初中竞赛培优 分式的化简与求值
A 卷
一、填空题
01.代数式()22111
32211x y x y z x x x x y x x
π-++-++
-+、、、、、中程分式的代数式是_____________。
02．使分式11123x
+
+
+无意义的值共有__________个。
03.当x=__________时，分式3
412
x x -+的值为零。
04．53x y =，72y z =，
x y
y z
-+=__________。
05.化简22212b b a ab a ab b a ab b ????
?+- ???
+++????
=__________。
06.化简
()3222
23321111
12m n m n m mn n m n m n
m n ??-????+++÷?? ? ?++????+???? =__________。
07.化简
()()3
2
23233223231231
x y x y
y x x y x y x y -----+--+--=__________。
08.若11123
x y -=，则
23432x xy y
x xy y +---=__________。
09.已知3a 2
+ab ?2b 2
=0(a ≠0，b ≠0)，，则22
a b a b b a ab
+--=__________。
10.设211x x mx =-+，则3
633
1
x x m x -+=__________。
二、解答题
11.计算22222261011285
69943
x x x x x x x x x x ++-+++-++-++．
12.已知a+b+ c=0，求1111113a b c b c c a a b ??????
++++++ ? ? ???????
的值。
13.求
()()2
219942000199439851995
1991199319961997
-+????的值。
B 卷
一、填空题
01.化简36564578x y x y x y x y
x y x y x y y x
-------
+-+-=__________。 02.化简24
11241111x x x x +++-+++=__________。 03.化简()()()()()()
222a b c b a c c a b
a b a c b c b a c a c b ------++
------=__________。
04.若x 2?5x ＋1=0，则2x 2?9x ?3＋2
5
1
x +=__________。
05.若a 、b 、c 为非零有理数，且a ＋b ＋c=0，则a b b c c a
a b b c c a
++=__________。
06.若123
x y z z x
==++，则2z y x +=__________。
07．若4x ?3y ?6z=0，2x + 4y ?14z=0（z ≠0），则222
222
23657x y z x y z
++++= __________。
08.化简6
663
3311211x x x x x x x x ????+-+- ? ?????????+++ ? ????
?=__________。
09.：若a 2
?3a+1=0，则3
61
a a +=__________。
10.若x ＋y ＋z ≠0，且x y z y z z x x y ==
+++，则x
x y z
++=__________。
二、解答题
11.若1a x -+b(xy ?2)2=0，且ab ＞0，求
()()()()1111122xy x y x y +++++++?()()
1
19971997x y +
++。
12.已知4x 3
?4x 2
y ?xy 2
＋y 3
=0，求22
x y xy
+的值。
13．化简分式2
2
2222113111112123x x x x x x x x x x x x x x ??+--+????+-+-÷?? ??
???--+--+?
?
C 卷
一、填空题
01.计算3211
1111
n n n n n n x x x x x x --+-+-+=__________。
02.化简22
22
33223322232b a b a a b
a b b a b a b a a b a b a
b +++÷??---+- ???=__________。
03.已知x 2?5x ?1999=0，则()()()()
42
211
12x x x x -+----=__________。
04.若x ?y ?2=0，2y 2+y ?4=0，则x
y y
-=__________。
05.若x +y +z =3a ，则()()()
()()()
333
x a y a z a x a y a z a ----+-+-=__________。 06.若x=4ab a b
+，且a ≠0, b ≠0, a ≠b, a+b ≠0,则2222x a x b
x a x b +++--=__________。
07.化简
()()()()()()()()()()()()
222222y x z x z y x y x z y x x z y x y z x y z y z x y z x x z y ------++
+-+-+-+-+-+-=__________。
08.n 3＋100能被n ＋10整除的正整数n 的最大值为__________。
09.设正整数a 、b 、c 、d 满足5
8
a b c b c d ===，则a +b +c +d 的最小值为__________。
10.若abc=1，则111
a b c
ab a bc b ca c ++++++++=__________。
二、解答题
11.设x ?1x =3,求108210641
1
x x x x x x ++++++的值。
12. ()()()()()()()()
4
4
4
4
4
4
4
4
103242232434324463244324163242832440324++++++++求的值。
13. 设a 、b 、c 是不为0的有理数，且ab=2(a ＋b)，bc ＝3(b ＋c)，ca ＝4(c ＋a)，求a ＋b ＋c 的值。
14.已知a 、b 、c 为非零实数，且满足a 2＋b 2＋c 2= 1，
1111113a b c b c c a a b ??????
