习题3 递推关系
习 题 三
3-1 解下列递推关系：
（1）???===+---1
,00
1071021a a a a a n n n （2）???===++--1,00961021a a a a a n n n
（3）???===+-2,00102a a a a n n （4）???==-=--1210
2
1a a a a a n n n
（5）???===-+=---2,1,099210
3
21a a a a a a a n n n n
（解）（1）特征方程为010x 7x 2
=+-。解得2x 1=，5x 2=，故通解为
n n n B A a 52?+?=
分别令n ＝0，1，并代入初值1010==a a ,
得关于系数A 、B 的方程组
??
?=+=+1
520
B A B A 解得31-
=A ，3
1
=B 。所以定解为 n a ＝
()
n n
253
1- （2）特征方程为0962
=+-x x 。解得321==x x ，故通解为
()n n Bn A a 3?+=
代入初值得
?
?
?=+=1330
B A A 解得0=A ，3
1
=
B 。 ∴ 1333
1-==
n n
n n n a
（3）特征方程为012
=+x 。解得i x ±=，故通解为
()n
n n i B i A a -?+?=
代入初值得
??
?=-=+2
Bi Ai B A 解得i A -=，i B =。
∴ n a ＝()n
n i i i i -+?-＝()
1
1---+n n i i ＝()
11
11---+n n i )(
可以看出，此数列为：0，2，0，－2，0，2，0，－2，……。
当然本数列可以不用特征根法求解，直接由解递推关系就可观察出2--=n n a a ，从而由初值即得结果。
（4）用特征根法求解可得解为n a ＝1。
本小题虽然是二阶递推关系，但由于其特殊性，并不一定要用特征根法求解，而用迭代法可能更容易计算出结果。即
0122a a a -=＝2×1－1＝1， 1232a a a -=＝2×1－1＝1，…… 立即可以观察出n a ＝1（n ＝0，1，2，…）。
（5）特征方程为0992
3
=+--x x x 。解得31-=x ，12=x ，33=x ，故通解为
()n n
n C B A a 33++-=
代入初值得方程组
??
?
??=++=++-=++2991330
C B A C B A C B A 解得121-=A ，4
1-=B ，31
=C 。
∴ ()n n n a 331413121
?+---=＝()[]
113134
1--+--n n 3-2 求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。
（解）设由A ，B ，C ，D 组成的字符串为s ＝()n c c c 21，串的长度为n ，满足条件
的串有n a 个，则 n a ＝13-n a ＋()2242--+n n a ＋()3342--+n n a ＋……＋()
0042+a
即
∑-=-=-1
012n i i n n a a a ＋
()
143
11
--n 化简得
221143----+-=-n n n n n a a a a ∴ ???====+----1044210
221a a a a a a n n n n ,,
解之得
()()
n
n n
n a 3
26
3
233263234---++-=
3-3 求n 位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数。
（解）设所求的数有n a 个，可将这样的数按左边第一位的值分成两类进行统计： （1） 第一位是0，这类数有1-n a 个；
（2） 第一位是1，则按照题目条件，第二位就必须为0，故此类数有2-n a 个。 由加法法则，符合条件的数共有1-n a ＋2-n a 个。因此，得n a 满足的递推关系为
??
?==≥+=--3
23
2121a a n a a a n n n ,,
反推可得10=a ，所以
???
????????? ??--???? ??+=+++2
22
25125151n n n n F a 3-4 利用递推关系求下列和
（1）∑==
n
k n k
s 0
2
（解）由原式得
??
?==+=-3121
2
1s s n s s n n , （3.2.2） 可以看出，1是齐次递推关系1-=n n s s 的特征根，故此非齐次定解问题的特解为
*
n
s ＝()
C Bn An n ++2＝Cn Bn An ++23 为了利用待定系数法确定待定常数A 、B 、C ，将*
n s 代入（3.2.2）的第一式得
()n C Bn An
+++23
-()()()()
1112
3
-+-+-n C n B n A ＝2n
即
()()C B A n B A An +-+--2332＝2n
对任意的n ，上式成立的充分必要条件是n 的同次幂的系数相等，即方程组
??
?
??=+-=-=00321
3C B A A B A 成立。解之得 31=A ，21=B ，6
1
=C 。所以，（3.2.2）的特解为
*
n
s ＝n n n 61213123++＝()()6
121++n n n 从而得（3.2.2）的通解
()()n n n n A n n n s s s 16
121?+++=
+=*
其中A 为任意常数。再由初值条件11=s 得
()()6
12111++?＋A ＝1
即0=A 。所以（3.2.2）的定解，即和式的求和结果为
()()6
121++=n n n s n
（2）()∑=-=
n
k n k k s 0
1
（解）类似（1）得n s 满足的递推关系为
??
?===-=--2
021021s s s n
n s s n n , 特解仍为
*
n
s ＝()C Bn An n ++2＝(
)
Cn Bn An ++23 但关于待定系数A 、B 、C 的方程则变为
??
