《数学课程标准》” 图形与几何“领域的解读
第七章图形与几何
第一节：总体主线和关键点分析
“图形与几何”的课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力
为核心展开，主要有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；
图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形
的位置及运动的描述，以及利用坐标对其的刻画。
1.图形的认识
正确理解与把握《标准》对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点，对于课程的实施和目标的达成是十分重要的。
（1）明确认识的对象
在第一学段，《标准》要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度
观察到的简单物体”；“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几
何体”；“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”等，其
中既涉及到了对简单几何体的认识，也涉及到了经过抽象后的三维图形和二维
图形。
在第二学段中，认识的图形增加了线段、射线和直线等一维图形；对角的认识扩大到了平角、周角，增加了梯形、扇形，对三角形的认识从一般三角形到等腰
三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等；三维图形的认识对
象增加了圆锥。
在第三学段，除增加了点、平面、菱形外，而更多的是对已有图形从整体到局部的认识，如“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念”，
“理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念”等。
与其他二维、三维图形相比，点、直线、平面这些基本图形抽象的程度更高，因此必须结合对现实生活中的物体的抽象才能更好地理解它们。
《标准》关于“图形的认识”内容的安排，体现了从生活到数学、从直观到
抽象，从整体到局部的特点，且三维、二维、一维图形交替出现，目标要求逐渐
提高。
（2）明确图形认识的要求
图形认识的要求主要包括两个方面，一是对图形自身特征的认识，二是对
图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。
对图形自身的特征认识，是进一步研究图形的基础。在三个学段中，认识同
一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再从
“认识”到“探索并证明”。例如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体，第一学段要求“辨认”；第二学段要求“认识”；第三学段要求了解其中一些几何体的侧面展开图。又如，对于平行四边形，第一学段要求“辨认”；第二学段要求“认识”；第三学段要求“探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理”。再如，关
于“视图”，第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察
到的简单物体”；第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的
物体的形状图”；第三学段要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体”。这种要求的层
次性，既体现了从整体到局部的认识过程；也符合学生的认知特点，逐渐深入、循序渐进。
对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置形状之间关系的认识。
第一学段的“了解直角、锐角和钝角”；第二学段的“体会两点间所有连线中
线段最短”；“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”；“了解三角
形两边之和大于第三边”；第三学段的“会比较线段的长短”，“能比较角的
大小”等，都是对图形大小关系的研究。
点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种主要的图形位置关系；轴对称、中心对称
平移也反映了图形与图形之间的位置关系。
图形的全等、相似都是研究研究图形之间关系的课程内容，全等研究的是图形的形状、大小关系；图形的相似研究的是图形的形状之间的关系；而图形的位似
则还涉及到了图形的位置关系。
（3）明确认识图形的方式与途径
《标准》中较多地使用“通过观察、操作，认识……”“结合实例（生活情境）了解……”“通过实物和具体模型，了解……”的表述，这实际上明确了
认识图形的过程和方式。
图形，是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是
把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。例如，点是位置的抽象，在几何中用“点”来标记一个物体的位置（例如地图上的城市为点）；线是路径的抽象，我们把“从一个地方走到另一个地方”抽象为“线段，或折线段、曲线段”。
又如，观察一张书桌，它占据一定的空间，有长短、宽窄和高矮，这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念，就抽象成几何图形。继续观察，发现桌面上有四个相等的角，两两相等的对边，长和宽不相等。黑板、书本、门窗等，都具有这些相同的特征，于是就形成了“长方形”的概念。“长方形”已不再是某个具体的物体，而是抽象了的图形。
正如前面指出的那样，图形的认识需要经历抽象的过程，有时这样的过程
还是较为漫长的，因为学生往往难以一次性地真正完成这样的抽象。例如，对于角的概念，虽然小学就有接触，但在第三学段探讨角的轴对称性时，有的学生会认为“角不是图形”或“角不是轴对称图形”，因为“角的两边好像不一样长”，这反映了这些学生对“角”的认识没有达到抽象的水平。
2.图形的测量
对于图形，人们往往首先关注它的大小。一般地，一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。图形的大小是可以度量的，度量的关键是设立单位，而度量的实际操作就是测量。
图形测量的相关知识对每个学生的学习和适应未来的生活都是有用的，测
量过程中蕴涵的方法和思想有助于学生提高分析问题和解决问题的能力。
粗略地了解人类对图形进行测量的历史，可以更好地认识与了解测量的意义和作用。在谈到几何学的产生时，埃及人的贡献总是首先被提及并详尽地给以介绍。埃及位于非洲的北部，每年尼罗河水泛滥，洪水过后留下的淤泥形成肥沃的土壤，同时也带来土地要重新测量的需求，土地测量的需要就使图形成为数学的研究对象。埃及人创造出一套有效的土地面积测量的方法以及面积计算的公式，包括三角形、长方形和梯形，还包括圆面积的近似计算公式。现存的文献表明，古埃及人并没有给出面积的定义，但是埃及人很清楚地知道，面积是对平面物体大小的度量，他们很可能就是用长乘以宽来度量长方形的面积、并且把这种度量作为最基本的面积度量元素。
《标准》中“图形的测量”的课程内容主要安排在第一、二学段；其要求主
要包括：体会测量的意义，体会并认识度量的单位及其实际意义，了解测量的
一些基本方法，掌握一些基本图形的长度（包括周长）、面积和体积的测量方法
和公式，在具体问题中进行恰当的估测。
（1）使学生体会建立统一度量单位的重要性
《标准》在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。”这种要求对面积、体积的单位也同样适用。
度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动
成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。因此，在课程的实施过程中，应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在相互交
流的过程中发现单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的
重要性。
（2）使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟
《标准》在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，
知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。进行单位之
间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练，而是要能够体会单位之间
的实际关系，这就涉及到了对单位的理解。长度（类似的，面积、体积）单位不
仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的实际
意义。例如，生活中哪些物体的长度大约为 1 米，1 厘米的长度可以用什么熟悉的物体来估计，哪些物体的重量大约是 1 千克，哪些物体的体积大约是 1 立方米等。对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。
比如，一个成人的身高为 175（），应当选择 cm 而不是 mm 作为单位，这是对长
度单位认识的一个深化。
（3）在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量
测量是从人类的生产、生活实际需要中产生的，学习测量的目的是为了实际的
应用。在明确实际测量的对象后，选择恰当的度量单位、测量工具及方法关系到测
量能否方便、可操作地进行、影响着测量结果的准确程度。比如，用直尺测量黑
板的长度是不错的选择，用它测量一栋大楼的长度就不是上策了…学生只有在
亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的经验。
（4）重视估测及其简单应用
