几种特殊类型函数的积分
几种特殊类型函数的积分
一、有理函数的不定积分
1.化有理函数为简单函数
两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即
m
m m m m n
n n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++=
=------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且
0,000≠≠b a ．
当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．
对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一
个真分式之和的形式．例如 1
2)1(11222
4+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．
设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积：
μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．
其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)
()
(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即
β
ααα)()()()()
(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-
λ
ββ)
()(21
112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+
-
μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++
++++++++++
-
s
rx x S x R s rx x S x R +++++++++
-2
122
2)(μμμ ． （2）
其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．
可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）a
x A - ，
（2）
k
a x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）
q
px x B Ax +++2
（042
<-q p ）， （4）
k q px x B Ax )
(2
+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．
2. 有理函数的不定积分
求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．
（1）C a x A a x d a
x A dx a x A +-=--=-??ln )(1，
（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k +-?--=--=---??1)(11)()()(， （3）dx q
px x B Ax ?
+++2
（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(2
22
p q p x q px x -
++=++，作变量代换2p x u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422
>-<-p q q p ，记224
a p q =-，于是
du a
u B p
u A dx p
q p x B
Ax dx q
px x B Ax ?
??
++-
=-++
+=
+++222
22)2()4
()2( du a
u Ap B du a u Au ??+-
++=22222
C a
u a Ap B a u A +-
++=arctan 2)ln(222
C p
q p
x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．
（4）dx q px x B Ax k
?
+++)
(2 (04,22<-≥q p k )．
作变量代换2p x u +=，并记22
4
a p q =-
，于是 ???+-
++=+++du a u Ap
B du a u Au
dx q px x B Ax k k k )(2)
()(22222． 其中第一个积分
C a u k A a u d a u A du a u Au k k k
++?--=++=+--??
122222222)(1)1(2)()(2)(．
第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ?+=k
k a u du I )
(22 利用分部积分法有
??
++++=+=1
222
2222)(2)()(k k k k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ?++-+++=12222222)
()(2)( 122222)
(+-++=
k k k kI a kI a u u ． 整理得 k k k I k
a k a u u k a I 2222121
2)(21-++?=
+． 于是可得递推公式
]2232)()1(21[111222----++?-=k k k I k k a u u k a I ． （3）
利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分
C a u a a u du I +=+=?arctan 1221．
最后由2p
x u +
=全部换回原积分变量，即可求出不定积分?+++dx q px x B Ax k )
(2．
例1 求?++-dx x x x 2
2)32(1． 解 ?
?++-+=++-dx x x dx x x x 2
22
2]2)1[(21)32(1 ?
?+-++=2222
)
2(2)2(1
u du du u u x u ]2212121[212)
2(21222?+++???
-+-
=u du u u u C u u u +-++-
=2
arctan 221)2(212
`
C x x x x ++-+++-
=2
1arctan 221)32(222． 例2 求dx x x ?-2
)1(1．
解 因为
2)1(1-x x 可分解为
1)1()1(122
-+-+=-x C x B x A x x ． 其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．
第一种方法：两端去掉分母后，得
)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ． （4）
即
A x C A
B x
C A +--++=)2()(12
由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有
??
?
??==--=+1020
A C A
B
C A ， 从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．
第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是
?
?---+=-dx x x x dx x x )11
)1(11()1(122
???
---+=dx x dx x dx x 11)1(112 C x x x +----
=1ln 1
1
ln ． 例3 求?+-+dx x x x 2
2)1)(1(22． 解 因为
1
)1(1)1)(1(2222222++++++-=
+-+x E Dx x C Bx x A x x x ， 两端去分母得
)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x
234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．
两端比较系数得 ?????
????=--=+-+-=+-+=-=+2
20200
C E A C B E
D B
E D A D E D A ，
解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故
dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(222222
2?
?++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ???
++-+--=11)1(21122
2
C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-++
+-=arctan 1
1
1
1ln
2
2． 例4 求?