?
??=+--=-=01321
3C B A A B A 解之得 31A =
，0B =，3
1
C -=。即特解为 *
n
s ＝n n 31313-＝()()3
11+-n n n 从而通解为
n s ＝*
n
s ＋n s ＝()()
3
11+-n n n ＋A
再由初值条件0s 0=得0A =，所以
n s ＝
()()3
11+-n n n
（3）()∑=+=n
k n k k s 0
2
（解）n s 满足的递推关系为
??
?==+=--3
021021s s n n s s n n ,,
其特解为
*
n
s ＝n n n 67233123++＝()()6
721++n n n 通解为
n s ＝*
n
s ＋n s ＝()()6
721++n n n ＋n
A 1?
其中A 为任意常数。以初值条件31=s 代入得
()()6
712111+?+?＋A ＝3
即0=A 。所以
n s ＝
()()6
721++n n n
（4）()()∑=++=
n
k n k k k s 0
21
（解）n s 满足的递推关系为
()()??
?==++=--602110
1s s n n n s s n n ,,
解之得
n s ＝n n n n 234112341234+++＝
()()()4
321+++n n n n
（解）设n 位四进制数中2和3必须出现偶数次的数有n a 个，2出现奇数次3出现偶数次的数为 n b 个，2出现偶数次3出现奇数次的数为 n c 个，两者都出现奇数次的数为 n d 个。
则对于满足题目要求的数而言，可将其按照最高位数字的值分为3类情况分别予以统计：（1）最高位是0或1，那么在后续的1-n 个数字中2和3还必须出现偶数次，这样的四进制数共有2 1-n a 个；（2）最高位是2，后1-n 位必须有奇数个2偶数个3，这样的数有1-n b 个；（3）最高位是3，后1-n 位必须有偶数个2奇数个3，这样的数有1-n c 个。各类情形，没有重复的数。由加法法则，得n a 满足的递推关系n a ＝21-n a ＋1-n b ＋1-n c 。同理也可得n b 、n c 和n d 满足的递推关系，即
?????
?
?++=++=++=++=------------1
111111
111
112222n n n n n n n n n n n n n n n n d c b d d c a c d b a b c b a a ， n ≥2 且知初值为21=a ，111==c b ，01=d 。解之得
∴ n a ＝1
142--+n n ，（n ≥1）
即所求的四进制数的个数。
3-6 试求由a ，b ，c 三个文字组成的n 位符号串中不出现aa 图像的符号串的数目。
（解）用n a 表示满足条件的串的个数，显然，1a ＝3，2a ＝2
3－1＝8，当n ≥3时，将符合要求的串分为两类：
第一类： 第一字母不是a ，这样的串有21-n a 个；
第二类： 首字母为a ，次字母必为b 或c ，这样的串有22-n a 个。 综合以上情况有
()
??
?==+=--8
322121a a a a a n n n , 解之得
n a ＝
()
()
n n
316
3
23316
3
23--+
++
b
a b
a a
b b a ab b a ++++10
000
1000
1000
设行列式的值为n d ，则将行列式按第一行展开得
n n b a b
a ab
b a ab b a d ++++=10000010001000
＝()1
10
000
0100
01000-+++++n b a b
a ab
b a ab b a b a
－1
10
000
0100
000001-+++n b a b
a a
b b a ab ab
＝()2
110
000
0100
01000--++++-+n n b a b
a ab
b a ab b a ab d b a
＝()b a +1-n d －ab 2-n d
∴ ()???++=+=-+=--2
2212
1b
ab a d b a d abd d b a d n n n , 下面解递推关系，特征方程为
()02=++-ab x b a x
特征根为
()2
21b
a b a x -±+=
,＝a ，b
对于通解，需根据a 与b 的关系分两种情形进行讨论：
（1）b a =≠0：此时特征根a x =为二重根，故通解为 n d ＝()n a Bn A +，其中A 、B 为任意常数。代入21,=n 时的初值得关于A 、B 的方程组
()()?
??=+=+2
2322a a B A a
a B A 解之得1==B A ，所以行列式的值为
n d ＝()n a n +1，1≥n
（2）b a ≠：有两个不同的特征根a 和b ，通解是
n d ＝n n Bb Aa +
代入初值得
?
