回转体的投影

第9讲3-2 回转体的投影

教学目标：1、掌握回转体的基本绘图要领；

2、掌握圆柱、圆锥、圆球和圆环及其表面的求点、线的方法；

教学重点：基本回转体的画图方法

教学难点：圆环表面取点

教学手段：结合实例课堂讲解

教学用具：多媒体

教学过程：

一、回转体及基本画图方法：

工程上常见的曲面立体是回转体。回转体是由回转面或回转面与平面所围成的立体。回转面是由母线（直线或曲线）绕某一轴线旋转而形成的。最常见的回转体有椭圆、圆锥、圆球和圆环。

画回转体的投影图时，一般应画出各方向转向轮廓的一个投影（其中与旋转轴线、对称中心线重合的两个投影，被省略不画）和回转线的三个投影（其中两个投影为直线、一个投影积聚成点，用对称中心线表示，根据机械制图规定表示轴线、对称中心线均用细点画线画出，且要超出图形的轮廓线3～5mm）。转向轮廓线就是在某一投影方向上观察曲面立体（如回转体）时可见与不可见部分的分界线。

回转体有一重要特性，母线的任一位置称为素线；母线上各点的运动轨迹皆为垂直于回转轴线的圆，这些圆周称为纬线（纬圆，回转圆）。根据这一性质，可在回转面上作素线取点、线、称为素线法；也可在回转面上作纬线取点、线，称为纬线（纬圆，回转圆）法。

二、圆柱

圆柱是由圆柱面和顶圆平面、底圆平面围成的。如图3-5a所示,圆柱面可以看作是一条直母线AAσ绕与它平行的的轴线OO1旋转而成.

（一）圆柱的投影

图3-5b、c为轴线处于铅垂线位置时的院住直观图及其投影图。

1.投影分析

（1）圆柱的顶圆平面、底圆平面为水平面，其水平投影反映顶、底圆平面真形，且重合；正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影的直线a′b′c′d′、a’0c0’b0’d0’和d〃a〃c〃b〃、d〃0a〃0c〃0b〃0且等于顶、底圆的直径。

（2）圆镞面因其轴线为铅垂线，故圆柱面上所有素线必须为铅垂线，圆柱面为铅垂面，其水平投影积聚为一圆，其与顶、底圆平面俯视轮廓的水平投影圆周相重合。没一条素线的水平投影都积聚为点，且落在该圆周上。

（3）图柱的正面投影应画出该圆柱面正视转向轮廓的正面投影。圆柱面上最左、最右两条素线AA。和BB是正视方向可见部分（前半人圆柱面）和不可见部分（后半个圆柱面）的分界线，称为正视转视轮廓线。这两条素线也可以表示了圆柱正面投影范围，所以正视转

向轮廓线AA和BB的正面投影（矩形aabb中的aa和bb）必须画出。而这两条正视转向轮廓线的水平投影积聚在圆周的最左点a（a＇）和最右点b（b＇）；其侧面投影a＂a＂T和b＂b＂现圆柱轴线的侧面投影重合，省略不画。

（4）圆柱面的侧面投影应画出该圆柱面侧视转向轮廓线的侧面投影。圆柱面上最前、最后两条素线CC0和DD0是侧视方向可见部分（左半个圆柱面）和不可见部分（右半个圆柱面）的分界面，称为侧视转向轮廓线。这两条素线也表示了圆柱侧面投影范围，所以侧视转向轮廓线CC．和DD．的侧面投影（矩形ddcc中的dd和cc）必须画出。而这两条正视转向轮廓的水平投影积聚在圆周的最前点c（c）和最后点d（d）；其正面投影c＇c＇和d＇d ＇