+-+dx x x x 6532． 解 因为32)3)(2(36532
-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ， 两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ．
令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是
C x x dx x x dx x x x +---=---=+-+??2ln 53ln 6)2
536(6532
C x x +--=5
6
)
2()3(ln ． 从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数
)
()
(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．
例5 求dx x x x x x ?+++++1
2232． 解 dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ????
+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(1
2222
232
C x x +++=arctan 1ln ．
例6 求dx x x x x ?+-+-)
54)(44(122
．
解 dx x x x x x x x x dx x x x x ??+-+-+--+-=+-+-)
54)(44()44()54()54)(44(12
22222
dx x x dx x x ??
+--+-=5414
4122 ?
?-+----=)2(1)2(1)2()2(122
x d x x d x
C x x +----=)2arctan(2
1．
例7 求dx x ?+1
14． 解 ???
+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211
142424
dx x x x dx x x x ??+--++=2
22
22
21112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122x
x d x
x x x d x x +-+--+-=??
C x x x x x x ++++---=1
212ln 24121arctan 221222
．
二、三角函数有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理
式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．
由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2
tan x 的有理式表示，因此，作变量代
换2
tan x u =，则
222122
tan
12tan
22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+===, 22
2
2
222211tan 12tan 1sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x
x x x x x +-=+-=-=
-=． 又由u x arctan 2=，得du u dx 2
12+=
，于是 ??++-+=du u u u u u R dx x x R 222
212
)11,12()cos ,(sin ．
由此可见，在任何情况下，变换2
tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ?有
理化．所以，称变换2
tan x u =为万能代换．
例8 求dx x
x ?++cos sin 11． 解 设2tan x u =，则
du u du u u u u u dx x x ???+=+?+-+
++=++1112111211cos sin 1122
22 C x
C u ++=++=2
tan
1ln 1ln ． 例9 求dx x
x ?-+cos 1sin 1．
解 设2
tan x u =，则
du u u u u du u u u u u dx x x
??
?+++=+?+--
++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 1222
22
22
du u u du u ?
?++=)1(2122
du u u u u du u ??+-++=)1()1(2122
22
???
+-+=du u u du u du u 2
2
12121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2
ln(sec 2cot 2tan ln 22．
虽然利用代换2
tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．
例10 求dx x
x ?+sin 1sin ．
解 dx x
x x dx x x x dx x x ???-=--=+2
2
2cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx x x dx x
x ??--=22
2cos cos 1cos sin ???+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1
C x x x ++-=tan cos 1． 例11 求dx x
?+2
cos 311． 解 x d x dx x x dx x
tan 4tan 1
3sec sec cos 3112222???
+=+=+ C x +=)2
tan arctan(21．
三、简单无理函数的积分
（一）),(n
b ax x R +型函数的积分
),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函
数的积分，作变量代换u b ax n
=+，则a b u x n -=，du a
nu dx n 1
-=，于是
du a nu
u a b u R dx b ax x R n n n
1),(),(-?-=+?? ． （5）
（5）式右端是一个有理函数的积分．
例12 求?++dx x 3
2
11． 解 令u x =+3
2，则23-=u x ，du u dx 23=，于是
?
??++-=+=++du u u du u u dx x 1113132
112
23 C u u u du u u +++-=++-=?)1ln 2
(3)111(32
C x x x +++++-+=333
221ln 323)2(2
3． 例13 求dx x
x ?
+3
1．
解 为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换 u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是
du u u du u u dx x
x
??
?+=+=+
1
616128
283
u d u
u u u ?++
-+-=)11
1(62
246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625
676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625
676．
（二）),(n
d
cx b ax x R ++型函数的积分
这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换
u d cx b ax n
=++，则n
n cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 2
1)()
(--=-，于是
du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n n
n
2
1)
()(),(),(--?--=++-??
． （6）
（6）式右端是一个有理函数的积分．
例14 求dx x
x x ?+11．
解 令u x x =+1, 则1
12-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 du u u du u u du u u u u dx x x x ????
