高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课
2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻
辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课时作业 理
A 组——高考热点基础练
1.已知a ,b ,c 满足c <b <a 且ac <0,则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a <b a
B.b -a
c >0 C.b 2c D. a -c ac <0 解析:∵c 0,∴c a b -a c >0,a -c ac <0, 但b 2 与a 2 的关系不确定,故b 2c c 不一定成立. 答案:C 2.已知不等式ax 2-bx -1≥0的解集是??????-12,-13,则不等式x 2 -bx -a <0的解集是( ) A .(2,3) B .(-∞,2)∪(3,+∞) C.? ?? ??13,12 D.? ????-∞,13∪? ?? ??12,+∞ 解析:依题意,-12与-1 3是方程ax 2 -bx -1=0的两根,则????? b a =-12-1 3,-1a =-12×? ?? ?? -13,即 ????? b a =-5 6,1a =-16, 又a <0,不等式x 2 -bx -a <0可化为1a x 2-b a x -1>0,即-16x 2+56 x -1>0,解 得2 3.(2016·高考北京卷)若x ,y 满足???? ? 2x -y ≤0,x +y ≤3, x ≥0,则2x +y 的最大值为( ) A .0 B .3 C .4 D .5 解析:先作出可行域,再求目标函数的最大值. 根据题意作出可行域如图阴影部分所示,平移直线y =-2x ,当直线平移到虚线处时,目标 函数取得最大值.由? ?? ?? 2x -y =0, x +y =3,可得A (1,2),此时2x +y 取最大值为2×1+2=4. 答案:C 4.已知函数f (x )=ax 2 +bx +c ,不等式f (x )<0的解集为{x |x <-3或x >1},则函数y =f (- x )的图象可以为( ) 解析:由f (x )<0的解集为{x |x <-3或x >1}知a <0,y =f (x )的图象与x 轴交点为(-3,0),(1,0), ∴f (-x )图象开口向下,与x 轴交点为(3,0),(-1,0). 答案:B 5.设a ,b ∈R ,且a +b =3,则2a +2b 的最小值是( ) A .6 B .42 C .2 2 D .26 解析:2a +2b ≥22a +b =223=42,当且仅当2a =2b ,a +b =3,即a =b =32 时,等号成立.故 选B. 答案:B 6.(2016·广西模拟)已知实数x ,y 满足约束条件???? ? y ≥0x -y ≥0 2x -y -2≥0 ,则z = y -1 x +1 的取值范围是( ) A.? ?????-1,13 B.??????-12,13 C.???? ??-12,+∞ D.???? ??-12,1 解析:由题知可行域如图阴影部分所示,∴z = y -1x +1的取值范围为[k MA,1),即???? ??-12,1. 答案:D 7.设a ,b 为实数,则“a <1b 或b <1 a ”是“0 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:充分条件可举反例,令a =b =-10,此时a <1b ,b <1a ,但ab =100>1,所以“a <1b 或b <1 a ” 不是“0 b >0,则a <1b 或b <1a ;若a <0,b <0,则a >1b 或b >1a .所以“a <1b 或b <1 a ”不是“0 条件.综上可知“a <1b 或b <1 a ”是“0 答案:D 8.已知函数y =x -4+9 x +1 (x >-1),当x =a 时,y 取得最小值b ,则a +b 等于( ) A .-3 B .2 C .3 D .8 解析:y =x -4+ 9x +1=x +1+9x +1-5,因为x >-1,所以x +1>0,9x +1 >0.所以由基本不等式,得y =x +1+ 9 x +1 -5≥2 x +1·9x +1-5=1,当且仅当x +1=9 x +1 ,即(x +1)2 =9,即x +1=3,x =2时取等号,所以a =2,b =1,a +b =3. 答案:C 9.(2016·开封模拟)若x ,y 满足约束条件???? ? x +y ≥1x -y ≥-1 2x -y ≤2 ,且目标函数z =ax +2y 仅在 点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是( ) A .[-4,2] B .(-4,2) C .[-4,1] D .(-4,1) 解析:作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,直线z =ax +2y 的斜率为k =-a 2,从图中可看出,当-1<-a 2<2,即-4 时,仅在点(1,0)处取得最小值.故选B. 答案:B 10.若关于x 的不等式x 2 +ax -2>0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A.? ?? ??-235,+∞ B.???? ??-235,1 C .(1,+∞) D .(-∞,-1) 解析:x 2 +ax -2>0,即ax >2-x 2 . ∵x ∈[1,5],∴a >2 x -x 成立. ∴a >? ?? ??2x -x min .又函数f (x )=2x -x 在[1,5]上是减函数, ∴? ????2x -x min =25-5=-235,∴a >-235.故选A. 答案:A 11.(2016·高考北京卷)已知A (2,5),B (4,1).若点P (x ,y )在线段AB 上,则2x -y 的最大值为( ) A .-1 B .3 C .7 D .8 解析:先根据约束条件画出可行域,再利用线性规划知识求解目标函数的最大值. 作出线段AB ,如图所示. 