初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)
2009年初中数学（初二组）初赛试卷 01
一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1、下列名人中：①比尔·盖茨 ②高斯 ③袁隆平 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥华罗庚 ⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）
A ．①④⑦ B.③④⑧ C.②⑥⑧ D.②⑤⑥ 2、已知1
11,,b
c a a b c a b c +=+=+≠≠则a 2b 2c 2=( )
B.3.5
C.1 、在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点。设k 为整数，当直线2y x =-与y kx k =+的交点为整点时，k 的值可以取（ ） A ．4个 个 个 个
4、如图，边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转300到正方形AB ‘C ’D ‘
，图中阴影部分的面积为（ ）
A.1
1 D.12
5、已知()421M p p q =+，其中,p q 为质数，且满足29q p -=，则M =（ ） .2005 C
（第4题图） （第6题图）
6、四边形ABCD 中0060,90,DAB B D ∠=∠=∠=1,2BC CD ==,则对角线AC 的长为（ ）
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、 如果有2009名学生排成一列，按1、
2、
3、
4、
5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、 1???
的规律报数，那么第2009名学生所报的数是 。
2、已知,,a b c 满足2224222a b a c ac -+++=+，则a b c -+的值为______
3、已知如图，在矩形ABCD 中，AE BD ⊥，垂足为E ，0
30ADB ∠=且BC =，则
ECD 的面积为_____
4为_______度。
三、简答题（本大题满分20分）
1.如图，直线OB 是一次函数2y x =-的图象，点A 的坐标为
0,2，在直线OB 上找点C ， 使得ACO 为等腰三角形，点C 坐标。
四、简答题（本大题满分25分）
2.
某食品公司欲用这三种食物混合配制100千克食品，要求配制成的食品中至少含36000单位的
维生素A 和40000单位的维生素B 。
⑴配制这100千克食品，至少要用甲种食物多少千克丙种食物至多能用多少千克 ⑵若限定甲种食物用50千克，则配制这100千克食品的总成本S 的取值范围是多少 五、简答题（本大题满分25分）
3. 如图，在凸四边形ABCD 中，M 为边AB 的中点，且MC MD =，分别过,C D 两点，作边,BC AD 的垂线，设两条垂线的交点为P 。过点P 作PQ AB ⊥于Q 。
求证：PAD PBC ∠=
2009年四川省初中数学联赛（初二组）初赛试卷答案
选择题1 D 详解：高斯，1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困,但聪敏异常,受一贵族资助才进学校受教育。是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的
数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名。华罗庚,1910年11月12日生于江苏省金坛市金城镇,1985年6月12日卒于日本东京。为著名的中国数学家,是近代中国解析数论典型群，是中国解析数论、曲型群、矩阵几何学、自守函数论与多个复变函数等很多方面研究的创始人与奠基者。培养了王元、陈景润等数学人才。陈景润~是中国现代数学家。1933年5月22日生于福建省福州市，1953年毕业于厦门大学数学系，他在50年代即对高斯圆内格点问题、球内格点问题、塔里问题与华林问题的以往结果，作出了重要改进，受到华罗庚的重视，被调到中国科学院数学研究所工作。1966年攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥的辉煌。世界级的数学大师、美国学者阿 ·威尔曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。”
2 C 详解：2221b c b c
bc bc c a c a
ac
ac b a a b
ab ab a b a b b c b c a b c a c c a -------=-=????-=?-=?=????-=-=??
3 .A (2)
31
12
2(1)(2),,1,0111,3k k k y x x kx k k x k y kx k k Z x Z K k x Z
k -+--=-??-=+?-=-+?
=+?
∈∈≠≠?=
=--∈±±?-=?详解四种情况。
：
4
A 0
3021EDAB EAB AE Rt
AB E Rt ADE
EAB EAD EB S
S S '
'
''
'
??∠=∠=?===
?=-
?阴影详解：接连易证；
5 D 详解：M 的值从小到大应该是无数个，由于选项有限，p 不可能很大，,p q 质数之差为29，则p 质数由最小质数2计算，即当231p q ==，时，()
4212000M p p q =+=为所求。 6 C 详解：延长DC 交AB 的延长线于点K ；在Rt ADK 中，
060DAK ∠=0
30AKD ∠=
，1,2,BC CK BK =∴==
，4DK CD CK ∴=+=，
2AD AK AD ∴===
:Rt ABC AC AB AK BK ==-==
填空题1.. 1 详解：观察以上为1、2、3、4、5、4、3、2等8个数为一个周期进行循环，则2009除以8等于251 余1，说明有251个循环，仅余下1个数，即为第252个周期中的第一个数为1。
2. 4或8
(
)22212()03030
a b a c a a b --+++-=?-=?==2（）b 或210200a b a c --=+=-=?????
31
23a b a c ==-==??????或或0或1
3
CD 点作CF BD ⊥于F ； 易证ADE
CDE
Rt ABE Rt CDF AE
CF S
S
??=
?=
01230,ADB BC
AE BC ∠==∴== 12663ADE
DE S
AE DE ∴=∴=
=
4 108 详解：如图，00
518036x x =?= 顶角03108BAC x ∠== 简答题
1. 详解：ACO 为等腰三角形，则分为三种情况讨论：
()()2,,2,0,2y x C x x A =-∴-设
①当以A 为顶点：则AC AO =，()2
2224x x ++=
()18165585,,x C ∴=-∴-
① 当以C 为顶点：则()2
222,224CA CO x x x x =++=+则
()21122,1,x C =--∴
③当以O
为顶点：则(
2
2
34
,44,,OA OC x x x C C =+=∴=∴
2. 详解：①设配制这100千克食品中，至少要用甲种食物x 千克, 乙种食物y 千克, 丙种食物至多能用z 千克;据题意可得：
1001003530060030036000212020700100300400007340045x y z x y z x x y z x y z y x y z x y z z ++=++=≥??????
++≥?++≥?=??????++≥++≥≤???
②125010050
5030050600300360002702050700501003004000035050620430347047050050650403500
y z y z y z y z y z y y z y z s s s ++=+=??+=???
