认识勾股定理公开课教案教案

1． 1 探索勾股定理

第 1 课时 认识勾股定理

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、 姿态优美的树， 这就是著名的毕达哥拉斯树， 它由若 干个图形组成， 而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形． 各组图形大小不一， 但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理的初步认识

【类型一】 直接利用勾股定理求长度

如图，已知在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 于点 D ，求 CD 的长．

11

解析： 先运用勾股定理求出 AC 的长，再根据 S △ABC ＝2AB ·CD ＝2AC · BC ，求出 CD 的长． 解： ∵△ ABC 是直角三角形，∠ ACB ＝ 90°， AB ＝ 5cm ， BC ＝ 3cm ，∴由勾股定理得 AC 2 2 2 2 2 2 1 1

AC ·BC 4×3 ＝AB －BC ＝5 －3 ＝4 ，∴ AC ＝ 4cm.又∵S △ABC ＝ 2AB ·CD ＝2AC ·BC ，∴ CD ＝ AB ＝ 5 ＝

12 12 (cm) ，故 CD 的长是 cm. 55 方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高

的积，这个规律也称 “弦高公式 ” ，它常与勾股定理联合使用．

类型二】 勾股定理与其他几何知识的综合运用

1．探索勾股定理，进一步发展学生的推理能力；

2．理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系． （ 重点、难点 ）

、情境导入

如图，已知 AD 是△ABC 的中线．求证： AB 2＋AC 2＝2（AD 2＋CD 2） ．

解析： 结论中涉及线段的平方， 因此可以考虑作 AE ⊥BC 于点 E ，在 △ABC 中构造直角三 角形，利用勾股定理进行证明．

证明： 如图，过点 A 作 AE ⊥BC 于点 E.在 Rt △ ACE 、 Rt △ABE 和 Rt △ADE 中， AB 2＝AE 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ＋BE 2，AC 2＝AE 2＋CE 2，AE 2＝AD 2－ED 2，∴ AB 2＋AC 2＝（AE 2＋BE 2）＋（AE 2＋CE 2）

＝ 2（AD 2－ ED 2） ＋ （DB －DE ）2＋（DC ＋DE ）2＝2AD 2－2ED 2＋ DB 2－2DB ·DE ＋ DE 2＋DC 2＋2DC ·DE ＋ DE 2＝2AD 2＋DB 2＋ DC 2＋ 2DE （DC － DB ）．又∵ AD 是△ABC 的中线，∴ BD ＝ CD ，∴ AB 2＋ AC 2＝ 2AD 2＋ 2DC 2＝ 2（AD 2＋ CD 2）．

方法总结： 构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及 线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．

类型三】 分类讨论思想在勾股定理中的应用

解析： 应考虑高 AD 在 △ABC 内和 △ABC 外的两种情形．

222 解： 当高 AD 在△ ABC 内部时，如图① . 在 Rt △ABD 中，由勾股定理，得 BD 2＝AB 2－AD 2 ＝202－122＝162，∴ BD ＝16；在 Rt △ ACD 中，由勾股定理，得 CD 2＝ AC 2－AD 2＝152－122＝81， ∴CD ＝

9.∴BC ＝BD ＋CD ＝25，∴△ ABC 的周长为 25＋20＋15＝60.

当高 AD 在△ABC 外部时， 如图②. 同理可得 BD ＝ 16，CD ＝9. ∴BC ＝ BD － CD ＝7，∴△ ABC 的周长为 7＋20＋15＝42. 综上所述，△ ABC 的周长为 42 或 60.