作直线2x -y =0并将其向下平移至直线过点B (4,1)时,2x -y 取最大值为2×4-1=7. 答案:C 12.若正数x ,y 满足x +y =1,且1x +a y ≥4对任意的x ,y ∈(0,1)恒成立,则a 的取值范围 是( ) A .(0,4] B .[4,+∞) C .(0,1] D .[1,+∞) 解析:正数x ,y 满足x +y =1,当a >0时,1x +a y =(x +y )? ?? ??1x +a y =1+a +y x +ax y ≥1+a + 2 y x ·ax y =1+a +2a ,当且仅当y =ax 时取等号,因为1x +a y ≥4对任意的x ,y ∈(0,1)恒成立,∴1+a +2a ≥4,解得a ≥1,∴a 的取值范围是[1,+∞).当a ≤0时显然不满足题意,故选D. 答案:D 13.已知a ,b ∈R ,若a 2 +b 2 -ab =2,则ab 的最小值是________. 解析:∵a 2 +b 2 -ab =2,∴2+ab =a 2 +b 2 ≥-2ab , ∴3ab ≥-2,当且仅当a =-b =±63时,取等号,∴ab ≥-23 . 答案:-23 14.(2016·扬州中学调研)已知函数f (x )=????? x 2 +ax ,x ≥0 bx 2 -3x ,x <0 为奇函数,则不等式f (x )<4 的解集为________. 解析:因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),可得a =-3,b =-1,所以f (x )= ? ???? x 2 -3x ,x ≥0 -x 2 -3x ,x <0.当x ≥0时,由x 2-3x <4解得0≤x <4;当x <0时,由-x 2 -3x <4解得x <0, 所以不等式f (x )<4的解集为(-∞,4). 答案:(-∞,4) 15.(2016·广东五校联考)设不等式组???? ? x ≥0x +2y ≥4 2x +y ≤4 所表示的平面区域为D ,则可行域D 的面积为________. 解析:如图,画出可行域.易得A ? ?? ??43,43,B (0,2),C (0,4),∴可行域D 的面积为12×2×43= 43 . 答案:43 16.(2016·高考全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件???? ? x -y +1≥0,x +y -3≥0, x -3≤0, 则z =x -2y 的最小值 为__________. 解析:作出不等式组表示的可行域,利用数形结合思想求解. 不等式组???? ? x -y +1≥0,x +y -3≥0, x -3≤0 表示的可行域如图阴影部分所示. 由z =x -2y 得y =12x -1 2 z . 平移直线y =1 2x ,易知经过点A (3,4)时,z 有最小值,最小值为z =3-2×4=-5. 答案:-5 B 组——12+4高考提速练 1.不等式-x 2 +|x |+2<0的解集是( ) A .{x |-2 D .{x |x <-1或x >1} 解析:原不等式化为|x |2 -|x |-2>0,因式分解得(|x |-2)·(|x |+1)>0,因为|x |+1>0,所以|x |-2>0,即|x |>2,解得x <-2或x >2.故选B. 答案:B 2.已知1a <1 b <0,则下列结论错误的是( ) A .a 2 B.b a +a b >2 C .ab >b 2 D .lg a 2 解析:特值法,令a =-1,b =-2,易证ab ,故选C. 答案:C 3.(2016·贵州模拟)已知O 是坐标原点,若点M (x ,y )为平面区域???? ? x +y ≥2,x ≤1, y ≤2 上的一 个动点,则目标函数z =-x +2y 的最大值是( ) A .0 B .1 C .3 D .4 解析:作出点M (x ,y )满足的平面区域,如图所示,由图知当点M 为点C (0,2)时,目标函数 z =-x +2y 取得最大值,即为-1×0+2×2=4,故选D. 答案:D 4.设a >b >1,c <0,给出下列三个结论: ①c a >c b ;②a c ;③log b (a -c )>log a (b -c ). 其中所有正确结论的序号是( ) A .① B .①② C .②③ D .①②③ 解析:由a >b >1知1a <1b ,又c <0,所以c a >c b ,①正确;由幂函数的图象与性质知②正确;由a >b >1, c <0知a -c >b -c >1-c >1,由对数函数的图象与性质知③正确,故选D. 答案:D 5.若ax 2 +bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >4},则对于函数f (x )=ax 2 +bx +c 应有( ) A .f (5) D .f (2) 解析:ax 2+bx +c <0的解集为(-∞,-2)∪(4,+∞),∴a <0,而且函数f (x )=ax 2 +bx +c 的图象的对称轴为直线x =4-22=1,∴f (-1)=f (3),函数f (x )在[1,+∞)上是减函 数,∴f (5) 6.(2016·广州模拟)若实数x ,y 满足约束条件???? ? 2x -y -2≤02x +y -4≥0 y ≤2 ,则x y 的取值范围是( ) A.??????23,2 B.???? ??12,32 C.???? ??32,2 D .[1,2] 解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.令 x y =z ,则y =x z ,当直线y =x z 经过A 点时,z max =3 2;当直线y =x z 经过B 点时,z min =12.故x y 的取值范围是???? ??12,32. 答案:B 7.“不等式x (x -2)>0成立”是“不等式2 x <1成立”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:不等式x (x -2)>0等价于x >2或x <0,不等式2 x <1等价于x >2或x <0,故选C. 答案:C 8.