学而思高中数学1-不等式比较大小
【例1】 若0a b <<,1a b +=,则在下列四个选项中,较大的是( )
A .1
2
B .22a b +
C .2ab
D .b
【例2】 将23
2,12
23??
???
,1
22按从大到小的顺序排列应该是 .
【例3】
若2x =
,2x =,x y 满足( )
A .x y >
B .x y ≥
C .x y <
D .x y =
【例4】 若
11
0a b
<<,则下列不等式中, ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④
2b a
a b
+> 正确的不等式有____ .(写出所有正确不等式的序号)
典例分析
比较大小
【例5】 已知,a b ∈R ,那么“||a b >”是“22a b >”的( )
A .充分非必要条件
B .必要非充分条件
C .充分必要条件
D .既非充分又非必要条件
【例6】 若0b a <<,则下列不等式中正确的是( )
A .11a b >
B .a b >
C .2b a
a b
+> D .a b ab +>
【例7】 比较下列代数式的大小:
⑴ 23x x +与2x -; ⑵ 61x +与42x x +;
【例8】 比较下列代数式的大小:
⑴ 43x x y -与34xy y -;
⑵0xy >,且x y >) ⑶ x y x y 与y x x y (其中0,0,x y x y >>≠).
【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数,且a b >,将
b a 、a b 、b
c a c ++与a
d b d
++按从小到大的顺序进行排列.
【例10】 比较大小:log a a
b
、log a b 与log b a (其中21a b a >>>)
【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数,且0ab >,c d
a b -
<-,
则下列各式恒成立的是( ) A .bc ad <
B .bc ad >
C .a b c d >
D .a b c d
<
【例12】 当a b c >>时,下列不等式恒成立的是( )
A .ab ac >
B .a c b c >
C .ab bc >
D .()0a b c b -->
【例13】 已知三个不等式:0ab >,0bc ad ->,
0c d
a b
->(其中a 、b 、c 、d 均为实数).用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3
【例14】 ⑴已知:11
,
a b a b
>>,求证:0,0a b ><. ⑵若0a b >>,0c d >>,求证:d c
a b
<.
【例15】 设a ∈R ,则1a >是
1
1a
<的( ) A .充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
【例16】 如果00a b <>,
,那么,下列不等式中正确的是( )
A .
11
a b
< B C .22a b < D .||||a b >
【例17】 设,a b ∈R ,若||0a b ->,则下列不等式中正确的是( )
A .0b a ->
B .330a b +<
C .220a b -<
D .0b a +>
【例18】 若
11
0a b
<<,则下列结论不正确的是( ) A .22a b < B .2ab b < C .2b a
a b
+> D .||||||a b a b +>+
【例19】 若0a b <<,则下列结论中正确的命题是( )
A .11
a b
>和11||||a b >均不能成立 B .
11
a b a
>-和11||||a b >均不能成立 C .不等式11a b a >-和2
2
11a b b a ?
???+>+ ? ?????均不能成立
D .不等式11||||a b >和2
2
11a b b a ?
???+>+ ? ?????
均不能成立
【例20】 若11
1a b
<
<,则下列结论中不正确的是( ) A .log log a b b a > B .|log log |2a b b a +> C .2(log )1b a <
D .|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+
【例21】 设a b ∈R ,,且()10b a b ++<,()10b a b +-<,则( )
A .1a >
B .1a <-
C .11a -<<
D .1a >
【例22】 判断下列各命题的真假,并说明理由.
⑴若22ac bc >,则.a b > ⑵若a b >,则
11
.a b
< ⑶若,a b c d >>,则.a c b d ->- ⑷若,a b m +>∈N ,则.m m a b >
【例23】 已知102a -<<,试将下列各数按大小顺序排列:21A a =+,21B a =-,1
1C a
=
+,1
1D a
=
-.
【例24】 实数a b c d 、、
、满
足条件:①,a b c d <<;②()()0a c b c -->;
③()()0a d b d --<,则有( )
A .a c d b <<<
B .c a b d <<<
C .a c b d <<<
D .c a d b <<<
【例25】 已知实数a 、b 满足等式1123a
b
????
= ? ?????
,下列五个关系式
①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b = 其中不可能成立的关系式有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
【例26】 设()1log 3x f x =+,()2log 2x g x =,其中0x >且1x ≠.试比较()f x 与()g x 的大
小.