??++=++=+2
222b ab a B b A a b
a bB aA 解之得
b a a A -=
，a
b b
B -= 故有
n d ＝
n n b a b b a b a a -+-＝b a b b a a n n ---++11 ＝n
n n n n b ab b a b a a +++++---1221 ，1≥n
3-8 在n ×m 方格的棋盘上，放有k 枚相同的车，设任意两枚不能互相吃掉的放
法数为F k (n,m )，证明F k (n ，m )满足递推关系
F k (n ，m)＝ F k (n -1，m )＋(m -k ＋1) F k-1(n -1，m )
（证）将放法分为两类：其一是第一行无棋子，共有()m n F k ,1-种放法；其二是第一行有车（且只能有一个），可以随意选一个车出来，先将其余k －1个车放入下边的n －1行，有()m n F k ,11--种放法，然后再把选出来的车放入第一行的某个格子，但要求该格子所在的列没有车，有()1--k m 列可供选择，故第二类放法总共有
()()m n F k m k ,111-+--种。
两类放法数相加，即得结论。
3-9 在n ×n 方格的棋盘中，令g (n )表示棋盘里正方形的个数（不同的正方形可
以迭交），试建立g (n )满足的递推关系。
（解）设每个正方形方格的面积为单位1，如图3.2.2，当棋盘大小由()()11-?-n n 变为n n ?时，所增加的正方形为
（1）()12-n 个面积为1的小正方形（图3.2.2中阴影部分）；
（2）包含阴影部分的面积为4的正方形（如图3.2.2中编号为1、2、7、8的4个小格子组成的正方形，2、3、8、9组成的正方形等），有()32112-=--n n 个；
（3）
同理，包含阴影部分且面积为9的正方形有()52122-=--n n 个；
………………
（n ）所有方格组成的最大的正方形（面积为2n ），只有1个. 所以
()()()()21
1121n n g k n g n g n
k +-=-+-=∑=
即g(n)满足的递推关系为
()()()?
?
?=+-=1112
g n n g n g
图3.2.2 面积为6×6的正方形
3-10 过一个球的中心做n 个平面，其中无3个平面过同一直径，问这些平面可把
球的内部分成多少个两两无公共部分的区域？
3-11 设空间的n 个平面两两相交，每3个平面有且仅有一个公共点，任意4个平
面都不共点，这样的n 个平面把空间分割成多少个不重叠的区域？
（解） 设所给n 个平面把空间分成()n h 个不相重叠的区域，又设π是其中一个平面，去掉平面π，则剩下的1-n 个平面把空间分成()1-n h 个不相重叠的区域。现把平面π放回原处，则平面π与其余1-n 个平面均相交，共得1-n 条交线，这1-n 条交线在平面π上，它们两两相交（因为任意3个平面交于一点），但无3条交线共点（因为任意4个平面不共点），而这1-n 条交线把平面分成
()12
1+-n n 个不连通的区域，每个这样的平面区域
把原来的一个空间区域一分为二，所以
()()()()()????
?
==+-+
-=2
1101211h h n n n h n h , 用迭代法求解，即
()()()1211+-+
-=n n n h n h ＝()??????+???? ??+-121n n h ＝()??????+???? ??+??????+????
?
?-+-121212n n n h
＝……
＝()??
?
???+???? ??++??????+???? ??+?????????? ??++121231221n h
因 ()21=h ，所以
()∑=++???? ??=n
k n k n h 212＝66
51313++=++???
? ??+n n n n ，()0≥n 3-12 相邻位不同为0的n 位二进制数中一共出现了多少个0？
（解）首先知11
=a ，22=a ，53=a （即010，011，101，110共4个二进制数中
的0，而000，001，100中的0是不算的）。分类统计0的个数：
（1） 最高位是1，问题变为计算1-n 位二进制数中一共出现了多少个0，显然有
1-n a 个；
（2） 最高位是0，则次高位就必须是1，而在后面的2-n 位二进制数中满足条件的数里0共出现了2-n a 个。另知相邻位不同为0的2-n 位二进制数共有n F 个（其中n F 是第n 个Fibonacci 数），故此类二进制数中0共出现了2-n a ＋n F 个。
综合两种情形，得n a 满足的递推关系
???????==???????????? ??--???? ??+++=--1
,0251251511021a a a a a n
n n n n 3-13 平面上有两两相交，无3线共点的n 条直线，试求这n 条直线把平面分成多
少个区域？
（解）先用n 条直线把平面划分成n a 个区域，因此，前n －1条直线把平面划分为1-n a 部分，由于第n 条直线与前一条直线有n －1个交点，从而把第条直线分成n 段，而每一段都把该段所在的区域分成两部分，由此可知
??
?=+=-21
1a n
a a n n 进一步，可由此方程得到
?????
??
??=--=--=-=------2
211232211a a n a a n a a n a a n n n n n n 将上列等式左右分别相加，便可得到
1a a n -＝()()2321+++-+-+ n n n
所以
()12
1++=
n n a n 3-14 证明Fibonacci 数列的性质，当n ≥1时，
（1）()n
n n n F F F 1221-=-++
（2）222123221n n n F F F F F F F =+++- （3）12121223221-=+++++n n n F F F F F F F
（4）()()3214121+-=+++-++-n F F F F n nF n n n
（证）（1）用数学归纳法。当n ＝1、2时，3122F F F -＝2112?-＝1-，4
223F F F -＝3122
?-＝1＝()21-，原式成立。
设n ＝k 时，结论成立，即 ()k
k k k F F F 1221-=-++
当n ＝k ＋1时，
3122+++-k k k F F F ＝()()12112++++++-+k k k k k k F F F F F F
＝212++-k k k F F F ＝(
)
221
++--k k k F F F
＝()k
1--＝()
1
1+-k
由归纳原理知结论成立。
（2）定义00=F ，并注意到012F F F +=，故首先可得
()()n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F 2222222222121222-------+-=+
22222--=n n F F ，()1≥n
因此有
20222110F F F F F F -=?+?