+++++=- ? ? ???????
，求a ＋b ＋c 的值。
分式化简求值几大常用技巧
分式化简求值几大常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果1 2x x +=，则242 1x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2 x ，得 原式=. 2222 1111 1 1 213 1()1x x x x = ==-++ +-. 2、倒数法 例2 如果1 2x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 42222 22 1111()1213x x x x x x x ++=++=+-=-= ∴原式=1 3 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则221 x x +的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2222 1124,42 2.x x x x ++ =∴+=-= 4、设参数法 例4 已知 0235a b c ==≠，求分式2 22 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235 a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式=22222 2323532566 .(2)2(3)3(5)5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??==-+-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===
∴3 c ak bk k ck k k ck ==?=??=， ∴3 1,1k k == ∴a b c == ∴原式= 1.a b c a b c +-=-+ 5、整体代换法 例6 已知 113,x y -=求2322x xy y x xy y +---的值. 解：将已知变形，得 3,y x xy -=即3x y xy -=- ∴原式= 2()32(3)333 .()23255 x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+?-+-===----- 例： 例5. 已知a b +<0 ，且满足a a b ba b 2 2 22++--=，求a b a b 33 13+-的值。 解：因为a a b ba b 2 2 22++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1 所以a b a b a ba a b b a b 3322 1313+-= +-+-()() = -?-+-= -+-11331 2222() a a b b ab a a b b ab = +--=---= --()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331 =-1 评注：本题应先对已知条件a a b ba b 22 22++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。 6、消元代换法 例7 已知1,abc =则 111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab = ∴原式=1 11111a b ab ab a b ab b a ab ab ++ ++?++?++
培优专题7_分式的运算(含问题详解)
10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ； 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则 （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则 （n为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】
例1：计算的结果是（） A. B. C. D. 分析：原式 故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。 例2：已知，求的值。 分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式 例3：已知：，求下式的值： 分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解：
分式经典培优竞赛题[1]
1. 若，试判断是否有意义。 2. 计算： 3、解方程： 4. 已知与互为相反数，求代数式 的值。 5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。 6. 已知，试用含x的代数式表示y，并证明。 6、中考原题： 例1．已知，则M＝__________。 例2．已知，那么代数式的值是_________。 1. 当x取何值时，分式有意义？
3. 计算： 4. 解方程： 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？ 6. 已知 ，求的值。 9、（6分）已知02 =-a a ，求1112421222-÷+--?+-a a a a a a 的值． 21、（6分）设23111 x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等？ 3、计算（1）?? ? ??--++-y x x y x y x x 2121 (2)4214121111x x x x ++++++- 6、若25452310 A B x x x x x -+=-+--,试求A 、B 的值. 16、已知c b a -=+，求?? ? ??++??? ??++??? ??+b a c c a b c b a 111111的值 17、已知12 --x x =0，则5412x x x ++= 18、设1=abc ，则=++++++++1 11c ca c b bc b a ab a 19、已知20032=+x a ，20042=+x b ，20052=+x c ，且6012=abc ，求 c b a ab c ac b bc a 111---++的值 20、已知31=+b a ab ，41=+c b bc ，51=+c a ac ，求ac bc ab abc ++的值
八年级数学分式培优练习题完整复习资料
分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是（ ） A -40=1 B （-3）-1=3 1 C （-2）2=4 D （）-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ） A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子：()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是
分式化简求值练习题库(经典精心整理)复习过程
分式化简求值练习题库(经典精心整理)
1．先化简，再求值： 12112---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值： ，其中a=﹣1． 3、（2011?綦江县）先化简，再求值： ，其中x=． 4、先化简，再求值：，其中． 5先化简，再求值 ，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0． 6、化简： b a b a b a b 3a -++-- 7、（2011?曲靖）先化简，再求值： ，其中a=． 8、（2011?保山）先化简211111 x x x x -÷-+-（），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．
9、（2011?新疆）先化简，再求值：（ +1）÷，其中x=2． 10、先化简，再求值：3x –3 – 18x 2 – 9，其中x = 10–3 11、（2011?雅安）先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算． ． 12、先化简，再求值： 12-x x (x x 1--2),其中x =2. 13、（2011?泸州）先化简，再求值： ，其中． 14、先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212 x x --≤??
