从分数到分式教学设计

从分数到分式教学设计
从分数到分式教学设计

《从分数到分式》教学设计

一、教学目标

1.能准确说出分式的定义,会辨析整式和分式;

2.明确分式有意义、无意义、值为零的条件;

3.会求分式的值,并且会运用分式解决实际问题,初步感受分式的模型作用,进一步发展符号意识。

二、教学重难点

教学重点:分式的概念及分式有意义/值为零的条件。

教学难点:分式的概念,运用分式解决生活中的问题

三、教法和学法学析

教法上采用类比教学法、问题驱动教学法.在学法上贯彻“把学习的主动权还给学生”从学生较熟悉的分数、整式的表示入手,采用类比、比较的学习方法;在问题的驱动下,动脑思考,深度参与,积极探究,交流展示”的学习方法. 四、教学过程分析

(一)情境引入

(1)长方形的面积为10cm2,长为7cm,由宽为 cm;长方形的面积为S,长为a,由宽为;

(2)把体积Vcm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中,则水面高度为cm;体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,则水面高度为 .

(3)一艘轮船在静水中的航速为30千米/时,如果水流速度为v千米/时,则轮船顺流航行90千米所用的时间为小时,逆流航行s千米所用的时间为小时;

(4)如果两块面积为a公顷,b公顷的梯田分别产粮m千克,n千克,那么这两块梯田每公顷产粮千克.

提出问题:

(1)上面所列式子中,哪些是你认识的,学过的?

(2)观察新的一类代数式与分数相比较有什么相同,有什么不同点?

(3)尝试归纳什么是分式?

【设计意图】:通过情境的问题,学生感知将分数一些具体数字用字母表示,能得到更具一般性意义的分式,感知从分数到分式;另一方面让学生感知生活中的数量关系可以代数式表示,渗透分式的模型意识。通过四个问题引导观察,归

纳总结分式与分数,整式的异同;类比分数、合理联想、获得概念,完成了目标一。

巩固训练一:

(1)辨一辨:下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? ①2b a ,② 52b a +,③14x x +--,④y 53-,⑤212

xy x y +,⑥ 【设计意图】(1)通过辨析,明确根据分式的概念,同时满足以下两点:两个整式相除,除式中含有字母即可,注意特例π。(2)通过学生的自主思考,引导学生学生观察发现、揭示、归纳分式概念的本质,通过辨析,比较分式、整式概念之间的联系与区别。

通过辨一辨活动整式、分式联想整数分数,引导学生通过类比实数的分类体系,建构代数式的分式体系,渗透类比,分类等数学思想。

(二)探究合作,理解新知 达成目标二、三

1.填写表格,并发现结论。

【设计意图】通过交流发现,当分式中的字母取具体的数值时,分式即是一个具体的数,感受代数式到数的转化,感受一般到特殊。

【设计意图】让学生从两方面来理解,一是分式中的字母可取任意值,前提保证分式有意义;二是分式可与分数类比,分式的分母也不能为零,总结出分式有意义的前提条件:分母不为 0,达成目标二。

2.拓展延伸,请学生结合上面的问题继续思考归纳分式为零的条件。

0A B

=的条件等价于00A B =≠且 【设计意图】类比分数值为0的条件,得到分式值为0的条件,同时巩固分

式有意义的条件。

巩固训练二:

1.写出下列分式有意义的条件.

(1)x 32; (2)b 3-51 ; (3)y x y x -+; (4)1

22-x 2.当x 为何值时,分式 242

x x -+ 值为0. 【设计意图】通过训练,巩固分式有意义的条件,值为0的条件,完成目标二.

3. 巩固训练三:求顺水、逆水的时间

通过求解章前图的具体情境中,顺水逆水航行的时间,一方面检测学生对分式代入求值这一目标的达成情况,另一方面让学生感悟数学源于生活,更用于生活的理念,无形中培养学生对数学的应用意识。达成目标三。

五、感悟延伸,总结新知

1.谈一谈本节课的收获,从知识层面和数学思想方法层面分析。

2.归纳总结说说本节课我们是怎么研究分式的?

