哈工大概率论2012年秋季学期期末考题及答案

哈工大 2012年 秋季学期

概率论与数理统计 试题

一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）

1．设事件A 、B 相互独立，事件B 、C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且

()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概

率为__________ ．

2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布， 则21e X Y

-=-的概率密度为

()Y f y =______ ____．

3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0

()20, 0

x

x x f x x -?>?=??≤?，利用契比雪夫不等式估计概率

≥<<)51(X P ______．

4．已知铝的概率密度2~(,)X N μσ，测量了9次，得 2.705x =，0.029s =，在置信度0.95

下，μ的置信区间为______ ____．

5．设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，令

),min(Y X Z =，),max(Y X W =, 则)1(≥+W Z P = ．

（0.0250.050.050.025(8)23060,(8)18595,(9) 1.8331,(9) 2.2622t t t t =?=?==

()1.960.975Φ=，()1.6450.95Φ=)

二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）

（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）

1．设0()1, 0()1, ()()P A P B P B A P B <

<<<=，则与上式不等价的是

（A ）A 与B 不相容. （B ）()()P B A P B A =.

（C ）)()(A P B A P =. （D ）)()(A P B A P =． 【 】 2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,

,n X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，

则 （A ）1

EX λ

=，2

1

DX n λ=

． （B ）,

λ=X E n X D λ=． （C ）,n

X E λ

=

2

n X D λ

=

． （D ）,λ=X E λ

n X D 1

=

． 【 】

3．设随机变量X 的概率密度为2, 01

()0, x x f x <

其他，则)2(DX EX X P ≥-等于

（A

（B

（C ）928-6. （D

【 】

4．如下四个函数，能作为随机变量X 概率密度函数的是

（A ）?????≤>+=0,

00,11)(2x x x

x f . （B ）0,

157(),1116160, 1x f x x x x <-???=+-≤

f x x -=∈R . （D ）1e ,0()0,

0x x f x x -?->=?≤? . 【 】

5．设12,,

,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ

-=

X S

n Y 其中X 为样本均值，2

S 为样本方差，则 【 】 （A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n - （D ）~(1,1)Y F n -．

三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货

公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求=A “该段时间内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。

四、（8分）设随机变量[]~0,1X U ，求（1）2

41Y X X =-+的概率密度

()Y f y ；

（2）X 与Y 的相关系数XY ρ.

五、（8分）设随机变量X 和Y 的分布列分别为

X 0 1 Y —1 0 1

P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3

且1)(2

2==Y X P ，求（1）二维随机变量),(Y X 的概率分布；（2）XY Z =的概率分布；

（3）X 与Y 的相关系数XY ρ

.

六、（12分）设随机变量X 与Y 相互独立,且分别服从正态分布)2,(σ

μN 和

)22,(σμN ,其

中σ为未知参数且0σ>. 记Y X Z -=.（1）求的概率密度Z 2

(;)f z σ；（2）设

12,,,n Z Z Z 为来自总体Z 的简单随机样本, 求2

σ的最大似然估计2

σ∧

;（3）证明2σ∧

是

2σ的无偏估计量。

七、（4分）在x 轴上的一个质点可以在整个数轴的整数点上游动，记n S 为时刻n 时质点的位置。若在时刻0t =时，处于初始位置为原点，即00S =，它移动的规则：每隔单位时间，它总是收到一个外力的随机作用，使位置发生变化，分别以概率p 及概率1q p =-向正的或负的方向移动一个单位（直线上无限制的随机游动）。求质点在时刻n 时处于位置k 的概率，即求()n P S k =.

2012年概率期末答案

一、 填空题：（15分）

1.0.45

2.()?

?

?≤≤=其它,010,1y y f Y 3.41

. 4.）

（8.2,6.2.5．3/4 二、选择题：（15分）

1A 2B 3D 4C 5C

三、解：设i

A 表示这段时间内到达百货公司的顾客数() ,2,1,0=i

利用全概率公式： ++++=A A A A A A A k 10

()()()()()0

i i i i i i k

P A P A P A A P A P A A ∞

∞

====∑∑ (()

0,0)i P A A i k =≤< 4分 ()

k

i k k i k

i i

p p C e i --∞

=-?=∑

1!

