正多边形的计算练习题
练习题
（一）计算
1．已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距．
3．已知圆内接正三角形边心距为2cm，求它的边长．
距．
长．
长．
8．已知圆外切正方形边长为2cm，求该圆外切正三角形半径．
10．已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长．
长．
12．已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形
外接圆的半径．
13．已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边
长之比．
15．已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该
圆内接正三角形的面积．
16．已知圆O内接正n边形边长为a n，⊙O半径为R，试用
a n，R表示此圆外切正n边形边长
b n．
18．已知在正三角形的各边AB，BC，CA上取AA′，BB′，
内切圆周长．
的外接圆的外切正三角形面积．
20．已知正三角形半径为4cm，求以正三角形的一边为边所
作正方形外接圆的外切正三角形的边长．
21．已知圆内接三角形的一边等于该圆内接正三角形的边
长，另一边等于该圆内接正六边形的边长，求这个三角形面积与
该圆内接正三角形面积之比．
22．已知如图7－332，在正方形ABCD的各边上向形内作
120°弧，连结各交点得正方形A′B′C′D′．求S A′B′C′D′与S ABCD
的比值．
23．已知如图7－333，正五边形ABCDE中，AC，BE交于点
F．若AB=1cm，求BF的值（不查表）．
24．求半径为R的圆的内接正n边形的边长a n．
边形边数及外接圆半径R．
（二）证明
26．如图7－334，延长正六边形的边AB，CD，EF，两两相
交于H，M，N．求证：S△HMN∶S ABCDEF=3∶2．
27．试以六边形为例，证明圆外切等角多边形是正多边形．
正多边形概念
正多边形概念 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形(多边形：边数大于等于3)。 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 正多边形的外接圆的半径叫做半径。 中心到圆内切正多边形各边的距离叫做边心距。 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个圆心角叫做正多边形的中心角 内角 正n边形的内角和度数为：（n－2)×180度; 正n边形的一个内角是(n-2)×180°÷n. 外角 正n边形外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360° 所以正n边形的一个外角为：360÷n. 所以正n边形的一个内角也可以用这个公式：180°-360÷n. 对角线 在一个正多边形中，一个点可以与除了与他相邻的所有点连线，就成了点数减2（2是那两个相邻的点）个三角形。而正多边形的点数与边数相同，所以有边数减2个三角形。三角形内角和：180度，所以把边数减2乘上180度，就是这个正多边形的内角和对角线 对角线数量的计算公式：n(n-3)÷2。 面积 设正n边形的半径为R，边长为an，中心角为αn，边心距为r n，则αn=360°÷n，an=2Rsin(180°÷n)，r n=Rcos(180°÷n)，R^2=r n^2+(an÷2)^2，周长pn=n×an，面积Sn=pn ×rn÷2。 对称轴 正多边形的对称轴—— 奇数边：连接一个顶点和顶点所对的边的中点，即为对称轴； 偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点，都是对称轴。 正N边形边数为N。 正N边形角数为N。 正N边形对称轴数，奇数为N；偶数为2N。 镶嵌规律 在正多边形中，只有三种能用来铺满一个平面而中间没有空隙，这就是正三角形、正方形、正六边形。因为正三角形的每一个角等于60度，六个正三角形拼在一起时，在公共顶点上的六个角之和等于360度；正方形的每个角等于90度，所以四个正方形拼在一起时，在公共顶点上四个角的和也刚好等于360度；正六边形的每个角等于120度，三个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和也等于360度，如果用别的正多边形，就不能达到这个要求。例如正五边形的每只角等于108度，把三个正五边形拼在一起，在公共顶点上三个角之和是108度*3=324度，小于360度有空隙。而空隙处又放不下第四个正五边形，因为108度*4=432度，大于360度。 正四边形外接圆 把圆分为n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边 形，也就是正n边形的外接圆。 正多边形的内切圆 把圆分为m(m≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正m边形，也就是正m边形的内切圆。
初中数学圆知识点总结
A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠ C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BC BD =AC AD = 中考数学复习（48）：正多边形和圆 知识考点： 1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算； 2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长； 3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积； 4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。 精典例题： 【例1】如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。 分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径3R 与6R 的平方比即可。 解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为3R ，正六边形外接圆⊙O 2的半径 为6R ，由题意得：AB R 3 3 3=，AB R =6，∴3R ∶6R ＝3∶3； ∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3。 【例2】已知扇形的圆心角为1500，弧长为π20，求扇形的面积。 分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式，lR R n S 2 1 3602=π＝ 扇形，由条件n ＝1500，π20=l 看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。 解：设扇形的半径为R ，则180 R n l π＝，n ＝1500，π20=l ∴18015020R ππ＝ ，24=R ∴ππ24024202 1 21=??=lR S ＝扇形。 【例3】如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝600，求阴影部 分的周长。 