现圆柱轴线的正面投影重合，亦省略不画。

2.作图步骤

图示回转体时，必须画出轴线和对称中心线，均用细点画表示。

画轴线处于特殊位置时的圆柱三面投影图时，一般先画出轴线和对称中心线（均用细点

画线表示）；然后画出圆柱面有积聚性的投影（为

圆）；再根据投影关系画出圆柱的另外两人个投影

（为同样大小的矩形），表明转向轮廓线的投影。

（二）圆柱表面上取点、线

轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱在轴线所垂

直的投影面上的投影有积聚性，其顶、底圆平面的

另两个投影有积聚性。因此，在圆柱表面上取点、

线，均可有积聚性作图。对于圆柱表面上的点（如

轮廓线上点）其投影均可直接作出，并表明可见性。

1.圆柱表面上取点

如图4-6所示，已知圆柱面上点E、点和F和G的正面投影e＇f＇和（g＇），试分别求出它们另两个投影，其作法如下；

（1）求e＇e＂由于e＇是可见的，所以点E在前半个圆柱面上，又因点E在左半个圆柱面上，所以e＂也必为可见。作图可利用圆柱面有积聚性的投影，先求出点E的水平投影（e）（在前半个圆周上），再由e＇和﹝e﹞求出侧南投影e＂。

（2）求f、f＂由于点F在圆柱的最左的正视转向轮廓线上，姑另两个投影均可直接求出。其水平投影（f）积聚在圆柱面水平投影（圆）的最左点上，即与最左正视转向轮廓线的水平投影重合，其侧面投影f＂重合在圆柱轴线的侧面投影上，且f＂可见。

（3）求g、g＂由于（g＇）为不可见，所以点G在后半个圆柱面上，又因点G在右半个圆柱面上，所以（g＂）也为不可见。作图时可利用圆柱有积聚性的投影，先求出点G的水平投影（g）（在后半个圆周上），再由（g＇）和（g）求出侧面投影（g＂）。

2.圆柱表面上取线

在圆柱表面上取线，可先取属于线上的特殊点，再取属于线上一些一般点，经判别可见性后，再顺次连成所要取的线。如图3-7所示，以知圆柱表面素线上的直线AB的正面投影a＇b＇和一段平行于水平面的回转圆弧BC的正面投影b＇c＇（积聚成直线），试求其另两个投影，其作法如下：

（1）求ab、a＂b＂由于直线AB在圆柱表面素线上（AB平行于轴线），利用圆柱面水平投影的积聚性，即可求出直线AB的水平投影a（b）（积聚在圆周）上，再按投影投影关系求出a＂b＂。由于直线AB 在左半个圆柱面上，其侧面投影a＂b＂为可见。

（2）求bc、b＂c＂由于圆柱表面上的一段回转圆弧BC平行于水平面，姑水平投影bc 反映真形——积聚在圆柱投影的圆周上），再按投影关系求出b＂c＂（积聚成直线）。BC在左半个圆柱面上，其侧面投影b＂c＂为可见。

三、圆锥

圆锥是有圆锥面和底圆平面围成的。如图3-8a所示，圆锥面何以看作是一条直母线SA绕与它相交的轴线○○1回转而形成。在圆锥面上任一位置的素线，均交于锥顶S。

（一）圆锥的投影

图4一8b、c为轴线处于铅垂线位置时的圆锥直观图及其投影图。

1.投影分析

（1）底圆平面为水平面，其水平投影为圆，且反映底圆平面的真形。底圆平面的正面投影和侧面投影均积聚为直线，且等于底圆的直径。

（2）圆锥面的三个投影均无积聚性。圆锥面的水平投影为圆，且与圆锥底圆平面的水平投影重合，整个圆锥面的水平投影都可见。

（3）圆锥面的正面投影，要画出该圆锥面正视转向轮廓线的正面投影。圆锥面上最左，最右两条素线SA、SB的正面投影s＇a＇、s＇b＇，也是圆锥面的正视转向轮廓线的正面投影，正视转向轮廓线是圆锥面在正面投影中（前半个圆锥面）可见和（后半个圆锥面）不可见的分界线。它们还表示了圆锥面的投影范围，而这两条正视转向轮廓线SA、SB的水平投影sa、sb与圆锥水平投影（圆）的水平对称中心线重合，省略不画；其侧面投影s＂a＂、s＂b＂与圆锥轴线的侧面投影重合，也省略不画。