λλ

()()()()()()∑∑

∞=---∞

=---?=--??=k

i k i k

k i k

k

i i

k i p k p e p p k i k i e

i !1!1!!!!

λλλλλ

()()()()()

()∑

∞

=----=??=

-?=

=-o

m p k p k

m

k e

k p e

e k p m p p k e p m

k i λλλ

λ

λλλλ!

!

!

1!

1 ),2,1,0( =k 4分

四、解：

（1）分布函数方法：含f d Y ?与()y F Y

R y ∈?，()()()

y X X P y Y P y F Y ≤+-=≤=142

()()

322

+≤-=y X P

又]1.0[∈x ∴()4212

≤-≤x 同样431≤+≤y

∴12≤≤-y 于是当2-y 时，()1=y F Y 当12≤≤-y 时，()()()

322

+≤-=y X P y F Y

()3232++≤≤+-=y X y P ()()

321132++≤≤+≤≤+-=y X P X y P

()130321-+=++--=y y

∴()??

???≥<≤--+-<=1,112,132,0y y y y y F Y ()???

??≤≤-+=其它

,

01

2,3

21y y y f Y

或公式法：142+-=x x y ↙严格()()()1

21.0,022≤≤-∈<-='y x x y

其反函数()y y h x +-==32 ()12≤≤-y ()y

y h x +-

='='321

4分

从而有：()()()()???

??≤≤-+='=其它

,

12,321y y

y h y h f y f X Y 分

（2）2

23441, 345

EY EX EX DY =-+=-= 2分 （3）

114XY ρ=

=-=- 2分

五、解：（I ）由题设有：0)(1)(2222

==-=≠Y X P Y X

P

而)()0,1(),1,0(22

Y X

Y X Y X ≠?==±==

所以利用概率的非负性和保序性：0)Y 1,P(X 01)Y 0,P(X ====±== 再利用联合分布和边缘分布之间的关系可得联合分布列

4分

）（∏.

Z=XY 的分布列为：

3

1)1,1()1(31)1,1()1(3

10)Y 0,P(X 0)Y 1,P(X 1)Y 0,P(X 0)P(Z =

-===-==

======++==+±====Y X P Z P Y X P Z P

2分 （)I∏

)03

1

131)1(31).(132031()1(31131031),(=?+?+-??+?--?+?+?=-=EXEY EXY Y X COV 0

3

2

0031)1(31131)(,92)32(32)(222222222>=-?+-?+?=-==-=-=EY EY DY EX EX DX 所以 0=ρ

2分

六、解：（I ）由题设：Y -X Z =服从正态分布且)3,0()2,(~2

22σσσμμN N Z =+-

Z ∴的概率密度为：2

262

321)f(z,σσ

πσz e

-

=

4分

（II ）似然函数2

22

262

22

61

2

1)()6(321);,,L(z σσσπσ

πσi i z n n z n

i n e

e

z -

-

-

-

===

∏

取对数：2

22

6262σσπi z Ln n Ln n LnL ---=

令4

2226120σσσi z n LnL +?-==??，解得：=2

σ∑=n i i z n 1231

∴2

σ的极大似然估计为=∧

2σ∑=n i i z n 1

231 4分

（III ）由题设知：n z z z ,,,21 独立且与总体Z 同分布

E ∴=∧

2σE 2212

123313131σσ=??=?=∑∑==n n

Ez n z n n

i i

n i i 于是=∧

2

σ∑=n i i z n 1

231为2σ的无偏估计。 4分

七、解： 为使质点在时刻t=n 时位于k 位置（k 也可以是负值）?在前n 次游动中向右移动的次数比向左移动的次数多k 次，若以x 表示它在前n 次游动中向右移动的次数，y 表示向左移动的次数，则有：

?

?

?==+k y -x n

y x 2分 即,2

k

n x +=因为x 是整数，所以k 与n 必须具有相同的奇偶性。 事件{}k =n S 发生相当于要求在前n 次游动中有2k n +次向右，2

k

n -次向左，利

用二项分布即得

{}2

2

2n S P k n k n k n n

q

p

C

k -++==

当k 与n 奇偶性相反时，其概率为0 2分