借助分数单元思维导图,探究分式的学习

【设计意图】站在思想方法的平台上进行思维追溯,以对数学的本质理解为理念,作为单元的起始课,类比分数的知识体系,加强知识间的联系,构建分式的知识体系。

六、当堂达标

【设计意图】检测学生本节课目标达成情况。

初中数学·分式知识点归纳总结

分式知识点归纳 一、分式的定义: 一般地,如果A ,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子 B A 叫做分式,A 为分子,B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义:分母不为0(0B ≠) ②分式无意义:分母为0(0B =) ③分式值为0:分子为0且分母不为0(???≠=0 0B A ) ④分式值为正或大于0:分子分母同号(???>>00B A 或? ??<<00B A ) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(?? ?<>00B A 或???><00B A ) ⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B ) ⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) 三、分式的基本性质 (1)分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。 字母表示:C B C ??=A B A ,C B C ÷÷=A B A ,其中A 、B 、C 是整式,C ≠0。 (2)分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变, 即:B B A B B --=--=--=A A A 注意:在应用分式的基本性质时,要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1.定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。 2.步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。 3.两种情形:①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。 4.最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法: 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1.定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。 (依据:分式的基本性质!) 2.最简公分母:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时,最简公分母的确定方法: 1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.

初中数学《分式》单元教学设计以与思维导图

分式 适用年级八年级 所需时间课内八课时 主题单元学习概述 1.本章是继整式之后对代数式的进一步的研究。 2.分式是对分数的进一步抽象------字母的意义 3.分数的讨论框架的继承------小学时分数都研究哪些性质? 4.从实际意义或者问题解决上,分式也是分数的实际意义的抽象------列方程解应用题 5.需要了解学生对于小学分数的了解情况,特别是是否还记得分数的性质框架 6.分式的基础是分数、整式的四则运算、多项式的因式分解、一元一次方程等知识。同时它是今后进一步学习函数、一元二次方程的基础。主题单元规划思维导图

主题单元学习目标 知识与技能: 1.了解分式的概念,明确分式和整式的区别; 2.掌握分式的基本性质和分式的约分; 3.分式的乘除运算法则; 4.经历探索分式加减运算法则,理解其算理; 5.异分母分式加减法的法则及分式的通分; 6.通过对实际问题的分析,感受分式方程是刻画现实世界的有效模型,归纳分式方程的概念; 7.经历探索分式方程解法的过程,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性; 8.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 过程与方法: 1.体会分式的意义,进一步发展符号感,掌握分式的符号法则; 2.会进行简单的分式的乘除法运算; 3.会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力; 4.经历异分母分式的加减运算和通分的过程,训练学生的分式运算能力,培养学习学习中转化未知问题为已知问题的能力; 5.经历“求解-解释解的合理性”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识; 6.用分式方程来解决现实情境中的问题.

从分数到分式教学设计.doc

《从分数到分式》教学设计 兴县贺家会中学李志红 一、教学分析 (一)地位和作用 分式是不同与整式的另一类有理式,是代数式中重要的基本概念;借助对分数的认识学习分式的内容,是一种类比的认识方法,通过类比分数,从具体到抽象,从特殊到一般地认识分式。 分式的概念,对于今后学习分式方程和函数等知识都有重要的作用,所以,本节的重点是分式的概念;讲解分式的概念时,一定要和分数的概念类比着讲,抓住分式的实质;讲解时应注意以下两点: 1、分式是两个整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分数线则可以理解为除号,还有含括号的作用。 2、分式的分子可以含字母,也可以不含字母,但分母必须含有字母,后者是整式与分式的根本区别。 (二)教学目标 知识与技能 1、在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义,发展符号感; 2、了解分式产生的背景和分式的概念,以及分式与整式概念的区别与联系; 3、掌握分式有意义的条件,认识事物间的联系与区别的关系。 过程与方法 1、从具体到抽象,从特殊到一般,体会类比的方法;

2、能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,经历对具体问题的探索过程,进一步培养符号感。 情感态度与价值观 通过丰富的现实情境,使学生在已有数学经验的基础上,了解数学的价值,发展“用数学”的信心。 (三) 教学重点和难点 教学重点:了解分式的形式B A (A 、B 是整式),并理解分式概念中的一个特点:分母中含有字母;一个要求:字母的取值限制于使分母的值不能为0。 教学难点:分式的一个特点:分母中含有字母;一个要求:字母的取值限制于使分母的值不能为0. (四)教具准备 电脑、课件 二、 教学过程 (一) 复习提问 1、什么是整式?什么是单项式?什么是多项式?(学生口答) 2、判断下列式子中哪些是整式?哪些不是整式?那些不是整式的式子是什么式子?(学生回答引入新课) ①ab 2 ②π 213-x ③x 1 ④ 1 22 2++x x ⑤ 2 22ab b a + ⑥a+b 2+3ab (二)创设情景,引入新课 1、完成填空 (1)长方形的面积为10㎡,长为7m ,宽为_______m ;长方形的