【例27】 若2log 3a =,3log 2b =,13
log 2c =,21
log 3d =,则,,,a b c d 的大小关系是( )
A .a b c d <<<
B .d b c a <<<
C .d c b a <<<
D .c d a b <<<
【例28】 若
110a b <<,则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b a
a b
+>中,正确的不等式有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
【例29】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数,P Q =那么( ) A .P Q ≥ B .P Q ≤
C .P Q <
D .P 、Q 间大小关系不确定,而与m 、n 的大小有关
【例30】 设a 、b 为非零实数,若a b <,则下列各式成立的是( )
A .22a b <
B .22ab a b <
C .2211ab a b <
D .b a
a b
<
【例31】 设a b c ,,是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立....
的是( ) A .||||||a b a c b c --+-≤ B .2211
a a a a
++
≥
C .1
||2a b a b
-+
-≥ D
【例32】 “0a b >,且a b ≠”是“22
2
a b ab +<”的( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【例33】
0a ≥,0b ≥,且2a b +=,则( ) A .12ab ≤ B .1
2
ab ≥ C .222a b +≥ D .223a b +≤
【例34】 若直线
1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα,
,则( ) A .221a b +≤ B .221a b +≥
C .22111a b +≤
D .2211
1a b
+≥
【例35】 设实数a 、b 满足0a b <<,且1a b +=,则下列四数中最大的是( )
A .1
2
B .22a b +
C .2ab
D .a
【例36】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+,a d b c -<-,则( )
A .ad bc =
B .ad bc <
C .ad bc >
D .ad 与bc 大小不定
【例37】 已知a b c >>2
a c
-的大小关系是 .
【例38】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=,0xyz >,设111
T x y z
=
++,则( ) A .0T >
B .0T =
C .0T <
D .以上都可能
【例39】 若10a b >>>,以下不等式恒成立的是( )
A .12
a b +> B .12
b a +>
C .1lg 2a b b +>
D .1lg 2b a a +<
【例40】 若121200a a b b <<<<,
,且12121a a b b +=+=,则下列代数式中值最大的是( )
A .1122a b a b +
B .1212a a b b +
C .1221a b a b +
D .
1
2
高中数学解不等式方法+练习题
不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 (一) 知识容 1.含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式. 一元二次不等式的解集,一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表(以0a >为例): 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决.其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小值,③变更主元利用函数与方程的思想求解. 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈,且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一:解一元二次不等式 解不等式
(二)主要方法 1.解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式,然后求出对应方程的根(若有根的话),再写出不等式的解:大于0时两根之外,小于0时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解. (三)典例分析: 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 . 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为( ) A .{|31}x x x -或≥≤ B .{|13}x x -≤≤ C .{|31}x x -≤≤ D .{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是( ) A .132? ?-??? ? , B .132??-????, C .(]11132??????U ,, D .(]11132?? -???? U ,, 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ,则不等式 220.011 n n -<+的解集为( ) A .{}|199n n n *∈N ≥, B .{}|200n n n *∈N ≥, C .{}|201n n n *∈N ≥, D .{}|202n n n *∈N ≥, 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为( ) A .{}{}|01|1x x x x <<>U B .{}|01x x << C .{}|10x x -<< D .{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的取值围是 _. 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________. 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123,,,则b 的取值围为 . 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解,则实数a 的取值围是( ) A .4a <- B .4a >- C .12a >- D .12a <- 【变式】 ⑴已知0a <,则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同,则a b -=______.
