从分数到分式(教案)

教学内容：从分数到分式

教学目标：

1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式；

2．类比分数的概念学习分式的概念，让学生经历“从具体到抽象，从特殊到一般”的认知过程，渗透模型思想．

3．能正确判断一个代数式是否为分式；掌握判断一个分式有意义、无意义的方法． 教学重点、难点：

重点：分式的概念．

难点：理解并掌握判断一个分式有意义、无意义的方法．

教学设计：

一、情境引入

（利用第十五章的章前引例）先利用课本插图展示三峡美景，让学生欣赏祖国的大好河山，注意看江面上来往的船只．

问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30㎞/h ，它以最大航速沿江顺流航行．．．．90㎞所用的时间与以最大航速逆流航行．．．．60㎞所用时间相等，江水的流速为多少？

提问1：一艘游轮在静水中航行速度为30㎞/h ，它顺流、逆流航行的速度相同吗？船只顺流、逆流的航行速度与什么有关？

（学生独立思考，回忆以往所学知识）

（板书）行程问题基本数量关系：

路程＝速度×时间

船顺流航行速度＝船在静水中的速度＋水流的速度

船逆流航行速度＝船在静水中的速度－水流的速度

提问2：这个问题中要想知道船顺流航行的速度及船逆流航行的速度，必须知道什么？如果知道了水流速度，如何表示顺流航行的速度及逆流航行的速度？

提问3：你能假设未知数，得到相应的等量关系吗？

（解：设江水的流速为v 千米/时，则轮船以最大航速顺流航行90千米所用的时间为v +3090小时，以最大航速逆流航行60千米所用的时间为v

-3060小时，根据题意： v

v -=+30603090 这个方程叫分式方程，可以解得v 的值； 引导学生观察：v +3090、v

-3060与我们以往所学过的式子有什么不同？ 二、类比引新

1．想一想：

完成课本第127页思考题：

（1）长方形的面积为10平方厘米，长为7厘米，宽为 厘米；

长方形的面积为S ，长为a ，宽为 ．

（2）把体积为200立方厘米的水倒入底面积为33平方厘米的圆柱形容器中，水面高度为

厘米；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 ．

思考：在小学学习分数时，把10÷7写成710的形式，把7

10叫做分数，那么s v a s ÷÷,可以

写成什么样的形式呢？（学生类比给出： a S ，s

V ） 710，33200；a S ，s

V （1）两组式子有什么相同点和不同点？

(相同点：形式相同，都可以写成

B A 的形式；不同点：前两个分子、分母是数，后两个分子、分母有字母)

（2）两个式子a S ，s

V 及v +20100，v -2060有什么共同点？ （学生小组讨论后全班交流，得出结论） 学生结论：都是

B A 的形式；分子、分母都是整式；分母中含有字母． 结论：它们与分数的形式相同，但它们的分子与分母都是整式，分子中含有字母，特别是分

母，一定含有字母。

归纳：师生共同得出分式概念： 板书：式子B

A 叫分式（A 、

B 表示两个整式，并且B 中含有字母）； 其中A 叫分式的分子，B 叫分式的分母．

举例：如分式`

y x 就表示任意两个整式相除的商（除式不等于零），当3,2==y x 时，分式的值为32；当2,5==y x 时，分式的值为2

5；…… 分式y x 比32、2

5……更具有一般性． 2．议一议

下列各式中，是分式的是 （填序号） ①x 1，②y

x +1，③2b a +，④132-x ，⑤32-，⑥25y +-，⑦x y x +，⑧42y ． 思考：上面的各式中，除分式外你能判断出其它式子的类型吗？

（独立完成此题后，组内交流答案，组长收集好组内发生的错误并做好展示的准备）

3．写一写

在下面写出两个分式，交给你的同桌判断是否为分式．

（如对判断结果有争议或写出的式子无法判断的请举手示意老师） 举例：常见的有：①x 1；②y

x y +；③x x （对于③是分式，判断分式主要是从形式上看，有同学说1=x

x ，此时你已经对分式进行了约分，结果为整式，所以说式子x x 是分式． 三、深入研究

1．想一想：

填表，求分式的值：

思考并讨论：（1）表中分式的值是怎样确定的？

（2）当0=x 时，x 20等于多少？当21=x 时，1

2-x x 等于多少？ （3）分式在什么条件下有意义，有什么条件下无意义？

（分式在分母不为零时有意义，而在分母为零时无意义）

2．练一练

例题：下列分式中字母满足什么条件时分式有意义？

（1）x 32 （2）1-x x （3）b 351- （4）y x y x -+ （5）1

-x x （6）122-x 解：（1）当分母03≠x 即0≠x 时，分式

x 32有意义． 其余学生口头回答（教师点评后追问分式什么时候无意义）

练习：填空：

（1）若分式23+x x 有意义．．．，则x 的取值范围是 ； 若分式325-a 有意义．．．

，则a 的取值范围是 ． （2）当_________=m 时，分式

21+-m m 无意义．．．； 当 时，分式y x -23无意义．．．

． 3．写出一个与x 有关的分式，并且无论x 取何值该分式始终有意义： （常见的有：112+x ，1

1+x ） （说明：以下内容有条件的可以补充讲，也可以不讲）

探一探

问题：对于分式1

253-+x x ，当x 取何值时，分式的值为零？ （教师点拨：分式的值为0，首先必须保证分母不为0，其次分子为0，分式的值才为0）

解题示范：根据题意得：???=+≠-053012x x ，解得???

????-=≠35

21x x ∴35-=x 练习：

（1）132+-x x （2）242+-x x （3）11+--x x （4★）2

22---m m m 想一想

（1）当a 为何值时，分式3

1-a 的值为正数？ （2）当m 为何值时，分式m

m 12-的值为非负数？ （3）当x 为何值时，分式2

3--x x 的值为负数？ 四、课堂小结：

（学生自由发言，谈学到的知识及方法）

知识：

（1）分式的概念；（2）分式有意的条件；（3）分式无意义的条件；（4）分式值为0的条件 方法：研究分式的方法类似于研究分数的方法．

五、课堂测试

（总分50分）

1．列代数式表示（30分）

（1）某村有n 人，耕地共有400亩，则人均耕地面积为 亩．

（2）已知长方形的面积是162cm ，一边长是acm ，则另一边长是_____cm ；已知长方形的面

积是2acm ，一边长是16cm ，则另一边长是_____cm ．

（3）产量由m 千克增长15％，就达到_______千克．

（4）轮船在静水中每小时走50千米，水流速度是每小时b 千米，那么轮船在逆水中航行100

千米所用的时间为________小时；轮船在顺水中航行100千米中所用的时间为______小时．

2．下列式子2x ，x 2，y x y x -+，3

2y x +中，分式有（ ）（5分） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

3．当x 为任何实数时，下列分式一定有意义的是（ ）（5分）

A ．

x x 1+ B ．212x x - C ．112+-x x D ．1

32-+x x 3．已知分式x x +-24．（10分） （1）若分式有意义．．．

，则x 的取值范围是 ；

（2）当 时，分式无．意义．．； 思考题：

1．若分式1

12--x x 的值为0，求x 的值． 2．已知分式

x 432-的值为正，求x 的取值范围． 3．已知

x +16表示一个整数，求整数x 的值．