初中数学分式随堂练习40

初中数学分式随堂练习40 一、选择题(共5小题;共25分) 1. 下列各式与相等的是 A. B. D. 2. 若,,,则,,大小关系是 A. B. C. D. 3. 为保证达万高速公路在年底全线顺利通车,某路段规定在若干天内完成修建任务.已知甲 队单独完成这项工程比规定时间多用天,乙队单独完成这项工程比规定时间多用天,如果甲、乙两队合作,可比规定时间提前天完成任务.若设规定的时间为天,由题意列出的方 程是 A. B. C. D. 4. 若为整数,且的值也为整数,则所有符合条件的的值有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 已知关于的分式方程的解是非负数,那么的取值范围是 A. B. C. 且 D. 二、填空题(共4小题;共20分) 6. 要使有意义,则实数的取值范围是. 7. 一种病毒的直径为米,用科学记数法表示为米. 8. 如果,那么的结果是. 9. 年月,全球首个火车站在上海虹桥火车站启动.虹桥火车站中网络峰值速率为 网络峰值速率的倍.在峰值速率下传输千兆数据,网络比网络快秒,求这两种网络的峰值速率.设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据,依题意,可列方程为. 三、解答题(共4小题;共52分) 10. 阅读下列材料:

方程的解是;的解是;的解是; (即)的解是. 观察上述方程与解的特征,猜想关于的方程的解,并利用“方程的解” 的概念进行验证. 11. 求下列各分式的值: (1),其中. (2),其中,. 12. 计算:. 13. 阅读下面材料,并解答问题. 材料:将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. 【解析】 由分母为,可设,则 对应任意,上述等式均成立, ,, 这样,分式被拆分成了一个整式与一个分式的和. 解答: (1)将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. (2)直接写出时,的最小值为.

【教学设计】《认识分式(1)》教案

第五章分式与分式方程 1.认识分式(一) 一教学目标: 1、了解分式的概念,明确分式和整式的区别; 2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,体会分式是表示 现实世界中的一类量的数学模型. 3、培养学生观察、归纳、类比的思维,让学生学会自主探索,合作交流. 二教学过程 1.情景引入 以一个“土地沙化”的图片情景引入 问题情境(1) 面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400 hm2,实际每月固沙造林的面积比原计划多30 hm2,结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林x hm2,那么 1)原计划完成造林任务需要多少个月? 2)实际完成造林任务用了多少个月? 问题情境(2) 2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者,某一时段内的统计结果显示,前a天日均参观人数35万人,后b天日均参观人数45万人。这(a+b)天日均参观人数为多少万人? 问题情境(3)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元,当这种库存的图书全部售完时,其销售额为b元。降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?

2.自主探索 (1).对前面出现的代数式如下,它们有什么共同特征?它们与整式有什么不同?x 2400302400+x b a b a ++4535x b a - 学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念 (2).检测概念 下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? a 2 b 2a+b x x 42 a+3m π-2x x x -+413.练习提高 1.例题(1)当 a =1,2,—1时,分别求分式 1 21-+a a 的值; 解:当 a =1时,121-+a a =11211-?+=2 自己试试看,完成当a=2,-1时,求 分式 121-+a a 的值。 例题(2)当 a 取何值时,分式1 21-+a a 有意义? 解:由分母2a —1=0,得a =0.5, 所以当a 5.0≠时,分式 1 21-+a a 有意义。 例题(3)x 取什么值时,分式121-+a a 无意义? 解:由分母2a —1=0,得a =0.5, 所以当a =0.5时,分式1 21-+a a 无意义。 2.补充例题x 取何值时,分式的值为零? (1)522-+x x (2)4 22+-x x 3.归纳总结 (1)分式无意义的条件 分母等于零 (2)分式有意义的条件 分母不等于零 (3)分式的值为零的条件 分子等于零且分母不等于零

《从分数到分式》教学设计

15.1.1从分数到分式 教学目标: 1. 了解分式的概念. 2. 能确定分式有(无)意义的条件. 3. 能确定分式的值为0的条件. 4. 体会类比的数学思想. 5. 在合作学习中增强学生的合作意识. 重点: 1. 分式有无意义的条件. 2. 分式的值为0的条件. 难点: 能熟练地求出有意义的条件及分式的值为0的条件. 教学过程: 准备练习: 下列式子中,哪些是整式 ① ②-3x ③ ④ ⑤ ⑥ 自学指导 阅读课本P127-128并完成下列问题(时间8分钟) 1.长方形的面积为10cm 2.长为7cm.则宽为___cm.长方形的面积为S.长为a.则宽为____. 2.把体积为200cm 3的水倒入底面积为33cm 2的圆柱形容器中,则水面高度为___cm.把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中,则n m x y 53+5462++a a b 87-ab a 22 2+