最新高考数学中比较大小的策略
高考数学中比较大小的策略 云南省会泽县茚旺高级中学 杨顺武 在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经 常找不到解答问题的方法,乱猜导致丢分.为帮助考生避免无谓失分,本文对这类问题的解题策略进行深入探讨,以提高考生的成绩: 策略一:直接法 就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论。运用此种方法解 题需要扎实的数学基础。 例1.若2 2 221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===???则123S S S 的大小关系为( ) A .123S S S << B .213S S S << C .231S S S << D .321S S S << 解:本题考查微积分基本定理2 2321111733 S x dx x ===? 2 22111ln ln 21S dx x x ===,2223117(1)3 x x S e dx e e e e e ===-=->?。 所以213S S S <<,选B. 策略二:估算法 就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小, 从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法。 例2.已知ln x π=,5log 2y =,1 2z e -=,则 A.x y z << B.z x y << C.z y x << D.y z x << 解:1ln >=πx ,215log 12log 25<==y ,e e z 121 ==-,1121< 高中数学比较大小综合测试题比较大小同步练习 1、设,则下列各不等式一定成立的是() A、B、 C、D、 2.若,则下列不等式成立的是() A.B. C.D. 3、下列命题:①;②;③;④(),其中真命题是() A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①③ 4.给出下列四个命题: (1)若,则. (2)若,则. (3)若,则. (4)若,则. 问:哪两个命题是正确的?对不正确的命题,添加什么条件后变成正确命题. 5、(1)若,试比较与的大小; (2)设,且,试比较与的大小。 6.已知,,求证:. 7.已知,,求证:. 8.如果,,,求证:. 9.已知三个不等式:(1),(2),(3).以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,写出两个能成立的不等式命题. 10.已知,,证明:. 11、已知,设,比较M、N、P的大小。 12.求证:. 13.设,求下列式子的取值范围:(1);(2); (3);(4). 14.设,分别求出(1);(2);(3)的取值范围.15.已知,求的取值范围. 教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分,我常采用范读,让幼儿学习、模仿。如领读,我读一句,让幼儿读一句,边读边记;第二通读,我大声读,我大声读,幼儿小声读,边学边仿;第三赏读,我借用录好配朗读磁带,一边放录音,一边幼儿反复倾听,在反复倾听中体验、品味。 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云:“伯安入小学,颖悟非凡貌,属句有夙性,说字惊老师。”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见,“教师”一说是比较晚的事了。如今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后, 学而思高中完整讲义:椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版 【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上,焦距为8,焦点到相应的长轴顶点的距离为1,则椭圆 的标准方程为( ) A .221259x y += B .221259y x += C .22179y x += D .22 179 x y += 【例2】 已知椭圆22 15x y m +=的离心率10e 5= ,则m 的值为( ) A .3 B .5153或15 C .5 D .25 3 或3 【例3】 设定点12(03)(03)F F -,,,,动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ,则点P 的 轨迹是( ) A .椭圆 B .线段 C .不存在 D .椭圆或线段 【例4】 已知椭圆的中心在原点,离心率1 2 e = ,且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合, 则此椭圆方程为( ) A .22143x y += B .22186x y += C .2 212 x y += D .2 214 x y += 【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2 =,右焦点为(0)F c ,,方程 20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ,则点12()P x x , ( ) A .必在圆222x y +=内 B .必在圆222x y +=上 C .必在圆222x y +=外 D .以上三种情形都有可能 【例6】 已知22 212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( ) A .2m >或1m <- B .2m >- C .12m -<< D .2m >或21m -<<- 【例7】 经过点(30)P -,,(02)Q -,的椭圆的标准方程是 ; 典例分析 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1.222a b a b +≥,其中,a b R ∈,当且仅当a b =时等号成立。 2.2a b a b +≥,其中[),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 3.常考不等式: 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ,其中(),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1:基本不等式与最值 解题思路: (1)积定和最小:若a b 是定值,那么当且仅当a b =时,()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ (2)和定积最大:若a b +是定值,那么当且仅当a b =时,()2 m a x 2a b a b +??= ??? ,其中,a b R ∈。 例题1:若实数,a b 满足221a b +=,则a b +的最大值是 . 解析:很明显,和为定,根据和定积最大法则可得:2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ,当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式:函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ,若点在直线1m x n y +=上,则m n 的最大值为______。 解析:由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ,将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=,明显,和为 定,根据和定积最大法则可得:2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ,当且仅当12m n ==时取等号。 例题2:已知函数()2 122 x x f x +=+ ,则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________. 解析:很明显,积为定,根据积定和最小法则可得:2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =,当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式:已知2x >-,则12 x x + +的最小值为 。 解析:由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +,明显,积为定,根据和定积最大法则可得: ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++,当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号,此时可得 1、设恒成立的c的取值范围是 A.B.C.D. 2、设,且(其中),则M的取值范围是A.B.C.D. 3、若实数、满足,则的取值范围是 A.B.C.D. 4、已知,,,则的最小值是() (A)(B)4(C)(D) 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是() A.B.C.D. 7、已知正实数满足,则的最小值为。 