?++≥?+≥????
≤≤????++≥+≥??
=?+?+?=???≤≤?=?+?+?=? 3. 详解：如图：取,AP BP 的中点分别为,F E ；并连 结,,,DF MF EC ME ；
11
22,,
MF
BP BE ME AP DF MC MD MDF CME
=====∴?易证：
,2,
2DFM MEC MFPE MFP MEP DFP CEP DFP PAD CEP PBC PAD PBC
∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∴∠=∠为
2010年四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷 02
(4月11日上午9:00—11:30)
1、三角形的边长为整数，且周长为9的不全等的三角形个数为（ ）． （A ）1 （B ） 2 （C ）3 （D ） 4
2、已知3
21+=
a ，则122+-a a 的值为（ ）．
（A ） 13- （B ） 31- （C ）3
11+ （D ）
3
11-
３、已知12-=
a ， 223-=
b ，23-=
c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）．
（A ） c b a >> （B ）a b c >> （C ） b a c >> （D ） b c a >>
４、若实数z y x ,,满足：11
,11=+=+
z
y y x ，则xyz 的值为（ ）． （A ） 1 （B ）2 （C ）-1 （D ）-2
５、如图，在△ABC 中，AB =AC ，0
40=∠B ，BD 是B ∠的平分线，延长BD 至E ，
使DE=AD ，则ECA ∠的度数为（ ）．
（A ）
30 （B ）
40 （C ）
50 （D ）
60
６、如图，在矩形ABCD 中，对角线长2，且4321∠=∠=∠=∠， 则四边形EFGH 的周长为（ ）． （A ）22 （B ） 4 （C ）24 （D ）6
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、已知正整数b a ,，满足0||,02|2|=
-+-=-+-b a b a b b 且b a ≠， 则ab
的值为 ． 2、若11=-x
x ，则132+-x x 的值为 ．
3、已知梯形的边长分别为3、
4、
5、6，则此梯形面积等于 ．
4、如图，在ABC ?中，D 是BC 上一点，满足AC AD =，E 是AD 的中点，且满足ACE BAD ∠=∠．若1=?BDE S ，则ABC S ?为 .
三、（本大题满分20分）
某项工程，甲队单独做需12天完成，乙队单独做需9天完成，若按整日安排两队工作，有几种方案可以使这项工程完工的天数不超过8天
四、（本大题满分25分）
如图，在直角坐标系中，A 、B 是某个一次函数图像上的两点，满足AOB ∠是直角，且2==BO AO ，若AO 与y 轴的夹角是
60． 求这个一次函数． 五、（本大题满分25分）
如图，在ABC Rt ?中，
90=∠C ,AM 、AN 分别为BC 边上的中线和BAC ∠的平分线．过C 作
AN CD ⊥于D ．
（I ）求证：)(2
1
AC AB DM -= （II ）求证：2
)(4
1AC AB MC MN -=?．
y
x
2010年四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷答案一、
1、C
2、A
3、A
4、C
5、C
6、B
二、
7、解：∵|b-2|+b-2=0，
∴|b-2|=2-b，
∴2-b≥0，
解得b≤2，
∵|a-b|+a-b=0，
∴|a-b|=b-a，
∵a≠b，
∴b＞a，
∴a＜2，
∴ab＜4．
故答案为：＜4
9、解：过点D作DE∥AB交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，BE=AD，
若AD=3，AB=4，BC=5，CD=6，
则DE=4，EC=BC-BE=BC-AD=5-3=2，
∵DE+EC=4+2=6=CD，∴此时不能组成三角形，即不能组成梯
形，
同理可判定：AD=3，AB=4，BC=6，CD=5，
∵EC=BC-BE=6-3=3，CD=5，DE=4，
∴△DCE为直角三角形，
∴梯形ABCD为直角梯形，
∴S梯形ABCD= 12（AD+BC）?DE=12×（3+6）×4=18．
故答案为：18．
10、解：∵E是AD的中点，
∴S△ABD=2S△BDE=2（等高，底边AD=2DE），
取CD中点F，连接EF，很容易证明△ABD∽△CEF，
∴AD/EF= 1/2，
∴S△CEF= 1/4，S△ABD= 1/2，
又∵△CEF与△ACE等高，底边AC=2EF，
∴S△ACE=2S△CEF=1，
∴S△ADC=2S△ACE=2，
故S△ABC=S△ABD+S△ACD=4．
故答案为：4．
三、
11、解：①设甲乙合作x天，然后甲单独做y天，
由题意得，{(11/2+1/9)x+1/12y=1①x+y≤8②，
此时解得y≤5，
又∵整日安排两队工作，
∴满足题意的只有：x=3，y=5；
②设甲乙合作x天，然后乙单独做y天，
{(1/12+1/9)x+1/9y=1①x+y≤8②，
此时解得：y≤4，
又∵整日安排两队工作，
∴满足题意的只有：x=4，y=2；
综上可得共有两种方案可以使这项工程完工的天数不超过8天．四、
12、解：如图，作AC⊥CE，BE⊥CE，
∵AO与y轴的夹角是60°，即∠AOF=60°，
∴∠AOC=30°，
∵∠AOB是直角，∠FOE是直角，
∴∠BOE=60°，
∴∠OBE=30°，
又∵AO=BO=2，
∴AC=1，OE=1，
∴C0= √3，BE= √3，
∴点A（- √3，1），点B（1，√3），
设一次函数的解析式为y=kx+b，
∴一次函数关系式是y=﹙2-√3）x+ 2√3-2．
五、
13、（1）证明：延长CD交AB于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵∠ACB=90°，CD⊥AN，
∴∠ADC=∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠CAN+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠CAD=∠BAD，
在△AED和△ACD中
{∠EAD=∠CADAD=AD ∠ADE=∠ADC ，
∴△AED ≌△ACD ， ∴AE=AC ，ED=DC ，
∵AM 是边BC 上的中线， ∴DM ∥BE ，
DM= 1/2BE= 1/2（AB-AE ）， 即DM= 1/2（AB-AC ）．
2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题 03
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、分式
)0(≠++xyz z
y x xyz
中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ）6倍 （D ）8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）． （A ）
2b a + （B ） 2n m + （C ） b a bn am ++ （D ）n
m bn
am ++ 答：选D 。 3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）．
（A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a
答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。
4、ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。若
60=∠BAC ，则
ABC ∠的大小为（ ）
（
A ）
40 （B ）
60 （C ）
80 （D ）
100
答：作C 关于AD 的对称点C ’。因为AD 是角平分线， 则C ’一定落在AB 上。
由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，
第5题
第4题
所以B D AC C ∠=∠=∠2'，
又
120180=∠-=∠+∠A C B ，故
40=∠B ，选A 。 5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ?的面
积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10
答：设x S ADO =?。由2:1:::===??CDO ADO S S OC AO BC AD ，故x S CDO 2=?， 同理x S ABO 2=?，x S CBO 4=?，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。
6、有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（ ）。
A 10厘米
B 厘米
C 14厘米
D 厘米
答：由表中关系可以得到，弹簧长度（y ）与称重（x ）的关系是x y +=5.3，故弹簧最长为13.5厘米，选
B 。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、已知1
31,1
31-=
+=
b a ，则722++b a 的值为 .