水面高度为____. 3.一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h.水流速为Vkm/h.它以最大的航速沿江航行90km.所用时间为_____.与以最大速度逆流航行60km 所用时间为______. 小结: 一.给出分式定义: 一般地,如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子叫做分式。其中A 叫做分子,B 叫做分母。 尝试练习: 1下列式子中,那些是分式 ①-3x ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧-5 ⑨ ⑩ 点和不同点?它们与分数有什么相同有什么共同特点?式子 v v s v a s -+3060,3090,,y x π3y x +y x 232y +535y x -a a 1-31+y a a 4? 分母可以取任意实数吗分式二B A ...0无意义分式B A B =.0,分式有意义≠B .11._____.4.351._____.3.1 ._____.2.32._____.12有意义分式时当有意义分式时当有意义分式时当有意义分式 时当练习: ---x x b b x x x x x

《认识分式第1课时》示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】

5.1《认识分式》教学设计 第1课时 一、教学目标 1.能用分式表示现实情境中的数量关系,体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型,进一步发展符号意识。 2.了解分式的概念,明确分式与整式的区别。 3.会求分式的值,掌握分式有意义、无意义的条件,认识事物间的联系与制约关系. 二、教学重点及难点 重点:分式的一个特点:分母含有字母;一个要求:字母的取值限制于使分母的值不能为零. 难点:分式的一个特点:分母含有字母;一个要求:字母的取值限制于使分母的值不能为零. 三、教学用具 多媒体课件、三角尺 四、教学过程 【情境导入】 师:我们先试着解答下面的问题: 面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成任务,原计划每月固沙造林多少公顷? 这一问题中有哪些等量关系? 如果原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要____________个月,实际完成一期工程用了____________个月. 根据题意,可得方程____________. 生:根据题意,我认为这个问题的等量关系是:实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.(1) 生:这个问题的等量关系也可以是:原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.(2) 师:这两位同学真棒!在这个问题中,谁能告诉我涉及到哪些基本量呢?它们的关系是什么? 生:涉及到了三个基本量:工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作

时间. 师:如果用第(1)个等量关系列方程,应如何设出未知数呢? 生:因为第(1)个等量关系是工作时间的关系,因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x 公顷. 师:下面同学们自己在练习本上回答上述几个问题. (教师可巡视同学们回答问题情况). 生:原计划完成一期工程需 x 2400个月, 实际完成一期工程需240030 x +个月, 根据等量关系(1)可列出方程: 24002400430x x +=+. 师:同学们可接着思考:如何用等量关系(2)设未知数,列方程呢? 生:因为等量关系(2)是工作效率之间的关系,根据题意,应设出工作时间.不妨设原计划x 个月完成一期工程,实际上完成一期工程用了(x -4)个月,那么原计划每月固沙造林的公顷数为x 2400公顷,实际每月固沙造林4 2400-x 公顷,根据题意可得方程4 2400302400-=+x x . 师:同学们观察我们列出的两个方程,有什么新的发现? 生:我们设出未知数后,用字母表示数的方法,列出几个代数式,表示出我们需要的基本量.如2400x ,24004x -,30 2400+x .这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程,但分母中含有字母,要求出它的解,好象很不容易. 师:的确如此.像 240024002400430x x x -+,,这样的代数式同整式有很大的不同,而且它是以分数的形式出现的,它们是不同于整式的一个很大的家族,我们把它们叫做分式. 从现在开始我们就来研究分式,相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性,不久的将来,一定会很迅速准确解出上面两个方程. 设计意图:让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程;通过问题情景,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型;体会分式的意义,发展符号感. 【探究新知】 1.通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别.

