“睿达杯”初中生数学培优竞赛模拟卷
“睿达杯”初中数学能力竞赛模拟卷(五)
一、选择题（5×10=50分）
1、已知1a b c k b c c a a b
===-+++，则k 的值等于（ ） A 、
12 B 、2 C 、1
2
或2 D 、不确定 2、二次函数2(1)4y x =--的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图像其余部分不变得到一个新的图像，若使y=m 对于得到的新图像成立的x 的值恰好有三个，则m 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
3、如图?1O 与?2O 内切于点B,两圆的半径分别是R 和r,AB 为?1O 的直径，?1O 的弦AC 切?2O 于点D,已知AD=4CD,则r:R 等于（ ）
A 、1:4
B 、3:7
C 、2:5
D 、4:9
4、将满足“至少出现一个数字0且是4的倍数”的正整数从小到大排列成一排数：20,40,60,80,100,104，……，则在这列数中的第158个数为：（ ）
A 、2000
B 、2004
C 、2008
D 、2012 5、a,b,c 为ABC ?三边的长，若（a+b+c ）· (a+b-c)=ab,则ABC ?的三内角中最大的角的度数为（ ）
A 、150?
B 、120°
C 、90°
D 、60° 6、已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图像经过点A （-1,4）与点B （2,1），且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 最大值为（ ）
A 、4
B 、-4
C 、8
D 、-8 7、已知不等式20x mx n ++<的解集是-2 则m 的最大值为（ ） A 、12 B 、14 C 、16 D 、18 9、在ABC ?中，C ∠=90°，AB=10，AC,BC 的长是关于x 的方程2-360x mx m ++=的两个根，则 BC AB =（ ） A 、35 B 、45 C 、35或4 5 D 、不能确定 10、直线11(0)2k y x y x x =--=与反比例函数p 的图像交于点A,与x 轴相交于点C,过点C 作x 轴垂线交双曲线于点B,若AB=AC,则k 的值等于（ ） A 、3 B 、-3 C 、4 D 、-4 二、填空题（5×8=40分） 11、在ABC ?中，已知2,22B A BC AB A ∠=∠==+∠，= . 12、如图，抛物线 223y x x =-++与x 正半轴交于A 点，与y 轴交于B 点，线段OA,抛物线AB 段、线段BO 围成区域G （包含边界） ，点（x,y ） 在区域G 上运动，那么y-x 的最大值为 。 13、在等腰Rt ABC ?中，90BAC ∠=?,BC=6，?O 恰经过点B 、C,且OA=1，则 ?O 的半径为 。 14、如图，在◇ABCD 中，AD=2，AB=4，30A ∠=? , 以点A 为圆心，AD 的长为半径画圆，交AB 于点E,连接CE,则阴影部分的面积是 （结果保留π） 15、如图 ，将边长为2的菱形纸片ABCD 沿线段EF 折叠，使点A,D 分别落在'',A D 处，若在线段''''',a,A D D F BC G A B D G ==上，经过的中点若则 （用含a 的代数式表示）。 三、解答题（3×20=60分） 16、已知ab ≠1,且22578764315070,778764315050,.a a a b b b ++=++=求 17、已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根m,n 证明：如果2,2,m n << 那么24,4a b b <+<且。468453607 答案 18、如图，点P 是线段AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），12l l 、分别是线段AP 、BP 的垂直平分线，在直线12l l 、上分别取点C 、D （C 、D 在线段AB 所在直线的同侧），且满足BC=CD=AB, 连结AC 、PC 、BD 、PD 。 （1）求证：ABC ?~ACP ? （2）当点P 运动到某一时刻，若CD ⊥CB,求出CPD ∠的度数。 （3）若点P 在AB 上运动，CPD ∠的度数是否发生变化，若不变，请说 明理由。若变化，请直接写出它的变化规律。 “睿达杯”初中生数学能力竞赛模拟卷(四) 九年级 第二试 考试时间120分钟 满分150分 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．如图，数轴上的四个点A 、B 、C 、D 分别代表整数a 、b 、c 、d ．若－a －b ＝－2，c －b ＝－2，则d 的值是( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．4 2．已知a 是实数，关于x 、y 的二元一次方程组? ??2x －3y ＝7a x ＋2y ＝1－2a 的解不可能出现的 情况是( ) A ．x 、y 都是正数 B ．x 、y 都是负数 C ．x 是正数、y 是负数 D ．x 是负数、y 是正数 3．如图，点A 在正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体棱长 为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是( ) A ．3 B ．2＋2 C ．10 D ．4 4．某市测得一周PM 2.5的日均值(单位：)如下：50，40，80，50，37，50，40， 这组数据的中位数和众数分别是( ) 第3题图 A B 1 1 2 第1题图 c b d a A ．50和50 B ．50和40 C ．40和50 D ．40和40 5．方程|xy |－2|x |＋|y |＝3的整数解有( )组． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 6．平面直角坐标系中，若平移二次函数y ＝(x －2010)(x －2011)＋4的图象，使其 与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为( ) A ．