-+--=--=--?-=+111212)1(2)1(1122222
22
C
u u u du u ++---=-+
-=?11ln 2)1
11(22
C u u u +--++-=1ln )1ln(222
C x x
x x x ++++++-=ln )11ln(212．
例15 求dx x x ?
-+3
4
2)
1()1(1． 解
?
?+--+=-+dx x x x x dx x x 33
4
21
1
)1)(1(1)1()1(1，令u x x =+-3
1
1，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 2
32)1(6-=， 于是 du u dx x x x dx x x ???
=+--=-+2323
4
21231
1)
1(1)1()1(1 C x x C u +-+-
=+-=3
1
1
2323．
几种特殊类型函数的积分
几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的不定积分 1.化有理函数为简单函数 两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即 m m m m m n n n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++= =------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且 0,000≠≠b a ． 当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式． 对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一 个真分式之和的形式．例如 1 2)1(11222 4+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题． 设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积： μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ． 其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式) () (x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即 β ααα)()()()() (1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=- λ ββ) ()(21 112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+ - μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++ ++++++++++ - s rx x S x R s rx x S x R +++++++++ -2 122 2)(μμμ ． （2）
浅谈无理函数不定积分的求解方法
浅谈无理函数不定积分的求解方法 摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。 本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。为无理函数不定积分的求解提供一种思路。 关键字：无理函数不定积分计算方法 Abstract:We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider. This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems. key words:irrational function indefinite integral method
几种特殊类型函数的积分
几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的不定积分 1.化有理函数为简单函数 两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即 m m m m m n n n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++= =------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且 0,000≠≠b a ． 当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式． 对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一 个真分式之和的形式．例如 1 2)1(112224 +++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题． 设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积： μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ． 其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式) () (x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即 β ααα)()()()() (1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=- λ ββ) ()(21 112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+ -
几种特殊函数
数学高考密码押题卷 几种特殊函数 一.选择题 1.设二次函数2()2f x ax ax c =-+在区间[0,1]上单调递减,且()(0)f m f ≤,则实数m 的取值范围是( ) A.(,0]-∞ B.[2,)+∞ C.(,0][2,)-∞+∞∪ D.[0,2] 2.在1[,2]2 x ∈上，函数2()f x x Px q =++与33 ()22x g x x =+ 在同一点取得相同的最小值，那么()f x 在1 [,2]2 x ∈上的最大值是 （ ） A. 134 B.4 C.8 D.54 3.下列四类函数中,具有性质“对任意的0,0x y >>,函数f (x)满足()()()f x y f x f y +=”的是( ) A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数 4.函数1 2 ()f x x -=的大致图像是（ ） 5.已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f = （A ）5- （B ）1- （C ）3 （D ）4 6.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20 7.若关于x 的方程 2|| 4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A. (0,1) B. 1(,1)4 C.1 (,)4 +∞ D. (1,)+∞ 8.已知0x 是函数1()21x f x x =+ -的一个零点,若10(1,)x x ∈,20(,)x x ∈+∞,则( ) A.12()0,()0f x f x << B.12()0,()0f x f x <> C.12()0,()0f x f x >< D.12()0,()0f x f x >>
74简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分