人教版八年级数学上册从分数到分式 优秀教学设计2

从分数到分式 教学目标 一、知识与技能目标 1.使学生了解分式的概念,明确分母不得为零是分式概念的组成部分. 2.使学生能够求出分式有意义的条件. 二、过程与方法目标 能用分式表示现实情境中的数量关系,体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型,进一步发展符号感,通过类比分数研究分式的教学,引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题. 三、情感与价值目标 在土地沙化问题中,体会保护人类生存环境的重要性。培养学生严谨的思维能力. 教学重点和难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零既是本节的重点,又是本节的难点. 教学方法:分组讨论. 教学过程 1、 情境引入:面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务,原计划每月固沙造林多少公顷? (1)这一问题中有哪些等量关系? (2)如果设原计划每月固沙造林x 公顷,那么原计划完成一期工程需要____________个月,实际完成一期工程用了____________个月;根据题意,可得方程 ; 2、解读探究: x 2400,302400+x ,430 24002400=+?x x 认真观察上面的式子,方程有什么特点? 做一做1.正n 边形的每个内角为 度 2一箱苹果售价a 元,箱子与苹果的总质量为mkg ,箱子的质量为nkg ,则每千克苹果售价是多少元? 上面问题中出现的代数式x 2400,302400+x ,n n 180)2(??;它们有什么共同特征? (1)由学生分组讨论分式的定义,对于“两个整式相除叫做分式”等错误,由学生举反例一一加以纠正,得到结论: 的分母. (2)由学生举几个分式的例子. (3)学生小结分式的概念中应注意的问题. ①分母中含有字母.

初中数学分式专题.

分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中,有整式时,可以把整式看做分母为1的式子,然后再计算。 2. 要注意运算顺序,先乘方、再乘除、后加减,同级运算从左到右(谁在前先 算谁)依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式,可先分解因式,再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简,再求值:23393 x x x ++--,其中1x =-. 2.先化简,再求值 4 421642++-÷-x x x x ,其中 x = 3 . 3.先化简,再求值:22424412x x x x x x x -+÷--++-,其中x =2-2. 4.计算:2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+---

6.化简,: 2211()22x y x y x x y x +--++, 7.先化简,再求值:211122 x x x -??-÷ ?++??,其中2x =. 8.计算:22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+. 二.分式方程: 解分式方程的步骤: 1、去分母,化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母,分子要括起来, 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母,若为零,则为増根,应舍去。 1、解分式方程: 2131 x x =--. 2、解方程223-=x x

3、解分式方程: 3131=---x x x 4、解方程: 22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程: x x x -=+--23123. 7、解分式方程: 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--.

初中数学_认识分式教学设计学情分析教材分析课后反思

《认识分式》教学设计 执教者

学情分析 学生的知识技能基础:学生在小学学过分数,其实分式是分数的“代数化”,所以其性质与运算是完全类似的.在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系,其中包括整式与分式等数量关系. 学生的活动经验基础:在整式的学习中,学生初步具备了用整式表示现实情

境中的数量关系,建立数学模型的思想.在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力. 效果分析 本节课,教师由传统的知识的传授者转变为学生学习的组织者,学习活动的引导者,学生学习活动的合作者。本节课设计一系列实践活动,引导学生了解分式的概念,明确分式和整式的区别,体会分式的意义,进一步发展符号感。 培养学生会用所学知识解决实际问题的能力和技巧,让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.培养学生观察、归纳、类比的思维,让学生学会自主探索,合作交流. 在活动过程中,通过交流合作,学生的求知欲和创造能力得到提升,在不知不觉中,增强了团队合作,小组交流的意识,更好的发现问题解决问题。 教材分析 《认识分式》是北师大版《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册第五章第一节的内容。本章内容是在学生掌握了整式的四则运算、多项式的因式分解的基础上,首先通过学生已有的分数概念,对比着引出分式的概念,然后通过与分式类比的方法得出分式的基本性质和四则运算法则,最后运用上述知识讲解化为一元一次方程的分式方程.学习这些内容把学生对“式”的认识扩充到了有理式范围,对于提高学生的运算能力、恒等变形能力、培养学生思维的严谨性都有着重要作用.同时,学好本章知识也为今后学习函数和方程等知识打下扎实的基础,做好铺垫.教授本章知识所用的类比、转化的研究方法对于提高学生思维能力,指导学生独立研究问题的方法有着深远的影响.通过应用题的教学,增强学生应用数学的意识,对于数学大众化的推进有着积极的意义. 评测练习 1、下列代数式中,哪些是整式?哪些是分式?

