§16.2 物质波的波函数,玻恩的统计解释
§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释
（一）物质波的波函数ψ（r ，t ）
在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下：
()
-νπ=??????x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1）
此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等．
在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ： ??????电磁波的表式单频率平面 ()()
λ-νπ=λ-νπ=x t 2c o s H H x t 2c o s E E 0z z 0y y
利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来?：
〔欧拉公式：〕 （16.2.4）
根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：
〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5）
表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．
可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出：
??????其物质波的波函数轴运动的自由粒子
沿,x （16.2.6）
这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能
ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ：
??????其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7）
物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．
如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）：
??????自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8）
? 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.
（16.2.2） （16.2.3）
（16.2.12） （16.2.13）
（二）物质波波函数的统计解释
物质波波函数ψ（r ，t ）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．
在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．
对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：
在t 时刻，粒子出现在（x,y,z ）处的体积元dV=dxdydz 内的几率∝|ψ(r ，t)|2dxdydz=|ψ(r ，t)|2dV ．
在t 时刻，粒出现在（x,y,z ）处的
几率密度∝|ψ(r ，t)|2． （16.2.9）
虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A 〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下： 〔微观粒子的几率密度〕 （16.2.10）
这就是1926年玻恩提出的波函数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，
包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．
（三）物质波波函数ψ的条件
（1）波函数的标准条件
在某一时刻t ，在空间某一定点（x,y,z ），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．
（2）波函数的归一化条件
在时刻t ，粒子出现在（x,y,z ）处的几率为|ψ|2dV ．在整个运动空间V 内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：
〔波函数的归一化条件〕 （16.2.11） （四）非相对论的波函数
本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v < ??????????ε<<总能自由粒子的时,c v m 2/p mc 2/m mc E E m 2/p 2/m E E E E .m m ,0E 2222022k p k 0p +=+=+=ε===+===v v 如〔附录16B 〕所示，计算v < ? 杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版. 、 此，可用能量E 代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψ? ． ??????<<时的波函数子轴运动的自由粒沿c x v （16.2.14） 此式亦可推广于（16.2.8）式： ?? ?? ??????<<波函数时的自由粒子c v （16.2.15） ?〔美〕E ·H ·威切曼著，复旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版. §16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释 （一）物质波的波函数ψ（r ，t ） 在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下： () -νπ=??????x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ： ??????电磁波的表式单频率平面 ()() λ-νπ=λ-νπ=x t 2c o s H H x t 2c o s E E 0z z 0y y 利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来?： 〔欧拉公式：〕 （16.2.4） 根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如： 〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5） 表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分． 可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出： ??????其物质波的波函数轴运动的自由粒子 沿,x （16.2.6） 这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能 ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ： ??????其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7） 物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明． 如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）： ??????自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8） ? 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版. （16.2.2） （16.2.3） 波函数的统计解释 一．波动－粒子二重性矛盾的分析 物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？ 实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。 