答：由题设有：4
3
24,432422
+=-=
b a ，则3722=++b a 。 2、已知在ABC ?中，
90=∠C ，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D ，
1:2:=DC BD ，则B ∠的度数是 。
答：因为AD 是角平分线，所以1:2::==AC AB DC BD ， 故
30=∠B 。
３、在ABC ?中，
80=∠A ，I 是C B ∠∠,的角平分线的交点，则BIC ∠的度数为 ．
答：由题知
1302
1
90)180(21180)2121(180=∠+=∠-
-=∠+∠-=∠A A C B BIC
４、设函数)0(>=k kx y 与x
y 1
=的图像相交于
A 、C ，过A 作x 轴
的垂线相交于B ，则ABC ?的面积是 。
答：由题得B 的坐标为),1(
k k
，
第2题
所以2
1121=??=
?k k S ABO ，又显然O 为AC 的中点，故12==??ABO ABC S S 。 三、（本大题满分20分）
设t x tx +=-22是关于x 的方程。当方程的解分别：（1）大于0；（2）等于0；（3）小于0时，求t 的取值范围。
解：方程整理为t x t +=-2)2( 当2≠t 时，方程的解为：2
2-+=t t
x …………………5分 （1）当0>x 时，则
022>-+t t
，此时，2- 2<-+t t ， 此时，22<<-t 。 ……20分 四、(本大题满分25分) 在平面直角坐标系中，A （2,0），B （3,0），P 是直线x y =上的 点，当PB PA +最小时，试求P 点的坐标。 解：如图，作A 关于直线x y =的对称点A ’， 则'PA PA =， 故PB PA PB PA +=+'。 …………………5分 由图知，只有当A 、P 、B 共线时，PB PA +最小。 ……10分 又由A 与A ’关于x y =对称知，A’（0,2）。 …………15分 由'A 、B 两点坐标得AB 直线方程： 12 3=+y x 。 ……20分 联立?? ???==+x y y x 1 23解得56==y x ， 故当PB PA +最小时，P 的坐标为)5 6 ,56(。…………………25五、（本大题满分25分） 求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。 设BD 、CE 是ABC ?的两条中线（如图），证明AC AB =。……5分 证明1 作中线AF ，则三条中线交于重心G 。 ……10分 因为BD BG 32= ，CE CG 3 2 =，所以CG BG =； ………15分 所以BC GF ⊥，即BC AF ⊥。 ………20分 又AF 是中线，故AC AB =。 ……………25分 证明2： 如图，将EC 沿ED 平移得DF ，连接ED 、CF ，则四边形EDFC 是平行四边形， 所以DF EC BD ==. …………10分 又D 、E 分别AC 、AB 的中点，所以DE 平行BC ， 所以B 、C 、F 共线。 所以 ECB DFB DBF ∠=∠=∠ ………15分 又 BD =CE ，BC =CB 所以)(SAS DBC ECB ??? ………20分 所以ACB ABC ∠=∠，故AB=AC 。 ……………25分 2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷 04 （4月10日 上午8：45—11：15） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内元，每增加100克（不足100克按100克计）元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ） A ．元 B ．元 C ．3元 D ．元 2．设关于x 的分式方程 22 22 a a x x --= --有无穷多个解，则a 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个 3．实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且0abc >，则 111 a b c ++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．正负不能确定 4．若a ，b ，c 分别是三角形三边长，且满足 1111 a b c a b c +-= +-，则一定有（ ） A ．a =b =c B ．a =b C ．a =c 或b =c D ．a 2 +b 2 =c 2 5．已知如图，长方形ABCD ，AB ＝8，BC ＝6，若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来， 则折痕PQ 长为（ ） A ． 152 B ．7 C ．8 D ．172 6．用三个2，能写出最大的数一定是（ ） A ．等于2 22 B ．等于222 C ．等于242 D ．大于1000 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） Q P D C B A 1．x 是实数，那么115x x x -++++的最小值是_________． 2 ．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________． 3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这 个长方形的面积是_______． 4．若△ABC 的三条中线长为3、4、5，则S △ABC 为____________． 三、（本大题满分20分） 设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值． 四、（本大题满分25分） 现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子． 五、（本大题满分25分） 已知如图：正方形ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于BD ，BE 交CD 于F ，求证：DE ＝DF ． F E D C B A 2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛 参考解答与评分标准 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内元，每增加100克（不足100克按100克计）元。某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ）。 （A ）元 （B ） 元 （C ） 3元 （D ） 元 答：书的质量701003100470+?+=（克），故邮资为：3.24.04.037.0=+?+（元），选A 。 2、设关于x 的分式方程 2 2 22--= --x a x a 有无穷多个解，则a 的值有（ ）． （A ） 0个 （B ） 1个 （C ） 2个 （D ） 无穷多个 答：因为分式方程有解，故a a -=-22，解得2=a ，故a 只有1个，所以选B 。 ３、实数a 、b 、c ，满足0=++c b a ，且0>abc ，则 c b a 1 11++的值（ ） 。 （A ） 是正数 （B ） 是负数 （C ） 是零 （D ） 正负不能确定 答：由0=++c b a ，0>abc 知，c b a ,,中，必有两负一正，不妨设0c ，且||||c a <， 所以 ||1||1c a >，故c a 11>-，而01 11<++c b a ，选B 。 ４、若 c b a ,,分别是三角形三边长，且满足 c b a c b a -+=-+1 111，则一定有（ ）． （A ） c b a == （B ） b a = （C ）c a =或c b = （D ）2 22c b a =+ 答：由分式化简可得0))()((=--+c b c a b a ，故c a =或c b =，选C 。 ５、已知如图，长方形ABCD ，AB =8，BC =6， 第5题 若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来，则折痕PQ 长为（ ）。 （A ） 215 （B ）7 （C ）8 （D ）2 17 答：显然AC 与PQ 相互垂直平分，于是POC ?相似ADC ?， 则 DC OC AD PO = ，得415=PO ，故2 15 =PQ ，选A 。 ６、用三个2，能写出最大的数一定（ ）。 （A ）2 22 （B ） 等于222 （C ） 等于242 （D ）大于1000 答：最大的数是1000222 >，选D 。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、x 是实数，那么|5||1||1|++++-x x x 的最小值是（ ）。 答：当1-=x 时，|5||1||1|++++-x x x 取最小值6. 2、已知13-= a ，则20102011201222a a a -+的值是 。 答：因为324)13(22-=-=a ，故0222 =-+a a 。故 0)22(2222010201020112012=-+=-+a a a a a a 。 3、右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这个长方形的面积是 143 。 