§7.4简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分 一、简单无理函数的不定积分 对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。 下面总假设),(y x R 表示关于变量y x ,的有理函数。 1．??? ? ??++n d cx b ax x R ,型函数的不定积分。其中0≠-bc ad 解法：作变量替换n d cx b ax t ++=，即dt t dx t ct a b dt x n n )(,)(φφ'==--=,于是 []??'=??? ? ??++dt t t t R dx d cx b ax x R n )(),(,φφ， 转化为有理函数的不定积分。 例1．求 ?++dx x x x x 14 158217 1 分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。 ()2 14 7 7 1x x x = = ，()7 14 2 1x x x = =，() 16 14 7 8 7 8x x x = = ，() 15 14 14 15x x = 作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。 解：作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，则 =++=?++=++???dt t t dt t t t t t dx x x x x 111414513 15167214 1582 1 71 例2．求 ? -?+-dx x x x 2 3 ) 2(1 22 解：设,223t x x =+- 则33122t t x +-=，dt t t dx 2 32 ) 1(12+-=，所以 ??? =-=+-???? ? ??+--?=-?+- dt t dt t t t t t dx x x x 323223323 1 43) 1(1212221)2(122 2．() c bx ax x R ++2,型函数的不定积分，其中042≠-ac b （即方程02 =++c bx ax 无重根） 分两种情况讨论： （1）042 >-ac b 时，方程02 =++c bx ax 有两个不等的实数根α、β
几种特殊函数的图象及性质
几种特殊函数的图象及性质 备课教师：刘彩伏 教学目标：1、理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握用“待 定系数法”求这些函数的解析式的方法，能用描点法画出上述函数的图象并观 察出它们的性质。 2、能够根据二次函数解析式确定图象的顶点坐标、对称轴方程及与x 轴、y 轴 的交点，初步了解数形结合的观点，并初步学会用这些观点去分析问题的方 法。 教学重点：各种函数的概念及图象性质；“待定系数法”求函数的解析式。 教学难点：“待定系数法”求函数的解析式，用数形结合的观点分析问题的方法。 计划课时：4课时（第一课时结合图形复习各种函数概念和性质，其余三课时为题型分析 与训练） 教学过程： 一、基础知识复习 1、正比例函数 [定义]：函数y=kx(k 是常数，k ≠0)。 [图象]：经过（0，0），（1，k ）两点的直线。 [性质]：k>0时，图象在一、三象限内，y 随x 的增大而增大；k<0时，图象在 二、四象限内，y 随x 的增大而减小。 2、反比例函数 [定义]：函数x k y =(k 是常数，k ≠0)。 [图象]：双曲线。 [性质]：k>0时，图象的两个分支在一、三象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；k<0时，图象的两个分支在二、四象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而增大；两分支都无限接近但永远不能达到两坐标轴。 3、一次函数 [定义]：函数y=kx+b(k ，b 是常数，k ≠0)。（注意：当b=0时，就成为正比例函 数） [图象]：经过（0，b ），（k b -，0）两点的直线，与直线y=kx 平行。（k 叫做直线的斜率，b 叫做直线在y 轴上的截距） [性质]：
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。 一．不定积分的概念与性质 定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I） 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则 （1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； （2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上 的不定积分，记为?f(x)d(x),即?f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。 性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则?[f(x)±g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx. 性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则?kf(x)dx=k?f(x)dx. 二．换元积分法的定理
如果不定积分?g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[?(x)] ?’(x). 做变量代换u=?(x),并注意到?‘（x）dx=d?(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有?g(x)dx=?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du. 如果?f(u)du可以积出，则不定积分?g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。 定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=?(x)可导，则有换元公式 ?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du=F(u)+C=F[?(x)]+C. 第一类换元法是通过变量代换u=?(x),将积分?f[?(x) ?’(x)dx化为?f(u)du.但有些积分需要用到形如x=?(t)的变量代换，将积分?f(x)dx化为?f[?(t)] ?’(t).在求出后一积分之后，再以x=?(t)的反函数t=?1-(X)带回去，这就是第二类换元法。即 ?f(x)dx={?f[?(t)] ?’(t)dt})(1X . =? t- 为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=?1-（x）存在的条件，给出下面的定理。 定理 2 设x=?(t)是单调，可导的函数，并且?‘（t）≠0.又设f[?(t)] ?’(t)具有原函数F（t）,则?f(x)dx=?f[?(t)] ?’(t)dt=F(t)+C=F[?1-(x)]+C 其中?1-（x）是x=?（t）的反函数。 三．常用积分公式 1 基本积分公式
第五讲 几种特殊类型函数的积分