方法总结： 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在 本例题中，易只考虑高 AD 在 △ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形．

探究点二：利用勾股定理求面积

如图，以 Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边

则图中△ ABE 的面积为 _________ ，阴影部分的面积为 _____________ 解析：因为AE ＝BE ，所以 S △ABE ＝21AE ·BE ＝12AE 2.又因为 AE 2＋BE 2＝AB 2，所以 2AE 2＝AB 2，

1 2 1 2 9

所以 S △ABE ＝14AB ＝41×3 ＝49；同理可得 S △AHC ＋

在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝15，AD 为 BC 边上的高，且

AD ＝12，求△ ABC 的周长．

AB ＝3，

1 1 1 1 1 1

S △BCF ＝4AC ＋4BC. 又因为 AC ＋BC ＝AB ，所以阴影部分的面积为 4AB ＋4AB ＝2AB ＝2×

2 9 9 9

3 ＝2. 故填 4、 2.

方法总结： 求解与直角三角形三边有关的图形面积时， 要结合图形想办法把图形的面积 与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．

三、板书设计

某农场租用播种机播种小麦， 在甲播种机播种 2 天后， 又调来乙播种机参与播种， 直至 完成 800 亩的播种任务， 播种亩数与天数之间的函数关系如图． 你能通过图象提供的信息求 出 y 与 x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 角

三角形的两直角边和斜边，那么 a 2＋ b 2＝ c 2. a ，b ，c 分别表示直

让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法， 意

识及能力； 进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 成功

的快乐； 通过介绍勾股定理在中国古代的研究， 励学生发

奋学习． 进一步发展学生的说理和简单推理的 在探索勾股定理的过程中， 体验获得 激发学生热爱祖国的悠久文化历史， 激

4． 4 一次函数的应用

第 1 课时 确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式； （ 重点 ）

2．会确定一次函数的表达式． （重点 ）

、情境导入

你就知道了．

二、合作探究 探究点一：确定正比例函数的表达式

求正比例函数 y ＝（m － 4）m 2－ 15 的表达式．

解析： 本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为 1，系数不为 0，这种类型简称为定义式．

2

解：由正比例函数的定义知 m －15＝1 且 m －4≠0，∴ m ＝－ 4，∴y ＝－ 8x. 方法总结： 利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为

1，系数不为 0.

探究点二：确定一次函数的表达式 【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过 （0，5）、（2，－ 5）两点，求一次函数的表达式．

解析： 先设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，因为它的图象经过 （0，5）、（2，－ 5）两点， 所以当 x ＝0 时， y ＝ 5；当 x ＝2时，y ＝－5. 由此可以得到两个关于 k 、b 的方程，通过解方 程即可求出待定系数 k 和 b 的值，再代回原设即可．

解： 设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，根据题意得，

5＝b ， 解得 k ＝－ 5，∴一次函数的表达式为 y ＝－ 5x ＋5.

－5＝ 2k ＋b. b ＝5.

方法总结： “两点式 ”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数

待定系数 k 、 b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

图象与 y 轴的交点，且 OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式． 解析： 根据 A （4 ， 3） 可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出

OA 的长，从 而可以求出点 B 的坐标，根据 A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解： 设正比例函数的表达式为 y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为 y 2＝k 2x ＋b. ∵点 A （4， 3）

是它们的交点， ∴代入上述表达式中， 得 3＝4k 1，3＝4k 2＋b. ∴k 1＝43，即正比例函数的表达

35

式为 y ＝4x.∵OA ＝ 32＋42＝5，且 OA ＝2OB ，∴ OB ＝2. ∵点 B 在 y 轴的负半轴上，∴ B 点的

55

坐标为 （0 ，－ 2） ．又∵点 B 在一次函数 y 2＝k 2x ＋b 的图象上， ∴－ 2＝ b ，代入 3＝ 4k 2＋ b 中，

11 11 5

得 k 2＝11. ∴一次函数的表达式为 y 2＝11x －5. 8 8 2

方法总结： 根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，

类型二】 根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为

y ＝ kx ＋ b 中有两个

A （4 ，3） ，

B 为一次函数的

然后运用待定系数法将两点的横、 纵坐标代入所设表达式中求出待定系数， 表达式． 类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式