答：如图设6个正方形的边长从小到大依次为：1、x 、x 、1+x 、2+x 、3+x ，则由长方形的上下两边相等有：)3()2()1(+++=+++x x x x x ，得4=x 。于是长方形的长和宽分别为：13)1(=+++x x x 、 11)3(=++x x ，于是长方形面积为14311*13=。 4、在ABC ?的三条中线长为3、4、5，则ABC S ?为 。 答：将GD 延长一倍至D ’，则四边形BDCD ’是平行四边形，则C GD '?的边长分别是ABC ?的三条中线长的 32倍，故它是直角三角形，且面积为3 8 ；另一方面，C GD '?的面积与BGC ?面积相等，而BGC ?的面积是ABC ?的3 1 ，故8=?ABC S 。 三、（本大题满分20分） 设有m 个正n 边形，这m 个正n 多边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值。 解：由题意，这m 个正n 多边形的内角总和度数为 m mn n m 360180180)2(-=?- ……………………5分 因为m 360能被8整除，故180mn 能被8整除； （第3题） 第4题 而180能被4整除，不能被8整除，则必有mn 能被2整除， 故m 、n 中只至少有一偶数。………………10分 又1≥m ，3≥n ，且均为整数。 要使m +n 最小，则 取1=m 时，则4=n ；………………15分 取2=m 时，则3=n ； 故m +n 的最小值为5. ………………20分 四、（本大题满分25分） 现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子。 解1：因为有4种颜色的袜子，故5只袜子必有1双；……………………5分 取出1双袜子，剩下3只，则再增加2只袜子，又可以配成1双；…………10分 以此类推，配成袜子的双数（x ）与所需袜子只数（y ），就有如下关系： 32+=x y ………………15分 于是要配成10双袜子，所需23只就够了。………………20分 如果取出22只袜子，一定配成9双袜子，假如剩下4只四种颜色一样一只，那么22只袜子就配不成10双袜子。 因此，至少需要23只袜子就一定可以配成10双袜子。………………25分 解2 单色袜子最多剩下4只；……………………5分 因此，24只袜子一定能够配成10双；…………10分 当取出23只袜子时，一定能够配成9双，此时剩下5只袜子；………………15分 5袜子中，可以配成1双，于是23只袜子，也可以配成10双；………………20分 当取出22只袜子时，一定配成9双袜子，假如剩下4只四种颜色一样一只，那么22只袜子就配不成10双袜子。 因此，至少需要23只袜子就一定可以配成10双袜子。………………25分 五、（本大题满分25分） 已知如图：正方形ABCD ，BE =BD ，CE 平行BD ，BE 交CD 于F 。求证： DE =DF 。 证明：作E 关于BC 的对称点E ’，连接DE ’、CE ’、BE ’。 根据对称性质有： 第五题 BD BE BE =='；CE CE ='；且 90'=∠ECE 。………5分 故'DCE ?绕C 点逆时针旋转 90就得到BCE ?，…………10分 所以BE DE ='，则'DBE ?是正三角形，故 60'=∠DBE 。 于是 15''=-∠∠=∠DBC DBE CBE ………………15分 又 15'=∠=∠EBC CBE ，故 30=∠DBE ， 所以 75=∠DEB ； ………………20分 而 7590=∠-=∠=∠FBC BFC DFE 故DFE DEB ∠=∠ 所以DE =DF 。 ………………25分 2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷 05 (3月16日下午4:00－6:00) 一 ．选择题(每小题7分，共42分) 1 ．若x ＜1，则化简|x －1|得( )． A ．x －1 B ．x ＋1 C ．－x －1 D ．－x ＋1 2 ．已知(x ＋a)(x －b)＝x 2 ＋2x －1，则ab 等于( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3 ．若a ＜0，p ＞q ＞0，则( )． A ．|pq|＞|qa| B ．|pq|＜|qa| C ． a a p q > D ． p q a a < 4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( )． A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 5 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( )． A ．a ＜0 B ．0＜a ＜3 C ．3＜a D ．1＜a ＜2 6 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝AB ＝( )． A ．4 B ． C ．6 D ． 二 ．填空题(每小题7分，共28分) 7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示) 8 ．若32a =-，则22 1 a a + 的值为＿＿＿＿＿． 9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿． 10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD 的长等于＿＿＿＿． 三 ．计算与应用(本题满分20分) 11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积． 四 ．(本大题满分25分) 12 ．在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线． 求证：BC ＝AC ＋AD ． 五 ．(本大题满分25分) 把1到15的15个自然数分成A 和B 两组．若把10从A 组转移到B 组．则A 、B 两组数的平均数都分别比原来的减少了 1 2 ．求两组数原来的平均数． 2012年四川初中数学竞赛(初二组)初赛 参考解答与评分标准 一、选择题（每小题7分，共42分） 1． D 2．C 3．A 4． C 5．B 6．A 二、填空题（每小题7分，共28分） 1． 2a c 2．10 3．14 4 三、（本大题满分20分） 已知直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(1,3)B -，且与x 轴、y 轴的交点分别为,C D ,设O 为坐标原点．求 COD ?的面积． 解：由条件知13k b k b =+?? =-+?， ……5分 解得1,2k b =-=， ……10分 于是直线为2y x =-+． 令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分 所以，COD ?的面积1 2222 = ??=． ……20分 四、（本大题满分25分） 在ABC ?中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线， 求证：AD AC BC +=． 证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， (5) 则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠， 故DB A B '∠=∠， 所以B A D A AD ''==， 故AD AC B A C A BC +=+=''． ……25分 五、（本大题满分25分） 把1到15的15个自然数分成A 和B 两组，若把10从A 组转移到B 组，则A 、B 两组数的平均数都分别比原来减少了 2 1 ．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数． 则B 组数原来有15m -个数．根据题意有： ??? ??? ??? -=+-+--=--=++=-+)3(211 1510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -= 由（3）得：)5(362 m b -= ……10分 （4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分 将10=m 分别代入（4）、（5）得： 5.5=a ……20分 13=b ……25分 初二数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共14小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题4分，共56分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分． 1、下列说法中正确的是（ ） A. x 的次数是0 B. y 1是单项式 C. 2 1 是单项式 D. a 5 的系数是5 2、下列说法中，不正确的是 （ ） A.单项式中的数字因数叫这个单项式的系数 B.单独一个数或字母也是单项式 C.一个单项式中，所有字母的指数的和叫这个单项式的次数 D.多项式中含字母的单项式的次数即为多项式的次数 3、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ） A ． B ． C ． 