估测或估计是《标准》突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是
一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。
估测与精确测量之间有着密切的关系。生活中精确测量的结果有时需要用估计的办法来感受，对事物进行估计时则需要对度量单位很好的认识与把握、对图形
度量知识的掌握，以及具有一定的空间观念。
估测的意识和能力是在实践中发展起来的。《标准》要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，并给出具体的实践任务“测量并计算一张给定正方形纸的
面积，利用结果估计课桌面的面积；测量步长，利用步长估计教室的面积”。
这样，把测量与面积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估
测的方法。
例如（《标准》附录 2 例34），图中每个小方格为 1 个平方单位，试估计曲线
所围部分的面积。
这个案例主要是想说
明：要帮助学生树立起规
划和设计的意识，即根据
要估计的精确程度来确定
估计方案。例如，粗略估计的方案可以为小方格里有图形就记为 1，无图形就记
为 0，然后相加求和；精细估计的方案可以为小方格的图形，大于一半的记为1，小于一半的记为 0，然后相加求和；也可以分得更细。让学生通过记录、计算比
较等，体会估计的意义和方法。
（5）探索并掌握规则图形的周长、面积和体积公式，并能应用公式解决实际
问题。
关于规则图形的度量公式，《标准》要求探索并掌握长方形、正方形的周长公式；
探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式，并能解
决简单的实际问题；探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥
体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。
《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的
周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测
量方法等，通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且
能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想
（如微积分的思想）。
3.图形的运动或变化
《标准》第一、二学段中“图形的运动”，涉及的主要内容是图形的平移、旋转
和轴对称，第三学段中“图形的变化”除图形的平移、旋转和轴对称外，还包括
图形的相似、位似，以及投影视图等。
第三学段中，要求学生了解轴对称、旋转、平移的概念，探索它们的性质。图形的轴对称、旋转、平移不改变图形的形状和大小，利用这个特性可以探索线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正多边形、圆的一些性质。
比如，研究三角形全等时，可以先组织学生开展如下操作活动：
活动1 先把两张全等的三角形纸板摆放成如图，再改变其中一个三角形的位
置（平移，
或翻折，或旋转），使它与另一个三角形重合。说出这两个全等三角形的对应边和对应角。
活动 2 先把两张三角形纸板重合，然后改变其中一个三角形的位置（平移，
或翻折，或旋转），展示所摆成的不同位置的图形。说出这两个全等三角形的对
应边和对应角。
活动 3 观察下列图形中的两个全等三角形，改变其中一个三角形的位置（平移，或翻折，或旋转），使它与另一个三角形重合。
（1 ）（2 ）（3 ）（4）
（5 ）（6 ）（7 ）（8）
（9）（10）（11）
（12）（13）
上述活动将有效地帮助学生识别复杂图形中的全等三角形，从而为他们进行有关全等三角形的演绎证明奠定基础。
几何图形的直观，为运用图形运动的方法研究图形性质提供了有利条件。通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法。
研究图形的相似尤其是三角形的相似是第三学段“图形的变化”中的主要内容之一，利用相似可以解决日常生活中的大量实际问题，也是《标准》关注的重点。投影与视图是二维图形与三维图形转化中体现着图形的变化，这个过程是培养学生空间观念的好机会。
4.图形的性质及其证明
（1）图形性质的探索
图形的性质是对图形中各种元素之间的关系，以及图形之间关系的认识。为了更好地研究这些关系，就需要给出一些定义和基本事实，然后从定义和基本事实出发，去探索研究图形的其他性质。
《标准》在“图形的性质”中，比较多的使用“探索并证明…”的表述。在一定的情境中，引导学生借助已有的知识和经验，借助图形的直观，通过操作、
度量、运用合情推理或图形运动等方法，探索发现图形可能具有的性质，这与给出“已知、求证、证明”的方式研究图形性质是有区别的。两者相比，前者更加有利
于学生在获取有关知识的过程中，不断提高研究几何图形性质的能力，发展创
新意识和创新能力。
在第一、二学段中，学生已经“辨认”、“认识”、“了解”、“知道”了一些图形及其“特征”。在此基础上，第三学段开始引导学生探索并证明图形的性质，发展学生的推理能力。学生探索图形性质，可以借助图形直观、通过观察、操作、
度量等活动；也可以运用归纳、类比的方法。
（2）图形性质的证明
推理，是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，而证明是由一系
列推理构成的。证明首先需要有大家公认的出发点，其次，推理过程要正确。
《标准》列出以下 9 个基本事实，作为义务教育阶段图形性质证明的出发点（1）两点确定一条直线。
（2）两点之间线段最短。
（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
（8）三边分别相等的两个三角形全等。
（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
从这 9 个基本事实出发，证明了有关线段、角、直线、三角形、四边形约 40 个定理；探索了圆、相似形的一些性质，并了解有关圆、相似形的一些定理的证明。
应当说明的是，《标准》把上述 9 条称为“基本事实”，而不称为“公理”
其主要原因是其中大多数都是欧氏公理体系中定理，另外它们也不具有公理体
系所应有的独立性、相容性、完备性，如基本事实（3）与（5）就不互相独立。
演绎推理是证明图形性质的常用方法，它的主要形式是三段论证，但
是演绎推理并不等同于三段论证（比如，a﹥b，b﹥ca﹥c 的推理就不是三段论证）。用演绎推理的方法证明图形性质的过程，通常用简化的三段论证，即“小
前提、结论（大前提）”的形式表述。
图形的轴对称、平移、旋转等运动、变化，常常是我们探究证明的思路、寻找证明的方法的途径，或者使我们获得一些对图形性质认识的猜测，利用演绎推理在对这些探究和猜测加以证明。
比如，对于等腰三角形“三线合一”的性质的探究与证明，可以经历下面的过程： （补图）如果△ABC 中，AB=AC ，那么只要沿△ABC 的角平分线 AD 所在直线把
△ABD 翻折，因为∠BAD=∠CAD,所以 BA 落在射线 AC 上；因为 AB=AC ，所以点 B 与点
C 重合，于是△AB
D 与△ACD 重合，即可以发现等腰三角形“三线合一”的结论。利用演 绎得方法证明时，折痕就是我们要引的辅助线，它将等腰三角形分成两个全等的三角形， 这就是对折带给我们的启发，接下来的证明也就不难了。
又如，“三角形的中位线定理”的教学可参考设计如下：
问题：怎样把一个三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 操作：（1）沿△ABC 的中位线 DE 将△ABC 剪成
两部分。
（2）将△ADE 绕点E 旋转 180°到△CFE
的位置（如图）。
四边形 BCF （E ）D 是四边形吗？是怎样的
四边形？
运动的方法探索并得到猜测：
因为DE 绕点E 旋转 180°到FE ，所以DEF 是一条直线，四边形 BCF （E ）D 是四边
形。
因为图形的旋转不改变图形的大小，所以 CF=AD ，∠DAC=∠FCA ，于是 CF ∥AD ，可 知 四 边 形 BCFD 是 平 行 四 边 形 。 于 是 DF ∥BC ，DF=BC ，可知 DE=BC 。
运用演绎推理的方法证明上述结论： 延长 DE 到点 F ， 使 EF=DE ，连接 FC.可证 △ AED ≌△CEF ， 得 CF=AD,CF ∥AD 。再 证 四 边 形 BCFD 是 平 行 四 边 形 , 可 证 DE ∥BC ， DE=BC 。
明晰结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
不难看出，演绎推理的思路源于图形的旋转变换，图形的旋转变换是 “源”，演绎推理证明是它的“流”。
5.图形的位置
第一学段要求用两种方法定性地刻画物体的位置：一种是用“上、下、左、右、前、后”描述物体的相对位置，一种是用“东、南、西、北”等描述物体的绝对位置。第二学段则在此基础上进行定量的刻画物体的位置，即用数对表示物体的位置。
在此基础上，第三学段通过建立直角坐标系，要求在直角坐标系中确定图形的位置：如用坐标描述点的位置、刻画一个简单图形的位置等。进而在直角坐标系中进行图形的运动，并描述运动后图形的位置及其对应顶点坐标之间的关系：如把一个多边形沿坐标轴平移、或以坐标轴为对称轴进行轴对称变换后，能用坐标描述图形的位置，并体会对应顶点坐标之间的关系；能在直角坐标系中把一个多边形放大或缩小等。
第二节、内容分析
（一）第一、二学段内容分析
第一、二学段“图形与几何”课程内容，分为图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置”四个部分。
一、图形的认识
在第一、二学段中，学生将在日常生活中积累了有关图形认识经验的基础上通过观察、想象、操作、比较、归纳、概括、推理等方式，认识常见的立体图形和平面图形，探索它们的性质；在观察、想象、推理和图形的相互转换过程中发展空间观念，逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界，体会图形在现实生活中的广泛应用。
1.通过对实物的观察与操作认识图形