示，请你根据表中所提供的信息，列出售价

y （ 元）与数量 x （千克 ）的函数关系式，并求出当 数量是 2.5 千克时的售价

数量

x/ 千克 售价 y/ 元

1

8＋0.4 2

16＋ 0.8 3

24＋ 1.2 4

32＋ 1.6 5

40＋ 2.0

解析： 从图表中可以看出售价由 ＋依次向下扩大到 倍、倍、

解：由表中信息， 得 y ＝（8 ＋ 0.4）x ＝8.4x ，即售价 y 与数量 x 的函数关系式为 y ＝ 8.4x. 当 x ＝2.5 时， y ＝8.4 ×2.5 ＝ 21.所以数量是 2.5 千克时的售价是 21 元．

方法总结： 解此类题要根据所给的条件建立数学模型， 得出变化关系， 并求出函数的表 达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

正比例函数 y ＝kx （k ≠ 0） 一次函数 y ＝ kx ＋b （k ≠0）

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程， 掌握用待定系数法求一次函数的表达 式， 进一步使用数形结合的思想方法； 经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程， 体会 到解决问题的多样性，拓展学生的思维．

2．2 平方根

第 1 课时 算术平方根

从而求出函数的

某商店售货时，在进价的基础上加 定利润，其数量

x 与售价 y 的关系如下表所 确定一次函数表达式

1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；

2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；

（重点 ）

3．了解算术平方根的性质． （ 难点） （ 重点 ）

一、情境导入

上一节课我们做过：由两个边长为 1 的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长 为 a 的大正方形，那么有 a 2＝ 2，a ＝ ___________________ ，2 是有理数，而 a 是无理数．在前面我们学 过若 x 2＝ a ，则 a 叫做 x 的平方，反过来 x 叫做 a 的什么呢？

二、合作探究 探究点一：算术平方根的概念 【类型一】 求一个数的算术平方根 求下列各数的算术平方根： 1 2 2

(1) 64 ； (2)2 4； (3)0.36 ；(4) 412－402.

解析： 根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，

只要找到一个非负数的平方等于

这个非负数即可．

解：(1) ∵82＝64，∴ 64的算术平方根是 8； 3 2 9 1 1 3 (2) ∵(3

2) 2＝ 94＝ 214，∴ 241的算术平方根是 23； 2

(3) ∵0.6 2＝ 0.36 ，∴ 0.36 的算术平方根是 0.6 ；

(4) ∵ 412－402＝ 81，又 92＝81，∴ 81＝9，而 32＝ 9，∴ 412－402的算术平方根是 3.

方法总结： (1) 求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清 求 81 与 81 的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．

(2) 求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算 术平方根十分有用． 【类型二】

利用算术平方根的定义求值

3 ＋a 的算术平方根是 5，求 a 的值． 解析： 先根据算术平方根的定义，求出 3＋a 的值，再求 a. 解：因

为 52＝ 25，所以 25 的算术平方根是 5，即 3＋a ＝25，所以 a ＝22.

方法总结： 已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．

探究点二：算术平方根的性质

解析： 首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．

算术平方根的非负性

x ，y 为有理数，且 x － 1＋ 3(y － 2) 2＝ 0，求 x －y 的值． 解析： 算术平方根和完全平方式都具有非负性， 即 a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和

为 0，可得每一个非负数都为 0 ，由此可求出 x 和 y 的值，进而求得答案．

解： 由题意可得 x － 1＝ 0， y － 2＝0，所以 x ＝ 1，y ＝2. 所以 x － y ＝ 1－2＝－ 1.

类型一】 计算： 含算术平方根式子的运算

49＋ 9＋ 16－ 225.

方法总结： 解题时容易出现如 9＋ 16＝ 9＋ 16的错误．

已知

解： 49＋ 9＋16－ 225＝7＋ 5－ 15＝－ 3.

类型二】

方法总结： 算术平方根、 绝对值和完全平方式都具有非负性， 即 a ≥ 0，|a| ≥0，a 2≥ 0， 当几个非负数的和为 0 时，各数均为 0.