分析：此题欲求阴影部分的周长，须求PA 、PB 和? AB 的长，连结OA 、OB ，根据切线长定理得PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠，∠APO ＝∠BPO ＝300，在Rt △PAO 中可求出PA 的长，根据四边形内角和定理可得∠AOB ＝1200 ，因此可求出? AB 的长，从而能求出阴影部分的周长。 解：连结OA 、OB ∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点 ∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠ 2 O 1O ?? 例1图 B A 例3图 《多边形》 班级：学号：姓名：成绩： 一、填空题（每小题3分，共21分） 1、在△ABC中，∠A=20，∠B＝∠C，则∠B＝度． 2、正多边形的内角和等于720，那么这个正多边形的一个外角等于度． 3、（1）∠1= 度（2）∠1= 度（3）∠1= 度 （第3题） 4、从五边形的顶点出发，共可以画条对角线 5、已知等腰三角形的两边长是4和10，则它的周长是 6、一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于，则n 的值为 7、在△ABC中，若AB＝2，BC＝3，AC边长为奇数，则AC边长为 二、选择题（每小题3分，共18分） 8、下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是( ). (A)600 (B)720 (C)900 (D)1080 9、若多边形的边数由3增加到5，则其外角和的度数( ). (A) 增加(B) 减少(C) 不变(D) 不能确定 10、下列正多边形不能拼成一个平面的是( ). (A) 正三角形(B) 正方形(C) 正六边形(D) 正十边形 11、在△ABC中，符合下列条件但不能判定它是直角三角形的是( ). (A) ∠A+∠B =90°(B) ∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3 (C) ∠A＝2∠B＝3∠C (D) ∠A＋∠B＝2∠C 12、若等腰三角形的底边长为8，则腰长的取值范围是( ). (A) 大于4且小于8 (B) 大于4且小于16 (C) 大于8且小于16 (D) 大于4 13、正多边形的一个外角为36度，则它的边数是（） (A) 10 (B) 6 (C)5 (D)8 三、作出△ABC的三条高（9分） A B C 四、（每空1分，共24分） 1、如图1,D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B ＝∠BAD ， ∠ADC ＝80°， ∠BAC =70°.求： （1）∠B 的度数； （2）∠C 的度数. 解 （1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知） ∴∠ADC ＝∠ ＋∠BAD （三角形的一个外角等于 ）. 又∵∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝80°（ ） ∴∠B ＝80°÷ ＝ °. （2）在△ABC 中， ∵∠B ＋∠ ＋∠C ＝180°（三角形的 ）， ∴∠C ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－ － 70° ＝ 2、如图，在直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠BCD ＝35°， 求（1）∠EBC 的度数. （2）∠A 的度数。 解： （1）∵CD 是斜边AB 上的高 （ ） ∴∠CDB= ∵在△BDC 中，∠EBC=∠CDB+∠ （ ） ∴∠EBC= °+ °（等量代换）。 （2）∵在△ABC 中，∠EBC=∠A+∠ （ ） ∴∠A=∠EBC-∠ （等式的性质） 又∵△ABC 是直角三角形，∠ACB= °（ ） ∴∠A= °- °= °（ ） 五、（10分）如图，△ABC 中，∠ACD=70°，∠B=∠BAC ，AE 是∠BAC 的平分线，AD 是BC 边上的高，求∠B 和∠DAE 的度数 图 1 A B C D E （第2题） 个性化辅导教案 正多边形和圆 知识梳理: 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一 个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形的一个中心角的度数为： 型 正多边形的中心角 与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为自然数)： (1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。 接圆的圆心。 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 (1)用量角器等分圆周。 8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份: ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 学生姓名: 授课教师: 所授科目: 学生年 级： 上课时间：2016年 月 分至 时 分共 小时 教学重难点 教学标题 正n 边形每一个内角的度数为: n 2 180 180 °。 ⑵ 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形, 对称中心是正多边形的中心, 即外 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形：d 1 —r (2)圆内接正四边形: 2 (设圆内接正多边形的半径为 d 丘 d ——r r ,边心距为d) (3)圆内接正六边形: 43 —r 2 6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系: (1)圆内接正三角形：x (2)圆内接正四边形: (3)圆内接正六边形: x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为 R 的正n 边形，只要把半径为 R (2)用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。 (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形; n 边形。 思路解析：如图，设正三角形的边长为a ，则高 AD= 3 思路解析：因为正 n 边形的中心角为 360? 3 4 24.3 正多边形和圆 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 思路解析：由题意知 圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍，所 以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化. 答案：D 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3 a ，外接圆半径 OA= a ，边心距 2 3 OD= 3 6 a ， 所以 AD ∶OA ∶OD=3∶2∶1. 