（4）圆锥面的侧面投影，要画出该圆锥面测视转向轮廓线侧面投影。圆锥面上最前、最后两条素线SC、SD的侧面，也是圆锥面的侧视转向轮廓线的侧面投影，侧视转向轮廓线是圆锥面投影中（左半个圆锥面）可见和（右半个圆锥面）不可见的分界线，它们还表示了圆锥面的投影范围。而这两条侧视转向轮廓线SCSD的正面投影与圆锥轴线的正面投影重合，省略不画；其水平投影与圆锥水平投影（圆）的垂直对称中心线重合，也省略不画。

2.作图步骤

画轴线处于特殊位置时的圆锥三面投影图时，一般先画出轴线和对称中心（用细点画线表示）；然后画出圆锥反映为圆的投影；再根据投影管辖化出圆锥的另两个投影（为同样大小的等腰三角形）。

（二）圆锥面上取点、线

轴线处于特殊位置的圆锥，只有底面两个投影有积聚性，而圆锥面的三个投影都没有积聚性。因此，在圆锥表面上取点、线，除处于圆锥面转向轮廓线上特殊位置的点或底圆平面的点，可以直接求出之外，其余处于圆锥表面上一般位置的点，则必须用辅助线（素线法或纬线法）作图，并表明可见性。

1.圆锥表面上取点

如图4一9所示，以知圆锥表面上E和F的正面投影e＇和f＇，试求它们的两个投影，其作法如下:

（1）求e、e＂由于点E为圆锥面上右前方的一般为点，故需用辅助线作图。

①素线法由于过锥顶的圆锥面上的任何素线均为直线，故可过E及锥顶S作锥面的素线SI。即先过e＇作s＇l＇，由l＇求出l和l，连接sl和s＂l＂，分别为辅助线SI的水平投影和侧面投影。则E的水平投影和侧面投影必在SI的同面投影上，从而即可求出e和(e＂)。e可见，又应E在由半个锥面上，所以(e＂)为不可见.

②辅助线（纬圆、回转圆）法过E在圆锥面上作一水平辅助圆（纬圆），点E的投影在该纬圆的同面投影上。即先过e＇作水平线2＇3＇，它是纬圆的正面投影，2＇3＇的长度即为该纬圆的直径，从而可画出圆心与s重合的该纬圆的水平投影；由e＇作投影连线，与纬圆的水平投影（圆）交于点e，再由e＇和e求出(e＂)

(2).求f、f＂由于点F在最左正视转向轮廓线SA上，为圆锥面上特殊位置的点，故可直接求出f和f＂。由于f＇在s＇a＇上，则f必在sa上，f＂必在s＂a＂上。且f、f＂均为可见。

2.圆锥表面上取线

在圆锥表面上取线，可先取属于线上的特殊点，再取属于线上的一些一般点，经判别可见性后，再顺次连成所要取的线。如图4一10所示，以知圆锥表面素线上的直线AB的正面投影a＇b＇和圆锥表面少年宫垂直于轴线（圆锥轴线垂直于水平面）的一段回转弧CD 的正面投影c＇d＇（积聚成直线）。试求另两个投影，作法如下：

（1）求ab、a＂b＂由于直线AB在圆锥表面素线上，故饿过直线AB作锥面上的素线SI。即先过a＇b＇作s＇l＇，由l＇先求出l，再求出l＂，连接s、l和s＂、l＂，分别为

辅助线SI的水平投影和侧面投影。则直线AB的水平投影和侧面投影必SI的同面投影上，

从而即可求出ab和a＂b＂。Ab可见；因直线AB在左半个圆锥面上，所以a＂b＂也可见。（2）求圆锥表面上一段回转圆弧CD的水平投影和侧面投影由于圆锥表面上垂直于轴线（轴线垂直水平面）的一段回转圆弧CD必平行于水平面，故水平面投影反映真形。过c＇d＇作c＇2＇（回转圆直径），由c＇2＇求出c2，即可求出cd。其侧面投影和正面投影同样积聚成直线，由于CD在邹半个圆锥面上，故c＂d＂亦为可见。

四、圆球

如图4一11所示，圆球面可以看作由一圆为母线，绕其通过圆心且在同一平面的轴线（直径）回转而形成的曲面。

由于过球心（圆心）可作无数条轴线（直径），故任一平面与圆球的交线皆为一圆周。由于圆球面为光滑曲面，故图示圆球面时只需画出回转轴线、对称中心及转向轮廓线即可。（一）圆球的投影