向左平移4个单位 B ．向右平移4个单位 C ．向上平移4个单位 D ．向下平移4个单位 7．若a 2＋2b 2＋5c 2＝4bc －2ab ＋2c －1，则a －2b ＋3c 的值是( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．2 8．如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为22，若直线l 满足：⑴点D 到直线l 的距离为1，⑵A 、C 两点到直线l 的距离相等，则符合题意的直线l 的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．已知：如图①，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC ＝90°＋12∠A ＝12×180°＋1 2∠A ，如图②，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两 条三等分角线分别对应交于Q 1、Q 2，则∠BO 1C ＝23×180°＋1 3∠A 、∠BO 2C 第8题图 A B C D ＝13×180°＋23∠A ．根据以上阅读理解，你能猜想(n 等分时，内部有n －1个点)(用n 的代数式表示)∠BO n －1C ＝( ) A ．2n ×180°＋1n ∠A B ．1n ×180°＋2 n ∠A C ．n n －1×180°＋1n －1 ∠A D ．1n ×180°＋n －1n ∠A 10．若函数y ＝1 2(x 2－100x ＋196＋|x 2－100x ＋196|)，则当自变量x 取1，2，3，…， 99这99个正整数时，函数值的和是( ) A ．540 B ．390 C ．194 D ．97 二、填空题(本大题共5小题，每小题8分，共40分) 11．象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，计分的方 法是胜一盘得2分，和一盘得1分，负一盘得0分．已知其中两名棋手共得16分，其他人的平均得分为偶数，求参加这次比赛的选手共有_________人． 12．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE 、CF 交于点G ，半径BE 、CD 交于点H ．且点C 是⌒AB 的中点，若扇形的半径为32，则圈中阴影部分的面积等于________． 第9题图 B A C O A B C O 1 O 2 A B C O 1 O 2 O n- … 图① 图② 图③ 13．以半圆中的一条弦BC (非直径)为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ， 若AD DB ＝2 3，且AB ＝10，则CB 的长为__________． 14．使得n 4－3n 2＋9是质数的整数n 共有_________． 15．给定两组数，A 组为：1，2，…，100;B 组为：12，22，…，1002．对于A 组 中的数x ，若有B 组中的数y ，使x ＋y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”，则A 组中这样的“关联数”有_______个． 三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分) 16．一个棱长为6厘米的立方体，把它切开成49个小立方体，小立方体的大小 不必都相同，而小立方体的棱长以厘米作单位必须是整数，求切出的立方体棱长为2厘米的应有多少个？ 17．如图．正△ABC 边长为10，内接两个正方形DEFG 、GHMN (F 、G 、N 在BC 上，D 在GH 上，E 在AB 上，M 在AC 上)，求当两个正方形的边长分别为多少时，两个正方形面积和最小，并求出这个最小值． 第13题图 第12题图 18．对于函数f(x)，若存在实数x，使f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)． ⑴若a＝1，b＝－2求f(x)的不动点； ⑵若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围． “睿达杯”初中生数学能力竞赛试题卷 九年级第一试考试时间90分钟满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项，多选、错选、不选均不得分） 1.方程x2|x|-5x|x|+2x=0的实数根的个数为（) A.2 B.3 C.4 D.5 2.抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则点（a+b，ac）在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若a、b为整数，且方程x2+ax+b=0 a+b的值为（） 第17题图 H M G N C F B E D A.-1 B.0 C.1 D.2 4.如右图，△ABC 内接于O e ，若BC =4，AC =1，∠A -∠B =90o ，则O e 的面积为（ ） A. 15 4 π B.17 4 π C.19 4 π D.5π 5.若1||1a a -=，则1||a a +的值为（ ） A. B. C. 6.若m + L [2m ]=(其中[x ]表示不超过x 的最大整数)( ) A.88 B.86 C.44 D.43 7.若实数a 、b 、c 满足c +b =3a 2-4a +6，c -b =a 2-4a +4，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A.a b c <≤ B.b a c <≤ C.b c a <≤ D.c a b <≤ 8.将一条绳子分成长为a ，b 两段，用长为a 和b 的绳子分别围成一个正三角形和一个正六边形，若其面积相等，则a b =（ ） A.1 B. D.2 9.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =52 ，BC =4，连结BD ，∠BAD 的平分线交BD 与点E ，且AE ∥CD ，则AD 的长为（ ） A.2 B.53 C.32 D.43 10.