答案：A 3.正 五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 思路解析：正 n 边形的对称轴与它的边数相同. 答案：5 6 4.中心角是 45°的正多边形的边数是__________. 360? ，所以 45°= ，所以 n=8. n n 答案：8 5.(2010 上海静安检测△)已知 ABC 的周长为 20,△ABC 的内切圆与边 AB 相切于点 D,AD=4, 那么 BC=__________. 思路解析:由切线长定理及三角形周长可得. 答案:6 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.若正 n 边形的一个外角是一个内角的 2 3 时，此时该正 n 边形有_________条对称轴. 360? (n - 2) ? 180? 思路解析：因为正 n 边形的外角为 ，一个内角为 ， n n 360? 2 (n - 2) ? 180? 所以由题意得 = · ，解这个方程得 n=5. n 3 n 答案：5 2.同圆的内接正三角 形与内接正方形的边长的比是( ) A. 6 6 B. C. D. 2 3 4 3 思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选 A. 答案：A 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S 3、S 4、S 6 之间的大小关系是( ) 一、选择题(本大题共11小题，共33.0分) 1.六边形的内角和是（） A.540° B.720° C.900° D.1080° 2.将一个长方形纸片剪去一个角，所得多边形内角和的度数不可能是（） A.180° B.270° C.360° D.540° 3.在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的， 则这个多边形的边数是（） A.5 B.6 C.7 D.8 4.设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b 的关系是（） A.a＞b B.a=b C.a＜b D.b=a+180° 5.若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（） A.10 B.9 C.8 D.6 6.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（） A.108° B.90° C.72° D.60° 7.已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（） A.6 B.7 C.8 D.9 8.一个多边形，它的每一个外角都为60°，则这个多边形是 （） A.六边形 B.八边形 C.十边形 D.十二边形 9.一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（）边形． A.3 B.4 C.5 D.6 10.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( ) A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十边形 11.如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10 米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转 24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（） A.140米 B.150米 C.160米 D.240米 二、填空题(本大题共38小题，共114.0分) 12.如果一个正六边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为 ______ ． 13.如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ ACB= ______ ． 14.若多边形的每一个内角均为135°，则这个多边形 的边数为 ______ ． 15.若一个正多边形的每一个内角都等于135°，则它是正 ________边形． 16.若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是 . 17.若一个多边形内角和等于1 260°，则该多边形边数是 __________. 正多边形的有关计算 一、素质教育目标 (一)知识教学点 使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题． (二)能力训练点 1．通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力； 2．通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力； 3．通过用不同方法求正多边形的内角，培养学生的发散思维能力和选优意识； 4．从具体边数的正n边形得到一般正n边形的计算图培养学生化归、转化的数学思想． (三)德育渗透点 1．由具体边数的正多边形计算图过渡到一般计算图，渗透了“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证唯物主义认识观； 2．正多边形计算图的得出渗透了化繁为简、化难为易二矛盾相互依存、相互转化的思想； 3．通过正多边形的有关计算，培养学生仔细认真、一丝不苟、严谨的科学态度； 4．通过正多边形有关计算公式的推导，培养学生不断探索科学奥秘的创新精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．重点：1．化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理．2．正多边形计算图及其应用． 2．难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算． 3．疑点及解决方法：学生对只画出正n边形的一部分图形的计算图生疏，用它分析、计算有疑虑．为此计算图的抽象应由具体边数的正多边形计算图逐步过渡． 三、教学步骤 (一)明确目标 前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算． (二)整体感知 大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题． (三)重点、难点的学习与目标完成过程 哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．) 什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．) 正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．) 什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．) 