22244332F F F F F F -=?+?
……
222222121222-----=?+?n n n n n n F F F F F F
将上述各式两端各自相加并代入00=F 即得
22212433221n n n F F F F F F F F F =++++-
（3）类似（2），对任意正整数n ，有
122212+-+n n n n F F F F ＝()()121212121212+-+-+--+-n n n n n n F F F F F F 212212-+-n n F F
因此有
21233221F F F F F F -=+ 23255443F F F F F F -=?+?
……
212212122212-++--=+n n n n n n F F F F F F
将上述各式两端各自相加即得
1223221++++n n F F F F F F ＝21212F F n -+＝1212-+n F
（4）对n 进行归纳法证明即得，关键的两不证明如下 首
先
，
n
＝
1
，
2
时
有
()()31315151+-=+-==F F ，
()()3232832621+-=+-==+F F F 。
其次，对任意正整数n ，有
()()1321211++++-+++n n F F F n nF F n
＝()()[]n n F F F n F n F n +++-+-+?-1321221... ＋[]1321++++++n n F F F F F
＝()[]34+-+n F n ＋()13-+n F ＝()()315++-+n F n
3-15 证明
（1） 当n ≥2时，
122221+?=+++n n n F F F F F
（2） 当n ≥4时，
()
()
11
1
432111----=-++-+-n n n n F F F F F F +1
（证）（1）记
n s ＝22221n F F F +++
则
1s ＝121=F ＝21F F ，2s ＝2221F F +＝1＋1＝1×2＝32F F
即n ＝1，2时等式成立。
设当n ＝k 时，有k s ＝1+k k F F ，则当n ＝k ＋1时有
1+k s ＝2122221+++++k k F F F F
＝k s ＋21+k F ＝1+k k F F ＋21+k F ＝()11+++k k k F F F ＝21++k k F F
由归纳原理知等式成立。
（2）用归纳法。由Fibonacci 数列的定义()
???==≥+=--1
22121F F n F F F n n n ,
反推知0F ＝0，
所以
1F ＝()00
111F -+=，01121=-=-F F ＝()111F -+
设当n ＝k 时，有()k k F F F F F 1
43211--++-+- ＝()
11
11---+k k F ，
则当n ＝k ＋1时有
()
()11
432111+--+-++-+-k k
k k F F F F F F
＝()
()111111+---+-+k k
k k F F ＝()()1111-+--+k k k
F F
＝()k k
F 11-+
由归纳原理知等式成立。
3-16 有2n 个人在戏院售票处排队，每张戏票票价为5角，其中n 个人各有一张
5角钱，另外n 个人各有一张1元钱，售票处无零钱可换。现将这2n 个人看成一个序列，从第一个人开始，任何部分子序列内，都保证有5角钱的人不比有1元钱的人少，则售票工作能依次序进行，否则，只能中断，请后面有5角钱的人先上来买票。前一种情况，售票工作能顺利进行，对应的序列称为依次可进行的。求有多少种这样的序列？
3-17 用a n 表示具有整数边长且周长为n 的三角形的个数，证明
()???
??-++
=+--是奇数当，是偶数
当n n a n a a n n n n 412
133, 3-18
（1） 证明边长为整数且最大边长为r 的三角形的个数是
()()?????++是奇数当，是偶数当r r r r 2
2
14
124
1, （2） 设f n 为边长不超过2n 的三角形的个数， g n 为边长不超过2n ＋1的三角形的个数，求f n 和g n 的解析表达式。
3-19 从1到n 的自然数中选取k 个不同且不相邻的整数，设此选取的方案数为
f (n ，k )
（1） 求f (n ，k )的递推关系及其解析表达式；
（2） 将1与n 也算作相邻的数，对应的选取方案数记作()k n g ,，利用f (n ，k )求
()k n g ,。
（解）（a ）对元素n 来说，不外乎两种情况：（1）n 被选进某一k 元子集。（2）n 没有选进任一k 元子集。若是（1），则1-n 就不能选进这一k 元子集，故其余k －1个元素
得从{}221-n ,,, 中去选取，所以有()12--k n f ,种选法。若是（2），k 元素子集中的k 个数可以从{
}121-n ,,, 中去选取，故有()k n f ,1-种选法。由加法法则得 ()()()k n f k n f k n f ,,,112-+--=
利用递推关系式对n 进行归纳证明
()???