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，菱形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在边DA 、AB 、CD 上，若DE =5，则△CGH 面积的最小值为（ ） C E D C B A A.3 B.9- C.8- D.2.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11.若a ，ab =1，则a 2+b 2= . 12.如图，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于E ，若1AF FD n =，则AE AB = . 13.如图，反比例函数k y x =(x >0)的图象与矩形OABC 的边BC 、AB 交于点M 、N ，若CM ：MB =1：n ，则 MON OABC S S =V 矩形 . 14.如图1，AB 为O e 直径，C 为O e 上一点，且∠ABC =24o ，如图2，?BC 沿BC 折叠后与AB H G F E D C B A F E D C A 交于点D ，边结CD .如图3，?BD 沿BD 折叠后与BC 交于点E ，边结DE .则∠BDE = . 15.在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )的坐标满足：5x 5-≤≤，3x 3-≤≤，则动点P 位于|x |+|y |=4 围成区域内的概率为 . 16.设n 是小于100的正整数，且满足21 1(1)35 n n -+为整数，则符合条件的所有正整数的和为 . 三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分） 17.定义：若两个函数的图象关于y 轴对称，则称这两个函数互为“镜子”函数. （1）函数y =3x -4的“镜子”函数是 ；（直接写出答案） （2）函数 的镜子函数是y =x 2-2x -3；（直接写出答案） （3）函数2y x =(x >0)的图象与其“镜子”的图象与一条直线分别交于A 、B 、C 三点，若CB ：AB =1：2，且点C 横坐标为12 -，求点B 的坐标. 18.如图，正△ABC 边长为10，内接两个正方形DEFG 、GHMN （F 、G 、N 在BC 上，D 在GH 上，E 在AB 上，M 在AC 上），求当两个正方形的边长分别为多少时，两个正方形的面积和最 图3 图2图1 B A A B B A 小，并求出这个最小值. 19.对于函数f (x )，若存在实数x ，使f （x )=x 成立，则称x 为f (x )的不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b -1)(a ≠0） （1）若a =1，b =-2，求f (x )的不动点； （2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围. 20定义：若矩形ABCD 能够以某种方式分割成n 个小矩形，且每个小矩形都与原矩形相似（即长与宽的比值相等），此时我们称矩形ABCD 可以自相似n 分割. （1）若矩形ABCD 的宽AD 为1，长AB 为x ，且可以自相似2分割，画出示意图，并求x 的值； （2）若矩形ABCD 的宽AD 为1，长AB 为x ，且可以自相似3分割，画出所有满足题意的示意图，并求对应的x 的值. H M N G F E D C B A 21.阅读下面的资料，再完成（1）、（2）、（3）小题. 如图1，若四个点A 、B 、C 、D 都在O e 上，则∠BAC =∠BDC ，∠BAD +∠BCD =180o .事实上，如图2，利用反证法不难证明，若∠BAC =∠BDC 或∠BAD +∠BCD =180o ，则A 、B 、C 、D 一定在同一个圆上（简称A 、B 、C 、D 四点共圆），请利用后者完成下面相关题目. 如图3，在锐角△ABC 中，AB =AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，过△ABC 的外心O 作OG ⊥CD 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交CD 于点F . （1）求证：C 、E 、O 、F 四点共圆； （2）求证：A 、O 、F 三点共线； （3）求证：EA =EF . 图1 图2 图3 C B A C ―――――－―――――――――――――――装――――――订――――――线――――――――――――――――――――――― 班级 姓名 学号 座位号 考场纪律：正常（ ） 不正常（ ） 初二数学培优竞赛题 1.已知△ABC,∠BAF=Rt ∠，∠D=75°，AB=AD,延长BA 作CE ⊥BA 交AB 于点E, ∠BAG=∠CAF （16分） (1)画出与△ABC 面积相等的三角形（要求与图中的任意一条边重合）（4分） (2)当∠D=80°时其余条件不变△ABC 还与你画的三角形面积相等吗？为什么？ 那么如果∠BAF=80°呢？（任选一个你画的三角形证明）（6分） (3)根据(2)(3)题你得出的结论说明在什么条件下才能使你画的三角形于与△ABC 的面积相同（6分） 2.已知直线y=x+3交x 于A ，y 于B ，直线y=-x+2,交x 于C ，y 于D,P 为AB 的中点，过点P,（4，0）两点画直线，交直线y=-x+2于Q （14分） (1)求A,B,C,D,P,Q 的坐标（3分） (2)求直线P,（4，0）的函数表达式（2分） (3)求∠BPQ 的度数（5分） (4)若直线AB 上有点K ，连结KQ ，当△PKQ 为等腰三角形时，求QK 的长以及△PKQ 的面积（4分） 3.