正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数 正n边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度 哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．) 2020年人教版九年级数学上册 24.3《正多边形和圆》随堂练习 基础题 知识点1 认识正多边形 1．下面图形中，是正多边形的是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是( ) A．240° B．120° C．60° D．30° 3．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为． 4．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ． 知识点2 与正多边形有关的计算 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( ) A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3 6．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 7．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( ) A. 2 B．2 2 C. 2 2 D．1 8．边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是． 9．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为( )． 10．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 (结果保留根号)． 知识点3 画正多边形 11．如图， 甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法，可判断( ) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 12．图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形． 如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)． 中档题 13．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( ) A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r 14．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( ) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 个性化辅导教案 1 2 学生姓名：授课教师：所授科目： 3 学生年级: 上课时间： 2016 年月日时分至时分共4 小时 分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM ⊥AB 垂于M ，在Rt △AOM?中便可求得AM ，又应用垂径定理可求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形 面积组成的。 例2：已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图). (1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ； (2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边. F D E C B A O M 例3（中考）： 如图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？ 课堂练习： 选择题 1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 2．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( ) A． cm B． cm C．cm D．1 cm 第2题图第3题图第4题图 3．如图所示，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( ) A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图4所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）． A．60° B．45° C．30° D．22．5° 5．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，?则这段弧所对的圆心角为（） A．18° B．36° C．72° D．144° 6．正六边形的周长为12，则同半径的正三角形的面积为________，同半径的正方形的周长为________． 7. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 . 8．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S． 七年级下册多边形练习题 一、填空题（每小题2分，共24分） 00，则∠A =________度。，∠ACD=120 1、如图所示，∠B=35。，则它的周长是__________8cm 和3cm2、等腰三角形的两条边长分别为xx的取值范围是_______________ 。，则、△ABC的三边长为6、7、30，则这个多边形为___________ 边形。、一个多边形的每一个外角等于30 45、当多边形边数增加一条边时，其内角和增加___________度。 2，则这个多边形的内角和是___________ 。6、若正多边形的一个外角等于其一个内角的52，则这个多边形的边数是___________ 。7、若多边形的外角和等于其内角和的38、若三角形的三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是___________ 三角形。 9、如图所示，∠1=∠C+________，∠2=∠B+___________。 度。1+∠2=________C +∠D+∠E= ________+∠∠A+∠B +∠D= ：∠B ：∠C、若四边形ABCD中，∠A：∠10___________ ，则这个四边形中互相平行的两边是4：73：6：2的ABD,边上的中点，△ABC的面积为8cm则 △BC11、如图所示，D是2面积为___________cm。000 BCD= __________∠C=55度。12、如图所示，∠A =35,,∠B=25则∠, 18分）二、选择题（每小题3分，共）、一个三角形三个内角中至少有（13 D、两个锐角C、三个锐角；B、一个钝角；、一个直角；A ）14、下列各组线段中，能组成一个三角形的是（、4cm、5cm、10cm A、15cm、10cm、5cm; B5cm 、3cm、4cm D、C、3cm、8cm、5cm ）15、各内角相等的n边形的一个外角等于（ 00001802360)(n180?