第一学段要求“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”、“通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征”；第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”等，这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物的观察与操作过程中
来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。
人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球…都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验，学生可以从
认识立体图形开始，“通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”。“辨认”是认识的低级阶段，但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到
几何图形的抽象过程。从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面抽象出
长方形、正方形、圆等平面图形。像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体
到局部的安排，，揭示了立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。
第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”。射线和直线涉及到了无限的概念，与长方体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有“直线”的实物原型，这就需要学生进行抽象与想象。认识线段要容易一些，因为现实生活中有“线段”的实物原型。
类似的，学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难，可以利用两根铁
轨作为实物原型来描述，两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图
形的抽象过程中还需要想象，这有助于学生发展抽象能力和空间观念。
2.关注基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念
除了对常见图形的认识外，《标准》还有另一种对图形观察与认识的要求：
能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体。（第一
学段）
能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图。（第二学段）
认识长方体、正方体和圆柱的展开图。（第二学段）
空间观念作为《标准》内容的核心概念，是“图形与几何”学习的核心目标之一。为了促进学生对空间的理解与把握、发展空间观念，《标准》安排了视图与投影、展开与折叠等内容，为学生提供进行二维图形与三维图形之间转换的素材
值得注意的一点是，“从不同的方向看到的”不是真正意义上的视图，视图是平行投影下的正投影，即平行光线将物体投射到与光线垂直的投影面上的“影子”。另外，在第一、二学段只要求辨认（不要求画出）所看到的物体的形状图。例如（《标准》附录 2 例 33），观察下图：
请指出从前面、右面、上面看到的相应图形：（第二学段）
体、 的展开图”，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。
3. 注重以知识为载体渗透数学思想
图形的分类是认识图形的核心。“辨认”不同的几何图形的过程就是将图形分类的过程，长方体、正方体、圆柱体就是三类不同的几何体；正方形、长方形、圆又是另外的三类图形。“结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角”、“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”的学习中都有分类的思想。第一学段中的“能对简单几何体和图形进行分类”的要求， 实际上就是借助对图形的认识使学生体会和感悟分类的思想。
认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，教学 中应当予以充分的重视。
二、测量
在“图形与几何”的主线分析中，我们已讨论了有关测量的几个核心问题， 这里仅就一些具体的问题再进行分析。
第一学段中测量的内容标准可以分成三部分，一是关于度量单位及其统一
性的意义的理解；二是关于长度的测量的问题；三是关于面积的测量问题。
关于建立度量单位统一性的重要性，不仅在长度的测量中要给予关注，在
面积和体积的测量中仍要让学生去感受，因为重要的思想是需要螺旋上升的。
关于对度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小，如“ 北京
到南京的铁路长约 1000（）”，引导学生学会选择合适的度量单位；要用
实物感知度量单位的大小，如“一米约相当于（）根铅笔长”，强化学生
对度量单位的感知；还应关注不同维度度量单位之间的联系。例如，理解 1 分米
2=100 厘米2，可以借助图形（10×10的方格，每个方格为 1 厘米2），也可以借
助等式 1 分米2=1 分米×1分米=10 厘米×10厘米=100 厘米2，避免学生死记硬
背单位之间的换算关系。
除了探索规则图形的周长、面积和体积公式并会应用外，《标准》还要求能
测量一些非规则图形的周长，如由规则图形组合成的图形的周长、圆形或杨树叶
形的周长，并给出了测量树叶周长的两种方法，对测量的误差也给予了分析。
第二学段中的内容标准包括了角的度量、部分图形的面积公式，以及体积的
意义、度量单位和一些常见立体图形的体积的探索，以及“通过操作，了解圆的周
长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解
决简单的实际问题”。
圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线形，对它的周长以及面积的探索和公式的给出都具有一定的挑战性，需要学生经历分析圆的半径与周
长关系的过程，并通过对特殊情况的归纳得出圆的面积公式。这个过程有助于学
生提高分析问题、解决问题的能力，获得数学活动的经验，体会极限的思想。
第一、二学段都应关注估测的问题。《标准》在长度、面积和体积三个维度上都提出了估测的要求：第一学段要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，“会估计给定简单图形的面积”；第二学段要求“体验某些实物（如土豆等）
体积的测量方法”。比如，“测量一个土豆的体积”，可以转化为与土豆等体积的
规则物体来测量（详见《标准》附录 2 例35）。
第二学段还明确要求在掌握有关周长、面积、体积公式的基础上，“解决简单的实际问题”，解决问题既是学习的过程的重要环节，也是学习数学的主要
目的。
三、图形的运动
运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。所谓图形的运动，在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同运动）；二是形状不变而大小变化（相似运动）。
在第一、二学段中图形的运动主要是合同运动，包括图形的平移、旋转和轴对称。通过这部分内容的学习，学生可以更好地认识现实世界中大量的图形运动的现象，以运动的观点认识图形，欣赏与设计图案。
第一学段中，学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受，了
解平移、旋转
和轴对称；并认识两个图形具有平移或轴对称的关系。提供大量的丰富的图形运动现象，引
导学生充分地观察、想象，运用日常生活中已经积累的有关经验，归纳、发现各种运动的特
点，是达成这个课程目标的有效途径。
第二学段中，图形的运动的课程内容及要求主要有以下几个方面：
（1）按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所得的图形，会补全一个轴对称图形。
在第一、二学段，方格纸是学生认识图形运动很好的平台，利用它可以准确地描述图形位置、定量刻画图形的运动，这样的描述和刻画又能加深学生对图形运动的认识和理解。
《标准》只要求图形沿水平或竖直方向平移、图形绕着一点旋转90°。如，“在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转90”。《标准》不要求图形沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角度。
（2）研究图形的相似运动，即将图形放大或缩小。
第二学段要求“能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小”，这里的“放大与缩小”不是严格的相似，主要是直观感知，即放大或缩小后的图形与原来的图形形状相同而大小的不同。这将为第三学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基础。
（3）综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计
学生对图形运动特点的了解、能够在方格纸上按要求画出运动后图形，这些
知识技能和经验是图案的欣赏和设计的基础。图案的欣赏与设计，为学生用数学的眼光看世界、看生活提供了机会，也可以进一步感受数学的美、数学的价值。欣赏或设计一个图案时，不同的学生会有不同的感受、不同的解释、不同的 想象，只要是合理的都应予以肯定，并进行交流与分享；但应要求学生用自己的语言表达图案中的图形运动关系，从而更好地体会图形的运动在图案欣赏和设计中的作用。
四、图形的位置
日常生活中常常需要确定物体的位置，学习“图形的位置”，可以使学生更好地把握生活的空间。通过学习确定图形位置的方法，运用不同的方法确定物体的位置，可以发展学生的空间观念和推理能力。