已知函数y = -2*x + 3与函数y=ax+b 的夹角为30°（11分） （1）求a,b 的值（1分） （2）设函数y = -2*x + 3在第四象限交的第三个格点为P ，交y 于A 函数y=ax+b 交x 于B ，求ΔABP 的面积和周长（4分） （3）如果直线l 平行于直线y=ax+b ，并与x 轴交于点C,且点C 与点B 对称，求ΔCAP 的 第三届”睿达杯”中小学数学智能竞赛试题卷 三年级第一试考试时间90分钟满分120分 一、填空题（本大题共18小题，每小题5分，共90分） 1、计算：1000－91－1－92－2－93－3－94－4－95－5－96－6－97－7－98－8－99－9= ___ 2、暑假的一天，小王午睡前从镜子里看了一下钟（如图所示）就睡了，睡了 1小时30分钟后起床，他是时分起床的。 3、先观察，再根据计算结果找规律计算： 1+2+1=4 1+2+3+2+1=9 1+2+3+4+3+2+1=16 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 1+2+3+…+39+40+39+…+3+2+1=_________。 4、根据规律，这8个数：3，7，0，7，7，4，1，5，后面的第9，第10个 数应该是_____和_____。 5、如图所示，涂色部分的面积约占大正方形面积的_____分之一。 6、已知一个三位数的各位数字之和等于4，那么这样的三位数共有____个， 把这样的数从大到小排列，排在第5个的是______。 7、小李计划3天做12道挑战题，结果多做了15道，实际平均每天多做了_______道。 8、如图所示是由16个完全一样的小正方形叠成的图形，现在要求剪一刀，使分成的两部分能拼成一个大正方形。请在图上画线表示剪的方法，再在横线上画出拼成后的大正方形的草图。 9、学校买来6个篮球和5个排球共付455元，已知每个篮球比每个排球贵30元，篮球的单价是_______元，排球的单价是_____元。 10、一个长方形的长增加5厘米，宽减少2厘米，则周长增加__________厘米。 11、熊猫馆有三只小熊猫，团团和圆圆的平均年龄是8岁，团团和嘉嘉的平均年龄是10岁，那么圆圆比嘉嘉小_______岁。 12、小明去奶奶家看望奶奶，如果往返都乘车，那么在路上一共要用1时20分；如果去时乘车，回来时骑自行车，那么一共要用2时20分。如果小明骑自行车回来需用_______分钟。 13、妈妈在10月1日上午买了一只乌龟供明明观察，他从下午的1:00开始第一次观察乌龟，每次观察3分钟，记录2分钟，然后每隔25分钟观察一次，明明第4次观察乌龟是下午_____时________分。 14、王阿婆卖鸡蛋，第一个人买了全部的一半少3个，第二个人买了剩下的一半多3个，这时篮子里还剩下3个，这篮鸡蛋原来有________个。 15、一个两位数，在它的前面写上2，所组成的三位数刚好是原来两位数的9倍，那么原来的两位数是_______。 16、一次数学竞赛共10道题，冬冬都做了，但只得到64分，因为按规定做对一题得10分，做错一题要倒扣2分，那么冬冬做错了______道题。 17、冬天快到了，爷爷给门前的一棵树缠上草绳，一根绳子如果绕树三圈还剩30厘米，如果绕树四圈则差40厘米，这棵树树干的周长有______厘米，绳子长_______厘米。 18、如图所示，从长方形纸片ABFE上剪去ABDC，剩下的长方 形CDFE的周长是20厘米，则AE的长度是______厘米。 二、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分） 19、有三块布，甲布比乙布长12米，丙布比甲布长28米，丙 布的长是乙布的3倍。问甲、乙、丙三块布各长多少米？ 20、如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，每边又被四等分，那么图中一共有几个正方形？所有正方形的周长之和是多少厘米？ 第二十一讲 应用题 趣题引路】 2003年“信利杯”数学竞赛有一道有趣的应用型问题： 某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h ）如图21-1所示若汽车行驶的平均速度为80km/h ，而汽车每行驶1km 需要的平均费用为1.2元试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？ 图21-1 O H G F E D C B A 5 7 11 151413 61710 12 18 9 解：从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类： （1）从A 城出发到达B 城，经过O 城.因为从A 城到O 城所需要最短时间为26h ，从O 城到B 城所需最短时间为22h.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（h ）. （2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城。这时从A 城到达B 城，必定经过C ，D ，E 城或F ，G ，H 城，所需时间至少为49h. 综上，从A 城到达B 城所需的最短时间为48h ，所走的路线为A →F →0→E →B.所需的费用最少为80×48×1.2=4608（元）. 在本讲中，将介绍各类应用题的解法与技巧。 知识拓展】 当今数学已经渗人到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点。 应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心。 解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型.其求解程序如下： 专题10 最优化 例1. 4 提示：原式=1 12 - 62 -+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上，对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a +?）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则?? ? ??=--=413 172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-， 4 13 ） 例4. （1） 121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（ x .