8、如图,目标函数可行域为四边形(含边界),若是该目标函数的最优解,则的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 的最大值与最小值之和为 9、函数,当时,恒成立,则 D. 10、已知正数满足,则的最小值为 A.3B.C.4D. 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。(1)证明:;(2)证明:; (3)若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件,若目标函数的最大值为10,则的最小值为. 13、已知对任意实数x,二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负,且a 【例1】 若0a b <<,1a b +=,则在下列四个选项中,较大的是( ) A .1 2 B .22a b + C .2ab D .b 【例2】 将23 2,12 23?? ??? ,1 22按从大到小的顺序排列应该是 . 【例3】 若2x = ,2x =,x y 满足( ) A .x y > B .x y ≥ C .x y < D .x y = 【例4】 若 11 0a b <<,则下列不等式中, ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④ 2b a a b +> 正确的不等式有____ .(写出所有正确不等式的序号) 典例分析 比较大小 【例5】 已知,a b ∈R ,那么“||a b >”是“22a b >”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充分必要条件 D .既非充分又非必要条件 【例6】 若0b a <<,则下列不等式中正确的是( ) A .11a b > B .a b > C .2b a a b +> D .a b ab +> 【例7】 比较下列代数式的大小: ⑴ 23x x +与2x -; ⑵ 61x +与42x x +; 【例8】 比较下列代数式的大小: ⑴ 43x x y -与34xy y -; ⑵0xy >,且x y >) ⑶ x y x y 与y x x y (其中0,0,x y x y >>≠). 【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数,且a b >,将 b a 、a b 、b c a c ++与a d b d ++按从小到大的顺序进行排列. 【例10】 比较大小:log a a b 、log a b 与log b a (其中21a b a >>>) 【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数,且0ab >,c d a b - <-, 则下列各式恒成立的是( ) A .bc ad < B .bc ad > C .a b c d > D .a b c d < 【例12】 当a b c >>时,下列不等式恒成立的是( ) A .ab ac > B .a c b c > C .ab bc > D .()0a b c b --> 【例13】 已知三个不等式:0ab >,0bc ad ->, 0c d a b ->(其中a 、b 、c 、d 均为实数).用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0,解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a;若a<0,解集为?? ? ? ? ? x| x< b a;若a=0,当b≥0时,解集为?,当b<0时,解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集,可归纳为: 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 有两相异实根 x=x1或x=x2 有两相同实根 x=x1=x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2+bx+ c>0(a>0) {x|x 【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的取值范围是 _ . 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________. 【例3】 设函数2()1f x x =-,对任意23x ??∈+∞????,,24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒 成立,则实数m 的取值范围是 . 典例分析 恒成立与有解问题 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ,则a 的范围是( ) A .0a > B .1 8 a >- C .18a > D .0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立,试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是______. 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <,则a 的取值范围是( ) A .0a ≤ B .4a <- C .40a -<< D .40a -<≤ 【例8】 若对于x ∈R ,不等式2230mx mx ++>恒成立,求实数m 的取值范围. 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ,成立,则a 的最小值为( ) A .0 B .2- C .5 2 - D .3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ) A .(] [)14-∞-+∞,, B .(] [)25-∞-+∞,, C .[12], D .(][)12-∞∞, , 【例11】 对任意[11]a ∈-,, 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零,则x 的取值范围为 . 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)( 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a >b,则 ( ) (A )a 2>b 2 (B )a b <1 (C )lg(a -b)>0 (D )(21)a <(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) (A )lgx+log x 10≥2(x >1) (B ) a 1+a ≥2 (a ≠0) (C )a 1<b 1(a >b) (D )a 21+t ≥a t (t >0,a >0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a -b -1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n -n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 第五篇 不等式 专题30 十拿九稳----比较大小 【热点聚焦与扩展】 高考命题中,常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题,往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起,进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻,即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. (一)常用技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号?八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来: 判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为()0,1和()1,+∞ (1)如果底数和真数均在()0,1中,或者均在()1,+∞中,那么对数的值为正数 (2)如果底数和真数一个在()0,1中,一个在()1,+∞中,那么对数的值为负数 例如:30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等 2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数(如0,1)的大小关系,一作图,自明了 3、比较大小的两个理念: (1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的单调性,判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如:1 113 4 2 3,4,5,比较时可进行转化,尽管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同 ()()() 111111436342 12 12 12 33 ,44 ,55 ===,从而只需比较底数的大小即可 (2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“-1,0,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如2log 3,可知2221log 2log 3log 42=<<=,进而可估计2log 3是一个1点几的数,从而便于比较 4、常用的指对数变换公式: (1)n m m n a a ??