(n?2)360 D、、、B、CA nnnn）边形所有的对角线条数是（16、n2nn?3)n(n?2)n(1n(n?)D、、A、B、C2222）。、下列正多边形中，不能够铺满地面的是（17 、正六边形 D C、正五边形B、正三角形A 、正方形）。18、下列正多边形组合中，能够铺满地面的是（ 、正方形和正六边形 B A、正三角形和正五边形 、正方形和正八边形D C、正三角形和正六边形 分）58三、解答题（． 0，求（1）∠EBC是斜边AB上的高，∠BCD=35的ABC19、如图，在直角三角形中，CD度数；（2）∠A的度数 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）解：∵CD⊥AB（已知） ∴∠CDB=___________. 圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 正多边形和圆练习 一、课前预习（5分钟训练） 2?圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比（ 有变化 2?正三角形的商、外接圆半径、边心距之比为（ C.4 ： 2 ； 1 4?中心角是45。的正多边形的边数是 5?已知△ABC 的周K 为20,A ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么 BC= 二、课中强化（10分钟训练） i. 若正n 边形的一个外角是一个内角的彳时，此时该正n 边形有 称轴. 2?同圆的内接正三角?形与内接正方形的边长的比是（ 3?周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关 系 是（ 4?已知OO 和OO 上的一点A （如图24-3-1）. （1）作OO 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ； ⑵在⑴题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是OO 内接正十二边形 的一边. A ?扩大了一倍 B ?扩大了两倍 C ?扩大了四倍 D ?没 3?正?五边形共有 条对称轴，正六边形共有 条对称轴. 条对 >S4>S6 >S4>3 C>S3>S4 >S6>S3 图 24-3-1 三、课后巩固（30分钟训练） 1 ■正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为（ 二边形 3?已知正六边形的半径为3 cm,则这个正六边形的周长为 4?正多边形的一个中?心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于 度. 5?如图24-3-2.两相交圆的公共弦AB 为2? 在OOi 中为内接正三角形的一边, 在002中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比. 6?某正多边形的每个内角比其外角大100\求这个正多边形的边数. 2.已知正多边形的边心距与边长的比%,则此正多边形为（ B.正方形 A ?正三角形 C ?正六边形 D ?正十 cm. 正多边形与圆练习题 1判断题: ①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( ) ②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( ) ③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( ) ④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( ) ⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( ) 2填空题: ①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形. ②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____. ③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm. 6cm2的正六边形的周长是____. ④面积等于3 ⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____. ⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm. ⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm. ⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____. ⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____. 3选择题: ①下列命题中,假命题的是( ) A.各边相等的圆内接多边形是正多边形. B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心. C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心. D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形. ②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( ) A.3 B.4 C.5 D.不能确定 ③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( ) A.1:3 B.1:2 C.1:2 D.2:1 ④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( ) 九年级数学下册圆的知识点整理 圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家! 九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章圆 ★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 ☆内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.三点定圆定理 4.垂径定理及其推论 5.等对等定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 初中数学复习提纲 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴⑵ 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 初中数学复习提纲1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角：初中数学复习提纲 内角的一半：初中数学复习提纲(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 初中数学复习提纲4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 正多边形和圆—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正 多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 【要点梳理】 知识点一、正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 练习题 （一）计算 1．