第一学段中确定物体位置的方式有两种：一是“上、下、左、右、前、后”，二 个是“东、南、西、北”。前者是一种相对位置的确定，它与观察者和参照物有关后面的是绝对位置的确定，不受观察者的影响，只与参照物有关。生活中两种确定位置的方式都有应用，不同场合下它们会带来不同的便利。
例如（《标准》附录 2 例 17），根据下图中所标的位置回答下列问题：
东
（1） 熊猫馆在猴ft 的哪个方向上？
（2） 大象馆在海洋馆的哪个方向上？
这两个问题主要涉及到了“东、南、西、北”四个方向，但参照物不同，分 别以猴ft 、海洋馆为观察中心，这样的变化有助于学生熟悉和运用方位描述、刻
北
● 大象馆
● 海洋馆 ● 狮虎ft ● 猴ft ● 熊猫馆 ● 百鸟园
画物体的位置。结合图形还可以提出其他问题，如“大象馆、百鸟园分别在狮虎ft 的哪个方向？”……引导学生作更多关于方位的思考和描述。
第二学段的要求主要有以下几个方面：
（1）在方位的基础上，进一步定量地刻画物体的位置
《标准》要求“了解比例尺；在特定的情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算”，这为定量刻画物体的位置奠定基础；还要求“根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置”，这实际上也是用数对表示位置，是极坐标的雏形。
（2）方位在具体问题中的应用
《标准》要求“会描述简单的路线图”，引导学生运用已学知识解决实际问题。路线图就是从初始点出发到达终点的行径，由于描述路线图的过程中参照点不断
变化，随之需要确定的方向、距离也不断变化，所以正确地描述路线图对学生具
有挑战性。描述线路图的活动，不仅能检验学生对方位的理解和认识，而且有助于
学生体会数学的价值，增强学习的兴趣，促进空间观念的发展。
（3）用有序数对确定位置的方法
日常生活中学生已经有用数对确定位置的经验，如确定教室里、电影院中的座位等。因而只要引导学生注意数对的顺序，“能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上点的对应”的要求不难达到。应当注意“数对”里的数限于正整数，不要用分数，更不要用字母表示。
（二）第三学段内容分析
第三学段“图形与几何”的课程内容，分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分。
一、图形的性质：包括 9 个基本事实、探索并证明一些基本图形的性质，以及基本作图和定义、命题、定理等内容。
1.关于“点、线、面、角”
这部分内容主要介绍了一些最基本的概念，是研究图形性质的基础。这里，有两点应当予以注意：一是“比较线段的大小”、“比较角的大小”，在运用图形运动的方法研究图形性质时会有所应用；二是“会对度、分、秒进行简单的换
算，并会计算角的和、差”，《标准》不要求进行角的倍、分的计算。
2.关于“相交线与平行线”
（1）两条直线的位置关系有相交、平行两种，《标准》没有把两条直线重合作为第三种位置关系。
（2）两条直线互相垂直，是两条直线相交的特殊位置关系。这里，不仅有特殊与一般的关系，而且还蕴涵着数量变化与位置关系变化的内在联系——两直线相交所成角的大小成为特殊值（90°）时，两直线的位置关系就是特殊的相交（垂直）。
（3）“两条直线相交，只有一个交点”，《标准》既没有把这个显然的结论作为基本事实（如作为基本事实，它与基本事实（1）不独立），也没有要求根据基本事实（1）用反证法加以证明。
（4）需要指出：《标准》没有把“两直线平行，同位角相等”作为基本事实，而把它作为平行线性质定理。这样处理一是为了减少“基本事实”的个数；二是避免学生产生难以证明的结论就可以作为“基本事实”的误解。这个定理的证明要运用反证法完成（参见《标准》附录 2 例60），只要求学生“了解”。
（5）认别同位角、内错角、同旁内角，是研究平行线的基础。这里，重要的
不是在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角的训练；而是引导学生感受同位角、内错角、同旁内角的大小关系（数量关系）与两直线是否平行（位置关系）的内在联系。
3.关于“三角形”
（1）三角形内角和定理，是一个十分重要的定理。第二学段要求学生“了解三角形内角和是180°”，第三学段则应在此基础上注重用演绎推理的方法证明这个结论。
（2）《标准》表述判定三角形全等的三个基本事实，使用了对应边或角“分别”相等（不用“对应”相等）的表述方式，这是因为“对应相等”的意义难以给出明确定义，又可能与全等三角形的对应边、对应角相等混淆。
另外，“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）”的表述中，特别指出“一组等角的对边相等”，是为了避免理解这个定理时可能发生的歧义。
（3）线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质定理，可以运用三角
形全等证明，也可以通过图形的轴对称，运用有关的基本事实加以证明（如第
一节的 4（2）），这有利于拓宽学生证明的思路，引导学生感受证明可以有不
同的方法。
（4）关于直角三角形的性质，《标准》只要求探索并掌握“直角三角形的
两个锐角互余”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这两个定理，没有
把“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”作为定理；关于直角三
角形的判定，除“两个角互余的三角形是直角三角形”和勾股定理的逆定理外，不要求证明其他的判定方法（比如，若一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形）。
（5）关于三角形的“心”：《标准》要求“了解”三角形的重心，“知
道”三角形的内心、外心，会“作三角形的外接圆、内切圆”，不要求再做进一
步的延伸（比如，三角形的重心把中线分成的两条线段之比为 2:1 等）；《标准》不要求介绍三角形的“垂心”的概念。
4.关于“四边形”
（1）运用归纳的方法可以得到多边形的外角和公式。多边形的外角和公式
与三角形的内角和定理之间有着密切的联系：由三角形内角和定理，可以推导
出多边形内角和公式，进而推导出多边形的外角和等于360°的结论；也可以
先推出多边形的外角和等于360°的结论，然后得到多边形内角和公式、三角形
内角和定理。
（2）“理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系”，这种“关系”是特殊与一般的关系，即图形越来越特殊，它的性质就越
来越多，判定它需要的条件也越来越多，这对于研究平行四边形、矩形、菱形、
正方形的性质和判定有着重要的作用。这部分知识像链条一样环环紧扣，这条“知识链”不仅蕴涵着“一般和特殊”的思想，而且也是引导学生感悟“分
类”思想的好素材。
（3）四边形与三角形有着紧密的联系，研究四边形性质常常借助三角形的
有关知识。但是，四边形与三角形有一个本质的差异：四边形不具有稳定性，三角形具有稳定性。如果不重视这种差异，就会给理解和掌握相关的知识带来困难比如，学生常常不能正确掌握正多边形的定义，其原因就在于边数≥4的多边形不具有稳
定性，由各边相等不能推出各个角相等，所以必须定义“各边相等、
各角相等的多边形叫做正多边形”；而三角形具有稳定性，由三边相等可以推
出三个角相等，所以只需定义“各边相等的三角形叫做正三角形”。
（4）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，除《标准》列
出的条目外，不要求增加其他的判定定理（如“一组对边平行、一组对角相等的
四边形是平行四边形”等）。
（5）三角形的中位线定理的探索和证明，可以完整地展示“合情推理——
提出猜想——演绎推理”的过程（详见第一节第 4（2）点），引导学生经历这
样的过程，有利于他们体会两种推理功能不同、相辅相成。
5.关于“圆”
（1）《标准》把“探索并证明垂径定理”、“探索并证明切线长定理”作为
选学内容，主要是出于控制教学和考试难度的考虑，同时又为有余力的学生提供
了进一步学习的空间。这两个定理的探索和证明过程，同样可以展示合情推理和演
绎推理相辅相成的过程。《标准》要求“了解圆周角定理及其推论的证明”这个定
理的证明需要对图形的位置关系进行分类，这在几何定理的证明中并不多见。
（2）点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，比较典型地体现了“形”
与“数”的内在联系——图形的位置关系确定了相应的数量关系，反之亦然。这
样的课程内容，重要的不仅是有关的结论，更重要的是其中蕴涵的数形结合的
思想。
（3）关于“探索切线与过切点的半径的关系”，《标准》只要求知道这种
关系，并“会用三角尺过圆上一点画圆的切线”，没有把圆的切线的性质和判
定作为定理。
（4）对于“正多边形与圆的关系”，《标准》只要求知道通过等分圆周可
以作正多边形，并且只要求“作圆的内接正方形和正六边”，不要求进行有关
半径、（半）边长、弦心距三者之间的有关计算；对于“正多边形的概念”，要
防止“正三角形”的概念对“正多边形”概念教学的负迁移（参阅上面第4（3）点中所述）。
6.关于“尺规作图”
（1）用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，是完成其他
尺规作图（如作三角形、作圆）的基础。
（2）像证明要做到“言必有据”一样，《标准》要求“在尺规作图中,了解作图的道理，保留作图的痕迹”,即作图也要做到有根有据。《标准》的这种要求有助于发展学生的理性精神，应当予以重视。
不同的尺规作图，其“道理”可能是一样的。比如，用尺规作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线、作线段的垂直平分线，这三者本质上没有区别：
作图过程都是构造等腰三角形，“道理”都是线段垂直平分线的判定（或者说
是等腰三角形的性质）。
尺规作图与图形的判定有着本质的联系。比如，已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边，可以作出（确定）一个三角形；这与判定两个三角形全等的“SSS、SAS、AAS”在本质上是一致的。已知两边和一角，作出的三角形不唯一，判定三角形全等也没有所谓的“SSA”。
7.关于“定义、命题、定理”