(2016·高考浙江卷)若平面区域???? ? x +y -3≥0,2x -y -3≤0, x -2y +3≥0 夹在两条斜率为1的平行直线之 间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.35 5 B.2 C.322 D.5 解析:先由约束条件作出可行域,再根据线性规划知识分析求解. 根据约束条件作出可行域如图阴影部分,当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件, 联立方程组? ?? ?? x +y -3=0, x -2y +3=0求得A (1,2),联立方程组? ?? ?? 2x -y -3=0, x +y -3=0求得B (2,1),可 求得分别过A ,B 点且斜率为1的两条直线方程为x -y +1=0和x -y -1=0,由两平行线间的距离公式得距离为|1+1| 2 =2,故选B. 答案:B 9.已知不等式 x +2 x +1 <0的解集为{x |a n 的最小值为( ) A .4 2 B .8 C .9 D .12 解析:易知不等式 x +2x +1<0的解集为(-2,-1),所以a =-2,b =-1,2m +n =1,2m +1 n =(2m +n )·? ????2m +1n =5+2m n +2n m ≥5+4=9? ????当且仅当m =n =13时取等号,所以2m +1n 的最小值为9. 答案:C 10.(2016·开封模拟)已知在各项为正的等比数列{a n }中,a 2与a 8的等比中项为8,则4a 3+a 7取最小值时,首项a 1等于( ) A .8 B .4 C .2 D .1 解析:在等比数列{a n }中,a 2a 8=a 3a 7,∵a 2与a 8的等比中项为8,∴a 2a 8=64,∴4a 3+ a 7≥24a 3a 7=24a 2a 8=32,当且仅当4a 3=a 7时等号成立,即4a 1q 2=a 1q 6,∴4=q 4.①∵a 2a 8 =64=a 21q 8 ,②联立①②可解得a 1=2,故选C. 答案:C 11.(2016·宜昌模拟)设x ,y 满足约束条件???? ? x ≥0y ≥x 4x +3y ≤12 ,则 x +2y +3 x +1 的取值范围是( ) A .[1,5] B .[2,6] C .[2,10] D .[3,11] 解析:设z = x +2y +3x +1=x +1+2y +1x +1=1+2·y +1x +1,设z ′=y +1 x +1 ,则z ′的几何意义为动点P (x ,y )到定点D (-1,-1)的斜率.画出可行域如图阴影部分所示,则易得z ′∈[k DA ,k DB ],易得z ′∈[1,5],∴z =1+2·z ′∈[3,11]. 答案:D 12.已知函数f (x )=4x -1 4x +1,若x 1>0,x 2>0,且f (x 1)+f (x 2)=1,则f (x 1+x 2)的最小值为( ) A .14 B .45 C .2 D .4 解析:由题意得f (x )=4x -14x +1=1-24x +1,由f (x 1)+f (x 2)=1得2-241x +1-2 42x +1=1,化 简得4 12 x x +-3=41x +4 2 x ≥2×2 12 x x +,解得2x 1+x 2≥3,所以f (x 1+x 2)=1-2 412x x ++1 ≥1 - 232 +1=4 5 .故选B. 答案:B 13.已知a ,b 都是正实数,且2a +b =1,则1a +2 b 的最小值是________. 解析:1a +2b =? ?? ??1a +2b (2a +b )=4+4a b +b a ≥4+2 4a b ×b a =8,当且仅当4a b =b a ,即a =14 ,b =12时,“=”成立,故1a +2 b 的最小值是8. 答案:8 14.对于实数x ,当且仅当n ≤x 时,[x ]=n ,则关于x 的不等式4[x ]2 -36[x ]+45<0的解集是________. 解析:由4[x ]2-36[x ]+45<0得32<[x ]<152,又当且仅当n ≤x 时,[x ]=n ,所 以所求解集是[2,8). 答案:[2,8) 15.(2016·高考全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元. 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 2020-2021学年高一数学晚练(一) 命题人:范修团 时间:45分钟 满分:80分 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列各项中,能组成集合的是( ) A .高一(3)班的好学生 B .嘉兴市所有的老人 C .不等于0的实数 D .我国著名的数学家 2.已知集合P ={|14}< 第 1 页 共 9 页 常用逻辑用语与不等式训练题 一、选择题: 1.a 、b 、c 、d 均为实数,使不等式 0a c b d >>和ad bc <都成立的一组值(a ,b ,c ,d )是 .(只要写出适合条件的一组值即可) 2.在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下,则{} 2|0x ax bx c φ++<≠”的 逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( ) A .都真 B .都假 C .否命题真 D .逆否命题真 3.有下述说法:①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是 b a 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 4.若命题“p q ∧”为假,且“p ?”为假,则( ) A .p 或q 为假 B .q 假 C .q 真 D .不能判断q 的真假 5.若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是( ) A .1a b +≥ B .1a ≥ C .0.5,0.5a b ≥≥且 D .1b <- 6.在△ABC 中,“?>30A ”是“2 1sin >A ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 7.