4、只含有z y x ,,的三次多项式中，不可能含有的项是 （ ） A.32x B.xyz 5 C.37y - D.yz x 24 1 5、与方程12x x -=的解相同的方程是( ) A 、212x x -=+ B 、21x x =+ C 、21x x =- D 、1 2 x x += 6、把方程112 3 x x --=去分母后，正确的是( ) A 、32(1)1x x --= B 、32(1)6x x --= C 、3226x x --= D 、3226x x +-= 7、某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人( ) A 、赚16元 B 、赔16元 C 、不赚不赔 D 、无法确定 8、已知线段长3.现延长到点C ，使3.取线段的中点D ， 线段的长为（ ） A 、4.5 B 、6 C 、7 D 、7.5. 9、在下列单项式中，不是同类项的是（ ） A ． 2 12 y 和2 B ．-3和0 C ．2和2 c D ．和-8 10、若都是4次多项式, 则多项式的次数为( ) A.一定是4 B.不超过4. C.不低于4. D.一定是8. 11、方程042=-+a x 的解是2-=x ，则a 等于（ ） 初二数学期末模拟试题 一、选择题(每小题 3 分，共 24 分) 1．若分式221 x x --的值为 0，则 x 的值为 A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．2 2.某种感冒病毒的直径是 0.000 000 12 米，0.000 000 12 这个数用科学记数法表示为 A ．1.2 ?10-7 B. 0.12 ?10-7 C.1.2 ? 10-6 D. 0.12 ?10-6 3．某市测得一周 PM2.5 的日均值(单位：μg/m 3)如下：50，40，75，40，37，50，50，这 组数据的中位数和众数分别是 A ．50 和 40 B ．50 和 50 C ．40 和 50 D ．40 和 40 4．一次函数 y = -x + 2 的图象大致是 5．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC =8，BD =6，DH ⊥AB 于点 H ,则 DH 的长是 A ． 125 B ．165 C ．245 D. 485 （第 5 题） （第 6 题） 6.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点 O ，矩形的边分别 平行于坐标轴，点 C 在反比例函数 y =k x 的图象上.若点 A 的坐标为 (-2，-2)，则 k 的值 为 A ．4 B ．-4 C ．8 D ．- 8 7. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，△AOB 的周长与的△AOD 的周 长之和为 19.4，两条对角线之和为 11，则四边形 ABCD 的周长是 A ．8.4 B ．16.8 C ．20.4 D ．30.4 （第 7 题） （第 8 题） 8. 如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点.若点 A 的坐标为 （1 ，则点 C 的坐标为 A ．（ ，1） B ．（-1， ） C ．（ ，1） D ． （- ，-1） 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 9. 计算：101 ()( 3.14)2---= . 10.市运动会举行射击比赛，某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛．在选拔 赛中，每人射击 10 次，计算他们 10 次成绩的平均数(环)及方差如下表．请你根据表中 11．反比例函数 y ＝12k x -的图象经过点(-2，3)，则 k 的值为 ．12．如图，在四 边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O ，OA =OC .添加一个条件使四边 形 ABCD 是平行四边形，添加的条件可以是 （写出一个即可）． （第 12 题） （第 13 题） （第 14 题） 13．如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O ，点 O 又是另一个正方形 A 'B 'C 'O ' 的一个顶 点.若两个正方形的边长均为 2，则图中阴影部分图形的面积为 ． 14．如图，在矩形 ABCD 中，AD =9，AB =3，点 G 、H 分别在边 AD 、BC 上，连结 BG 、 DH ．若四边形 BHDG 为菱形，则 AG 的长为 ． 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 初二数学经典难题 一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二） 2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F． 》 3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半． 4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB． 5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长． ； 6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ周长的最小值． 8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． 、 ①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值． 【必考题】初二数学上期末试题(带答案) 一、选择题 1．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下： ①分别以点DE 为圆心，大于DE 的一半长为半径作弧两弧交于F ； ②作射线BF ，交边AC 于点H ； ③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ； ④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧； 所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（ ） A ．①②③④ B ．④③①② C ．②④③① D ．④③②① 2．如图，已知每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C ，使△ABC 为等腰三角形，则这样的顶点C 有（ ） A ．8个 B ．7个 C ．6个 D ．5个 3．如果2 220m m +-=，那么代数式2442m m m m m +? ?+? ?+?? 的值是()n n A ．2- B ．1- C ．2 D ．3 4．如图，ABC ?是等边三角形，0 ,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为( ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 5．如果2x +ax+1 是一个完全平方公式，那么a 的值是（） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±1 6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则 ∠CBD 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．75° 7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3 cm ，则 AB 的长度是( ) A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm 8．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是（ ） A ．40° B ．60° C ．80° D ．100° 9．下列条件中，不能作出唯一三角形的是( ) A ．已知三角形两边的长度和夹角的度数 B ．已知三角形两个角的度数以及两角夹边的长度 C ．已知三角形两边的长度和其中一边的对角的度数 D ．已知三角形的三边的长度 10．如图，Rt △ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10cm ，AC=6cm ，则BE 的长度为( ) A ．10cm B ．6cm C ．4cm D ．2cm 11．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12．下列计算中，结果正确的是（ ） A ．236a a a ?= B ．(2)(3)6a a a ?= C ．236()a a = D ．623a a a ÷= 二、填空题 13．把0.0036这个数用科学记数法表示，应该记作_____． 14．