（1）对于命题的条件和结论、互逆命题等有关内容，《标准》的要求是“结合具体事例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立”，不要求学生自己编制一个命题的逆命题，特别是条件和结论多于一个的命题的逆命题。
事实上，学生在这部分内容学习中的困难主要源于对文字语言的理解能力、表述和句式的变换（简单句变换为复合句），加强文字语言与结合图形的符号
语言之间的“翻译”，是帮助学生克服这种困难的有效途径。
（2）《标准》要求学生“知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑”，应当通过生活中、数学中的实例，使学生知道由合情推理发现的结论
不一定正确，通过演绎推理才能确认其正确性，因而证明是必要的，并且证明
必须合乎逻辑。
“知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式”，用演绎推理的方法证明命题，通常采用简化的三段论证形式表达，学生应当“会综合法证明的格式”；用图形运动的方法或反证法证明命题，不用三段论证的形式、而用语言叙述的方式表达证明过程，学生应当了解这也是证明的一种表达方式，像这样的证明一般不要求学生独立完成。
(3)对于“反例”，《标准》的要求是“了解反例的作用，知道利用反例可以判断一
“图形与几何”领域专项练习
平面图形：长方形，正方形，三角形，平行四边形，梯形，园。立体图形：长方体、正方体、圆柱和圆锥。 长方形正方形的特征，长方形正方形的周长、面积的计算。 平行四边形的特征，平行四边形面积的计算。 三角形的特征，面积的计算，面积计算公式的推导过程。 梯形面积计算公式的推导及计算。 园的特征，面积计算公式的推导及其计算。 长方体正方体的特征，表面积，体积的计算公式及其计算。以及有关棱长的计算。 圆柱的特征，圆柱的表面积，底面积，侧面积，体积的计算及其公式推导。 圆锥的特征，圆锥只要求计算体积。 “图形与几何”领域专项练习（一） 一、填空 1. 钟面上3时30分，时针与分针组成的角是（ ）角；9时30分，时针与分针组成的角是（ ）角。 2. 把一个长、宽分别是15厘米和10厘米的长方形，拉成一个一条高为12厘米的平行四边形，它的面积是（ ）平方厘米。 3. 一个长方体水箱，从里面量长是45厘米，宽是20厘米，里面的水面高度为12厘米，把一块石头放入水中，水面高度上升了2厘米，这块石头的体积是（ ）立方厘米。 4.用72cm 长的铁丝焊成一个正方体框架（接口处不计），这个正方体框架的棱长是（ ）cm ，体积是（ ）cm 3 ，表面积是（ ）cm 2 。 5.用两个相同的正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积比两个正方体的表面积的和少16平方厘米，一个正方体的表面积是（ ）平方厘米。 6.已知大正方形的边长是a 厘米，小正方形的边长 是b 厘米。用字母表示阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 7. 左图是由（ ）个棱长为1厘米的 正方体搭成的。将这个立体图形的表 面涂上蓝色，其中只有三个面涂上蓝色的正方体有（ ）个，只有四个面涂上蓝色正方体有（ ）个。 8. 一个底面是正方形的长方体模型，如果它的侧面展开，可以得到一个边长是1米的正方形，这个模型的体积是（ ）cm 3。 9. 如左图，在一个棱长是3分米的正方 体钢锭上，挖去一个棱长是1分米的小正方体，剩下的部分表面积是（ ）平方分米。 10．一个长方体的高如果增加2cm ，就成为一个正
几何图形初步练习题集
《几何图形初步》复习学案 知识点一：余角和补角的概念（思考什么叫互为余角，什么叫互为补角） 1．★若∠α=79°25′，则∠α的补角是（） A．100°35′B．11°35′C．100°75′D．101°45′ 2 ★已知∠α与∠β互余，若∠α=43°26′，则∠β的度数是（） A．56°34′B．47°34′C．136°34′D．46°34′ 3 ★已知α=25°53′，则α的余角和补角各是 4★★已知∠1=30°21’，则∠1的余角的补角的度数是（） 知识点二从正面、上面、左面看立体图形 1★画出从正面、上面、左面三个方向看到的立体图的形状 ２★从正面、上面、左面看圆锥得到的平面图形是（） A．从正面、上面看得到的是三角形，从左面看得到的是圆 B．从正面、左面看得到的是三角形，从上面看得到的是圆 C．从正面、左面看得到的是三角形，从上面看得到的是圆和圆心 D．从正面、上面看得到的是三角形，从左面看得到的是圆和圆心 ３★★下列四个几何体中，从正面、上面、左面看都是圆的几何体是（） A 圆锥Ｂ圆柱Ｃ球Ｄ正方体 ４★★一个几何体从正面、上面、左面看到的平面图形 如右图所示，这个几何体是（） A 圆锥Ｂ圆柱Ｃ球Ｄ正方体 ５★★观察下列几何体，，从正面、上面、左面看都是长方形的是（） ６★★从正面、左面、上面看四棱锥，得到的3个图形是（） ＡＢＣ ７★★★如下图，是一个几何体正面、左面、上面看得到的平面图形，下列说法错误的是
（） A．这是一个棱锥B．这个几何体有4个面 C．这个几何体有5个顶点D．这个几何体有8条棱 ８★★★如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形体的数 字表示该位置小立方块的个数，则从正面看该几何体的图形是（） 知识点三：度分换算 １度分 °= 度分 °=°′ °=°′ ２分度 79°24′=°29°48′=° 把56°36′换算成度的结果是 把37°54′换算成度的结果是 知识点四对直线、射线、线段三个概念的理解 1 ★图中有条直线，条射线，条线段 2★★过ABC三点中两点的直线有多少条（画图表示） 3★★过ABCD四点中两点的直线有多少条（画图表示） A．1或4B．1或6C．4或6D．1或4或6 4 ★★同一平面内的四点，过其中任意两点画直线，仅能画四条，则这四点的位置关系是（）A．任意三点不在同一直线上B．四点都不在同一直线上 C．四点在同一直线上D．三点在同一直线上，第四点在直线外 5 ★★已知A，B，C，D四点都在直线L上，以其中任意两点为端点的线段共有（）条；已知A，B，C，D四点都在直线L上，以其中任意一点为端点的射线共有（）条 6 ★★下列说法中正确的个数为（）个 （1）过两点有且只有一条直线；（2）连接两点的线段叫两点间的距离； （3）两点之间所有连线中，线段最短；（4）射线比直线小一半． 知识点五线段计算——涉及分类讨论（线段双解问题，画图很重要！！！） 引例★：线段AB=15cm，BC=5cm，则线段AC等于（） 1 ★线段AB=7cm, 点C在直线ＡＢ上，ＢＣ＝３cm, 求线段AC长
小学数学 图形与几何 知识点归纳汇总
小学数学图形与几何知识点归纳汇总 图形与几何 一线和角 （1）线 *直线 直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 *射线 射线只有一个端点；长度无限。 *线段 线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。 *平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 *垂线 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类 锐角：小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。
1长方形 （1）特征 对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式 c=2(a+b)s=ab 2正方形 （1）特征： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 （2）计算公式 c=4a s=a2 3三角形 （1）特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。（2）计算公式 s=ah/2 （3）分类 按角分 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析
初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ） A ．主视图 B ．俯视图 C ．左视图 D ．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C ． 2．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ） A ．210824(3) cm - B ．(2 108123cm - C ．(2 54243cm - D ．(2 54123cm - 【答案】A 【解析】 【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9?36ah 求解． 【详解】 解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，
如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°， ∴BD ＝ 12a cm ，AD ＝32 a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ， ∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋ 1 2 a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋23a ）?（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋1 2 a ）?4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9?23， ∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9?23）＝210824(3) cm -； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】
小学数学图形与几何资料