图4一 11b、c为圆球直观图及其投影图。

1.投影分析

圆球的三面投影均为等直径的圆，它们的直径为球的直径。

（1）正面投影的圆是圆球正视转向轮廓线（过球心平行于正面的转向轮廓线，是前、后半泅面的可见与不可秒年的分界线）的正面投影。而圆球正视转向轮廓线的水品投影与圆球水平投影的水平对称中心线重合；其侧面投影与圆球侧面投影的垂直对称中心重合，都省略不画。

（2）水平投影的圆是圆球俯视转向轮廓线（过球心平行于水平面的转向轮廓线，是上、下半球面的可见与不可见的分界线）的水平投影。而圆球俯视转向轮廓线的正面投影和侧面投影均分别在其水平对称中心线上，都省略不画。

（

3）侧面投影的圆是圆球侧视转向轮廓线（过球心平行于侧面的转向轮廓线，是左、右半球的可见于不可见的分界线）的侧面投影。而圆球侧视钻乡轮廓线的正面投影和水平投影均分别在其垂直对称中心线上，都省略不画。

2.作图步骤

画圆球的三面投影时，可先画出确定球心0的三个投影0、0＇、0＂、位置的三个对称中心线；再以球心的0三个投影0、0＇、0＂为圆心分别画出三个现圆球直径相等的圆。

（二）. 圆球表面上取点、线

由于圆球的三个投影均无积聚性，所以在圆球表面上取点、线、除属于转向轮廓上的特殊点可直接求出之外，其余处一般位置的点，都需要作辅助线（纬线）作图，并表明可见性。

1.圆球表面取点

如图4-12所示范区，已知圆面球表面上点E、F、G的正面投影e、f＇、（g＇），试求出另两个投影，其作法如下：

（1）求e、e＇由于e＇是可见的，且为前半个圆球面上的一般位置点，故可作纬圆（正平圆、水平圆或侧平圆）求解。如过e＇作水平线（纬圆）与圆球正面投影（圆）交于1＇、2＇，以1＇2＇为直径在水平投影上作水平圆，则点E的水平投影Ent 在该纬圆的水平投影上，再由e、e＂求出e＂。因点E位于上半个圆球面上，故e为可见，又因为E在左半个圆球面上，故e＂也为可见。

（2）求f、f＂和g、g＂由于点F、G是圆球面上特殊位置的点，故可直接作图求出。由于f＂可见，且在圆球正转向轮廓线的正面投影（圆）（上，故水平投影f在水平对称中心线上，侧面投影（f＂）在垂直中心对称线上。因点F在上半球面上，故F为可见，又因点在右半个球面上，（f＂）为不可见。由于（g＇）为不可见，且在垂直对称中心线上，故点G在后半个球面的侧视转向轮廓线上，可由（g＇）先求出g＂，为可见；再求出（g），为不可见。

2.圆球表面上取线

在圆球表面上取线，可行求出属于线上的一系列点（特殊点、一般点），判别可见性，再顺次连成所要取的线。

如图4-13所示，已知圆球表面上平行水平面的一段回转圆弧ACB的正面投影a＇c＇b＇和平行正面的一段回转圆弧DE的侧面投影de，试分别求另两个投影，作法如下：（1）求acb、a＂c＂b＂由于a＇c＇b＇是可见的，且平行于水平面，故可作纬圆（水平圆）求解。过a＇c＇b＇作水平面与圆球正面（圆）交点1＇2＇，以1＇2＇为直径在水平投影上作水平圆，则水平圆弧ACB的水平投影acb必在该纬圆上，再由a＇c＇b＇、acb求出a＂c＂b＂。因水平圆弧ACB位于上半个圆球面上，故acb为可见。又因水平圆弧ACB中CB 部分位于右半个圆球面上，侧面投影为不可见，故在本图中的侧面投影c＂（b＂）与可见的AC侧面投影a＂c＂重影