当=4 3时，y 2 取得最大值1，a =1； 当21= x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时，=3 8. (3)如图， 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（ 第八讲二次根式的性质和运算趣题引路】 甲、乙两人同时解根式方程7 ，抄题时，甲错抄成7，结果解得其 根为 12 7，结果解得其根为13.已知两人除错抄外，解题过程都是正确的.a、 b、d均为整数，试求a、b的值. 解答如下：将x= 12 7 = 7 ，两边平方得49 a b ++= 可知为非负整 数，也为非负整数；将x=13 代 入7类似 可得49a d -+= ，得到 及.因此12-a和13+a均为完全平方数且-13≤a≤12，故a=12或a=-4或a=-13，因此b=37或b=-3或b=-8. 将错就错，倒求a，b！要求你对二次根式的性质和运算相当熟练，下面我们将深入学习这一内容. 知识拓展】 1.二次根式的性质和运算法则 （ 1）2(0) a a =≥ （ 2 (0) (0) a a a a a ≥ ? =? -< ? （ 3 0,0,0) 0) n a b a b a ≥≥≥> =≥ 2.二次根式的化简 （1）主要思路是有理化.分母有理化和分子有理化是两种基本转换技能. （2）复合二次根式的化简通常有三种途径 ①平方法 ②配方法 ③待定系数法 3.二次根式的大小比较 主要途径有：平方法；求商法；有理化法；几何作图法等. 一、二次根式的化简求值技巧 二次根式的求值问题可归结为几种模式： 1.化成1 x a x + =模式 例1（2001 年河北省竞赛题）已知 ：2=，那 么 的值等于 . 解析：利用两边平方法将已知式变成12x x +=，同时变换待求式，使之出现1 x x +部分，整体代入求值. 解 2=两边平方并整理得1 2x x + =.则： 原式 11==. 2.化成20ax bx c ++=模式 例2 （2001年天津竞赛题）计算 . 2001200019991)1)1)2001--+= . 解析：前三项可提取公因数20011)，为方便，可换元求值： 解 设 x 1，则x - 1 2220x x --= 20012000199919992222001 (22)2001 2001x x x x x x =--+=--+=原式 3 . 例3（2002 解析： 设法把2 写成某个数的平方，采取添项拆项法： 2 21112(411)222??+=+=+=? ? 九年级讲义目录 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题） （3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。 解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ① 专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】 若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式. 第二届“睿达杯”中小学数学智能竞赛试题卷 三年级第一试时间90分钟满分120分 考生须知： 1．作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答案必须写在答题卷上，答题时不得超出答题框，否则无效． 2．保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破． 3．答题前，在考生信息框中填写姓名、学校、考号、所在地及准考证号，准考证号填涂时需用2B铅笔． 4．本次考试采用网上阅卷，务必要在右侧填涂准考证号。 【未经组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式（包括网络）转载．本卷复印无效．】 一、填空题（本大题共18小题，每小题5分，共90分） 1．2011年10月11～19日，全国第八届残运会在杭州隆重举行，下表是这届残运会的口号和主题曲歌名．那么，下表第2011列从上到下的三个字应填▲、▲、▲． 残疾人运动会残疾人运动会残疾人运… 生命阳光情满浙江生命阳光情满浙江… 我们都一样我们都一样我们都一样我… 2．把正确得数填在横线上． 125＋79－125＋79＝▲129－29×4＝▲ 3．用2、3、4、8四个数通过加、减、乘、除等计算方法使结果等于18的算式为▲．（可分步列式） 4．一位医生值夜班，从晚上9:40开始，第二天早上5:30下班，该医生的值班时间共是▲小时▲分． 5．下题的□里要求填入同一个数，这个数应该填▲． (□＋□－□)÷□×□=17 6．小虎做一道加法题时，小刚把个位上的1看作7，把十位上的9看作8，结果和是243．问正确答案应是 ▲ ． 7．下面一组图形的三角形位置是有规律的，请根据这个规律把第四幅图填在横线上． △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ (第7题) 第 1 页共 2 页 专题11 巧解二元一次方程组 专题解读】 解二元一次方程组的基本思路是“消元”，常用的解法有两种：“代入法”与“加减法”，这两种解法的基本思想是通过消元把二元一次方程组化为一元一次方程.对于一些特殊形式的方程组，如果我们能够通过观察发现其结构特征与规律，比如其未知数的系数、常数项的特征，那么我们就可采用灵活、巧妙的方式进行变式，从而最终达到消元的目的. 思维索引 例1.解方程组：（1）9779212, 7997140; x y x y +=??+=?①② （2）()()3536, 3436; x x y y x y ?++=??++=?? ①② 例2.解方程组：（1）23237, 43 23238; 32x y x y x y x y +-?+=???+-?+=??①② （2）12, 57 12; 7 5 x y x y ?+=??? ?+=??①② 例3.（1）当a 取什么值时，方程组5331x y a x y +=??+=?的解是正数？ （2）要使方程组21x ky k x y +=??-=? 的解都是整数，k 应取哪些整数值？ 素养提升 1.