小学数学图形与几何 话题一 吴正宪（北京教育科学研究院） 王彦伟（北京东城区教师研修中心） 张杰（北京东城区教育研修学院） 2011 版课标终于要公布了，新课标修订后有哪些变化。这一讲主要讲“图形与几何”这个领域的变化。 新课标在图形与几何领域有几个核心概念。主要有空间观念、几何直观、推理能力等。 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。更直观的理解如下图： 几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题，变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，探索思路预测结果。 案例：《打电话》 如果你是老师，有件紧急的事情要通知给同学，用打电话的方式，每分钟通知 1 人，给你 3 分钟的时间，能使多少人收到通知？大胆的猜测一下。 下面是学生借助图形研究的例子。这些学生都能够利用线段、点以图形的形式，来描述打电话来通知这件事情，设计方案。
通过这个数图就把这个复杂的数量关系，很简明很直观的呈现出来，而且从这个图本身，就能发现一些规律，就是一分钟通知一个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两倍，否则你算是算不出来，看图就看出来了。 通过线段、点，以及图形，把通知过程很简捷的表现出来，把它们之间的关系，揭示得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。 推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。 通过对一线教师的访谈，查阅资料，把老师们的困惑集中起来，归结为四个大话题。 讨论话题： 1．如何在观察、操作中“认识图形” 抽象出图形特征，发展空间观念？ 2．如何以“图形的测量”为载体，渗透度量意识，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，了解掌握测量的基本方法，并在具体问题中进行恰当的估测？从而发展学生的空间观念与推理能力？ 3．如何通过“图形的运动”探索发现，体会研究图形性质的不同方法，发展学生几何直观能力和空间观念，提高学生研究图形性质的兴趣？ 4．如何通过学习“确定图形位置”的方法，发展学生的空间观念和推理能力？ 话题一、图形的认识——抽象图形特征，发展空间观念 问题一、新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？ 这次新课标修订后图形的认识部分都包括哪些内容？有什么新的变化？
人教版初中数学几何图形初步经典测试题及答案
人教版初中数学几何图形初步经典测试题及答案 一、选择题 1．下列图形中1∠与2∠不相等的是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对顶角，平行线，等角的余角相等等知识一一判断即可． 【详解】 解：A 、根据对顶角相等可知，∠1=∠2，本选项不符合题意． B 、∵∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等，本选项符合题意． C ．根据平行线的性质可知：∠1=∠2，本选项不符合题意． D 、根据等角的余角相等，可知∠1=∠2，本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查平行线的性质对顶角的性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（ ） A ． B ．
C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】 解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A选项平面图折叠后是一个圆锥；B选项平面图折叠后是一个正方体；C选项平面图折叠后是一个三棱柱. 故选：D. 【点睛】 本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键． 3．如图是由四个正方体组合而成，当从正面看时，则得到的平面视图是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可． 【详解】 解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行最左边是一个正方体． 故选：D． 【点睛】
小学数学“图形与几何”领域概念教学心得_数学论文
小学数学“图形与几何”领域概念教学心得_数学论文 《数学课程标准》指出：使学生逐步形成简单的几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。学生在学习几何知识的过程中，重视对物体的原有感知，逐步掌物物体的形状、特征、大小和相互位置关系，并以此为材料进行思维，将图形、表象进行加工、组合，逐步培养和发展空间观念。因此，学会这部分教材对于学生培养空间观念，发展思维力、想象力，有着十分重要的意义。它同时也为学生以后学习几何知识打下扎实的基础。但是，在概念教学中往往存在以下两个问题:一是忽视概念的形成过程,教师往往把一个新的概念和盘托出,让学生死记硬背法则、定义；二是忽视概念间的联系,把许多本来有联系的概念,拆散成一粒粒散落的珠子,分散、孤立地保存在学生的脑海里,没能将珠子串成项链,概念不成系统,不能帮助学生形成良好的认知结构。要改变这些问题，我觉得应该以锻炼和发展学生的“思”为主线，把“看”、“动”、“练”、“理”有机地串联成一个思维体系，从而顺利达到“通”的目的。具体来讲就是： 看—全面观察。实践证明：儿童接触事物，探究事物的本质属性，经常是从观察开始和发现的。在现实生活中，学生对简单图形已有初步了解，如书的封面是长方形，红领巾是三角形，文具盒是长方体……，但他们对此的了解往往是表面的、模糊的，还不能说出其本质特征，往往是口欲言而无声。所以教学时，我因势利导，结合教学内容，充分利用实物、模型和多媒体等教学手段，丰富学生表象。引导学生用眼看、用手摸，做到上下、左右、前后和正反进行全面、仔细地观察，以此加强直观教学，加深学生对物体的初步认识，使他们由具体物体的形状在大脑中形成表象，继而上升为概念，初步培养或形成空间观念。 动—动手操作。杨振宇博士说：“中国的儿童不如欧洲和美国的儿童动手兴趣浓，主要原因是没有动手的机会。”其实动手操作是把书本等外在知识内化为自己知识的桥梁。由于小学生生性喜欢动手操作，而且抽象思维依赖于动作思维或形象思维展开，因此动手操作对小学生掌握知识、技能，培养动手能力，提高学习兴趣积极性等都有一定的实践意义。所以教学时，我尽量组织学生开展“剪”“拼”“量”“摆”“数”“做”等的实践活动，引导学生自己动手做出物体模型，学会对图形或模型进行分解、组合、平移、翻转等转化方法，使他们在动眼、动手、动脑、动口等亲身体验中加深对几何形体的感化方法，进一步理解掌握其本质特征，初步掌握几何图形面积的计算方法和转化方法，同时也更进一步培养学生的空间观念和想象能力。 如教学《圆柱体的侧面积》一课时，我让学生拿出自己的侧面裱有彩纸（或自己在侧面糊纸）的圆柱体，边看边摸说出其侧面特征后提问：“你能用转化的方法自己求出侧面的面积吗？”学生通过讨论、操作，有的学生说：“我沿着一条高剪开，侧面积转化成一个长方形，长方形的长相当于侧面积的周长（底面周长），长方形的宽相当于侧面的高，因为长方形的面积=长×宽，所以侧面的面积侧面=底面周长×高。”有的同学说：“我沿着一条斜线剪开，侧面转化成一个平行四边形，平行四边形的底相当于侧面的周长，平行四边形的高相当于侧面的高，因为平行四边形的面积=底×高，所以侧面的面积=底面周长×高。”。有的同学说：“我沿着高剪开，侧面转化成一个正方形，同样得到侧面的面积=底×高。”通过操作，学生不但发现了展开后的特例（正方形是特殊的长方形），丰富了侧面的表象，而且通过眼、手、口、脑多种感官协调作用，学生主动、直观地掌握圆柱体侧面积的推导方法和计算方法，同时也潜移默化地交给学生一把开启面积计算方法的钥匙。实践证明：让学生用多种感官协调作用于同一事物，使具体事物的形象，在头脑中得到全面的反映，就学习的学习性和主动性，增
人教版初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析
人教版初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，一副三角板按如图所示的位置摆放，其中//AB CD ，45A ∠=?，60C ∠=°，90AEB CED ∠=∠=?，则AEC ∠的度数为（ ） A ．75° B ．90° C ．105° D ．120° 【答案】C 【解析】 【分析】 延长CE 交AB 于点F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠C ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】 解：如图，延长CE 交AB 于点F ， ∵AB ∥CD ， ∴∠AFE ＝∠C ＝60°， 在△AEF 中，由三角形的外角性质得，∠AEC ＝∠A +∠AFE ＝45°+60°＝105°． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记相关性质并作出正确的辅助线是解题的关键． 2．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ）
A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】 ∵//BC DE ∴30E BCE ==?∠∠ ∴453075AFC B BCE =+=?+?=?∠∠∠ 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键． 3．如图，有A ，B ，C 三个地点，且AB BC ⊥，从A 地测得B 地在A 地的北偏东43?的方向上，那么从B 地测得C 地在B 地的（ ） A ．北偏西43? B ．北偏西90? C ．北偏东47? D ．北偏西47? 【答案】D 【解析】 【分析】 根据方向角的概念和平行线的性质求解. 【详解】 如图，过点B 作BF ∥AE ，则∠DBF=∠DAE=43?, ∴∠CBF=∠DBC-∠DBF=90°-43°=47°， ∴从B 地测得C 地在B 地的北偏西47°方向上， 故选：D.