命题:p 若,a b R ∈,则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件; 命题:q 函数y =的定义域是(][),13,-∞-+∞,则( ) A .“p 或q ”为假 B .“p 且q ”为真 C .p 真q 假 D .p 假q 真 8.下列各对不等式中同解的是( ) A .72 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?? ???? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为 ( ) A .0 B .1 C .32 D .2 【答案】D 专题一 集合与常用逻辑用语 第二讲 常用逻辑用语 2019年 1.(2019全国Ⅱ理7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 2.(2019北京理7)设点A ,B ,C 不共线,则“ 与 的夹角是锐角”是“AB AC BC +>”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.(2019天津理3)设x ∈R ,则“2 50x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2010-2018年 一?选择题 1.(2018北京)设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2018天津)设x ∈R ,则“11 ||22 x - <”是“31x <”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2018上海)已知a R ∈,则“1a >”是“ 1 1a <”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 4.(2018浙江)已知平面α,直线m ,n 满足m α?,n α?,则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2017新课标Ⅰ)设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数1z ,2z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为 A.1p ,3p B.1p ,4p C.2p ,3p D.2p ,4p 6.(2017浙江)已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >” 是“465+2S S S >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2017天津)设θ∈R ,则“ππ||1212θ- <”是“1 sin 2 θ<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2017山东)已知命题p :0x ?>,ln(1)0x +>;命题q :若a b >,则2 2 a b >,下列命题为真命 题的是 A.p q ∧ B.p q ?∧ C.p q ?∧ D.p q ??∧ 9.(2017北京)设m , n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0? 第1练集合与常用逻辑用语 [考情分析] 1.集合作为高考必考内容,命题较稳定,难度较小,常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低,其中充分必要条件的判断需要关注,常与函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等结合命题. 考点一集合的概念与运算 要点重组 1.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2. 2.A∩B=A?A?B?A∪B=B. 3.若已知A∩B=?,要注意不要漏掉特殊情况:A=?或B=?; 若已知A?B,要注意不要漏掉特殊情况:A=?. 1.(2020·全国Ⅱ)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则?U(A∪B)等于() A.{-2,3} B.{-2,2,3} C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3} 答案 A 解析∵A={-1,0,1},B={1,2}, ∴A∪B={-1,0,1,2}. 又U={-2,-1,0,1,2,3}, ∴?U(A∪B)={-2,3}. 2.(2020·全国Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为() A .2 B .3 C .4 D .6 答案 C 解析 A ∩B ={(x ,y )|x +y =8,x ,y ∈N *,y ≥x }={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},共4个元素. 3.(2020·聊城模拟)已知集合A ={x |x ≥2},B ={x |x 2-x -6≥0},则A ∩(?R B )等于( ) A .{x |2≤x <3} B .{x |2 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A 版 复习寄语: 鲁甸县文屏镇中学高三第一轮复习资料 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ (6),、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; (7))(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络 其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时, 集合及其表示方法 一、复习巩固 1.