狭义相对论作业(2[1]..

一、选择题

［ A ］1 宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过?t (飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为 (c 表示真空中光速)

(A) c ·?t (B) v ·?t

(C)

2

)/(1c t c v -?? (D) 2

)/(1c t c v -???

注：飞船中的光速为c ，传播时间为?t ，所以飞船的固有长度为c ·?t

［ B ］2 在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s ，若相对于甲

作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速) (A) (4/5) c ． (B) (3/5) c ．

(C) (2/5) c ． (D) (1/5) c ．

注：由于2

20

1c

v -=

ττ，其中s 5=τ，s 40=τ，故c v 5

3=

［ C ］3 K 系与K ＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K ＇系相对于K 系沿Ox 轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在K ＇系中，与O 'x '轴成 30°角．今在K 系中观测得该尺与Ox 轴成 45°角，则K ＇系相对于K 系的速度是： (A) (2/3)c ． (B) (1/3)c ．

(C) (2/3)1/2c ． (D) (1/3)1/2c ．

注：22

1c

v x x -=，0y y =

?-=-=

=2

2

22

00

11

30

tan 145tan c

v c v x y x

y

c v 21

)3

2

(=

［ C ］4 设某微观粒子的总能量是它的静止能量的K 倍，则其运动速度的大小 为(以c 表示真空中的光速)

(A)

1-K c ． (B)

21K K c

-． (C) 12-K K c ． (D) )2(1

++K K K c

．

注：?=2

02c km mc ?=-k c

v 2

2

11 12-=

k k

c

v

二．填空题

1 在惯性系中，两个光子火箭（以光速c 运动的火箭）相向运动时，一个火箭对另一个火箭的相对运动速率为________c___________．

注：由光速不变原理即知结论

2 一门宽为a ．今有一固有长度为l 0 (l 0 > a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于

门的运动速率u 至少为 c l a u 20

2

1-=．

3 (1) 在速度=v c 2

3

情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍．

注：由题意知：

c v v

m c v v

m 2

32102

20=

?=- (2) 在速度=v c 2

3

情况下粒子的动能等于它的静止能量．

注：由题意知：c v c m mc c m c m mc E k 2

3220220202=

?=?=-= 4 已知一静止质量为m 0的粒子，其固有寿命为实验室测量到的寿命的1/n ，则此粒子

的动能是)1(20-n c m ．

注：?-=22

01c

v ττ

n c

v =-2

211，)1()111(

202

2

20202-=--=-=n c m c

v c m c m mc E k

三．计算题

1 在O 参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm 2．观测者O ＇以 0.8c 的匀速度沿正方形的对角线运动．求O ＇所测得的该图形的面积．

解：与运动方向垂直的对角线长为：cm d 210=

沿运动方向的对角线长为：cm c

v d 26121022

=-='

则面积 2602

1

cm d d S ='=

2 两只飞船相向运动，它们相对地面的速率都是v ．在A 船中有一根米尺，米尺顺着飞船的运动方向放置．问B 船中的观察者测得该米尺的长度是多少？

解：设B 船为k 系，地面为k '系，A 船为研究对象，则 v v =' v V = 则

2

22121c v v

V c v v v v A +='

++'=

则 2

22

222

11v c v c c v l A

+-=-?=

3 半人马星座α星是距离太阳系最近的恒星，它距离地球S = 4.3×1016 m ．设有一宇宙

飞船自地球飞到半人马星座α星，若宇宙飞船相对于地球的速度为v = 0.999 c ，按地球上的时钟计算要用多少年时间？如以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年？

解：从地球上看：

s c

t s t 816

1044.1999.0103.4?=?=

=? 从飞船上看：

s c

v t t 622

01044.61?=-??=?

（或者：从飞船上看，半人马星座α星与地球间的距离为：22

1c

v s l -?=

则 s c

v t c v v S v l t 622

2201044.611?=-??=-==?）

4 一短跑选手，在地球上以10s 时间跑完100m ，在飞行速度为0.98c 的飞船中观察者

观察，这选手跑了多少时间和多长距离？ 解：取飞船为k 系，地面为k '系， 则 c v V 98.0==飞船0

由2

2

1c V t V x x -'+'=

与2

221c V x c V t t -'+

'=

知： 2

2

1c V t V x x -'?+'?=

?，2

22

1c

V x c V t t -'?+

'?=

? 其中m x 100='?，s t 10='? 则m x 101048.1?=?，s t 5.50=?

（注： 由于m/s v v 10=='选手，所以由飞船上看，选手的速度为

s m v c

V V

v v /10938.2182?='++'=

则由飞船上看，选手跑的距离为

m t v x 101048.1?=?=?）

5 要使电子的速度从v 1 =1.2×108 m/s 增加到v 2 =2.4×108 m/s 必须对它作多少功？ (电子静止质量m e ＝9.11×10-

31 kg)

解：202c m mc E k -= 则由动能定理知 J c m c v c v c m m E A e k 1422

212

22

2121075.4)1111(

)(-?=--

-

=-=?=

6已知μ子的静止能量为105.7MeV ，平均寿命为2.2?10-6

s ，试求动能为150MeV 的μ子的速度V ，以及平均寿命τ。

解：02

2

202

2

2020)111(

)111(

E c v c m c v c m mc E E E k --=--=-=-=

故

02

2111E E c

v k +

=- c c E E E v k 91.0)(120

=+-= 而 s E E c

v k

600

2

2

1032.5)1(1-?=+

=-=

τττ 7 在惯性系中，有两个静止质量都是m 0的粒子A 和B ，它们以相同的速率v 相向运动，

碰撞后合成为一个粒子，求这个粒子的静止质量M 0． 解：由动量守恒知，碰撞后合成粒子的速度为零． 由能量守恒知,

202

22012c M c

v c m =-

则 2

2

0012c v m M -=

选做题：

1、火箭相对于地面以v =0.6c (c 为真空中光速)的匀速度向上飞离地球. 在火箭发射

s t 10='?后（火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为1ν=0.3c , 问火

箭发射后多长时间（地球上的钟），导弹到达地球？计算中假设地面不动.

解：地面上观察火箭发射导弹时的时间为

s c v t t 5.1212

2

=-'

=

??

发射导弹时距离地面的高度为 t v h ?= 导弹落到地面的时间为 s v h

t 251

1==

? 则从火箭发射到导弹到达地面，其时间间隔为s t t t 5.3710=+=???.

2、一能量为0νh ，动量为c h 0

ν的光子，与一个静止的质量为0m 的电子作弹性碰撞，散射光子的能量变为νh ，动量为c

h ν

. 证明：光子的散射角?所满足的关系为

)cos 1(00

?νν

-=

-

c

m h

c

c

. 证：由能量守恒得：

2200mc h c m h +=+νν （1） 由动量守恒得：

i c h v m i c h '+=νν0 或 i c h i c h v m

'-=νν0 （2）

由题意知：i 与i

'间夹角为?. （2）式两边取平方得：

?ννννcos 202222

02222h h h c v m -+= （3）

由（1）得：

)(22020022220242042νννννν-+-++=h c m h h h c m c m （4）

（4）式减（3）式得

)(2)cos 1(2)1(020024

20224

2νν?νν-+--=-h c m h c m c

v c m

亦即

)cos 1(00

?νν

-=

-

c

m h

c

c

.