?
??+-=k k n k n f 1, 规定()100=,f ，()00=k f , ()0≠k ，显然有()101=,f ，()111=,f 。 当2=n 时
()()()k f k f k f ,,,1102+-=
且有
()()()110011002=+=+-=,,,f f f ()()()211110012=+=+=,,,f f f
而对于???? ??+-k k n 1，当0=k 时，10102=???
?
??+-；当1=k 时，2121112=???? ??=???? ??+-。所以有
()???
?
??+-=k k k f 122, 设当小于n 时结论成立，即对1-≤n k 有
()???
?
??-=???? ??+--=-k k n k k n k n f 111, ()()???
?
??--=???? ??-+---=--1111212k k n k k n k n f , 则当n 时就有
()()()???
?
??+-=???? ??-+???? ??--=-+--=k k n k k n k k n k n f k n f k n f 11112,,, 所以对一切正整数n ，有
()???
?
??+-=k k n k n f 1, 另法：已知()k n f ,是{}n ,,, 21的没有两个连续整数的k 元子集的数目。先在{}n ,,, 21中任取k 个不相邻元素构成组合k a a a ,,, 21，不失一般性，可设k a a a <<< 21，则()k j i a a i j ≤<≤≥-12，令
()1--=i a b i i ，k i ,,21=
那么，()k j i b b i j ≤<≤≥-11 且有 1121+-≤<<<≤k n b b b k
因此所求组合数为从1至1+-k n 中任取k 个的组合数???
?
??+-k k n 1，即有()???
?
??+-=k k n k n f 1,。 注意若k n 21<+，则符合条件的组合数不存在。
3-20 球面上有n 个大圆，其中没有三个大圆通过同一点。用a n 表示这些大圆所形
成的区域数，例如，a 0＝1，a 1＝2，试证明
（1） a n+1＝a n ＋2n
（2） a n ＝n 2
－n ＋2 （证）（1）当2≥n 时，去掉所给1+n 个圆中的一个圆C ，则剩下的n 个圆把球面划分成n a 个不连通的区域。现把圆C 放回原处，则C 与其余n 个圆都相交，且所得的n 2个交点彼此相异（因无3个圆共点），这n 2个交点把圆C 分成n 2段弧，每段弧把原来的一个区域划分成两个小区域，故把圆C 放回原处后增加了n 2个区域，从而得n a 满足的递推关系为
??
?==+=+2
12101a a n
a a n n , （2）用迭代法求解递推关系，当2≥n 时，有
n a ＝()121-+-n a n ＝()()12222-+-+-n n a n
……
＝()()122222121-+-++?+?+n n a ＝()()()122122-+-++++n n
＝22
+-n n
显见当n ＝1时，上式仍成立。所以有
∴ ???≥+-==1
20
12n n n n a n ，，
3-21
(1) 试计算从平面坐标点O(0，0)到A (n ，n )点在对角线OA 之上但可以经过OA 上的点的递增路径的条数；
（2）试证明从平面坐标上O(0，0)点到A (n ，n )点在对角线OA 之上且不触及OA 的递增路径的条数是
()???
? ??-n n n 21221
3-22 有多少个长度为n 的0与1串，在这些串中，既不包含子串010，也不包含
子串101？例如，当n ＝4时，有10个这样的串
0000 0001 0011 0110 0111 1000 1001 1100 1110 1111 （不符合要求的串有 0010 0100 0101 1010 1011 1101）
（解）设长度为n 而满足条件的串有()n f 个，可将其分为两类：
（1） 最后两位相同。此种串可由长为 1-n 而满足条件的串a ，再加上与a 的末位
相同的数字构成，例如：0011001→，因此这种情形的串共有()1-n f 个。 （2） 最后两位不同。此种串可由长为2-n 的满足条件的串a ，再加上与a 的末位先
同而后异的两个数字构成，例如：011001→，此种串共有()2-n f 个。于是
有()()()21-+-=n f n f n f 。显然()21=f ，()42=f 。所以()n f 满足的递推关系为
()()()()()?
??==-+-=422121f f n f n f n f , 解得
()???
????????? ??--???? ??+==+++1
11
251251522n n n F n f ＝n
n ???
