B ．65π C ．90π D ．130π 12.如图，Rt △AB C 中，∠ACB=90°，∠C AB =30°，BC =2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ） A ．73 π－78 3 B ．43 π+78 3 C ．π D ．43 π+ 3 二、细心填一填，试自己的身手！（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 第1题图 A B O C 第2题图 第3题图 12 A H B O C 1O 1H 1A 1C 第4题 A B O C D 初中数学知识点圆总结 初中数学知识点圆总结 知识点： 一、圆 1、圆的有关性质 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA 叫半径。 由圆的意义可知： 圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。 能够重合的两个圆叫等圆。 同圆或等圆的半径相等。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 二、过三点的圆 l、过三点的圆 过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心 定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。 2、反证法 反证法的三个步骤： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。 证明：设有两个以上是钝角 则两个钝角之和＞180° 与三角形内角和等于180°矛盾。 ∴不可能有二个以上是钝角。 即最多只能有一个是钝角。 三、垂直于弦的直径 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 初中数学知识结构图 1.有理数（正数与负数） 2.数轴 6.有理数的概念 3.相反数 4.绝对值 5.有理数从大到小比较 7.有理数的加法、加法运算律 17.有理数8.有理数的减法 9.有理数的加减混和运算 10.有理数的乘法、乘法运算 16.有理数的运算11.有理数的除法、倒数 12.有理数的乘方 21.代数式 22、列代数式 23、代数式的值13.有理数的混和运算 14.科学记数法、近似数与有效数字 15.用计算器进行简单的数的运算18.单项式 198初中 数学.193 数 与 代 数 27、整式的加减 32、一元一次方程 39、二元一次方程组 45、一元一次不等式 和一元一次不等 20、整式的概念19、多项式 24、合并同类项 25、去括号与添括号 26、整式的加减法 28、等式及其基本性质 29、方程和方程的解、解方程 30、一元一次方程及其解法 31、一元一次方程的应用 35、二元一次方程组的解法 36、相关概念及性质 37、三元一次方程组及其解法举例 38、一次方程组的应用 43、一元一次不等式40、一元一次不等式及其解法 41、不等式的解集 44、一元一次不等式组42、不等式和它的基本性质 式组46、同底数幂的乘法、单项式的乘法 51、整式的乘法 47、幂的乘法、积的乘方 48、单项式与多项式相乘 56、整式的乘除 55、整式的除法 49、多项式的乘法 50、平方差与完全平方根 52、多项式乘以单项式 53、单项式除以单项式 54、同底数幂的除法 63、因式分解 61、方法 57、提取 58、运用公式法 59、分组分解法 72、分式 62、意义60、其他分解法 65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算 69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用 70、分式的意义和性质 71、分式的加减法 73、平方根与立方根 66、含字母系数的 一元一次方程 67、分式方程解法、 阵根 68 分式方程的应用 75、数的开方 74、实数 《圆》章节知识点复习 名词解释： 1.弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2.弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 3.半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆。 4.等圆——能够重合的两个圆叫做等圆。 5.等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 6.圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。 7.圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 8.圆内接多边形——如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 9.外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心。 10.内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 11.内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。 12.割线——直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的割线。 13.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线， 这个点叫做切点。 14.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。 15.圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。 16.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 17.中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 18.边心距——中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 19.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 20.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；（补充） 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都四边形核心知识及结构图
初三数学圆知识点总结
四边形知识题型总结
初中数学圆知识点总结
初中数学知识点圆总结
初中数学知识结构图.docx
初中数学 圆知识点归纳