求值：2222121111a a a a a a a +-+?---+，其中12 a =-。 18．先化简，再求值：? ?? ??1＋1x －2÷x 2 －2x ＋1x 2－4，其中x ＝－5． 19. 先化简再计算：22121x x x x x x --??÷- ?+?? ，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根. 20 化简，求值： 111(1 1222+---÷-+-m m m m m m ） ，其中m =． 21、（1）化简：÷．（2）化简：22a b ab b a (a b )a a ??--÷-≠ ??? 22、先化简，再求值： ，其中． 23请你先化简分式2223691,x 1211 x x x x x x x +++÷+--++再取恰的的值代入求值. 24、（本小题8分）先化简再求值()1 21112222+--++÷-+a a a a a a 其中a=3+1 25、化简，其结果是． 3
分式方程培优讲义
分式方程培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是 2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=．
三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是． 4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10=
2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行 120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（） A．+=1 B．+= C．+= D．+=1 【同步训练】 1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程 +=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8 2．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有 非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4
分式培优竞赛题
1. 若ab a b +--=10，试判断1111 a b -+，是否有意义。 2. 计算：a a a a a a 2211313 +-+--+- 3、解方程：11765556 222-++=-+-+x x x x x x 4. 已知a a 269-+与||b -1互为相反数，求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。 6. 已知x y y =+-2332 ，试用含x 的代数式表示y ，并证明()()323213x y --=。 6、中考原题： 例1．已知M x y xy y x y x y x y 22222 2-=--+-+，则M ＝__________。 例2．已知x x 2 320--=，那么代数式()x x x --+-11132的值是_________。 1. 当x 取何值时，分式2111x x +-有意义 : 3. 计算：x y y x y x y y x ++-+-242442222 4. 解方程：x x x x x x x x ++-++=++-++21436587 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天 6. 已知43602700x y z x y z xyz --=+-=≠，，，求x y z x y z +--+2的值。 9、（6分）已知02 =-a a ，求1112421222-÷+--?+-a a a a a a 的值． 21、（6分）设23111 x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等
人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程13、分式总复习
3、分式总复习 【知识精读】 分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质 注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若，试判断是否有意义。ab a b +--=101111a b -+， 分析：要判断是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因1111 a b -+，式分解，即可判断与零的关系。 a b -+11， 解： ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 或∴+=b 10a -=10 中至少有一个无意义。∴-+1111a b ， 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算：a a a a a a 2211313 +-+--+-
分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。 解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=- +--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113311322 13(()() ()() ()() 例3. 解方程：11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析：因为，，所以最简公x x x x 27616++=++()()x x x x 25623-+=--()()分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于()()()()x x x x ++--1623故可得如下解法。x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+ 解： x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 7656 2222x x x x x x x x x 经检验，是原方程的根。 x =0 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知与互为相反数，求代数式a a 2 69-+||b -1的值。()42222222222 a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++ 分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a 、b 的值，又因为
分式培优讲义教学文案