三、板书设计

概念：非负数 a 的算术平方根记作 a 算术平方根 a ≥0，

性质：双重非负性

a ≥0

让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成 过程也是思维过程， 加强概念形成过程的教学， 对提高学生的思维水平是很有帮助的． 教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．

4． 4 一次函数的应用

第 1 课时 确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式； （ 重点 ）

2．会确定一次函数的表达式． （重点 ）

、情境导入

某农场租用播种机播种小麦， 在甲播种机播种 2 天后， 又调来乙播种机参与播种， 直至 完成 800 亩的播种任务， 播种亩数与天数之间的函数关系如图． 你能通过图象提供的信息求 出 y 与 x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容， 你就知道了．

二、合作探究 探究点一：确定正比例函数的表达式

求正比例函数 y ＝（m － 4）m 2－ 15 的表达式．

解析： 本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为 1，系数不为

概念

0，这种类型简称为定义式．

2

解：由正比例函数的定义知 m 2－15＝1 且 m －4≠0，∴ m ＝－

4，∴y ＝－ 8x. 方法总结： 利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0. 探究点二：确定一次函数的表达式 【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过 （0，5）、（2，－ 5）两点，求一次函数的表达式．

解析： 先设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，因为它的图象经过 （0，5）、（2，－ 5）两点， 所以当 x ＝0 时， y ＝ 5；当 x ＝2时，y ＝－5. 由此可以得到两个关于 k 、b 的方程，通过解方 程即可求出待

定系数 k 和 b 的值，再代回原设即可．

解： 设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，根据题意得，

待定系数 k 、 b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

类型二】 根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为

A （4 ，3） ，

B 为一次函数的

图象与 y 轴的交点，且 OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式． 解析： 根据 A （4 ， 3） 可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出

OA 的长，从 而可以求出点 B 的坐标，根据 A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解： 设正比例函数的表达式为 y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为 y 2＝k 2x ＋b. ∵点 A （4， 3） 3

是它们的交点， ∴代入上述表达式中， 得 3＝ 4k 1，3＝4k 2＋b. ∴k 1＝4，即正比例函数的表达 35 式为 y ＝ 4x. ∵ OA ＝ 32＋42＝5， 且 OA ＝2OB ，∴ OB ＝2. ∵点 B 在 y 轴的负半轴上，∴ B 点的 55 坐标为 （0 ，－ 2） ．又∵点 B 在一次函数 y 2＝k 2x ＋b 的图象上， ∴－ 2＝ b ，代入 3＝ 4k 2＋ b 中，

11 11 5

得 k 2＝ . ∴一次函数的表达式为 y 2＝ x － . 8 8 2

方法总结： 根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标， 然后运用待定系数法将两点的横、 纵坐标代入所设表达式中求出待定系数， 从而求出函数的 表达式．

类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式

示，请你根据表中所提供的信息，列出售价 y （ 元）与数量 x （千克 ）的函数关系式，并求出当

∴ 5＝ b ， 解得 k ＝－ 5，∴一次函数的表达式为 y ＝－ 5x ＋5.

－5＝ 2k ＋b. b ＝5.

方法总结： “两点式 ”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数

y ＝ kx ＋ b 中有两个 某商店售货时，在进价的基础上加 定利润，其数量

x 与售价 y 的关系如下表所

数量是2.5 千克时的售价

数量

x/ 千克售价y/ 元

18＋0.4

216＋0.8

324＋1.2

432＋1.6

540＋2.0

解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4 依次向下扩大到2 倍、3倍、??

解：由表中信息，得y＝（8 ＋0.4）x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x. 当x＝2.5 时，y＝8.4 ×2.5 ＝21.所以数量是2.5 千克时的售价是21 元．

方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

正比例函数y＝kx（k≠ 0）

一次函数y＝kx ＋b（k≠0）

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．

确定一次函数表达式