? ??--+???? ??++251555251555
由递推公式求通项公式的方法
由递推公式求通项公式的方法 已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。 一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有 21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=- 将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++- ，进而求解。 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 解：依题意有 213211,3,,23n n a a a a a a n --=-=-=- 逐项累加有221(123)(1)1323(1)212n n n a a n n n n +---=+++-= =-=-+ ，从而223n a n n =-+。 注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错. 变式练习：已知{}n a 满足11=a ,) 1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式。 二、)(1n f a a n n ?=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为1()n n a f n a +=，从而就有 32121 (1),(2),,(1)n n a a a f f f n a a a -===- 将上述1n -个式子累乘，变成1 (1)(2)(1)n a f f f n a =???- ，进而求解。 例2. 已知数列{}n a 中11123,(2)321 n n n a a a n n --==?≥+，求数列{}n a 的通项公式。
(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法
求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
用递推公式计算定积分(matlab版)
用递推公式计算定积分 实验目的： 1．充分理解不稳定的计算方法会造成误差的积累，在计算过程中会导致误差的迅速增加，从而使结果产生较大的误差。 2．在选择数值计算公式来进行近似计算时，应学会选用那些在计算过程中不会导致误差迅速增长的计算公式。 3．理解不稳定的计算公式造成误差积累的来源及具体过程； 4．掌握简单的matlab语言进行数值计算的方法。 实验题目： 对n=0,1,2,…,20，计算定积分： 实验原理： 由于y(n)= = – 在计算时有两种迭代方法，如下： 方法一： y(n)=– 5*y(n-1),n=1,2,3, (20) 取y(0)= = ln6-ln5 ≈ 0.182322 方法二： 利用递推公式：y(n-1)=-*y(n),n=20,19, (1) 而且，由 = * ≤≤* =
可取：y(20)≈*()≈0.008730. 实验容： 对算法一,程序代码如下： function [y,n]=funa() syms k n t; t=0.182322; n=0; y=zeros(1,20); y(1)=t; for k=2:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y(1:6) y(7:11) 对算法二，程序代码如下： %计算定积分； %n--表示迭代次数； %y用来存储结果； function [y,n]=f(); syms k y_20;
y=zeros(21,1); n=1; y_20=(1/105+1/126)/2; y(21)=y_20; for k=21:-1:2 y(k-1)=1/(5*(k-1))-y(k)/5; n=n+1; end 实验结果： 由于计算过程中，前11个数字太小，后9个数字比较大，造成前面几个数字只显示0.0000的现象，所以先输出前6个，再输出7—11个，这样就能全部显示出来了。 算法一结果： [y,n]=funa %先显示一y(1)—y(6) ans = 0.1823 -0.4116 2.3914 -11.7069 58.7346
九类常见递推数列求通项公式方法
递推数列通项求解方法举隅 类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。 类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。
由递推公式求通项公式典型例题素材
如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。 类型一：1()n n a a f n +-= 或 1()n n a g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或121121 n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n += =++，求数列{}n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s +==，求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）由题知：121111(1)1 n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---…… 312n = - （2）2(1)n n s n a =+ 112(2)n n s na n --∴=≥ 两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即： 1(2)1 n n a n n a n -=≥- 121121 n n n n n a a a a a a a a ---∴=?? (121121) n n n n -=??--…… n = 类型二：1(,(1)0)n n a pa q p q pq p +=+-≠其中为常数，
习题3 递推关系
习 题 三 3-1 解下列递推关系： （1）???===+---1 ,00 1071021a a a a a n n n （2）???===++--1,00961021a a a a a n n n （3）???===+-2,00102a a a a n n （4）???==-=--1210 2 1a a a a a n n n （5）???===-+=---2,1,099210 3 21a a a a a a a n n n n （解）（1）特征方程为010x 7x 2 =+-。解得2x 1=，5x 2=，故通解为 n n n B A a 52?+?= 分别令n ＝0，1，并代入初值1010==a a , 得关于系数A 、B 的方程组 ?? ?=+=+1 520 B A B A 解得31- =A ，3 1 =B 。所以定解为 n a ＝ () n n 253 1- （2）特征方程为0962 =+-x x 。解得321==x x ，故通解为 ()n n Bn A a 3?+= 代入初值得 ? ? ?=+=1330 B A A 解得0=A ，3 1 = B 。 ∴ 1333 1-== n n n n n a （3）特征方程为012 =+x 。解得i x ±=，故通解为 ()n n n i B i A a -?+?= 代入初值得
?? ?=-=+2 Bi Ai B A 解得i A -=，i B =。 ∴ n a ＝()n n i i i i -+?-＝() 1 1---+n n i i ＝() 11 11---+n n i )( 可以看出，此数列为：0，2，0，－2，0，2，0，－2，……。 当然本数列可以不用特征根法求解，直接由解递推关系就可观察出2--=n n a a ，从而由初值即得结果。 （4）用特征根法求解可得解为n a ＝1。 本小题虽然是二阶递推关系，但由于其特殊性，并不一定要用特征根法求解，而用迭代法可能更容易计算出结果。即 0122a a a -=＝2×1－1＝1， 1232a a a -=＝2×1－1＝1，…… 立即可以观察出n a ＝1（n ＝0，1，2，…）。 （5）特征方程为0992 3 =+--x x x 。解得31-=x ，12=x ，33=x ，故通解为 ()n n n C B A a 33++-= 代入初值得方程组 ?? ? ??=++=++-=++2991330 C B A C B A C B A 解得121-=A ，4 1-=B ，31 =C 。 ∴ ()n n n a 331413121 ?+---=＝()[] 113134 1--+--n n 3-2 求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。 （解）设由A ，B ，C ，D 组成的字符串为s ＝()n c c c 21，串的长度为n ，满足条件 的串有n a 个，则 n a ＝13-n a ＋()2242--+n n a ＋()3342--+n n a ＋……＋() 0042+a 即 ∑-=-=-1 012n i i n n a a a ＋ () 143 11 --n 化简得 221143----+-=-n n n n n a a a a ∴ ???====+----1044210 221a a a a a a n n n n ,,
由递推公式求通项公式的三种方法
由递推公式求通项公式的三种方法 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法． 1．累加法 [典例1] 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N * )．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 [解析] 由已知得b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3. [答案] B [题后悟道] 对形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出a n －a 1与n 的关系式． 2．累乘法 [典例2] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝ n ＋23a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式． [解] (1)由S 2＝43 a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3. 由S 3＝53 a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32 (a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1. 当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13 a n －1，