讲义 ———分式 姓名： 分式 知识点一：分式的定义
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（B ≠0） ②分式无意义：分母为0（B=0） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或 ）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或 ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中 A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含 条件B0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
初二-分式培优题(难度+附答案+免费)
一、填空题 1、若a、b 满足，则的值是。 2、当x_____________时，与互为倒数． 3、如果，则；． 4、当m=______时，分式的值为零. 5、已知，则。 6、若a∶b∶c=1∶3∶5，则， 。 7、已知：，则=______________． 8、已知，则=_______________________。 9、如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，…，依此类推,由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为（n≥3）.则的值是, 当的结果是时，n的值. 10、先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题． ┅┅ (1) 计算．
（2）探究．（用含有的式子表示） （3）若的值为，求的值． 二、选择11、如果m个人完成一项工作需要d天，则（m+n）个人完成这项工作需要的天数为（） A．d+n B．d-n C．D． 12、若求的值是（）． A． B． C． D． 13、如果，则＝( ) A． B．1 C． D．2 14、如果满足，那么的值是( ) A． B．4 C． D．14 三、简答题15、已知：的值． 四、计算题16、计算：。 17、给定下面一列分式：，，，一，…。(其中≠0) (1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律? (2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式。 18、课常上，李老师出了这样一道题； 已知，，求代数式的值。 小明觉得直接代入计算太繁了，请你来帮他解决，并写出具体过程．
参考答案 1、 2、 x <0 3、1，1 4、3 5、5 6、3，17 7、 8 、1 9、30,199 10、 解：（1） （2） ?（3） =+ ┄ + == 由= 解得 经检验是方程的根，∴ 11、C （点拨：m 个人一天完成全部工作的，则一个人一天完成全部工作的，（m +n ） 个人一天完成 ·（m +n ）=，所以（m +n ）个人完成全部工作需要的天数是） 12、A 13、C 14、D 15、 16、 原式== == 17、(1)一2／y (2) 15／y 7 18、解：原式
专题训练七分式化简求值解题技巧
专题训练七分式化简求值 解题技巧 Prepared on 21 November 2021
【专题训练七】 分式化简求值解题技巧 例1、（1）如果242114x x x =++，那么42251553x x x -+= 。 （2）若 a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d -+-=+-+ 。 例2、若a b c 、、满足1111a b c a b c ++=++，则a b c 、、中 （ ） A 、必有两个数相等 B 、必有两个数互为相反数 C 、必有两个数互为倒数 D 、每两个数都不相等 例3、化简求值：22214( )2442a a a a a a a a ----÷++++，其中a 满足2210a a +-= 。 例4、已知2410,a a ++=且42321533a ma a ma a ++=++，求m 的值。 例5、已知a b c 、、满足222222222 1222b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为1-。 针对性训练 1、已知30,x y -=那么22 2()2x y x y x xy y +?-=-+ 。 2、已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y -= 。 3、已知0abc ≠，且 a b c b c a ==，则3223a b c a b c ++=-- 。 4、已知2310x x -+=，则2 421 x x x =++ 。 5、已知0abc ≠，0,a b c ++=则111111()()()a b c b c c a a b +++++= 。 6、已知323x y -=，则23796x y xy xy y x --=+- 。 7、若4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则代数式222 222 522310x y z x y z +-=-- 。
分式培优训练(含答案)
13、分式总复习 【知识精要】 分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质 注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若ab a b +--=10，试判断 1111a b -+，是否有意义。 分析：要判断1111 a b -+，是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断a b -+11，与零的关系。 解： ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴-+1111 a b ，中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算：a a a a a a 2211313 +-+--+- 分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分
