勾股定理思维导图题型总结归纳

（一）勾股定理

2 2 2

1：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长

分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2＝c2

我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”

要点诠释：

2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关

系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应

用：

1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC

中， C 90 ，则 c a2 b2，b c2 a2，a c2 b2）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关

系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的

问题

3：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方

法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股

定理

常见方法如下：b

方法

1

4S S S

4 ab (b a)

4S S正方形EFGH S正方形ABCD，2

22

c

，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面

积．

a

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

S 4

1

ab c

2

2

2

2ab c

2 2 2

2 2 2

大正方形面积为S (a b) a 2ab b 所以

a2 b2 c2

S梯形

2(a b) (a b)，S梯形2S ADE S ABE

1

2 ab

12 c

较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”

4：勾股数

B C

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 时，称 a

，b

， c

为一组勾股数

3,4,5

；

6,8,10

；

5,12,13

； 7,24,25 ； 8,15,17 ； 9,40,41 等

22

2n 1,2n 2n,2n 2n 1（

n

为正整数）

5、注意：

（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

（2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的 题目。

3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主

要错误 （4）推理格式：∵△ ABC 为直角三角形 ∴AC 2+BC 2=AB 2. （或 a 2+b 2=c 2）

二）勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长分别为：

a 、

b 、

c ，且满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过“数转化为形” 来 确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为： c ；

（2）验证 c2 与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形

（若 c2>a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为钝角的钝角三角形；若 c2

222

（定理中 a ，b ，c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长

a ，

b ，

222

c 满足 a 2 c 2 b 2，那么以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边）

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

222

a 2

b 2

c 2

中，

a ，

b ，

c 为正整数

③用含字母的代数式表示 n

组勾股数： 22

n 1,2n,n 1（ n 2, n 为正整数）；

②记住常见勾股数可以提高解题速度，如

2 2 2

m n ,2 mn,m

2

n

（

m n, m

， n

为正整数）

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题

叫做互逆命题

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 六、随堂练习

1．在 Rt ABC 中， C 90 ， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b 和c

⑴若 a 2，b 4，则 c =；斜边上的高为 . ⑵若b 3，c 4 ，则a =.斜边上的高为 .

a

3

⑶若 b ，且c 2 10 ，则a =，b ________________________________ .斜边上的高为 .

b1

⑷若 c 2，且a 3 3，则c =，

b ________________________________

.斜边上的高为 .

2．正方形的边长为 3，则此正方形的对角线的长为 3．正方形的对角线的长为 4，则此正方形的边

长为 .

4．有一个边长为

dm 50 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长

5．一旗杆离地面 6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，求旗杆折断之前有多高？ 6. 如图，一个 3m

长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO

上，这时

为2.5m ，如果梯子顶端 A 沿墙下滑 0.5m ，那么梯子底端 B 也外移 勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理

1．已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。

2、已知：如图，∠ B=∠D=90°，∠ A=60°， AB=4， CD=2。求：四边形 ABCD 的面

A

积。

AO

的距离

0.5m 吗？

B C

3：在 ABC 中， AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC 的长为多少？ 4：已知如图，在△ ABC 中，∠ C=60°， 高，求 BC 的长。 5、如图，在 Rt △ABC 中，∠ ACB=90°， BC=a ，CD=h 。

2、如图是 2002年 8 月在北京召开的

第 24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形 ABCD 和 EF 都是正

方形 . 证：△ ABF ≌△DAE

CD ⊥AB 于 D ，设 AB=c ， AC=b ，

1

2

求证：（ 1） a

1

b 2

1

h 2 （

2）

a b

ch

3）以 a b ， h ，c

h

为三边的三角形是直角三角形练习

6. 如图，△ ABC 中， AB=AC ，∠A=45o ，AC 的垂直平分线分别交 AB 、AC 于 D 、E ，若 CD=1，则 BD 等 于（???）

A ．1??

B ． ?

C ． ??

D ．

7. 已知一直角三角形的斜边长是 2，周长是 2+ 6 ，求这个三角形的面积．

8.如图 Rt ABC ， C 90 AC 3,BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

6.如图，△ ABC 中， AB=AC=2，0 BC=32，D 是BC 上一点，且 AD ⊥AC ，求 BD 的长．

7. 如图，△ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=BC ，P 是△ ABC 内一点，满足 PA=3， 的度数．

8. 已知△ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=3,BC=4,（1）AD 平分∠ BAC,交 BC 于 D 点。求 CD 长

2）BE 平分∠ ABC,交AC 于E ，求 CE 长

如图，直线l 上有三个正方形 a ，b ，c ，若a ， 积分别为 5和 11，则 b 的面积为（ ）

Ａ）4

Ｂ）6

Ｃ） 16

Ｄ） 55

A 的

AB=4 3

题二勾股定理的证

明

的

A

3、图①是一个边长为（m n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图② 能验证的式子是（）

2 2 2 2 2

A．（m n）（m n） 4mn B．（m n）（m n ） 2mn

2 2 2 2 2

C．（m n） 2mn m n D．（m n）（m n） m n 图图

第 3 题图

专题三网格中的勾股定理

1、如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）

（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、

CD、EF

2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是（）

A．0B．1C．2D．3

3、（2010 年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 小正方形ABC 是

的顶点，则∠ ABC的度数为（）

A．90°B．60°C．45°D．30

4、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ ABC，则边AC上的高为（）

3 2 3 5 3 5

4 5

A. 2

B. 10

C. 5

D. 5

5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格

点为顶点画一个边长为3、、的三角形．所画的三角形是直角

形吗?说明理由．

6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出面积为2 的三个形状不三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）三角同的

C'

专题四实际应用建模测长

1、如图（8），水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5

米， 把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.