= ??? 第3讲数列的小伙伴们 满分晋级 数列3级 等差数列深入 数列2级 数列的小伙伴们 数列1级 与数列的第一次 亲密接触 知识切片 <教师备案>本讲内容分成两部分:3.1等比数列的基本量;3.2等比数列的性质初步.本讲内容较少,可以与上一讲进行一个时间上的均衡.本讲思路是:先从直观上认识等比数列,通过一些 具体的数列感受等比数列并学习等比中项,之后再学习等比数列的通项公式,熟悉通项公 式以及正确计算等比数列的项数.再学习等比数列的求和公式,以及一些简单的性质.希 望把概念分开讲解,分别配例题.国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了,此处就尽 量不用了,由汉诺塔引入. 等比数列引入 汉诺塔 在印度,有这么一个古老的传说:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,印度教的主神 大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子,在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘,这就是所谓的汉诺塔(如下图).不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些圆盘:一次只移动一片 ....... ,不管在哪根柱子上,小.圆盘 .. 必在大 ... 圆盘 .. 上面 .. .当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时,世界就将在一声霹雳中消灭,梵塔、庙宇和众生都将同归于尽.故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题.” 汉诺塔初始模型 64 63 62 2 1 C B A ??? ??? 要把圆盘移动到另外一根柱子上,至少需要移动多少次呢?设有n个圆盘,要从A移动到C,至少需要移动的次数为 n a.易知12 n=,时, 12 13 a a == ,,3 n=的时候,可以考虑先将上面两个小的移到B上,要 2 3 a=次,再将最大的那个移到C上,要1次,最后将B上的两个移到C上,要 2 3 a=次,总共要 2 217 a+=次. 对于一般的n,我们可以类似考虑(如下图):先将上面1 n-个圆盘移到B上,要 1 n a - 次;然后将最大的那个盘子移到C上,要1次移动;最后再将B上的那1 n-个圆盘移到C上,要 1 n a - 次.这种方法 需要的次数为 111 121 n n n a a a --- ++=+. n-1 1 n ??? ??? A B C 22 C B A ??? ??? n 1 n-1 ①② 3.1等比数列基本量计算 高中数学-不等式的解法 若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0, n € N *, n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.共60分) 1.(文)设a b <,c d <,则下列不等式中一定成立的是( ) A .d b c a ->- B .bd ac > C .d b c a +>+ D .c b d a +>+ (理)已知a <0,-1> B .2ab ab a >> C .2ab ab a >> D .2 ab a ab >> 2.“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A .R B .φ C .),(+∞a b D .(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能...是( ) A .φ B .R C .),(+∞a b D .),(a b --∞ 4.不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-,则b a -的值等于( ) A .-14 B .14 C .-10 D .10 5.(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A .{|03}x x ≤< B .{|22}x x -<< C .{|13}x x -<< D .{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A .{|01}x x << B .{|11}x x -<< C .{|01x x <<或1}x <- D .{|10,1}x x x -<<> 6.(文)若0b a <<,则下列结论不正确... 的是( ) A . 11a b < B .2b ab < C .2>+b a a b D .||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D .||||||b a b a +>+ 7.若13)(2+-=x x x f ,12)(2-+=x x x g ,则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A .)()(x g x f > B .)()(x g x f = C .)()(x g x f < D .随x 值变化而变化 8.下列各式中最小值是2的是( ) A .y x +x y B .4 5 22++x x C .tan x +cot x D .x x -+22 9.下列各组不等式中,同解的一组是( ) A .02>x 与0>x B .01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C .0)23(log 2 1>+x 与123<+x D .112≤--x x 与112≤--x x 10.(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,那么a 的取值范围是( ) A .}8|{a a C .}8|{≥a a D .}8|{≤a a 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式, 分式不等式,高次不等式,指数、对数不等 式,三角不等式,含参不等式,函数不等式, 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; ) ()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <> 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式 (有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)23440x x -++>解集为 (2 23x -<< )(一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式 0)2(<-x f 的解集为 ),2 1 ()23,(+∞--∞Y 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解 高中数学必修(5)不等式专题检测 说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷50分,第二卷100分,共150分;答题时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题共50分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.若R c b a ∈,,,且b a >,则下列不等式一定成立的是 ( ) A .c b c a -≥+ B .bc ac > C . 02 >-b a c D .0)(2 ≥-c b a 2.若0< B .a b a 1 1>- C .3 131b a < D .3 2 3 2b a > 3.若关于x 的不等式m x x ≥-42 对任意]1,0[∈x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .3-≤m B .3-≥m C .03≤≤-m D .03≥-≤m m 或 4.已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则(1-xy )(1+xy )有 ( ) A .最小值 21 和最大值1 B .最小值 4 3 和最大值1 C .最小值21和最大值4 3 D .最小值1 5.设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11, a 与b 的大小关系 ( ) A .a >b B .a ---x a x x 在内有解,则实数a 的取值范围是( ) A .4-a C .12->a D .12---x a 则实数a 的取值范围是 ( ) A .1||a D .2||1<(新)高一数学不等式测试题
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