整理得a n ＝n ＋1n －1 a n －1. 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1 a n －1. 将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝ n n ＋1 2. 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝ n n ＋1 2. [题后悟道] 对形如a n ＋1＝a n f (n )(f (n )是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出a n a 1与n 的关系式． 3．构造新数列 [典例3] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；则a n ＝________. [解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1 ＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3 n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1. [答案] 2×3 n －1－1 [题后悟道] 对于形如“a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)”的递推公式求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法． 上面是三种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法，从这些题型及解法中可以发现，很多题型及方法都是相通的，如果能够真正理解其内在的联系及区别，也就真正做到了举一反三、触类旁通，使自己的学习游刃有余，真正成为学习的主人．
(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。
九类常见递推数列求通项公式方法
递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。
1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。
(完整版)数列专题1递推公式求通项公式(练习)
专题1：递推公式求通项公式 1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（ ） A ．14-=n a n B ．223++-=n n n a n C ．12 ++=n n a n D ．不存在 2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （ ） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3- 3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，* n N ∈都有2123n a a a a n ??=L ，则35a a +=等 于（ ） A. 16 61 B. 9 25 C. 16 25 D. 15 31 4．下列各式中，可以作为数列}{n a 的通项公式的是：（ ） A ．2-= n a n B ．)2(log 1-=-n a n n C ．112 ++= n n a n D ．4 tan π n a n = 5．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 （ ） A ．289 B ．1024 C ．1225 D ．1378 7．数列}{n a 的前n 项和)2(2 ≥?=n a n S n n ，而11=a ，通过计算2a ，3a ，4a 猜想=n a A ． 2)1(2+n B ．n n )1(2+ C ．122-n D ．1 22 -n 8．数列}{n a 中，)2(31, 11 1 1≥+= =--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（ ）
专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)
专题 由递推关系求数列的通项公式 一、目标要求 通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法： 二、知识梳理 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。 三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及 等差数列和等比数列的通项公式。 例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式 评注 在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。 例2 已知数列{n a }中112a =，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积
递推关系求通项公式教案
教 案 课题：递推关系求通项公式 课型： 习题课 授课人：呼延敏 要点自主整合：累加法、累乘法两种基本的由递推公式求通项 教学目标: 【知识目标】 累加法、累乘法的应用 【能力目标】 培养学生的发散思维能力，进而提高转化与化归能力的培养. 【情感目标】培养学生的创新意识与创新思维，培养学生的合作探究意识 。 学生能够通过等差、等比数列的通项公式推导得到累加法、累乘法两种基 本的由递推公式求通项公式的方法，并进一步拓展到“构造法”，在此过程中使学生的思维空间得以拓展，养成善于观察，勇于创新的学习精神。 教学重点：已知数列递推关系求通项关系的几种基本类型。 教学难点：累加法、累乘法的应用 教学过程： 引 例： 11=a n n a a +=+21 求n a 提问：等差数列的通项公式的推导方法是什么? 学生答：…………… 类型<一> 形如a 1=a, a n+1=a n +f ()n 型 其中f ()n 为可求和数列采用累 加法求通项 例1：数列{}n a 中a 1=1 a n+1=2n+a n 求a n 解析： a n+1—a n =2n ∴当n 2≥时a n —a n-1=2()1-n a 2—a 1=2 a 3—a 2=4
a 4—a 3=6 ..…… a n —a n-1=2()1-n 对上面的n-1个式子相加得到：a n =n 2—n+1 变式训练1：数列中{}n a a 1=1 a n+1=a n +2n 求a n 类型<二> 形如a 1=a, a n+1=a n *f ()n 型 采用累乘法 在引例1中将加号+变为乘号*即得到一个等比数列11=a n n a a *=+21 让学生回顾：等比数列中通项公式的推导方法是什么？ 学生答：………… 将变式训练1中的加号+变为乘号*得到如下例题 例2：数列中{}n a 11=a n n n a a 21*=+ 求n a 解析： 1+n a = n n a 2* ∴当2≥n 时 11 2--=n n n a a 21 2=a a 22 32=a a 3342=a a ……….. 11 2--=n n n a a
1-2-2 数列递推关系综合应用 解析版
专题限时训练 (小题提速练) (建议用时：45分钟) 一、选择题 1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2 a n ＋1 (n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( ) A ．－2 B.－1 C.0 D.(－1)n 解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2 －2 a ＋1 ，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A. 答案：A 2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1 n B.a n ＝ 2n ＋1 C ．a n ＝2 n ＋2 D.a n ＝3n 解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2， 可得 1 a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1 ， 所以??????1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1 a 1 ＝2－1＝1 的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1 n . 答案：A 3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10 D.11 解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100， 解得n ＝10. 答案：C 4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1 3(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5 D.15 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n .