方程x 2-2x +1=0的解集中元素个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:方程x 2-2x +1=0有两个相等的实数根x 1=x 2=1,根据元素的互异性知其解集中有1个元素. 答案:B 2.下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( ) A .P 是由元素1, 3,π构成的集合,Q 是由元素π,1,|- 3|构成的集合 B .P 是由π构成的集合,Q 是由3.141 59构成的集合 C .P 是由2,3构成的集合,Q 是由有序实数对(2,3)构成的集合 D .P 是满足不等式-1≤x ≤1的自然数构成的集合,Q 是方程x 2=1的解集 解析:由于A 中P ,Q 的元素完全相同,所以P 与Q 表示同一个集合.而B ,C ,D 中P , Q 的元素不相同,所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选A. 答案:A 3.若集合A 中有三个元素1,a +b ,a ;集合B 中有三个元素0,b a ,b .若集合A 与集 合B 相等,则b -a =( ) A .1 B .-1 C .2 D .-2 解析:由题意可知a +b =0且a ≠0,∴a =-b ,∴b a =-1,∴a =-1,b =1,故b -a = 2. 答案:C 4.设集合A 只含有一个元素a ,则下列各式正确的是( ) A .0∈A B .a ?A C .a ∈A D .a =A 解析:由于集合A 中只含有一个元素a ,由元素与集合的关系可知,a ∈A ,故选C. 答案:C 5.已知集合A 中有四个元素0,1,2,3,集合B 中有三个元素0,1,2,且元素a ∈A ,a ?B ,则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:∵a ∈A ,a ?B ,∴由元素与集合之间的关系知,a =3. 答案:D 6.若1-a 1+a 是集合A 中的元素,且集合A 中只含有一个元素a ,则a 的值为________. 解析:由题意,得1-a 1+a =a ,所以a 2+2a -1=0且a ≠-1,所以a =-1± 2. 答案:-1± 2 7.已知集合A 中的元素x 满足2x +a >0,且1?A ,则实数a 的取值范围是________. 解析:∵1?A ,∴2+a ≤0,即a ≤-2. 答案:a ≤-2 8.用符号“∈”和“?”填空:0________N *,3________Z,0________N ,3+2________Q ,4 3 ________Q . 解析:只要熟记常见数集的记法所对应的含义就很容易判断,故填?,?,∈,?,∈. 答案:? ? ∈ ? ∈ 9.若a 2=3,则a ________R ;若a 2=-1,则a ________R . 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集; (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)当1a =时,()24f x x x =-++,是开口向下,对称轴12 x = 的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?,,≤x ≤,, 当(1,)x ∈+∞时,令242x x x -++= ,解得x =()g x 在()1+∞, 上单调递增,()f x 在()1+∞,上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? . 当[]11x ∈-, 时,()2g x =,()()12f x f -=≥. 当()1x ∈-∞-, 时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且()()112g f -=-=. 综上所述,()()f x g x ≥ 解集1?-??? . (2)依题意得:242x ax -++≥在[]11-, 恒成立. 即220x ax --≤在[]11-, 恒成立. 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤,解出:11a -≤≤. 故a 取值范围是[]11-, . 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4-5:不等式选讲](10分) 已知0a >,222ba b +==2.证明: (1)()22()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<?? x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得: ①当1-x ≤时显然不满足题意; ②当12x -<<时,211-x ≥,解得1x ≥; ③当2x ≥时,()31=f x ≥恒成立.综上,()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥. (2)不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥, 典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 第1课 集合与常用逻辑用语 本节主要考察以下几个方面: 1、考察求几个集合的交、并、补集; 2、通过给定的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力; 3、“命题及其关系” 主要考查四种命题的意义及相互关系;4、“简单的逻辑联结词”主要考查逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容;5、“全称量词与存在量词”主要考查对含有一个量词的命题进行否定;6、考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解。7、会用集合语言、分类讨论、数形结合(数轴、韦恩图解),探究集合问题,把握充要条件,实现命题的等价转换。 