若2310x y z ++=，43215x y z ++=，则x y z ++的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.解方程组32 3 2411 75 1 x y z x y z x y z -+=?? +-=??+-=?①②③，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ） A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都可 3.若237 a b c ==，且12a b c -+=， 则23a b c -+等于（ ） A. 3 7 B.2 C.4 D.12 4.若201720182016 201820172019 x y x y +=??+=?①② ，则()()23 x y x y ++-的值是（ ） A.28 B.0 C.10 D.19 5.今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷子一捆，共得谷子三十九斗；如果有上等谷子二捆，中等谷子三捆，下等谷子一捆，共得谷子三十六斗：上等谷子一捆，中等谷子二捆，下等谷子三捆，共得谷子三十三斗，则上、中、下三等谷子一捆各有斗数是（ ） A.3，3，4 B.8，5，5 C.7，9，12 D.12，13，14 6.已知代数式2ax bx c ++，当1x =-时，其值为4；当1x =时，其值为8；当2x =时，其值为25；则当3x =时，其值为 . 7.一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，这对夫妇共有子女 个. 8.在解关于x 、y 的方程组()()2 1 21 4 ax b y b x ay ?+-=??--=??① ②时，可以用2?-①②消去未知数x ，也可用 4?+?①②3消去未知数y .则a = ，b = . 9.当2x =-，1y =，或1x =-，2y =，或0x =，1y =时，等式220x y Dx Ey F ++++=都成立，则D = 、E = 、F = 10.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套. 11.解方程组：（1）361463102 463361102 x y x y +=-??+=? ① ② （2）73890 2367180 x y x y -=??-=? ① ② 专题16 不等式（组） 阅读与思考 客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在： 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”. 例题与求解 【例1】已知关于x 的不等式组?????<-+->-+x t x x x 2 35 35 2恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ） A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2 116-≤≤-t (2013 年全国初中数学竞赛广东省试题） 解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式7 10 05)2(< >---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 . （黑龙江省哈尔滨市竞赛试题） 解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组?? ?=+=-6 2y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值. （天津市竞赛试题） 解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围. 【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大 值和最小值. （江苏省竞赛试题） 解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值. 专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题） 图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1 第三届“睿达杯”中小学数学智能竞赛试题卷 九年级 第一试 考试时间 90分钟 满分120分 考生须知： 1．作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答案必须写在答题纸上，答题时不得超出答题框，否则无效。 2．保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破。 3．答题前，在答题纸左侧考生信息框中填写所在地、学校、姓名等信息。 4．本次考试采用网上阅卷，务必要正确填涂准考证号，准考证号填涂时需用2B 铅笔。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项，多选、错选、不选均不得分） 1．若实数a b c ，，满足432-=+b a ，012442=--+c b c ，则c b a ++的值为（ ▲ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．9 2．抛物线b x b a ax y --+=)(2，如图所示，则化简a b b ab a -+-222的结果是（ ▲ ） A ．a b a 2- B ．a a b -2 C ．1 D ．1- 3．如图所示，在梯形ABCD 中，//90A D B C D M ∠=，，是AB 的中点，若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，则梯形ABCD 的面积为（ ▲ ） A ．20 B ．30 C ．36 D ．45 4．