记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n ），且x+1=2128，则n=______． 15．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，若AB=20，则BD 的长是 ． 16．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______． 初 二 数 学 竞 赛 试 题 启动你聪明的头脑，你一定能出色完成下面的任务，相信你是最棒的！ 2.下列四个实数中是无理数的是 ( ) （A ）09.0 (B)310 (C) 7 (D)3.14 3.下列说法正确的是（ ） （A ）有理数和无理数都可以用数轴上的点表示。（B ）无限小数都是无理数。 （C ）有理数都是有限小数。 （D ）无理数包含正无理数，0和负无理数。 4.在 1.414，—3 ， 13 2 ，5∏ ，0.101001000100001.。。。。。，39，9中， 无理数的个数有（ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 ５.如图，一棵大树在一次台风中从离地面３米处折断倒下，倒下的树干与地面成３０度角，这棵树在折断前的高度是（ ）米。 （Ａ）７ （Ｂ）９（Ｃ）２５（Ｄ）３０ ６．等腰三角形的周长是４０厘米，以一边为边作等边三角形，它的周长是４５厘米，那么这个等腰三角形的底边长为（ ）厘米 （Ａ）１０ （Ｂ）１５ （Ｃ）１０或１２.５ （Ｄ）１０或１５ ７.一个边长分别为６,８,１０的三角形，最短边上的高为（ ） Ａ.６ Ｂ.８ Ｃ.１０ Ｄ.４.８ ８.－８的立方根与４的算数平方根的和是（ ） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．０ Ｄ．０或－４ ９.如图已知长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ=３ｃｍ，ＡＤ=９ｃｍ，将此长方形折叠，使点Ｂ与点Ｄ重合，折痕为ＥＦ，则△ABE 的面积为（ ）cm 2 A .6 B.8 C.10 D.12 10.16的平方根是（ ） （A ）4 （B ）±4 （C ）2 （D ）±2 二．耐心填一填，一锤定音：（每题3分，共30分） 11. 12.如图：点P 是∠AOB 的平分线上任一点，PA ⊥OA 于点A ，PB ⊥OB 于点B ，PA=3，OB=4，则四边形的面积为___________. 13.设a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则 m cd +(a+b)m-∣m ∣=___________________. 14.如图所示：∠AOB 内一点P,C.D 分别是P 关于OA,OB 的对称点，CD 交OA 于点M,交OB 于点N ，若CD=5cm ，则△PMN 的周长为______. 15.已知一个Rt △的两边长为3和4，则第三边长的平方是____________. 16.直角三角形的一条边长为11，另两边为自然数，则三角形的周长为_______. 17.已知Rt △ABC 中，∠C=90，若a+b=14cm,c=10cm,则三角形的面积为_____. 18.若33b a =0，则a 与b 的关系是_____________. 19.如图，把两块含有30°角的相同的三角尺如图所示摆放，使点C ，B ，E 在同一条直线上，连接CD,若AC=6cm,则△BCD 的面积是___________. 20.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形。（如图所示）如果大正方形的面积是13，小正 初二数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共14小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题4分，共56分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分． 1、下列说法中正确的是（ ） A. x 的次数是0 B. y 1 是单项式 C. 2 1 是单项式 D. a 5- 的系数是5 2、下列说法中，不正确的是 （ ） A .单项式中的数字因数叫这个单项式的系数 B .单独一个数或字母也是单项式 C .一个单项式中，所有字母的指数的和叫这个单项式的次数 D .多项式中含字母的单项式的次数即为多项式的次数 3、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ） 4 A . D 5A 、、21x =- D 、2 x x += 6、把方程 1 123 x x --=去分母后，正确的是( ) A 、32(1)1x x --= B 、32(1)6x x --= C 、3226x x --= D 、3226x x +-= 7、某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人( ) A 、赚16元 B 、赔16元 C 、不赚不赔 D 、无法确定 8、已知线段AB 长3cm.现延长AB 到点C ，使BC=3AB.取线段BC 的中点D ， 线段AD 的长为（ ） A 、4.5cm B 、6cm C 、7cm D 、7.5cm. 9、在下列单项式中，不是同类项的是（ ） A ．-2 1 x 2y 和-yx 2 B ．-3和0 C ．-a 2bc 和ab 2c D ．-mnt 和-8mnt 10、若M,N 都是4次多项式, 则多项式M+N 的次数为( ) A ． B ． C ． D ． 初二数学期末考试卷带答案 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1．49的平方根是（） A．7B．±7C．﹣7D．49 考点：平方根． 专题：存在型． 分析：根据平方根的定义进行解答即可． 解答：解：∵（±7）2=49， ∴49的平方根是±7． 故选B． 点评：本题考查的是平方根的定义，即如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 2．（﹣3）2的算术平方根是（） A．3B．±3C．﹣3D． 考点：算术平方根． 专题：计算题． 分析：由（﹣3）2=9，而9的算术平方根为=3． 解答：解：∵（﹣3）2=9， ∴9的算术平方根为=3． 故选A． 点评：本题考查了算术平方根的定义：一个正数a的正的平方根叫这个数的算术平方根，记作（a＞0），规定0的算术平方根为0． 3．在实数﹣，0，﹣π，，1.41中无理数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 考点：无理数． 分析：根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 解答：解：π是无理数， 故选：A． 点评：本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数． 4．在数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点C，则点C表示的实数为（） A．﹣1B．1﹣C．2﹣D．﹣2 考点：实数与数轴． 分析：首先根据已知条件结合数轴可以求出线段AB的长度，然后根据对称的性质即可求出结果． 解答：解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A、B， ∴AB=﹣1， 设B点关于点A的对称点C表示的实数为x， 则有=1， 解可得x=2﹣， 即点C所对应的数为2﹣． 故选C． 点评：此题主要考查了根据数轴利用数形结合的思想求出数轴两 数学竞赛试题 一、填空题：每小题2分，共40分。 1、使等式x x x =-成立的的值是。 2、扇形统计图中扇形占圆的30%，则此时扇形所对的圆心角为。 3、如果点A（3，a）是点B（3，4）关于y轴的对称 点，那么a的值是。 4、如图1，正方形ABCD的边长为1cm，以对角线AC 为边长再作一个正方形，则正方形ACEF的面积是 2 cm . 5、已知四个命题：①1是1的平方根，②负数没有立方根，③无限小数不一定 是无理数，④ 有个。 6、已知7 2π? -? ? ，，，其 中无理数有个。 7、 若 A的算术平方根是。 （图1） F E D C B A （图2） F G E D C B A 8、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，G 是三角形的重心，那么图中例行全等的三角形的对数是 对。 9、足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一 支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了 场。 10、若方程组41 01,43x y k x y k x y +=+?<+ A P C D B 初二数学经典题型 1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150 ．求证：△PBC 是正三角形． 证明如下。 首先，PA=PD ，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。 