〖基点问题1〗(集合的运算) 例1、 已知集合{}1 349,46,(0,)A x R x x B x R x t t t ? ? =∈++-≤=∈=+ -∈+∞???? ,则 集合A B = ________。 〖基点问题2〗(充分必要条件) 例2、设0<x < 2 π,则“x sin 2x <1”是“x sinx <1”的 ( ) (A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件 〖基点问题3〗(复合命题真假的判定) 例3、已知命题p 1:函数y=2x -2-x 在R 上为增函数,p 2:函数y=2x +2-x 在R 上为减函数,则 在命题112212312q :p p ,q :p p ,q (p )p ∨∧?∨: 和412:p (p )q ∧?中,真命题是( ) A.q 1,q 3 B.q 2,q 3 C.q 1,q 4 D.q 2,q 4 〖基点问题4〗(命题的否定与否命题) 例4、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B. 所有能被2整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数 D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数 〖热点考向1〗 例5、已知函数12cos 32 )4 ( sin 4)(2 --+=x x x f π ,且给定条件p :“ 2 4 π π ≤ ≤x ”,(1)求)(x f 的最大值及最小值 (2)若又给条件"2|)(|:"<-m x f q 且p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围。 高考数学专题练习:不等式与线性规划 1。若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1,43 B 。? ???? 12,43 C 。? ? ???1,74 D 。? ?? ??12,74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13× ? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1 2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13× ? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7 4。 综上,12<a <7 4,故选D 。 2。已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A 。(a -1)(b -1)<0 B 。(a -1)(a -b )>0 C 。(b -1)(b -a )<0 D 。(b -1)(b -a )>0 答案 D 解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )=??? x 2-4x +6,x ≥0, x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(-3,1)∪(3,+∞) B 。(-3,1)∪(2,+∞) C 。(-1,1)∪(3,+∞) D 。(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)=3。由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或??? x <0, x +6>3, 解得-3 2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质课时作业 文 A 组——高考热点基础练 1.(2016·济南3月模拟)函数y =log 32x -1的定义域为( ) A .[1,+∞) B .(1,+∞) C .? ?? ??12,+∞ D .? ?? ??12,1 解析:由log 3(2x -1)≥0得2x -1≥1,x ≥1.因此函数的定义域是[1,+∞),故选A. 答案:A 2.(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )=????? log 12x ,x >0, 3x ,x ≤0, 则f (f (4))的值为( ) A .-1 9 B .-9 C.1 9 D .9 解析:因为f (x )=????? log 12x ,x >0, 3x ,x ≤0, 所以f (f (4))=f (-2)=1 9 . 答案:C 3.(2016·湖南东部六校联考)函数y =lg|x |( ) A .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 解析:因为lg|-x |=lg|x |,所以函数y =lg|x |为偶函数,又函数y =lg|x |在区间(0,+∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称,可得y =lg|x |在区间(-∞,0)上单调递减,故选B. 答案:B 4.函数f (x )=2|log 2x |-? ??? ??x -1x 的图象为( )高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
第1章 集合与常用逻辑用语(一)
高三第一轮复习10----常用逻辑用语与不等式训练题
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之02常用逻辑用语
第1练 集合与常用逻辑用语
《专题一常用逻辑用语》知识点归纳
高考数学不等式专题
2020高考理科数学不等式问题的题型与方法
2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法课时
2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
高考数学百大经典例题——不等式解法
第1课 集合与常用逻辑用语
高考数学专题练习:不等式与线性规划
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图