（2）求d＇e＇、de由于d＂e＂是可见，且平行于正面，故可用纬圆（正平圆）求解。以侧面投影d＂e＂半径，在正面投影上作正平圆的正面投影，即得DE的正面投影d＇e＇（1/4纬圆），再由d＂e＂、d＇e＇求出de。因正平圆弧DE位于前半个圆球面上，故d＇e＇为可见。又因为平圆弧DE位于下半个圆球面上，故（d）（e）为不可见（画成虚线）

五、圆环

如图4-14所示，圆环可以看作是由一圆为母线，绕与其共面但不通过圆心的轴线回转而形成。其中，外半圆BAD回转形成外圆环面，内半圆BCD回转形成内环面。

（一）环的投影

图4-14所示，b、c为轴线处于圆轴线位置时的圆环直观图及其投影图。

1.投影分析

圆环的正面投影和侧面投影形状完全一样；水平投影是三个同心圆（其中有一细点画线圆）。

（1）水平投影的三个同心圆其中的细点画线圆是母线圆心轨迹的水平投影，也是内外环面上的上、下两个分界圆的水平投影重合；内外粗实线圆是圆环面上最小、最大纬线圆的水平投影，也是内、外圆环面俯视转向轮廓线（内外圆环的可见部分与不可见部分的分界线）的水平投影。

（2）正面投影上的两个小圆（一半粗实线，一半虚线）是外、内圆环面正视转向轮廓线上最左、最右两和素线的正面投影。其中，虚线半圆是内环面上正视转向轮廓线的正面投影，也是内环面上前半环面与后半环面的分界线的正面投影，前、后内环面的正面投影均不可见，故画成虚线。粗实线半圆是外环面上正视转向轮廓线的正面投影，也是外环面上前半环面与后半环面、可见和不可见的分界线的正面投影。

正面投影上、下两条与小圆相切的横向直线是圆环面上最高，、最低两条纬线圆的正面投影的积聚；也是内、外环面上、下两个分界的正面投影的积聚。

（3）侧面投影上的两个小圆（一半粗实线、一半虚线）是外、内圆环面侧视转向轮廓线上最前、最后两条素线的侧面投影。其中，粗实线半圆是外环面上侧视转向轮廓线的侧面投影，也是外环面上左半环面与右半环面、可见和不可见的分界线的侧面投影；虚线半圆是

内环面上侧视转向轮廓线的侧面投影，也是内环面上左半环面与右半环面的分界线的侧面投影，左右内环面的侧面投影均不可见。

侧面投影上、下两条与小圆相切的横向的直线是圆环上最高、最低两条纬线圆的侧面投影，也是内外环同上、下两个分界的侧面投影的积聚。

2.作图步聚

画圆环三面投影图时，应画出圆环面的回转轴线、对称中心线（均用细点画线表示）及内、外环面的转向轮廓线。

一般先画出圆环轴线及对称中心线，再画圆环在轴线所垂直的投影面上的投影（三个同心圆）；然后画另两个形状相同的投影。

（二）环表面上取点

在圆环表面上取点，需用纬线（纬圆）作图求解。如图4一 14c所示，已知圆环面上点E、F的正面投影e＇、（f＇），试求其另两个投影，其作法如下：

（1）求e＇、e＂由于e＇是可见的，且E位于上半个外环面上。故e为可见。又因E 在左半个外环面上，故e＂也为可见的。先过E点作一平行于水平投影面的水平纬圆，该纬圆在正面投影上为过e＇的直线1＇2＇，则它的水平投影为一直径等于线段1＇2＇的纬圆，e必在此圆周上，故由e＇可求出e，在由e＇、e可求出e＂（唯一解）。

（2）求f、f＂由于（f＇）不可见，则过点F可作内外环面上的两条纬线，即点F必在内环面（前或后）或后半个外环面上，故共有三个解。所以点F的岁平投影可为f1或f2或f3（因为F在上半个圆环上，故为可见）；侧面投影可为（f＂1）或（f＂2）或（f＂3）（因为点F在右半个圆环上，故为不可见）。

在上述两类立体中，还有一些常见的立体，其投影如图4一 15所示。

作业：P40-P41