代数与代数基本定理的历史

1.关于代数的故事

在十九世纪以前，代数被理解为关于方程的科学。十九世纪，法国数学家伽罗华（Evaristr Galois）开创群论以后，代数不再以方程为中心，而是以各种代数结构为中心。作为中学数学课程的代数，其中心内容就是方程理论。代数的发展是和方程分不开的。代数对于算术来说，是一个巨大的进步，代数和算术的主要区别说在于前者引入了未知量，根据问题的条件列同方程，然后解方程求出未知量，我们举一个例子：一个乘以3，再除以5，等于60，求这个数。算术求法（公元1200年左右伊斯兰教的数学家们就是这样解的：既然这个数的3/5是60，那么它的1/5就是20一个数的1/5是20那么这个数是20的5倍，即100。代数解法：设某数为x ，则可见代数解法与算术思路不同。各有自己的一套规则，代数解法比较简单明了。古埃及人、巴比伦人在一些实际计算问题已使用过代数的方法。据说，1858年苏格兰有一位古董收藏家兰德在非洲的尼罗河边买了一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及的纸莎草卷，他惊奇地发现，这卷草卷中有一些含有未知数的数学问题（当然都是用象形文字表示的）。例如有一个问题翻译成数学语言是：

“啊哈，它的全部，它的1/7，其和等于19。”

如果用x表示这个问题中的求知数，就得到方程，解这个方程，得到。令人惊奇的是，虽然古埃及人没有我们今天所使用的方程的表示和解法，却成功得到解决了这个答数。我国古代的代数研究在世界上一直处于领先地位，在经典数学著作《九章算术》中，除了方程外，还有开平方、开立方、正负数的不同表示法和正负数的加减法则等代数的最基本问题，到宋、元时代，我国对代数的研究达到了高峰。贾宪等的高次方程数值解方法，秦九韶的联立一次同余式解法，李治的列方程一般方法，朱世杰的多元高次方程组解法，及其有限级数求和的“招差法公式”，都早于欧洲几百年。“代数学”这个名称，在我国是1859年正式开始使用的，来自拉丁文（Algebra），它又是从阿拉伯文变来的，其中有一段曲折的历史。公元825年左右，花拉子模的数学家阿尔——花拉子模写了一本书《Kitabaljabr-W’al-mugabala》意思是“整理”和“对比”，这本书的阿拉伯文版已经失传，但12世纪的一册拉丁文译本却流传到今，在这个译本中，把“aljabr”译成拉丁语“Aljebra”,并作为一门学科，它的课题最首要的就是用字母表示的式子的变形和解方程的规则方程。我国清代数学李善兰，1859年编译西方代数时，把“Algebra”译成了“代数学”。从些，“代数”这个名词便一直在我国沿用下来。

2.代数基本定理

任何n（n>0）次多项式在复数域中至少有一个根。一元一次方程有且只有一个根，一元二次方程在复数域中有且只有两个根，因此，人们自然研究一元n次方程在复数域中有几个根。此外，当初的积分运算中采用部分分式法也引起了与此有关的问题：是不是任何一个实系数多项式都能分解成一次因式的积，或分解成实系数的一次因式和二次因式的积？这样的分解，关键证明代数基本定理。代数基本定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但他的证明是首先默认了数学分析中一条明显的引理：定义在有限闭区间上的连续函数一定在某一点取得最小值，而这个引理在达朗贝尔的研究100年以后才得到证明。接着，欧拉也给出了一个证明，但有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了代数基本定理，后经高斯分析，发现他的证法中把实数的尚未证明其真实性的各种性质应用了，所以该证明仍然是很不严格的。1799年，高斯在他的博士论文中第一个严格证明了代数基本定理，其基本思路如下：设f (z)为n次实系数多项式，记z = x + yi (x, y为实数)，考察方程：f (x + yi) = u (x, y) + v (x, y)i = 0即u (x, y) = 0与v (x, y) = 0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点，从而得出u (a, b) = v (a, b) = 0即f (a + bi) = 0，故此便是代数方程f (z)的一个根。这个论证具有

高度的创造性，但从现代的标准来看，依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂的。高斯后来又给出了另外三个证明方法，第二个证法中，不依靠几何的论据，但是却应用了当时未经证明的命题：设多项式p (x) 在x的两个不同的值之间没有零点，则它在这两个值处不可能改变符号。高斯在71岁时还公布了第四个证法，在这个证法中，他容许多项式的系数是复数。应指出，在许多证法中，这个定理都不是在最一般的情况下证明的，都是假定了多项式中的文字系数表示实数，但整个定理却包括复系数的情况。复变函数论发展后，代数基本定理已作为其他定理的推论。代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。代数学基本定理(Fundamental Theorem of Algebra)是说每个次数不小于1的复系数多项式在复数域中至少有一复根。这个定理实际上表述了复数域的代数完备性这一事实。高斯运用含参量积分的结论贡献了一个首创的代数学基本定理的证明；而利用复变函数论中的结论证明起来比较简洁；卢丁(Rudin)在他那本著名的《数学分析原理》中给出了一个看上去更清晰的证明，但其间用到很多专属于他那本著作的定理，要看懂此定理的证明，至少要先研读50页的前文，而全书不过300页具体的证明就不赘述了，自己去查参考文献吧，如果你真的感兴趣的话。参考文献：

菲赫金哥尔茨 "微积分学教程" §14.2 [512] 代数学基本定理的高斯证明高教出版社Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis" Theorem 8.8 机械工业出版社Courant, R. and Robbins, H. "The Fundamental Theorem of Algebra." §2.5.4 in What Is

Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford

University Press, pp. 101-103, 1996.

