直角坐标系与球面坐标系转换

1. 直角坐标与球坐标

这里的变化范围为 []0,r ∈+∞

[]0,2φπ∈

[]0,θπ∈

与直角坐标系的转换

（1）球坐标系(),,r θφ与直角坐标系()123,,x x x 的转换关系 1sin cos x r θφ=

2sin sin x r θφ=

3cos x r θ=

（2）反之，直角坐标系()123,,x x x 与球坐标系(),,r θφ的转换关系

r =

21arctan x x φ??=????

arccos z r

θ??=???? （3）球坐标系与直角坐标系间单位矢量变化关系 123sin cos sin sin cos r e e e e θφθφθ=++ 12sin cos e e e φφφ=?+

123cos cos cos sin sin e e e e θθφθφθ=+? 球坐标系下，沿基矢方向的三个线段元为 ()dl d r r =

()dl sin d r φθφ=

()dl d r θθ=

球坐标的面元面积

()()2dS=dl *dl sin d d r φθθφθ=

体积元的体积为

()()()2dV=dl *dl *dl sin d d d r r r φθθφθ= 球面坐标中梯度的表达式

()11sin r u u u grad u e e e r r r φθθφθ

???=++??? 梯度，散度及旋度算子

11sin r e e e r r r φθθφθ

????=++??? ()()()()22111sin sin sin r F r r F F F r r r r φθθθ

φθθ????=++??? i 2sin 1sin sin r r e r e re r r

A r A rA φ

θφ

θθθφθθ????×=???A