初中数学分式教案

第十六章 分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1. 了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:7 10,a s ,33 200,s v . 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时,逆流航行60千米所用时间v -2060小时, 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100,v -2060,a s ,s v ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不 同点? 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时.. 满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x

初中数学分式化解求值解题技巧大全

化简求值常用技巧 在给定的条件下求分式的值,大多数条件下难以直接代入求值,它必须根据题目本身的特点,将已知条件或所求分式适当变形,然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种: 1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x + =,则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解:由0x ≠,将待求分式的分子、分母同时除以2x ,得 原式=. 2 2 2 2 11111121 3 1()1 x x x x == = -++ + -. 2、倒数法 例2 如果12x x + =,则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解:将待求分式取倒数,得 4 2 2 22 2 2 1 111()1213x x x x x x x ++=+ +=+ -=-= ∴原式=13 . 3、平方法 例3 已知12x x + =,则2 2 1x x + 的值是多少? 解:两边同时平方,得 2 2 2 2 1124,42 2.x x x x ++ =∴+ =-= 4、设参数法 例4 已知 0235 a b c ==≠,求分式 2 2 2 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解:设 235a b c k ===,则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式= 22 2 2 2 2323532566.(2)2(3)3(5) 5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??= =- +-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求 a b c a b c +--+的值. 解:设 a b c k b c a = ==,则 ,,.a bk b ck c ak ===

北师大版八年级下册《认识分式》教学设计

北师大版八年级下册《认识分式》教学设 计 北师大版八年级下册《认识分式》教学设计 一、教材分析 本节课是北师大版八年级下册第五《分式与分式方程》的内容,共两课时。本设计是第一课时。本节课是分式的起始课,是学生学习了整式、因式分解基础上进行的的,是下一步学习分式的性质、分式的运算以及分式方程的前提,所以分式的概念及分式在什么条件下有意义是本节课的重点和难点。因为分式与分数类似,所以为了突破重点和难点,采用了类比的学习方法,让学生学会自主探索,合作交流,老师的讲和学生的学相结合。分式是表示现实世界中一类量的数学模型,为了让学生体会这一点,在课题引入时从实际生活情景出发,让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程。 二、学情分析 学生的知识技能基础:学生在小学学过分数,其实分式是分数的“代数化”,所以其性质与运算是完全类似的.在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系,其中包括整式与分式等数量关系. 学生的活动经验基础:在整式的学习中,学生初步具备

了用整式表示现实情境中的数量关系,建立数学模型的思想.在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力. 三、教学任务 本节共分2个课时,这是第1课时,主要内容是了解分式的定义以及分式有意义、无意义、值为零的条件。本节课的具体教学目标为: 知识与技能: 1、能用分式表示具体情境中的数量关系,体会分式是刻画现实世界中一类量的数学模型,进一步发展符号意识。 2、了解分式的概念,明确分式和整式的区别; 3、会求分式的值,理解分式有意义、无意义及值为零的条件。 过程与方法: 本节课通过“观察——类比——合作交流——概括、归纳——辩证”的途径,培养学生观察、分析及理解问题的能力,发展学生的数学抽象、数学建模思维,获得正确的学习方式。 情感态度价值观: 感受数学知识于生活,又服务于生活,体会数学学科的一些核心素养,如数学抽象、数学建模对研究问题时的引领作用,体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型。

从分数到分式教学反思

第1课从分数到分式(教学反思) 这节课的效果很好,能够较好的完成教学目标.而课堂上学生的表现简直让我惊讶,想不到学生的思维那么活跃,能力那么强. 分式的概念是学好全章的基础,是全章中的重点内容之一.借助对分数的认识学习分式的内容,是一种类比的认识方法,分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系,分数是具体的数值,分式的概念是分数概念的抽象,又是在整式概念基础上发展的,在建立了分式概念之后,必须将分数、分式、整式三个概念之间的联系、区别进一步加以辨析.教学中立足于学生的认知基础,激发学生的认知冲突,提升了学生的认知水平,学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来,这一课学生对什么是分式掌握较好,能区分整式与分式及分数之间的关系,对保证分式有意义需满足什么条件能很好地指出来. 在教学过程中,我做到了如下几点: 第一、我充分地信任学生,始终以学生的“学”为出发点,将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿于课的始终,并将评价与教师的教和学生的学有机的融为一体.实践证明,课 “自主探究、堂中只要教师转变观念,设计合理组织得当,恰当的运用评价的激励与促进作用, 合作交流”的学习方式可充分激发和调动起了学生学习的积极性和主动性,获得理想的学习效果. 第二、我也积极地创设出有利于学生主动参与的教学情境,激发学生的学习兴趣,充分地调动学生的学习积极性,给学生留有思考和探索的余地,让学生在独立思考与合作交流中解决学习中的问题. 由于这堂课内容少,是小学数学中的分数到分式的过渡.对小学知识掌握较好的学生和记忆理解能力较强的学生掌握和解题较好,个别理解能力和接受能力慢一些的学生,给予他们的帮助还不到位,这些学生课后作业完成不够好. 1篇二:15.1从分数到分式公开课的反思 一节公开课的得与失 ——15.1.1从分数到分式 从拿到课题到正式上课的五天准备过程,使我对《从分数到分式》这节课的认识更全面、更深刻;再经过上完课后评委的点评,也使我知道了自己的不足之处,以及对参赛课的设计有了更清楚的认识。我就针对这节课,谈谈我的得与失。 首先谈我的“得”: 1.分式与分数的紧密联系 分数与分式联系紧密,二者是具体与抽象、特殊与一般的关系.分数的有关结论与分式的相关结论具有一致性,即数式通性.可以通过类比分数的概念、性质和运算法则,得出分式的概念、性质和运算法则.由分数引入分式,既体现了数学学科内在的逻辑关系,也是对类比这一数学思想方法和科学研究方法的渗透. 从整数到分数是数的扩充,从整式到分式是式的扩充.数学知识源于生活、用于生活.分式与整式都是描述数量关系的代数式,研究分式有助于进一步培养数学建模的意识和数学应用的能力. 分式概念是形式定义,分式的分母不能为0(即分式有意义的条件)是对分式概念的深入理解.此外,考察使分式值为0(或为正数、为负数)的条件,本质上是解一类特殊的分式方程(或不等式).明确分式的分母不能为0有助于理解解分式方程可能产生增根的道理. 2.分式在本章的地位和作用 本节课是分式单元起始课,主要内容是分式的概念、分式有意义的条件和用分式表示数量关系.分数和整式的知识是学习本节课的基础,本节课内容也是进一步学习分式性质、运算、解分式方程以及后续学习反比例函数的基础.