第五讲 几种特殊类型函数的积分 一、回顾上节内容 分部积分法 二、本节教学内容 1.简单有理函数的积分； 2.简单三角函数有函数的积分； 3.简单无理函数的积分。 [教学目的与要求] 1.掌握简单有理函数的积分； 2.掌握简单三角函数有函数的积分； 3.掌握简单无理函数的积分。 [教学重点难点] 简单有理函数、三角函数与无理函数积分 §4.4 几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的不定积分 1.化有理函数为简单函数 两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即 m m m m m n n n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++= =------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且 0,000≠≠b a ． 当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式． 对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如 1 2)1(112224+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题． 设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积：
μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ． 其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式) () (x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即 β ααα)()()()() (1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=- λββ)()(21 112q px x N x M b x B b x B ++++ -++-+- μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++ ++++++++++ - s rx x S x R s rx x S x R +++++++++-2 122 2)(μμμ ． （2） 其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的． 可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）a x A - ， （2） k a x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3） q px x B Ax +++2 （042 <-q p ）， （4） k q px x B Ax ) (2 +++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）． 2. 有理函数的不定积分 求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分． （1）C a x A a x d a x A dx a x A +-=--=-??ln )(1， （2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k +-?--=--=---?? 1) (11)()()(，
简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分
简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分 一、简单无理函数的不定积分 对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。 下面总假设),(y x R 表示关于变量y x ,的有理函数。 1．??? ? ??++n d cx b ax x R ,型函数的不定积分。其中0≠-bc ad 解法：作变量替换n d cx b ax t ++=，即dt t dx t ct a b dt x n n )(,)(φφ'==--=,于是 []??'=??? ? ??++dt t t t R dx d cx b ax x R n )(),(,φφ， 转化为有理函数的不定积分。 例1．求 ?++dx x x x x 14 158217 1 分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。 ()2 14 7 7 1x x x = = ，()7 14 2 1x x x = =，() 16 14 7 8 7 8x x x = = ，() 15 14 14 15x x = 作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。 解：作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，则 =++=?++=++???dt t t dt t t t t t dx x x x x 111414513 15167214 1582 1 71 例2．求 ? -?+-dx x x x 2 3 ) 2(1 22 解：设,223t x x =+- 则33122t t x +-=，dt t t dx 2 32 ) 1(12+-=，所以 ??? =-=+-???? ? ??+--?=-?+- dt t dt t t t t t dx x x x 323223323 1 43) 1(1212221)2(122 2．() c bx ax x R ++2,型函数的不定积分，其中042≠-ac b （即方程02 =++c bx ax 无重根） 分两种情况讨论： （1）042 >-ac b 时，方程02 =++c bx ax 有两个不等的实数根α、β
有理函数的不定积分
§7.3 有理函数的不定积分 (一) 教学目的： 会求有理函数的不定积分． (二) 教学内容： 化有理假分式为有理真分式, 拆分为分项分式, 有理函数的不定积分． (三) 教学建议： 通过讲练结合,掌握拆分分项分式, 从而掌握求有理函数不定积分的方法. 有理函数是指两个多项式的商表示的函数 m m m n n n b x b x b a x a x a x Q x P ++++++=-- 110110)()( 其中n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 为常数，且00≠a ，00≠b 。 如果分子多项式)(x P 的次数n 小于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为真分式；如果分子多项式)(x P 的次数n 大于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为假分式。利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如： 1 111223++=+++x x x x x 因此，我们仅讨论真分式的积分。 先介绍代数学中两个定理： 定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式)(x Q 总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积： v s l k h rx x q px x b x a x b x Q )()()()()(220++++--= 定理2 （部分分式展开定理） v v v s l l k k h rx x H x R h rx x H x R h rx x H x R q px x Q x P q px x Q x P q px x Q x P b x B b x B b x B a x A a x A a x A x Q x P )()() ()()()()()()()()()(222222112112222211221221++++++++++++++++++++++++++++-++-+-++-++-+-=