递推公式求通项公式的几种方
由递推公式求通项公式的常用方法 由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 方法一：累加法 形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。 例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列 （1）求c 的值 （2）求{a n }的通项公式 解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列 2 022)2(2)() ,3,2,1(111113 12 2===++?=+∴=+=?=∴+c c a c c a a c a n cn a a a a a n n 因此（舍去）或解得又 （2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 ) 1(2322 2121342312-=-?=-?=-?=--n a a a a a a a a n n 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2 －n 又a 1＝2,a n ＝n 2 －n ＋2 方法二：累乘法 形如 a n +1 a n ＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……
.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n
已知数列递推公式求通项公式的几种方法
已知数列递推公式求通项公式的几种方法 Revised on November 25, 2020
求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则11 3 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为 121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+， 即得数列{}n a 的通项公式。 例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 所以3 1.n n a n =+-
数列的递推公式练习
数列的递推公式练习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
课时作业5数列的递推公式(选学) 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．在数列{a n}中，a1＝，a n＝(－1)n·2a n－1(n≥2)，则a5＝() A．－ C．－ 【答案】 B 【解析】由a n＝(－1)n·2a n－1知a2＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝－2a4＝. 2．某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N，数列的前n项之积为 n2，则这个数列的通项公式是() A．a n＝2n－1 B．a n＝n2 C．a n＝D．a n＝ 【答案】 C 【解析】∵a1·a2·a3·…·a n＝n2，a1·a2·a3·…·a n－1＝(n－1)2，∴两式相除，得a n＝. 3．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝a n，n∈N＋，则a2009＝ ________，a2014＝________. 【答案】10 【解析】考查数列的通项公式． ∵2009＝4×503－3，∴a2009＝1， ∵2014＝2×1007，∴a2014＝a1007，
又1007＝4×252－1，∴a1007＝a4×252－1＝0. 4．已知数列{a n}，a1＝0，a n＋1＝，写出数列的前4项，并归纳出该数列的通项公式． 【解析】a1＝0，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝. 直接观察可以发现，把a3＝写成a3＝， 这样可知a n＝(n≥2，n∈N＋)． 当n＝1时，＝0＝a1， 所以a n＝(n∈N＋)． 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知数列{a n}满足：a1＝－，a n＝1－(n≥2)，则a4＝() C．－ 【答案】 C 【解析】∵a1＝－，a n＝1－(n≥2)， ∴a2＝1－＝1－＝5， a3＝1－＝1－＝， a4＝1－＝1－＝1－＝－. 2．数列{a n}满足a1＝，a n＝－(n≥2，n∈N＋)，则a2013＝() B．－ C．3 D．－3 【答案】 A
备战2020数学高考三大类递推数列通项公式的求法
三大类递推数列通项公式的求法 湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿 一、一阶线性递推数列求通项问题 一阶线性递推数列主要有如下几种形式： 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和). 当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时， 则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０． 2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积). 当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式． 3.； 这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式 . 例１已知数列中，,求的通项公式． 解析：解法一：转化为型递推数列． ∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即． 解法二：转化为型递推数列． ∵=2x n-1+1(n≥2) ①∴=2x n+1 ② ②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x 2-x 1 =2， 公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三：用迭代法． 当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
例２已知函数的反函数为 求数列的通项公式. 解析：由已知得，则． 令=,则.比较系数，得. 即有．∴数列｛｝是以为首项，为 公比的等比数列，∴，故． 评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之． （4） 若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之. （5）； 这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例３设数列求数列的通项公式．解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．例４设求数列的通项公式． 解析：设用代入，可解出．
求数列通项公式的11种方法
求数列通项公式的１1种方法方法 总述：一.利用递推关系式求数列通项的11种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法)、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号)、 数学归纳法(少用) 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式)、 特征根法 二.四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+ －--－------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若1()n n a a f n +-=(2)n ≥, 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，,求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=++ +++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +,得 11 121 3333 n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故