如图所示，在一次函数3y x =-+的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴，垂足为A PB ，⊥y 轴，垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（ ▲ ） A ．4个 B ．2个 C ．6个 D ．无数个 5．如图所示，在△ABC 中，点D E ，分别在BC AB ，上，且:2:1 :1:3BD DC AE EB ==，，AD 与CE 相交于点F ，则FD AF FC EF +的值为（ ▲ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．2 6．方程x x x 2212-=-的实数根的情况是（ ▲ ） A ．只有三个实数根 B ．只有两个实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 (第4题) (第3题) (第2题) (第5题 ) 配方法 把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。 运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。熟悉以下基本等式： 1.222)(2b a b ab a ±=+± 2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[] 2222 2 2 )()()(2 1 a c c b b a ca b c ab c b a ±+±+±= ±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 44222 2 -+ ??? ? ?+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为 （镇江市中考题） 思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。 【例2】已知c b a 、、，满足722 =+b a ，122 -=-c b ， 1762 -=-a c ，则c b a ++的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 （河北省竞赛题） 思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手 【例3】已知a 是正整数，且a a 2004 2 +是一个正整数的平方，求a 的最大值。 （北京市竞赛题） 思路点拨 设2 2 2004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。 【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422 =-+=-c ab b a ，求c b a ++的值 （浙江省竞赛题） 全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2) 三角形的边角性质 内容提要 三角形边角性质主要的有： 1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线 段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其 他两边和。用式子表示如下： a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-??? ????????>+>+>+?＜ 推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和 2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个 内角和。 推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180 六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 180 3. 边与角的关系 ① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边； 大边对大角，大角对大边。 ② 在直角三角形中， △ABC 中∠C=Rt ∠2 22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题 例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。 (1988年泉州市初二数 学双基赛题) 解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得?? ???<->>51135.1a a ∴1.5 第三十讲 创新命题 计算机技术与网络技术的迅猛发展，深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式．IT 技术、Cyber 空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷． 与时俱进，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法．近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型： 1．定义一种新运算； 2．定义一类新数； 3．给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题； 4．注重跨学科命题． 解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用． 例题 【例1】 一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 自然数可分为奇数与偶数，从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手． 注： 定义新数，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义，通过推理解决问题． 