已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距． 3．已知圆内接正三角形边心距为2cm，求它的边长． 距． 长． 长． 8．已知圆外切正方形边长为2cm，求该圆外切正三角形半径． 10．已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长． 长． 12．已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形 外接圆的半径． 13．已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边 长之比． 15．已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该 圆内接正三角形的面积． 16．已知圆O内接正n边形边长为a n，⊙O半径为R，试用 a n，R表示此圆外切正n边形边长 b n． 18．已知在正三角形的各边AB，BC，CA上取AA′，BB′， 内切圆周长． 的外接圆的外切正三角形面积． 20．已知正三角形半径为4cm，求以正三角形的一边为边所 作正方形外接圆的外切正三角形的边长． 21．已知圆内接三角形的一边等于该圆内接正三角形的边 长，另一边等于该圆内接正六边形的边长，求这个三角形面积与 该圆内接正三角形面积之比． 22．已知如图7－332，在正方形ABCD的各边上向形内作 120°弧，连结各交点得正方形A′B′C′D′．求S A′B′C′D′与S ABCD 的比值． 23．已知如图7－333，正五边形ABCDE中，AC，BE交于点 F．若AB=1cm，求BF的值（不查表）． 24．求半径为R的圆的内接正n边形的边长a n． 边形边数及外接圆半径R． （二）证明 26．如图7－334，延长正六边形的边AB，CD，EF，两两相 交于H，M，N．求证：S△HMN∶S ABCDEF=3∶2． 27．试以六边形为例，证明圆外切等角多边形是正多边形． 24.6 正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质 ［学习目标］ 1．理解正多边形的有关概念； 2．理解并掌握正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并会进行正多边形的有关计算； ［学法指导］ 本节课的学习重点是理解正多边形的半径、边长、边心距、中心角之间的关系；在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中，体会化归思想在解决问题中的重要性. ［学习流程］ 活动1:（1）正多边形的有关概念：一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心； ______________叫正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距． （2）如图2，在正六边形中，点O 是正六边形的中心，画出它的的半径、边心距、 中心角. （3）算一算：正五边形的中心角是多少？正五边形的一个内角是多少？正五边形 的一个外角是多少？正六边形呢？ （4）归纳：正n 边形的每一个内角都等于 ，中心角等于 ， 外角等于 ，正多边形的中心角与外角 . 活动3: 有一个亭子（如图3）它的地基是半径为4m 的 正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）． (分析：欲求周长和面积，可先求什么？怎样作辅助线？) 归纳：正多边形的计算中常用的结论是：（1）正多边形的中心角等于 ； （2）正多边形的半径、边心距、边长的一半构成 三角形； （3）正n 边形的半径和边心距，把正n 边形分为2n 个直角三角形. 活动2:正多边形都是轴对称图形吗？如果是，有多少条对称轴？正多边形 都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？ ［课堂小结］ 1.当正多边形的边数一定时，可以求出正多边形的哪些元素？ 2.在有关正多边形与圆的计算问题时，一般找由半径、边心距、边长的一半构成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形中的计算问题. 3.如果正多边形的边数一定，已知它的边长、半径、边心距、周长、面积中的任意 一项，都可以求出其他各项. ［当堂达标］ 1.正方形的边长为a ，那么这个正方形的半径是 ，边心距是 . 2. 已知正三角形的边长为a ，其内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则r ：a ：R 等于（ ） (提示：任何一个正多边形都有一个外接圆和内切圆，它们的同心圆) A 、1 ：32 ：2 B 、1 ：3 ：2 C 、1 ：2 ：3 D 、1 ：3 ：32 3.(云南中考)已知：如图7，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 的半径是2，连接OB ,OC . (1)求BOC 的度数；（2）求正六边形ABCDEF 的周长. [拓展训练] 4.已知：如图8，⊙O 的半径为R ，正方形ABCD ，A ′B ′C ′D 分别是⊙O 的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外． 5.已知：如图9，⊙O 的半径为R ，求⊙O 的内接正六边形、⊙O 的外切正六边形的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外． O （图2） F E A C D B O （图3） 1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称 轴，圆心是它的对称中心（p110） 5.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。(逆定理： 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相 等。 10.定理3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的两条劣弧（优弧） 相等，相等的劣弧（优弧）所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆（P117） 12.顶点在圆上，并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理：（p119-120）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角；对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r2012中考数学复习(48)：正多边形和圆
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