在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则 ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD ，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中， ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB ， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°， PB=PQ=AB=BC ，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC 是正三角形。 2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线 交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM. 又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ， 在梯形MEFN 中，WE 平行NF 因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线， 所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2 又因为，角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF CB=BF 所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2. 4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ． 过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接 BE D C A B 数学部分 一、选择题(每小题有且只有一个答案正确，每小题4分，共40分) 1、如图，两直线a ∥b ，与∠1相等的角的个数为( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、不等式组x>3 x<4??? 的解集是( ) A 、3 2009年初中数学（初二组）初赛试卷 01 一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、下列名人中：①比尔·盖茨 ②高斯 ③袁隆平 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥华罗庚 ⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B.③④⑧ C.②⑥⑧ D.②⑤⑥ 2、已知1 11,,b c a a b c a b c +=+=+≠≠则a 2b 2c 2=( ) B.3.5 C.1 、在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点。设k 为整数，当直线2y x =-与y kx k =+的交点为整点时，k 的值可以取（ ） A ．4个 个 个 个 4、如图，边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转300到正方形AB ‘C ’D ‘ ，图中阴影部分的面积为（ ） A.1 1 D.12 5、已知()421M p p q =+，其中,p q 为质数，且满足29q p -=，则M =（ ） .2005 C （第4题图） （第6题图） 6、四边形ABCD 中0060,90,DAB B D ∠=∠=∠=1,2BC CD ==,则对角线AC 的长为（ ） 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、 如果有2009名学生排成一列，按1、 2、 3、 4、 5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、 1??? 的规律报数，那么第2009名学生所报的数是 。 2、已知,,a b c 满足2224222a b a c ac -+++=+，则a b c -+的值为______ 3、已知如图，在矩形ABCD 中，AE BD ⊥，垂足为E ，0 30ADB ∠=且BC =，则 ECD 的面积为_____ 4为_______度。 初二数学提高题[附答案] 综合题 1．如图（1），直角梯形OABC 中，∠A= 90°，AB ∥CO, 且AB=2，OA=2，∠BCO= 60°。 （1）求证：OBC 为等边三角形；（2）如图（2），OH ⊥BC 于点H ，动点P 从点H 出发，沿线 段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向 点A 运动，两点同时出发，速度都为1/秒。设点P 运动的时间为t 秒，ΔOPQ 的面积为S ，求S 与t 之 间的函数关系式，并求出t 的取值范围； （3）设PQ 与OB 交于点M ，当OM=PM 时，求t 的值。3?图(1)60?B C A o 图(2)60?M P Q H B A （备用图）H 60? B C A 333 33333解：1)根据勾股定理，AB=2，OA=2，则BO=4=2AB ，所以△ABO 是一个30°60°90°的三角形。 ∵AB//CO ，∠A=90°∴∠AOC=180°-90°=90° ∵∠AOB=30°，∴∠BOC=90°-30°=60°=∠C ∴△OBC 为等边三角形 2)∵点P 运动的时间为t 秒，∴OQ=PH=t ∵OH ⊥BC ，∴∠CHO=90°， ∴∠COH=30°，OH=( /2)BC=2 ∴∠QOP=60°，OP=2 -t ∴S=1/2t(2 -t)× /2=3/2t- /4t 2，且(0 2. 如图，正比例函数图像直线l经过点A（3，5），点B 在x轴的正半轴上，且∠ABO＝45°。AH⊥OB，垂足为点H。 （1）求直线l所对应的正比例函数解析式； （2）求线段AH和OB的长度； （3）如果点P是线段OB上一点，设OP＝x，△APB的面积为S，写出S与x的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。 解：1)设y=kx为正比例解析式，当x=3,y=5时，3k=5,k=5/3 2)AH即A的纵坐标，∴AH=5 ∵AH⊥BH，∠ABH=45°，∴∠HAB=∠ABH=45°，∴AH=BH=5 OH即A的横坐标，∴OH=3 ∵OB=OH+BH，∴OB=5+3=8 3)∵OB=8，OP=x，∴BP=8-x D C B A 、 B 、 C 、 D 、 博瑞教育数学模拟试卷（一） 一、选择题(每小题有且只有一个答案正确，每小题4分，共40分) 1、如图，两直线a ∥b ，与∠1相等的角的个数为( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、不等式组x>3 x<4 ???的解集是( ) A 、3 【压轴题】八年级数学上期末试卷带答案 一、选择题 1．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ） A ．5.6×10﹣1 B ．5.6×10﹣2 C ．5.6×10﹣3 D ．0.56× 10﹣1 2．下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ） A ．2个正八边形和1个正三角形 B ．3个正方形和2个正三角形 C ．1个正五边形和1个正十边形 D ．2个正六边形和2个正三角形 3．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下： ①分别以点DE 为圆心，大于DE 的一半长为半径作弧两弧交于F ； ②作射线BF ，交边AC 于点H ； ③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ； ④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧； 所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（ ） A ．①②③④ B ．④③①② C ．②④③① D ．④③②① 4．已知关于x 的分式方程213x m x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m < C ．3m >- D ．3m ≥- 5．如果解关于x 的分式方程 2122m x x x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 6．若2310a a -+=，则12a a +-的值为（ ） A ．51+ B ．1 C ．-1 D ．-5 7．若代数式 4x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x =0 B ．x =4 C ．x ≠0 D ．x ≠4 8．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 于点D ，连接AD ．