从分数到分式教学设计陈克园

15.1.1 《从分数到分式》教案 库尔勒市第五中学 陈克园 教学目标 1、知识与技能: 能正确判断一个代数式是否为分式,能区分整式与分式. 能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2、过程与方法: 以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,体会是刻画现实世界中数量关系的一类代数 3、情感态度与价值观:小组活动,共同类比得出分式的概念,体会合作与成功的喜悦。 教学重点与难点 重点:分式的概念。 难点:理解并掌握判断一个分式有意义、无意义及值为零的方法。 教学过程 一、创设情景,引入新课。 先利用课件展示三峡美景,让学生欣赏祖国的美好山河,激发学生的学习兴趣。并展示课件上引言的问题: 引言问题:一艘轮船在静水中的最大航速是30千米/时,它沿江以最大船速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等.江水的流速是多少? 学生独立思考,回忆以往的知识:(1)、行程问题基本的数量关系是什么? (2)、船顺流航行与逆流航行的速度怎么表示? 解:如果设江水的流速为v 千米/时 最大船速顺流航行90千米所用时间=以最大航速逆流航行60千米所用的时间 所以列方程: 二、推进新课 1、活动:填空 (1)长方形的面积为10cm 2,长为7cm ,宽应为__________cm ;长方形的面积 V -3060V 3090=+

为S,长为a,宽应为__________; (2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中,水面高度为__________cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为__________。 设计意图:学生分组讨论得出答案,并指出书写形式:同5÷3可以写成5 3 一样, 式子A÷B可以写成A B 。以便下一步使用。答案: 7 10, a s, 33 200, s v 问题: (1)式子S V a S ,以及引言中的式子 V 30 90 + , V- 30 60 是整式吗? (2)式子S V a S ,, V 30 90 + , V- 30 60 与 7 10、 33 200有什么相同点和不同点? 设计意图:让学生观察思考,并与小学学过的分数对比,归纳总结出这些式子的特点。 总结出分式的定义:一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母, 那么式子A B 叫做分式: 注意:(1)分式A B 中A叫做分子,B叫做分母。 (2)分式是不同于整式的另一类式子。(3)分式比分数更具有一般性。 2、巩固新知 完成PPT 上面的练习题(教材,129页1、2小题.。补充以π为分母的情况)。 3、再探新知 活动2:小组讨论 分式A B 中分母B应满足什么条件? 若分式A B 的值为0,那么需要满足什么条件? 设计意图:我们知道除数不能为0,通过学生思考、讨论等活动,让学生充分认识到分式的一大要求:分母不能为0且分子为0,分式的值就为0. 4、(例题)讲解: 完成PPT 上面例题1 的讲解,并把书上P128的例题1作为学生的口答题处理。 (1)当x_________时,分式 2 3x 有意义;