离分式法”简化计算。 解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=-+--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113 311322 13()()() ()() ()() 例3. 解方程：11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析：因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解： x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 76560 2222x x x x x x x x x 经检验，x =0是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知a a 2 69-+与||b -1互为相反数，求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a 、b 的值，又因为a a a 226930-+=-≥()，||b -≥10，利用非负数及相反数的性质可求出a 、b 的值。
分式的化简求值经典练习题(带答案)
分式的化简 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质： a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛 中考要求
分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值：21 1 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】 已知：22 21()111a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】22 2221 (1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷?=-=--++- 【答案】4- 【例3】 先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷--，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，安徽省中考 【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-?? -÷=?= ?----??- 例题精讲
分式培优专题训练
1．（辨析题）不改变分式的值，使分式 115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘 以（? ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 2．（探究题）下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a b c c -++=-;④m n m n m m ---=-中, 成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 3．（探究题）不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 的是（? ） A ．2332523x x x x +++- B ．2332523 x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332523 x x x x ---+ 【题型2：分式的约分】 4．（辨析题）分式434y x a +，2411x x --， 22x xy y x y -++， 22 22a ab ab b +-中是最简分式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．（技能题）约分： （1）22699x x x ++-； （2）2232 m m m m -+-．
【题型3：分式的定义及有无意义】 1．（辨析题）下列各式πa ，11x +，1 5 x y +， 22a b a b --，23x -， 0中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ____。 2．（辨析题）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231 x x + D ．2221x x + 3．（探究题）当x _______时，分式221 2 x x x -+-的值为零． 4．分式24 x x -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 5．分式 31 x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零；B ．分式无意义C ．若13 a -≠时，分式的值为零； D ．若13 a ≠时，分 式的值为零 7．下列各式中，可能取值为零的是（ ） A ．2211m m +- B ．211m m -+ C ．211 m m +- D ．211m m ++ 8．使分式 ||1 x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1± 9．（2005．杭州市）当m =________时，分式2(1)(3)32 m m m m ---+的值为零． 10．（妙法巧解题）已知13x y 1-=，求5352x xy y x xy y +---的值．
最新八级数学分式专题培优上课讲义
八年级数学培优试题----分式1 1、学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224 x x x x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444 x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222 x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ） A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的 2、下列四种说法（1）分式的分子、分母都乘以（或除以）2+a ，分式的值不变；（2）分式y -83的值可以等于零；（3）方程11 111-=++++x x x 的解是1-=x ；（4）12+x x 的最小值为零；其中正确的说法有（ ） A .1个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个 3、关于x 的方程211 x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2 4．若解分式方程x x x x m x x 11122+=++-+产生增根，则m 的值是（ ） B. D. 5． 已知,511b a b a +=+则b a a b +的值是（ ） A 、5 B 、7 C 、3 D 、 31 6．若x 取整数，则使分式1 -2x 36x +的值为整数的x 值有( )． (A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个 7. 已知x B x A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－2 B 、2 C 、－4 D 、4 8. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