2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，

灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破

坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风 力为 12级，每远离台风中心 20千米，风力就会减弱一级， 该台风中心现正以 15 千米/时的速度沿 北偏东 30o 方向往 C 移动，且台风中心风力不变， 若城市所受风力达到或走过四级， 则称为受台风 影响.

（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由 .

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 专题五梯子问题

1、如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

2、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7米，（ 1）这个梯子的顶端距地面

有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方 向滑动了几米？

3、如图，梯子 AB 斜靠在墙面上， AC ⊥BC ，AC=BC ，当梯子的顶

端 A 沿 AC 方向下滑 x 米时，梯足 B 沿 CB 方向滑动 y 米，则 x 与

y 的大小 关系是（） A. x y B. x y C. x y D.不能确定

专题六最短路线

1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出

了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草．

2、如图，一圆柱体的底面周长为 20 ㎝，高 AB 为 10 ㎝， BC 是上底面的直径。一蚂蚁从点 A 出

发，

AD

D 、3 沿着圆柱的侧面爬行到点 C ，试求出爬行的最短路程

B 、5

C 、4

3、如图，有一个圆柱体，底面周长为 20㎝，高 AB 为 10 ㎝，在圆柱的下底面 A 点处有一只蚂蚁， 它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端 C 点处，那么它所行走的路程是多少？

4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯， 蚁从外部点 A 处爬到杯子的内壁到达高 的厚度不计） AD 是杯底直径， C 是杯口一点 CD 的中点 E 处，最短该走多远呢？

5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为 1 米， 点 B 爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？ 且封闭的正方体盒子外部的顶点 A （杯 B E

A 不变，蚂

C

子

6、如图，长方体的长为 15cm ，宽为 10cm ，高为 20cm ，点 B 到点 C 的距离为 5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点，需要爬行的最短距 离是多少？

7、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 个相对的顶点， A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物， 程是多少？ 专题七折叠三角形 2m 、 0.3m 、

A

0.2m ，C

A 和

B

问蚂蚁沿着台 阶爬行到 B 2

10

A

15

点的最 1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6㎝0，. BC=8㎝。2

现将直角边 使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长． A

沿直线 AD 折叠， 2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使 A 与 B 重

合， 痕为 DE ，若已知 AC=10cm ，BC=6cm 你, 能求出 CE 的长

吗？ 3、如图 , △ABC 的三边 BC=3，AC=4、AB=5,把△ABC 沿最长边 AB 折后得到 △ABC ′，则 CC ′的长等于（） 折

A

C

C

C

B

翻

D

E A

6 12 13 24 A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 专题八折叠四边形 1、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处, 已知 AB=8CM,BC=10C 求M,（ 1） CF 的长（ 2）EC 的长. 2、在矩形纸片 ABCD 中， AD=4cm ，AB=10cm ，按图所示方式折叠， 与点 D 重合，折痕为 A

使点 B

D C

C'

EF ，求（ 1）DE 的长；（ 2）EF 的长 B

A

题

B

A' D G E 、 求

A 3.矩形纸片 ABCD 的边长 AB=4，AD=2．将矩形纸片沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，折叠后

在其一 面着色（如图），则着色部分的面积为 ______ .

3、如图所示，△ ABC 是等腰直角三角形， 点，且 DE ⊥DF ，若 BE=12，CF=5．求线段 222 试探究 BE 、 CF 、EF 间的关系，并说明理由 . AB=AC ，D 是斜边 BC 的中点， EF 的长。

分别是 AB 、AC 边上的 的位置上，

C

专题九旋转问题： E 1、如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，PA=2,PB=2 3 ,PC=4, 6、矩形 ABCD 中， AB=6， BC=8，先把它对折，折痕为 EF ，展开后再沿 BG 折叠，使 A 落在

EF 上的 A1，求第二次折痕 BG 的长。 C F 求△ABC 2、如图，△ ABC 为等腰直角三角形，∠ BAC=90°，E 、F 是 BC 上的点，且∠ EAF=45°， 4、如图所示，已知在 ABC 中，

AB=AC ， 4、如图 2-3 ，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C ′ 已知 AB=?3， BC=7，重合部分△ EBD 的面积为 ______________________________________________ ． D 5、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 折痕交 AD 于 E ，交 BC 于 F ，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G 。 为 CD 边的中点，且 DE=6，求正方形 ABCD 的面积 重合，

如果 M

的边长. BAC=90 ，D 是 BC 上任一

点，

2 2 2 证：BD 2 CD 2 2AD 2