Krantz, S. G. "The Fundamental Theorem of Algebra." §1.1.7 and 3.1.4 in Handbook of Complex

Variables. Boston, MA: Birkh?user, pp. 7 and 32-33, 1999.

代数基本定理

[科目] 数学 [关键词] 代数/基本定理/复数/根 [文件] sxbj110.doc [标题] 代数基本定理 [内容] 代数基本定理代数基本定理﹝Fundamental Theorem of Algebra﹞是指：对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在复数域中至少有一根。由此推出，一个n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根，重根按重数计算。这个定理的最原始思想是印度数学家婆什迦罗﹝1114-1185？﹞在1150年提出的。他提出了一元二次方程的求根公式，发现了负数作为方程根的可能性，并开始触及方程根的个数，即一元二次方程有两个根。婆什迦罗把此想法称为《丽罗娃提》﹝Lilavati﹞，这个词原意是“美丽”，也是他女儿的名字。 1629年荷兰数学家吉拉尔在《代数新发现》中提出他的猜测，并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。 1637年笛卡儿﹝1596-1650﹞在他的《几何学》的第三卷中提出：一个多少次的方程便有多少个根，包括他不承认的虚根与负根。欧拉在1742年12月15日在给朋友的一封信中明确地提出：任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和二次因式的乘积。达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都曾试过证明此定理，可惜证明并不完全。高斯在1799年给出了第一个实质证明，但仍欠严格。后来他又给出另外三个证明﹝1814-1815，1816，1848-1850﹞，而“代数基本定理”一名亦被认为是高斯提出的。高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。20世纪以前，代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域之上，因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。

近世代数基础练习题

1.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下,R 的一个子环S 的象S 是R 的一个子环。证明: S 为R 的一个子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , 故S 非空。对,a b ?∈S ,?,a b ∈S ,使得a =()a φ,b =()b φ 由于S 是环R 的子环，故a b S -∈,ab S ∈ ∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b = ()a φ()b φ=()ab φS ∈ 故S 是R 的一个子环。 2. 证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下, R 的一个子环S 的逆象S 是R 的一个子环。证明: S 为R 的子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , ∴0∈S ,故S 非空。对?,a b ∈S ，?,a b ∈S ,使得 a =()a φ,b =()b φ, 由于S 是环R 的子环，故 a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b =()a φ()b φ=()ab φS ∈ ∴a b S -∈,ab S ∈ 故S 是R 的一个子环。 3.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的象A 是R 的一个理想。证明: A 为R 的理想,∴ 0A ∈,,而0=(0)φ∈A ,故A 非空。对,a b A ?∈,r R ?∈, ?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的一个理想，故 a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈

∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ ra =()r φ()a φ=()ra A φ∈, ar =()a φ()r φ=()ar A φ∈ 故 A 是环R 的一个理想。 4.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的逆象A 是R 的一个理想。证明: A 为环R 的理想,∴0∈A , 而0=φ(0)∈A , ∴0∈A, 故A 非空。对于?,a b ∈A ，?r R ∈，?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的理想，故 a -b ∈A ，ar A ∈，ra A ∈。 a -b =()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ r a =()r φ()a φ=()ra φ∈A ， ar =()a φ()r φ=()ar φA ∈ ∴a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈, 故 A 是R 的一个理想。

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识初等代数、高等代数与线性代数都称为经典代数(Classical algebra),它的研究对象主要就是代数方程与线性方程组)。近世代数(modern algebra)又称为抽象代数(abstract algebra),它的研究对象就是代数系,所谓代数系,就是由一个集合与定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括:群论、环论与域论等几个方面的理论,其中群论就是基础。下面,我们首先简要回顾一下集合、映射与整数等方面的基础知识,然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3.1 集合、映射、二元运算与整数 3.1.1 集合集合就是指一些对象的总体,这些对象称为集合的元或元素。“元素a 就是集合A 的元”记作“A x ∈”,反之,“A a ?”表示“x 不就是集合A 的元”。设有两个集合A 与B,若对A 中的任意一个元素a (记作A a ∈?)均有B a ∈,则称A 就是B 的子集,记作B A ?。若B A ?且A B ?,即A 与B 有完全相同的元素,则称它们相等,记作B A =。若B A ?,但B A ≠,则称A 就是B 的真子集,或称B 真包含A,记作B A ?。不含任何元素的集合叫空集,空集就是任何一个集合的子集。集合的表示方法通常有两种:一种就是直接列出所有的元素,另一种就是规定元素所具有的性质。例如: {}c b a A ,,=; {})(x p x S =,其中)(x p 表示元素x 具有的性质。本文中常用的集合及记号有: 整数集合{}Λ,3,2,1,0±±±=Z ; 非零整数集合{}{}Λ,3,2,10\±±±==* Z Z ; 正整数(自然数)集合{}Λ,3,2,1=+Z ; 有理数集合Q,实数集合R,复数集合C 等。一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时,称为有限集,否则称为无限集。用∞=A 表示A 就是无限集,∞