《分式化简求值的几种常见方法》公开课教案
《分式化简求值的几种常见方法》公开课教案 【教学目标】 1、复习分式计算的相关知识。 2、归纳总结分式化简的几种常见方法技巧。 3、通过探究把新旧知识有机结合起来找出解决问题的方法。 4、通过有效引导，提高学生解决问题的能力，激发学生数学学习的兴趣。 【教学重点】 熟练掌握分式化简求值的几种常见方法。 【教学难点】 能够根据题型特点迅速的找出解决问题的途径。 【教学方法】 合作探究，练习，归纳 【辅助手段】 多媒体 【教学过程】 一、复习准备 1、提问：平方差公式和完全平方式。 2、计算 （1）已知2x-y=3，则2y+9-4x的值是多少？ （2）（2x+3）2=
3、因式分解 （1）x 2-2x+1= （2）9x 2+9x+1= 二、问题研讨 （一）、连比设k 法 例1：已知x 3=y 4=z 5 ≠0，求 3x?2y+z x?2y?z 针对练习： （二）、整体代入法 针对练习： （三）倒数法 22 2317x x xy y y -==、已知:，则2、已知三条线段x,y,z,且x:y:z=3:5:7，x y z x y z ++-+则 的值为 23242x xy y x y xy x xy y +--=--例2、已知:，求: 的值。 11 12a b ab a b -=-=、已知:，则 112x+3xy-2y 2、已知:-=3，求:的值. x y x-2xy-y 111,y x x y x y x y +=+= +3、已知:则2 2 113,x x x x +=+=4、已知:则
针对练习： （四）非负代数式之和等于零 针对练习： 以上环节，教师展示例题之后学生合作探究，结果展示之后师生共同明确，教师引导学生归纳总结方法，特点以及注意事项。 针对练习原则上学生自主完成，个别同学板演，如果出现难度则由教师引导完成，如果时间紧张一部分由学生课下完成。 三、巩固练习 选用适当的方法进行化简求值 2 311x x ++++2 24x 1x 例、已知:=，求:的值x 7x 11+2 24x 、已知:x +4x+1=0，求:的值 x 2 231a =++2 24 a 、若a -3a+1=0，则a 2 2 a+b 例4、已知:a +b +4a-2b+5=0，求:的值 a-b 12a b -+21 、已知-4b+4=0，则 = 2(1)(1)ab a b -++2 1 2、已知:+(b-1)=0，则 = 1 a b c = ++2 1b+1+c -2c+1=0，则23::3:4:52a b c a b c a b c -+== -+2、若，则
浙教版数学七年级下册第五章《分式》培优题
浙教版数学七年级下册第五章《分式》培优题 一．选择题（共6小题） 1．若分式，则分式的值等于（） A．﹣ B．C．﹣ D． 2．对于正数x，规定f（x）=，例如：f（3）==，f（）==，则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）的值为 （） A．2016 B．2015 C．2015.5 D．2014.5 3．分式方程有增根，则m的值为（） A．0和2 B．1 C．1和﹣2 D．2 4．已知：a，b，c三个数满足，则的值为（） A．B．C．D． 5．甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（） A． B． C．D．随所取盐水重量而变化 6．已知x2﹣5x﹣1991=0，则代数式的值为（） A．1996 B．1997 C．1998 D．1999 二．填空题（共6小题） 7．有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：
则第n次运算的结果y n．（用含有x和n的式子表示） 8．已知分式=，则=． 9．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由 于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“∑”是 求和符号，通过以上材料的阅读，计算=． 10．如表：方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程： ﹣ =1 ﹣ =1 ﹣ =1 （1）若方程﹣=1（a＞b）的解是x1=6，x2=10，则a=b=． （2）请写出这列方程中第n个方程：方程的解：． 11．已知a、b、c为整数，a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b﹣12c＜1，则（++）abc=．12．若xyz≠0，并且满足3x=7y=63z，则=． 三．解答题（共6小题）
培优专题分式方程培优提高经典例题
分式方程专题 例1：去分母法解分式方程 1、 ()()113116=---+x x x 2、2 2416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2：整体换元与倒数型换元： 1、用换元法解分式方程：（1） 6151=+++x x x x （2）12221--=+--x x x x 变式练习： （11上海）用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= 例3：分式方程的（增）根的意义 1、 若分式方程： 024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。 2、关于x 的分式方程131=---x x a x 无解，则a=_________。 变式练习：当m 为 时，分式方程 ()01163=-+--+x x m x x x 有根。
例4一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t ；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t ． 问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍； ⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t 付运费20元计算) 课堂总练习 1关于x 的分式方程 1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 2．关于x 的方程 223242mx x x x +=--+会产生增根，则m 为____________ 3．若关于x 的方程 2111 x m x x ++=--产生增根，则 m ＝____________； 4．k 取何值时，方程x x k x x x x +=+-+211 2会产生增根？ 5.当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解？