若∠B =40°，∠C =36°，则∠DAC 的度数是（ ） 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）251±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自 然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1； 答（ ） 初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC 是正三角形．（初二） 2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F． 3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE 和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半． 4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB． 5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长． 6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小 值． 8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． ①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值． 9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点． （1）求k1、k2的值． （2）直接写出时x的取值范围； 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填 入下表相应的空格 ） 1．在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既 是中心对称图形又是轴对称图形的是 2．如图，小手盖住的点的坐标可能为 A (46)--， B (63)-， C (52)， D (34)-， 3．下列各式中正确的是 A 416±= B 9273 -=- C 3) 3(2 -=- D 2 11 4 12 = 4． 下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是 A 正三角形 B 正方形 C 正五边形 D 正六边形 5．顺次连结对角线互相垂直的等腰梯形四边中点得到的四边形是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 6．若点),(1y a 、),1(2y a +在直线1+=kx y 上，且21y y >，则该直线所经过的象限是 A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限 C 第二、三、四象限 D 第一、三、四象限 7．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是 8． 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成， 晴 C 冰雹 A 雷阵雨 B 大雪 D 第8题 第2题 x y A B C D 已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个矩形色块图的面积为 A 142 B 143 C 144 D 145 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题目中的横线上） 9．平方根等于本身的数是 ． 10．把1.952取近似数并保留两个有效数字是 ． 11．已知：如图，E （－4，2），F （－1，－1），以O 为中心，把△EFO 旋转180°， 则点E 的对应点 E ′的坐标为 ． 12．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ． 13．已知点),(11y x 、),(22y x 、……、),(n n y x 都在直线53-=x y 上，若这n 个 点的横坐标的平均数为a ，则这n 个点的纵坐标的平均数为 ． 14.等腰梯形的上底是4cm ，下底是10cm ，一个底角是60 ，则等腰梯形的腰长 是 cm ． 15．如图，已知函数y a x b =+和y kx =的图象交于点P ，则二元一次方程组 , y a x b y k x =+?? =? 的解是 ． 16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =15，且BD ∶DC =3∶2，则D 到边AB 的距离是 ． A C 第16题 第18题 A D O 1 F E D C B A 路园中学2018年八年级数学竞赛试卷 一、选择题（本题共10小题，满分共30分） 1．二次根式 2 1、12 、30 、x+2 、240x 、22y x +中，最简二次根式有（ ）个。 A 、1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4个 2. x 的取值范围为 （ ） A 、x≥2 B 、x≠3 C 、x≥2或x≠3 D 、x≥2且x≠3 3.若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是 ( ) A ．x ≥12 B ．x ≤12 C ．x ＝12 D ．x ≠1 2 4．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是 （ ） A ．7，24，25 B ．1113,4,5222 C ．3，4， 5 D ． 114,7,8 22 5.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是 （ ） （A ）AC=BD ，AB ∥CD ，AB=CD （B ）AD ∥BC ，∠A=∠C （C ）AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD （D ）AO=CO ，BO=DO ，AB=BC 6.如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝80°，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，CF ∥AE 交AE 于点F ，则∠1＝ （ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．80° 7.下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有 ( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 8.表示一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝mnx (m 、n 是常数且 mn ≠0)图象是 （ ） 9.如图所示，函数x y =1和3 4 312+= x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜－1 B ．—1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ． x ＜－1或x ＞2 10、如图，在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为 （ ） A ． 5 4 B ． 52 C ．53 D ．65 二、填空题（本题共8小题，满分共24分） 11．48 -1 -?? +)13(3--30 -23-= 12．边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为 13. 平行四边形ABCD 的周长为20cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，则CD ＝ cm 。 14.在直角三角形ABC 中，∠C=90°，CD 是AB 边上的中线，∠A=30°，AC=5 3，则△ADC 的周长为 。 15、如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB= 5 ，AC=6，DB=8 则四边形ABCD 是的周长为 。 16.在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ． 17. 某一次函数的图象经过点（1-，3），且函数y 随x 的增大而减小， 请你写出一个符合条件的函数解析式____________________ __． 18.如图所示，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，P 是CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值是 三．解答题： 21. （7分）在△ABC 中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm ，求BC 的长. M P F E C B A初二数学试题及答案(免费)
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