平行四边形(知识点、经典例题、常考题型练习)

平行四边形（一）

【知识梳理】

1、平行四边形：

平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：

（1）平行四边形对角相等；

（2）平行四边形对边相等；

（3）平行四边形对角线互相平分。

除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：

（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、特殊平行四边形：

一、矩形

（1）有一角是直角的平行四边形是矩形

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

二、菱形

（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）定理1:菱形的四条边都相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.

（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2

（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形

（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

三、正方形

（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等

②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形

平行四边形

矩形 菱形

正

方 形 等腰梯形 直角梯形

梯形

四边形

知识结构如下图

（1）弄清定义及四边形之间关系图1：

（2）四边形之间关系图2：

2、几种特殊的四边形的性质和判定：

3、一些定理和推论：

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 推论：夹在两平行线间的平行线段相等。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例题精讲】

填空题：

四边形

正方形

【巩固】

1、下列说法中错误．．

的是（ ） A .四个角相等的四边形是矩形 B .四条边相等的四边形是正方形 C .对角线相等的菱形是正方形 D .对角线互相垂直的矩形是正方形

2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A .矩形 B .菱形 C .正方形 D .菱形、矩形或正方形

3、下面结论中，正确的是（ ）

A .对角线相等的四边形是矩形

B .对角线互相平分的四边形是平行四边形

C .对角线互相垂直的四边形是菱形

D .对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4、如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法：

①四边形AEDF 是平行四边形；

②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形； ③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；

④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）

【例1】如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点. 求证：四边形BFDE 是平行四边形.

【巩固】已知，如图9，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF ∥BE ． 四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由．

【例2】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．

F E

D C

B

A

Ａ Ｆ

Ｃ

Ｄ

ＢＥ

A

E

D

C

F

B

求证：四边形AECD 是菱形．

【例3】如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． （1）求∠CAE 的度数；

（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．

【巩固】如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB ＝6，BC ＝8，求四边形OCED 的面积．

【例4】如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD 、等边△ACE 、等边△BCF .

（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；

三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF 都是等边三角形 首先我们来证明DAEF 为平行四边形 角DBF=60度-角FBA=角ABC 而DB=AB, BF=BC

三角形DBF 全等于三角形ABC 所以

:DF=AC=AE 同理可证:DA=FE

所以:DAEF 为平行四边形

A

B

C

D

E

C

B

A D

F

E

(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形

则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度

(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC>90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC<90度)

(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形

则必须:AB=AC

(3)如果:角BAC=60度

则:角DAE=3*60度=180度

D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在

据此,(2)的结论应稍加改变为:

当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形

（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）

①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.

平行四边形（二）

【知识梳理】

由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。

另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。 【例题精讲】

【例1】四边形四条边的长分别为q p n m 、、、，且满足pq mn q p n m 222

2

2

2

+=+++，则这个四边形是（ ）

A .平行四边形

B .对角线互相垂直的四边形

C .平行四边形或对角线互相垂直的四边形

D .对角线相等的四边形

【例2】如图①，四边形ABCD 是正方形， 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F . (1) 求证：DE －BF ＝ EF ．

(2) 当点G 为BC 边中点时， 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．

(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．

【巩固】如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.

（1）求EC ∶CF 的值；

（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13－2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由； （3）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

【例3】如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，求PE ＋PF 的值。

【例4】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，BE 、AF 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，BE 和AD 交于G ，求证：GF ∥AC 。

【例5】如图所示，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BG 平分∠ABC ，EF ∥BC 且交AC 于F 。求证：AE ＝CF 。

E

G

F

C

D

B

A

【巩固】如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ，∠D 的平分线分别交对边于点E 、F ，交四边形的对角线AC 于点G 、H 。求证：AH ＝CG 。

例6. 已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． (1) 求证：△ADE ≌△CBF ； (2) 若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

图1

A D

C

B E 图2

B

C

E D

A F P F

例7.已知：P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，求证：AP =EF

.

例8.如图：已知在正方形ABCD 中，AC 、BD 交于点O,点E 是BO 的中点，DG ⊥CE 于点G ，交OC 于点F. 如果正方形ABCD 边长为10㎝.求EF 的长.