【例2】 在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A 、B 、C 、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为B A ?，在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中，表示“D A ?”和“C A ?”的是( ) ． A ．(a)，(b) B ．(b)，(c) C ． (c)，(d) D ．(b)，(d) (江苏省竞赛题) 思路点拨 从甲组图形中，两两比较A 、B 、C 、D 分别代表的哪种线段，哪种圆． 【例3】 有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少? ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 用字母表示数，通过对一般性的考查，探求新增数之和的规律，以此作为解题的突破口． 【例4】 设[x]表示不超过x 的最大整数(如[3.7]＝3，[－3.7]＝－4)解下列了程： (1)[－l. 77x]＝[－1.77]x ；(x 为非零自然数) (四川省选拔赛试题) (2)[3x+1]=2x － 2 1 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 解与[x]相关的问题，关键是去掉符号“[ ]”，需灵活运用[x]的性质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来． 注：解决实际问题及计算机的运算时，常常需要对一些数据进行取整运算，即用不超过它的最大整数取而代之．[x]有以下基本性质： (1)x=[x]+r ，0≤r 专题10 最优化 阅读与思考 数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有： 1．配方法 由非负数性质得()02 ≥±b a ． 2．不等分析法 通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质 对二次函数()02 ≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为： （1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ； （2）当0 【例3】()2 13 22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论． 【例4】（1）已知2 11- + -=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求2 2b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题） （2）求使()168422 +-+ +x x 取得最小值的实数x 的值． （全国初中数学联赛试题） （3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题） 解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等． 【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？ （河南省竞赛试题） 解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费( ) ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理 为关于y 的方程． 超级资源：（合集）八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答 案（15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式. 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法. 它的理论依据就是乘法分配律. 多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂. （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式. 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号. 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式 变换. 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果. 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-?? ?，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值. 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果. 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6. 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，3 2322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数. 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可. 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() Θ对任意自然数n ，103?n 和52?n 都是10的倍数. ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨：初二数学培优竞赛题
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