传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。 对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。 二．波函数的统计解释 1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。 描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。 几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。 描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定； 描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。 设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x 到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体积和强度 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。 归一化常数可由归一化条件确定 重新定义波函数， 叫归一化的波函数。 在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用 §15-1波函数及其统计诠释 在经典物理学中我们已经知道，一个被看作为质点的宏观物体的运动状态，是用它的位置矢量和动量来描述的。但是，对于微观粒子，由于它具有波动性，根据不确定关系，其位置和动量是不可能同时准确确定的, 所以我们也就不可能仍然用位置、动量以及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态了。微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数ψ(r, t)来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。 在经典物理学中，我们曾经用波函数y(x, t) = a cos(ωt-kx)表示在t时刻、在空间x处的弹性介质质点离开平衡位置的位移，用波函数e(r, t) = e0 cos(k?r-ω t)和b(r, t) = b0 cos (k?r-ω t)分别表示在t时刻、在空间r处的电场强度和磁场强度。那么在量子力学中描述微观粒子的波函数ψ(r, t)究竟表示什么呢？ 为了解释微观粒子的波动性，历史上曾经有人认为，微观粒子本身就是粒子，只是它的运动路径像波；也有人认为，波就是粒子的某种实际结构，即物质波包，波包的大小就是粒子的大小，波包的速度(称为群速)就是粒子的运动速度；还有人认为，波动性是由于大量微观粒子分布于空间而形成的疏密波。实验证明，这些见解都与事实相违背，因而都是错误的。 1926年玻恩(m.born, 1882-1970)指出，德布罗意波或波函数ψ(r, t)不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。对波函数的这种统计诠释将量子概念下的波和粒子统一起来了。微观粒子既不是经典概念中的粒子，也不是经典概念中的波；或者说，微观粒子既是量子概念中的粒子，也是量子概念中的波。其量子概念中的粒子性表示它们是具有一定能量、动量和质量等粒子的属性，但不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿运动定律；其量子概念中的波动性并不是指某个实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。 德布罗意物质波和玻恩对波函数的统计解释 摘要德布罗意物质波概念的提出看似充满了大胆的假设色彩，但其背后却包含了物理研究过程中重要的类比思想，同时，对波函数的解释颠覆了以往人们对经典波动理论的理解，开创了量子力学的时代。 关键词物质波；波函数；几率 德布罗意在爱因斯坦的光子学说的启示下，通过对几何光学和经典力学的对比，大胆的提出了物质波的假设，促进了物理学的发展。 1 德布罗意物质波假设 20世纪20年代前后，有关原子结构和量子理论的研究引起了当时很多物理学家的关注。爱因斯坦的光量子理论通过密立根、康普顿等人的研究得到了证实，德布罗意对此发生了很大的兴趣，他认为在对光的研究过程中，同时引进了粒子概念和周期性概念，光本身必须同时考虑粒子性和波动性。他进一步研究了几何光学和经典力学的对应性，几何光学中的费马原理和经典力学中的莫培丢变分原理类似，他大胆设想，不仅光具有粒子性和波动性两种性质，而且一般的物质也具有这两种性质。德布罗意认为：既然粒子概念在波的领域里成功的解释了令人困惑的光电效应，那么，波动概念也应该能解释在粒子领域中令人困惑的定态问题。 1923年~1924年期间，德布罗意陆续发表了《波和粒子》、《光量子，衍射和干涉》等论文，提出了物质波的概念，他认为一个能量为E ，动量为P 的粒子与频率为，波长为的波相对应。仿照爱因斯坦关系，粒子的能量、动量与相应的频率、波长之间的关系为： 这个关系我们称之为德布罗意关系。 在此基础上，他用物质波概念分析了玻尔量子化条件的物理基础。氢原子中电子波绕原子核的圆周轨道传播一周后应光滑的连接在一起，否则将会由于干涉相互抵消，不能形成稳定轨道。这就要求轨道的周长应是波长的整数倍，即满足： 式中r是电子绕核的轨道半径，是电子波的波长。利用德布罗意关系，可以得出玻尔量子化条件： 德布罗意的物质波假设在当时并没有引起很大的注意，原因为： 首先，这个假设只是对玻尔的量子化条件提供了一个解释方案，并没有得出新的结论。其次，这种物质波究竟是什么东西，并不明确，在试验上也没有证实。最后，由于经典物理学的传统概念，对粒子看作既是粒子又是波的观念太超乎一般人的认识。 1.2.3 波函数的概率解释 内容更新如下： 关于物质波Ψ的物理意义, 目前流行的是1954年 M.Born作出的解释：Ψ*Ψ(q,t)代表时刻t在空间q点粒子出现的概率密度（Ψ*代表Ψ的共轭复数），相应地, Ψ*(q,t)Ψ(q,t)dτ是时刻t在空间q点附近微体积元dτ内粒子出现的概率；若将概率密度对于整个空间积分，就得到粒子在整个空间出现的概率，对于归一化波函数, ∫Ψ*(q,t)Ψ(q,t)dτ=1，这是不言而喻的，既然粒子存在于空间中，这种概率必然为1。概率是无量纲的纯数，而概率密度的量纲是V-1或L-3，V代表体积，L代表长度。 由于对波函数的这一概率解释, M. Born获1954年诺贝尔物理学奖。现在, 量子力学中称Ψ为波函数, 认为这种波动形式是一种概率波, 而de Broglie波、相位波或物质波这些称呼已逐渐成为历史，尽管它们还不时出现在某些文献中。 波函数、概率密度的概念对于推动化学由纯经验学科向理论学科发展起着极为重要的作用。现代化学中广泛使用的原子轨道（Atomic Orbital, AO）、分子轨道（Molecular Orbital, MO）, 就是描述原子、分子中电子运动的单电子波函数。这里的“轨道”一词已经没有经典物理意义上哪种确切轨迹的含义，而是一种“轨函”即轨道函数，在英文中称为Orbital，以区别于具有确切轨迹的轨道（Orbit）。图1-6是氢原子的一部分原子轨道，最后一图是萘的一条大π分子轨道，图形上亮、暗部分分别代表波函数值的正和负，即轨道的位相。 “电子云”就是概率密度，因此，图形上没有正负之分，图1-9是萘的一条分子轨道的电子云。 翻开一本现代化学文献, 随处都可以看到这些术语, 没有这种语言,许多重要的化学问题几乎都无法讨论。为什么Ψ的物理意义要用一种概率解释呢?在经典力学中也广泛地应用概率, 然而, 经典力学中的基本定律都是决定性的, 统计力学的任务, 在于从对物质微观结构和相互作用的认识出发，说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。当物质的量大到阿伏伽德罗常数的数量级时, 粒子数目多到不可能直接求解其力学方程，就需要用概率统计的方法去研究。但在量子力学中, 按照哥本哈根学派的观点, 概率则是原则性的, 是基本的东西。我们将会看到, 即使象氢原子中的电子这样简单的体系, 也必须用概率描述。微观世界中的概率与不确定原理有关。§16.2 物质波的波函数,玻恩的统计解释
波函数的统计解释
波函数及其统计诠释
德布罗意物质波和玻恩对波函数的统计解释
波函数的概率解释