初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1.转化思想 转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等. 2.建模思想 本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义. 3.类比法 本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程. 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m -n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 (一)、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义(一)分式的概念: 形如 A B (A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中:y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π,是分式的有: . 题型二:考查分式有意义的条件:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时,下列分式有意义 (1) 44+-x x (2)232+x x (3)122-x (4)3||6--x x (5)x x 11- 题型三:考查分式的值为0的条件: 1、分母中字母的取值不能使分母值为零,否则分式无意义

北师大版八年级数学下册 认识分式 教案

《1 认识分式》教案 第1课时 教学目标 (一)教学知识点 1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义,发展符号感. 2.了解分式产生的背景和分式的概念,了解分式与整式概念的区别与联系. 3.掌握分式有意义的条件,认识事物间的联系与制约关系. (二)能力训练要求 1.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,经历对具体问题的探索过程,进一步培养符号感. 2.培养学生认识特殊与一般的辩证关系. (三)情感与价值观要求 通过丰富的现实情境,使学生在已有数学经验的基础上,了解数学的价值,发展“用数学”的信心. 教学重难点 教学重点: 1.了解分式的形式B A (A 、 B 是整式),并理解分式概念中的一个特点:分母中含有字母;一个要求:字母的取值限制于使分母的值不得为零. 2.掌握分式基本性质的内容,并有意识地运用它化简分式. 教学难点: 1.分式的一个特点:分母含有字母;一个要求:字母的取值限制于使分母的值不能为零. 2.分子分母进行约分. 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]我们先试着解答下面的问题: 面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷? 这一问题中有哪些等量关系? 如果原计划每月固沙造林x 公顷,那么原计划完成一期工程需要____________个月,实际完成一期工程用了____________个月;根据题意,可得方程____________.

[生]根据题意,我认为这个问题的等量关系是:实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.(1) [生]这个问题的等量关系也可以是:原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.(2) [师]这两位同学真棒!在这个问题中,谁能告诉我涉及到哪些基本量呢?它们的关系是什么? [生]涉及到了三个基本量:工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作时间. [师]如果用第(1)个等量关系列方程,应如何设出未知数呢? [生]因为第(1)个等量关系是工作时间的关系,因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x 公顷. 原计划完成一期工程需x 2400个月, 实际完成一期工程需c 302400-x 个月, 根据等量关系(1)可列出方程: 30 2400-x +4=x 2400. [师]同学们可接着思考:如何用等量关系(2)设未知数,列方程呢? [生]因为等量关系(2)是工作效率之间的关系,根据题意,应设出工作时间.不妨设原计划x 个月完成一期工程,实际上完成一期工程用了(x -4)个月,那么原计划每月固沙造林的公顷数为x 2400公顷,实际每月固沙造林4 2400-x 公顷,根据题意可得方程4 2400302400-=+x x . [师]同学们观察我们列出的两个方程,有什么新的发现? [生]我们设出未知数后,用字母表示数的方法,列出几个代数式,表示出我们需要的基本量.如x 2400,42400-x ,30 2400+x .这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程,但分母中含有字母,要求出它的解,好像很不容易. [师]的确如此.像 302400424002400--x x x ,,这样的代数式同整式有很大的不同,而且它是以分数的形式出现的,它们是不同于整式的一个很大的家族,我们把它们叫做分式. 从现在开始我们就来研究分式,相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性,不久的将来,一定会很迅速准确解出上面两个方程. Ⅱ.讲授新课

初中数学分式专题

1 分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中,有整式时,可以把整式看做分母为1的式子,然后再计 算。 2. 要注意运算顺序,先乘方、再乘除、后加减,同级运算从左到右(谁在前先 算谁)依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式,可先分解因式,再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简,再求值:23393 x x x ++--,其中1x =-. 2.先化简,再求值 4 421642++-÷-x x x x ,其中 x = 3 . 3.先化简,再求值:22424412x x x x x x x -+÷--++-,其中x =2-2. 4.计算:2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+---

2 6.化简,: 2211()22x y x y x x y x +--++, 7.先化简,再求值:211122 x x x -??-÷ ?++??,其中2x =. 8.计算:22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+. 二.分式方程: 解分式方程的步骤: 1、去分母,化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母,分子要括起来, 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母,若为零,则为増根,应舍去。 1、解分式方程: 2131 x x =--. 2、解方程223-=x x

3 3、解分式方程:313 1=---x x x 4、解方程:22 333x x x -+=-- 5、解方程22 1 11x x =--- 6、解方程:x x x -=+--23 123. 7、解分式方程:6 122x x x +=-+

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