图形与几何知识总结
图形与几何知识总结 线和角（1）线* 直线:直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。* 射线:射线只有一个端点；长度无限。* 线段:线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中,线段为最短。* 平行线:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。* 垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长叫做这点到直线的距离。（2）角（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。（2）角的分类锐角：小于90的角叫做锐角。直角：等于90的角叫做直角。钝角：大于90而小于180的角叫做钝角。平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180。周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360。二、平面图形 1、长方形（1）特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。（2）计算公式：c=2(a+b) s=ab 2、正方形（1）特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。（2）计算公式：c=4a s=a3三角形（1）特征：由三条线段围成的封闭图形。内角和是180度。三角形具有
稳定性。三角形有三条高。（2）计算公式：s=ah2（3）分类按角分锐角三角形：三个角都是锐角。直角三角形：有一个角是直角。等腰直角三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。按边分不等边三角形：三条边长度不相等。等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。4平行四边形（1）特征：两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。（2）计算公式：s=ah5 梯形（1）特征：只有一组对边平行的四边形。等腰梯形有一条对称轴。（2）公式s=(a+b)h 26、圆（1）圆的认识平面上的一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。（2）圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。（3）圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。把圆的周长和直径的
几何图形初步经典测试题及解析
几何图形初步经典测试题及解析 一、选择题 1．如图将两块三角板的直角顶点重叠在一起，DOB ∠与DOA ∠的比是2:11，则BOC ∠的度数为（ ） A ．45? B ．60? C ．70? D ．40? 【答案】C 【解析】 【分析】 设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x ，可推导得到∠AOB=9x=90°，从而得到角度大小 【详解】 ∵∠DOB 与∠DOA 的比是2:11 ∴设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x ∴∠AOB=9x ∵∠AOB=90° ∴x=10° ∴∠BOD=20° ∴∠COB=70° 故选：C 【点睛】 本题考查角度的推导，解题关键是引入方程思想，将角度推导转化为计算的过程，以便简化推导 2．如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠AOC ＝76°，则∠BOM 等于（ ） A ．38° B ．104° C ．142° D ．144° 【答案】C 【解析】 ∵∠AOC ＝76°，射线OM 平分∠AOC ，
∴∠AOM=12∠AOC=12 ×76°=38°， ∴∠BOM=180°?∠AOM=180°?38°=142°， 故选C. 点睛：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键. 3．∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意得：∠1+∠3=180°，∠3=125°，则∠1=55°，∵∠1+∠2=90°，则∠2=35° 故选：A ． 【点睛】 本题考查余角、补角的计算． 4．下面四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三棱柱的展开图的特点作答． 【详解】 A 、是三棱锥的展开图，故不是； B 、两底在同一侧，也不符合题意； C 、是三棱柱的平面展开图； D 、是四棱锥的展开图，故不是. 故选C ． 【点睛】 本题考查的知识点是三棱柱的展开图，解题关键是熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征． 5．在等腰ABC ?中，AB AC =，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PCE ?的周长最小时，P 点的位置在ABC ?的（ ）
人教版小学数学总复习几何与图形
人教版小学数学之图形与几何 一、 图形的认识与测量 1、直线、射线与线段： 例1：如图共有（ ）-条 直线，（ ）条射线，（ ） 条线段。 2、垂直与平行： 两条直线相交成（ ）时，这两条直线互相 垂直。在同一平面内，（ ）的两条直线互 相平行。从直线外一点到这条直线所画的（ ）的长度，就是这点到这条直线的距离。 例2：过直线外一点能做（ ）条垂线。 3、角： （1）角的意义：（ ）。角的大小与角的边的长短无关，与-（ ）有关。 （2）角的分类： （3）在钟表上，时针一小时走（ ）度，时针一分钟走（ ）度，分针一分钟走（ ）度。 例3：（1）如图:在三角形ABC 中，角C 为90度，AD=BD,角ADB=110度， 求其余各角的度数。 （2）3点时时针分针的夹角是（ ）度，12点30分时时针分针 的夹角是（ ）度。 4、三角形： （1） 意义：由三条线段首尾相接围成的图形叫三角形。 （2） 分类： 由角来分： 由边来分： A B C D E A B C D
（3） 性质：三角形具有稳定性；三角形内角和是180度；三角形两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边；三角形至少有两个锐角。 例4：（1）一个等腰三角形的底角是55度，则顶角是（ ）度。 （2）如图：有（ 5、四边形： （1）意义： （2）分类： （3）在四边形中（ 例5（ ），面积（ ）。 5、圆：圆是一种封闭的曲线图形。 （1）在同圆或等圆中（ ）都相等，（ ）是（ ）的2倍。 （2）圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）条。 例6：（1）用圆规画一个直径是3㎝的圆，圆规的两脚之间的距离是（ ）。 （2）把一根长1米的绳子围成一个长方形、一个圆、一个正方形，（ ）面积最大，（ ）的面积最小。 二、平面图形的周长和面积 1、周长与面积：围成一个图形的所有边长总和是这个图形的周长；这个图形的大小是它的面积。 例1：李大伯家用55米长的竹篱笆在一块靠墙的空地上围了一个花圃（如图），这个花圃的面积是多少平方米? 2、公式变形：在上述的公式中，经常已知其中的几个量，求另外的一个量。 如：在三角形中：底边a=2 s ÷h;在梯形中：高h=2s ÷(a+b)等等。 20米
最新初中数学几何图形初步经典测试题含解析(1)
最新初中数学几何图形初步经典测试题含解析(1) 一、选择题 1．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是() A．20°B．22°C．28°D．38° 【答案】B 【解析】 【分析】 过C作CD∥直线m，根据平行线的性质即可求出∠2的度数． 【详解】 解：过C作CD∥直线m， ∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝60°， ∵直线m∥n， ∴CD∥直线m∥直线n， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∵∠1＝38°， ∴∠ACD＝38°， ∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行线的计算问题，掌握平行线的性质是解题的关键． 2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（）
A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】 解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A选项平面图折叠后是一个圆锥；B选项平面图折叠后是一个正方体；C选项平面图折叠后是一个三棱柱. 故选：D. 【点睛】 本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键． 3．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠AOC＝76°，则∠BOM等于（） A．38°B．104°C．142°D．144° 【答案】C 【解析】 ∵∠AOC＝76°，射线OM平分∠AOC， ∴∠AOM=1 2 ∠AOC= 1 2 ×76°=38°， ∴∠BOM=180°?∠AOM=180°?38°=142°， 故选C. 点睛：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键. 4．一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=60°，点F在CB的延长
《数学课程标准》” 图形与几何“领域的解读
第七章图形与几何 第一节：总体主线和关键点分析 “图形与几何”的课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力 为核心展开，主要有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量； 图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形 的位置及运动的描述，以及利用坐标对其的刻画。 1.图形的认识 正确理解与把握《标准》对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点，对于课程的实施和目标的达成是十分重要的。 （1）明确认识的对象 在第一学段，《标准》要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度 观察到的简单物体”；“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几 何体”；“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”等，其 中既涉及到了对简单几何体的认识，也涉及到了经过抽象后的三维图形和二维 图形。 在第二学段中，认识的图形增加了线段、射线和直线等一维图形；对角的认识扩大到了平角、周角，增加了梯形、扇形，对三角形的认识从一般三角形到等腰 三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等；三维图形的认识对 象增加了圆锥。 在第三学段，除增加了点、平面、菱形外，而更多的是对已有图形从整体到局部的认识，如“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念”， “理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念”等。 与其他二维、三维图形相比，点、直线、平面这些基本图形抽象的程度更高，因此必须结合对现实生活中的物体的抽象才能更好地理解它们。 《标准》关于“图形的认识”内容的安排，体现了从生活到数学、从直观到 抽象，从整体到局部的特点，且三维、二维、一维图形交替出现，目标要求逐渐 提高。 （2）明确图形认识的要求 图形认识的要求主要包括两个方面，一是对图形自身特征的认识，二是对
最新初中数学几何图形初步经典测试题及答案