例9.如图，菱形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°，求∠CEF 的

度数．

例10. 如图所示，

在 ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，BE 平分ABC ∠的外角，且BE AE ⊥；求证：()BC AB OE +=

2

1

例11.如图所示,P 为ABC ?的BC 边的垂直平分线上一点,且CP BP A PBC ,,2

1

∠=

∠的延长线分别交A

B

C

D

E

O

A

AC 、AB 于点D 、E ,CE BD >；求证：CD BE =

例12. 如图所示，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，点F 在CD 上，?=∠45EBF ，EF BG ⊥于点G ；求证：BG AB =

例13.如图，在梯形ABCD 中，AD ‖BC ， ∠BAD=90°，AD+AB=14，（AB>AD ） BD=10， BD =DC ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE+CF = 4. (1) 求BC 的长；

(2) 设EC 的长为x ，四边形AEFD 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）在(2)的条件下，如果四边形AEFD 的面积等于40，试求EC 的长 .

（二）平行四边形的性质

1、如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm

2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F ． （1）证明：∠DFA=∠FAB ； （2）证明：△ABE ≌△FCE ．

A

B

C

D

E

F G

A

B

C

E

P

G

D

A

F

E

B

D

C

A

B

C

D

O

E

3．如图，在?ABCD 中，E 为BC 的中点，连接DE ．延长DE 交AB 的延长线于点F ．求证：AB=BF ．

4、已知如图：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，点E 、F 分别在BC 和AD 边上，AF ＝CE ，EF 和对角线BD 相交于点O ，求证：点O 是BD 的中点。

(三)、平行四边形的判定

1．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB ＝CD ，AD ＝BC ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ；④AB ∥CD ，AD ＝B C.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组

2．点A 、B 、C 是平面内不在同一直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面符合这样条件的点D 有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3．已知，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF ，BE=DF ，BE ∥DF ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．

4．如图所示，?AECF 的对角线相交于点O ，DB 经过点O ，分别与AE ，CF 交于B ，D ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形．

O

F

E D

C

B

A

5、已知如图12-1-21所示，在□ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE=CF ，M 、N 是AB 、CD 上的点，且BM ＝DN.求证：四边形MENF 是平行四边形．

（四）三角形中位线

1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是

2、如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点，G 为AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，则PQ ∶BE ＝

3、如图，已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ） A 、

20031 B 、20041 C 、200321 D 、20042

1 4、如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。

5、如图4-113，已知在直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，AD ，EF 交于O 点．

Q P M

D

C

B

A

G

Q P F

E

D

C

B

A

C

B

A

（1）求证：AD=EF；

（2）若∠DOF=2∠AOF，求证：△ABD是等边三角形．

(五)平行四边形的面积

平行四边形的面积=底×该底上的高；平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。

拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图2，

1、一个平行四边形的底是10.2厘米，高是4厘米，与它等底等高的三角形的面积是＿＿＿。

①40.8平方厘米②20.4平方厘米③408平方厘米④204平方厘米

2、一个三角形的底和一个平行四边形的底相等，面积也相等。平行四边形的高是4.8厘米，三角形的高

是＿＿＿。

①4.8厘米②2.4厘米③9.6厘米④14.4厘米

3、已知平行四边形的一条边长为6，这条边上的高为3，另一条边上的高为4，如果用铁丝围成这样一个

平行四边形，至少需要用多长的铁丝？

4、已知平行四边形的面积是24㎡，梯形的下底是5m，高是4m，求图中三角形的面积。

矩形、菱形、正方形讲义

【知识点1】矩形

一、矩形的性质

矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角. 矩形性质定理2：矩形的对角线平分且相等.

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

二、矩形的判定

①有三个角是直角的四边形②对角线相等的平行四边形是矩形③对角线平分且相等的四边形是矩形．

三、矩形的应用：

①用以证明线段相等或平分或倍数关系； ②直角三角形两锐角互余； ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

④直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半； ⑤证明两条直线垂直．

例1：如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于E ，则： （1）图中与∠BAE 相等的角有__________；

（2）若∠AOB=60°，则AB ：BD ＝_________。图中△DOC 是___________三角形（按边分）． 例2：已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，求矩形对角线的长.