最新初中数学几何图形初步经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，直线AC ∥BD ，AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABD 的平分线，那么下列结论错误的是（ ） A ．∠BAO 与∠CAO 相等 B ．∠BA C 与∠AB D 互补 C ．∠BAO 与∠ABO 互余 D ．∠ABO 与∠DBO 不等 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：已知AC//BD,根据平行线的的性质可得∠BAC+∠ABD=180°，选项B 正确； 因AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABD 的平分线，根据角平分线的定义可得∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO,选项A 正确，选项D 不正确；由∠BAC+∠ABD=180°，∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO 即可得∠BAO+∠ABO=90°，选项A 正确，故选D. 2．下面四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三棱柱的展开图的特点作答． 【详解】 A 、是三棱锥的展开图，故不是； B 、两底在同一侧，也不符合题意； C 、是三棱柱的平面展开图； D 、是四棱锥的展开图，故不是. 故选C ． 【点睛】 本题考查的知识点是三棱柱的展开图，解题关键是熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征． 3．在等腰ABC ?中，AB AC =，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上
的一个动点，当PCE ?的周长最小时，P 点的位置在ABC ?的（ ） A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BP ，根据等边三角形的性质得到AD 是BC 的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可. 【详解】 连接BP 、BE ， ∵AB=AC ，BD=BC ， ∴AD ⊥BC ， ∴PB=PC ， ∴PC+PE=PB+PE ， ∵PB PE BE +≥, ∴当B 、P 、E 共线时，PC+PE 的值最小，此时BE 是△ABC 的中线， ∵AD 也是中线, ∴点P 是△ABC 的重心， 故选：A. 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质，轴对称图形中最短路径问题，三角形的重心定义. 4．如图所示是一个正方体展开图，图中六个正方形内分别标有“新”、“时”、“代”、“去”、“奋”、“斗”、六个字，将其围成一个正方体后，则与“奋”相对的字是( ) A ．斗 B ．新 C ．时 D ．代
最新初中数学几何图形初步经典测试题含答案
最新初中数学几何图形初步经典测试题含答案 一、选择题 1．如果α∠和β∠互余，下列表β∠的补角的式子中：①180°－β∠，②90°＋α∠，③2α∠＋β∠，④2β∠＋α∠，正确的有（ ） A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据互余的两角之和为90°，进行判断即可． 【详解】 ∠β的补角=180°﹣∠β，故①正确； ∵∠α和∠β互余，∴∠β=90°－∠α，∴∠β的补角=180°﹣∠β=180°﹣（90°－∠α）=90°＋α∠，故②正确； ∵∠α和∠β互余，∠α+∠β=90°，∴∠β的补角=180°﹣∠β=2（∠α+∠β）﹣∠β=2∠α+∠β，故③正确； ∵∠α+∠β=90°，∴2∠β+∠α=90°+∠β，不是∠β的补角，故④错误． 故正确的有①②③． 故选B ． 【点睛】 本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°． 2．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ） A ．210824(3) cm - B ．(2108123cm - C ．(254243cm - D ．(254123cm - 【答案】A 【解析】 【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9?36ah 求解． 【详解】
解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ， 如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°， ∴BD ＝12a cm ，AD ＝32 a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ， ∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋12 a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋23a ）?（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋ 12a ）?4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9?23， ∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9?23）＝210824(3) cm ； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 3．下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】 解：A 、B 、D 经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C 能折成正方体． 故选C ． 【点睛】 本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形．
小学数学图形与几何
小学数学图形与几何 话题一 2011 版课标终于要公布了，新课标修订后有哪些变化。这一讲主要讲“图形与几何”这个领域的变化。 新课标在图形与几何领域有几个核心概念。主要有空间观念、几何直观、推理能力等。 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。 更直观的理解如下图： 几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题，变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，探索思路预测结果。 案例：《打电话》 如果你是老师，有件紧急的事情要通知给同学，用打电话的方式，每分钟通知 1 人，给你 3 分钟的时间，能使多少人收到通知？大胆的猜测一下。 下面是学生借助图形研究的例子。这些学生都能够利用线段、点以图形的形式，来描述打电话来通知这件事情，设计方案。
通过这个数图就把这个复杂的数量关系，很简明很直观的呈现出来，而且从这个图本身，就能发现一些规律，就是一分钟通知一个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两倍，否则你算是算不出来，看图就看出来了。 通过线段、点，以及图形，把通知过程很简捷的表现出来，把它们之间的关系，揭示得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。 推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。 通过对一线教师的访谈，查阅资料，把老师们的困惑集中起来，归结为四个大话题。 讨论话题： 1．如何在观察、操作中“认识图形”抽象出图形特征，发展空间观念？ 2．如何以“图形的测量”为载体，渗透度量意识，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，了解掌握测量的基本方法，并在具体问题中进行恰当的估测？从而发展学生
几何图形初步经典题
几何图形初步 一、几何图形 （一）立体图形与平面图形 1、从不同方向看几何： 如图所示，是从三个方向看两个立体图形所得到的平面图形，请根据视图说出立体图形的名称． A.三棱锥 B. 圆锥 C. 正三棱柱 D.直三棱柱 2、正方体的平面展开图： 如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方形后，“你”字一面相对面上的字是（） A.我 B. 中 C. 国 D.梦 3、点、线、面、体 探究几何体的顶点、棱、面之间的关系： 新年晚会是我们最快乐的时候，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各式各样的立体图，多面体式其中的一部分，多面体中围成立体图形的每一个面都是平的，没有曲的，如棱柱。棱锥等多面体，如图
请你数一下上面图中每一个立体图形具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并将结果记入下表中， 二、直线、射线、线段 1、直线、射线、线段的几何作图问题： 如图所示，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图： （1）画直线AB、CD交于点E； A 。 （2）画直线AC、BD交于点F；。B （3）画BC、EF交于点G； （4）连接AD并将其反向延长； （5）作射线BC； D。。C （6）取一点P，使点P既在直线AB上，又在直线CD上。 2、应用线段性质选择最短路线： 如图，有A、B、C、D四个村庄，为了解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其它因素，请你画图确定蓄水池H的位置，试它与四个村庄的距离之和最小。 A 。。 B D。。C 3、运用线段中点的性质进行线段长度的计算： 如图所示，已知线段AB=24cm，点P是线段AB上任意一点，与点A、点B都不重合，点C是线段AP的中点，点D是线段PB的中点，计算CD的长度。
如何进行小学数学“图形与几何”领域的教学
如何进行小学数学“图形与几何”领域的教学 莫绍龙、冯忠贞 一、解读图形与几何 图形与几何是帮助学生生存并促进其发展的重要基础，是帮助学生形成创新意识、发展数学思维所必须的土壤。 《数学课程标准》中“图形与几何”内容结构以“立体——平面——立体”为主线，以“图形的认识”“测量”“图形与位置”“图形与变换”四条线索展开，遵循学生的认知特点，逐学段层层推进。《数学课程标准》中空间与图形”的四条线索部以图形为载体，以培养观念、几何直觉推理能力以及更好的认识和把握我们生存的空间为目标不仅着眼于学生理解和掌握一些必要的几何事，而且强调学生经历自主探索和合作交流的过程形成积极的学习态度和情。如，一年纽的第一学期的新教材，让学生首先认识的是立体图形，然后在以后的学习中认识和学习平面图形，最后进一步学习和认识立体图形。 《教学课程标准》呈现内容的结构形式，提倡以“问题情境——建立模型——解释、应用——拓展、反思”的基本模式展现内容，让学生经历“数学化”和再创造的过程。这与以往几何教材主要采取”定义——性质——例题——习题”的结构形式有较大的区别。 《数学课程标准》呈现内容的处理方式，与以往的大纲相比，改变了以线段、面积、体积、测量、相交平行、三角形和四边形”呈现几何内容的处理方式，而是以“观察、实际动手操作、测量、计算、变换和简单推理”为具体处理方式。如，画出从学校到家的路线示意图并注明方向及主要参照物。 《数学课程标准》中图形与几何的内容有相当一部分是直观几何、实验几何．这部分内容是有趣的、充满想像和富有意义的推理活动。《教学课程标准）中“图形与几何内容安排的思路是：不把小学的几何内容作为初中几何的基础侧重于有关图形数量的计算，而在初中阶段把研究对全拓展到相似形和圆，侧重于以演绎推理为主要形式的论证。（数学课程标准）将“空间与图形”的内容分别安排在三个学段，后一学殿是前一学段的螺旋式上升和自然发展。 二、教学建议 1、教学一定要关注学生的生活经验。在“空间与图形”的教学中，教师要注重学生已有的生活经验，将视野从课堂拓展到生活中去，从现实世界中发现有关空间与图形的问题。 2、教学一定要注重实践活动，突出探究过程。在“空间与图形”的教学中，教师应当根据学生的特点，给予学生充分的时间和空间从事数学活动，让学生在经历一个个“数学问题是怎样提出来的，数学概念是怎样形成的，数学模型是怎样获得和应用的”过程中。 3、教学一定要了解教材编排特点，恰当把握教学要求。 加强直观教学，丰富学生的直接经验。学生对几何图形的认识是从直观开始的，在“空间与图形”的教学中，教师向学生提供直观往往是学生认识图形的起点。教师除了利用教材上提供的素材以外，还要为学生准备他们熟悉的实物，让学生在动手操作中通过眼看、手做、脑想、耳听、口说，丰富感性认识，有效地获取知识。 4、教学一定要注意处理好过程与结果的关系。 5、教学一定要注意培养学生的问题意识。 6、教学一定要注重培养学生初步的应用意识。 7、教学一定要引导学生完成知识的自主建构。 8、教学一定要关注学生的数学思考和问题解决能力的培养。 9、教学一定要渗透教材中蕴涵的数学思想方法。