B

例3：如图，已知矩形纸片ABCD 中，AD ＝9cm ，AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是【 】

A 、4cm 、10cm

B 、5cm 、10cm

C 、4cm 、32cm

D 、5cm

、32cm

例4：如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的

路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是【 】 A ．10 B ．16 C ．18 D ． 20

【知识点2】菱形

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形的性质：

①菱形的四条边都相等；

②菱形的对角线互相垂直平分分别平分两组对角；

③菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

菱形的识别：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等的四边形是菱形；

例5：如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a．（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．

A B C

D

O

E

例6：下列命题正确的是【】

A．邻角相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

例7：小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD 是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是【】

A、小明、小亮都正确

B、小明正确，小亮错误

C、小明错误，小亮正确

D、小明、小亮都错误

例8：在菱形ABCD 中，于E点，菱形ABCD面积为48平方厘米，厘米，则AB等于【】

A．12厘米B．8厘米C．4厘米D．2厘米

例9：已知菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，面积为S ，则它的边长应为【 】 A ．S B ．

S 21 C ．S 321 D ．S 52

1 例10：如图，P 为菱形ABCD 的对角线上 一 点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点 F ，PF=3cm ，则P 点到AB 的距离是_____ cm

例11：已知DE ∥AC 、DF ∥AB ，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF 为菱形的是【 】 A. AD 平分∠BAC B. AB ＝AC ＝且BD ＝CD C. AD 为中线 D. EF ⊥

AD

例12：已知在□ABCD 中，AD=2AB ，AE=AB=BF ，EC 、FD 分别交AD 、BC 于M 、N 。求证：四边形DMNC 是菱形。

A B

C D E F

M

N

例13：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于F ，交AC 于E ，若EG ⊥

BC 于G ，连结FG . 说明四边形AFGE 是菱形

例14：已知如图，菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AE=2。

求（1）∠ABC 的度数； （2）对角线AC 、BD 的长； （3）菱形ABCD 的面积。

【知识点3】正方形

定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质．

①正方形各边的性质：四条边相等，对边平行．

②正方形各角的性质：四个角都是直角．

③正方形对角线的性质：正方形的对角线互相平分、互相垂直、相等，且每一条对角线平分一组对角．

④正方形的对称性：正方形是轴对称图形，对边中点所在直线和对角线所在直线都是正方形的对称轴．正

方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

正方形的判定：

①有一组邻边相等的矩形是正方形；

②对角线互相垂直的矩形是正方形；

③一个内角是直角的菱形是正方形；

④对角线相等的菱形是正方形；

⑤有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形；

⑥对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．

例1：如图，把正方形ABCD的对角线BD分成n段，以每一段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长和为p，正方形ABCD的周长为S，则S与p的关系式是【】

A、S＜p

B、S＞p

C、S＝p

D、S与p无关

例2：如图，在正方形ABCD中，DE＝EC，∠CDE＝600，则下列关系式：①∠1∶∠4＝4∶1；②∠1∶∠3＝1∶1；③（∠1＋∠2）∶（∠3＋∠4）＝5∶3中，正确的是【】

A、①②③

B、仅①

C、仅②和③

D、仅①和③

第1题图

D

C

B A

第2题图

4

32

1E

D C

B

A

第3题图

F E

D C

B

A

例3：如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值为【 】

A 、10

B 、11

C 、 12

D 、15 例4：正方形具有而矩形不一定具有的特征是【 】

A ．四个角都是直角

B ．对角线互相平分

C ．对角线互相垂直

D ．对角线相等

例5：如图，正方形ABCD 的边长为8，在各边上顺次截取AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝5，则四边形EFGH 的面积是(

) A ．30

B ．34

C ．36

D ．

40

例6：如图，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 是等边三角形，那么∠DCE ＝

°，如果DE 的延

长线交BC 于G ，则∠BEG ＝

°

例7：如图，正方形的对角线相交于O ，∠BAC 的的平分线交BD 于E ，若正方形的周长是20cm ，则DE ＝

例8：已知：如图Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F.求证：四边形CEDF 是正方形.

C B

【知识点4】中点四边形：即连接四边形四边中点所构成的四边形 顺次连接任意四边形各边中点，所得的图形是 . 顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的图形是矩形. 顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形. 顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形.

例9：顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是【 】

①平行四边形 ②菱形 ③等腰梯形 ④对角线互相垂直的四边形 A.①③ B.②③ C.③④ D.②④

例10：如图，点E 、F 、M 、N 是矩形ABCD 各边的中点，求证：四边形EFMN 是菱形。

M C

D

例11：已知四边形ABCD 中，M 、N 、E 、

F 分别为四边的中点。 （1）要使四边形MNEF 为矩形，还须添加什么条件，为什么？ （2）要使四边形MNEF 为菱形，还须添加什么条件，为什么？

第11题