正弦、余弦定理习题精选精讲

正、余弦定理的五大命题热点

知识点：

1、正弦定理：在C ?A B 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?A B 的外接圆的半径，则有

2s i n s i n s i n a b c R C

=

=

=A

B

．

2、正弦定理的变形公式：

①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R

A =，sin 2b R

B =

，sin 2c C R =

；

③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c

a

b c

C

C

++=

=

=

A +

B +A B

．

3、三角形面积公式：111

sin sin sin 222

C

S bc ab C ac ?A B =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?A B 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．

5、余弦定理的推论：2

2

2

cos 2b c a

bc

+-A =，222

cos 2a c b

ac

+-B =

，222

cos 2a b c

C ab

+-=

．

6、设a 、b 、c 是C ?A B 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ；②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。主要有以下五大命题热点：

一、求解斜三角形中的基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

1、ABC ?中，3

π

=A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ）

A ．33sin 34+???

?

?

+

πB B ．36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ?

?

+πB 2、 在ΔABC 中，已知6

6cos ,3

64==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．

3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，a ，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定

4、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若2

2

a b -=

，sin C B =，则A=

（A ）0

30 （B ）0

60 （C ）0120 （D ）0

150 5、在A B C ?中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =

A －3

B 3

C 3

3

6、在△ABC 中，若b = 1，

23

C π∠=

，则a = 。

7、 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.

8、在锐角A B C ?中，1,2,BC B A ==则

cos A C

A

的值等于 ，A C 的取值范围为 . 9、△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B C A B

+=

+,sin()cos B A C -=.

（1）求,A C ； （2

）若3ABC S ?=+

求,a c .

二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2、18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.

（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 三、 解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 1、在A B C ?中，若120A ∠= ，5A B =，7B C =，则A B C ?的面积S ＝_________四、求值问题

1、在ABC ?中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、， 设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和

321+

=b c ，求A ∠和B tan 的值． 2、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b

+=，则

tan tan tan tan C C A

B

+=_________。

3、 在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；

（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.

五、正余弦定理解三角形的实际应用

利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题

1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

（二.）遇险问题

2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？

西

北 南

东 A B

C

30° 15°

图2

图1 A

B

C

D

（三.）追击问题

3、 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？

五、交汇问题

是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇．

1、△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =

B

（Ⅰ）求cot A +cot C 的值； （Ⅱ）设3

2

B A B

C ?= ，求a ＋c 的值.

易错题解析

例题1 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围。 错解：∵a b c b c a 2222220<++->，∴。则

cos A b c a

bc

=+->2

2

2

20，由于cosA 在（0°，180°）上为减函数且cos 90090°，∴°=

又∵A 为△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°。

辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边，造成解

题错误。

正解：由上面的解法，可得A ＜90°。

又∵a 为最大边，∴A ＞60°。因此得A 的取值范围是（60°，90°）。 例题2 在△ABC 中，若

a b

A B

22

=

tan tan ，试判断△ABC 的形状。

错解：由正弦定理，得

sin sin tan tan 2

2

A B

A B

=

即

sin sin sin cos cos sin sin sin 2

2

00A B

A A

B B

A B =

>>·

，∵，

∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22。

∴2A ＝2B ，即A ＝B 。故△ABC 是等腰三角形。

辨析：由sin sin 22A B =，得2A ＝2B 。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。 正解：同上得sin sin 22A B =，∴2A ＝22k B π+

或222A k B k Z =+-∈ππ()。

∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π

2

。

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题3 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，求

a b c A B C

++++sin sin sin 的值。

错解：∵A ＝60°，b ＝1，S ABC △=

3，又S A B C △=

12

bc A sin ，

图3

°

∴312

=

c sin 60°，解得c ＝4。

由余弦定理，得a b c bc A =+-=

+-2

2

2116860cos cos °=13

又由正弦定理，得sin sin C B =

=

639

3239

，。 ∴

a b c A B C

++++=

+++

+

sin sin sin 1314323239

639

。

辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解：由已知可得c a ==

413，。由正弦定理，得

213602393

R a A

===

sin sin °

。∴

a b c A B C

R ++++==

sin sin sin 22393

。

例题4 在△ABC 中，c =+62，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。

错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得

a A

b

A sin sin()

sin =

-=

+

15062

30°°

∴a A =+

262()sin ，

b A =+-262150()sin()°

又∵sin sin()A A ≤-≤11501，°∴a b +≤+++

=+

262262462()()()。

故a b +的最大值为462()+

。

辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。这里A 与150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。 正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得

a A

b

A sin sin()

sin =

-=

+

15062

30°°

因此a b A A +=++-262150()[sin sin()]°

sin 75cos(75)cos(75)4

(8cos(75)8A A A =-=-=+-≤+°°°°

∴a ＋b 的最大值为843+。

例题5 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。

错解：由余弦定理，得c a b ab 222

215=+-cos

°482284

=+-=-××∴c =-62。

又由正弦定理，得sin sin A a C c

=

=

12

而0000018030150A A A <<=，∴＝或。

辨析：由题意b a >，∴B A >。因此A ＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，

要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。 正解：同上c A b a =

-

=

>6212

，，∵sin ， 000

018030B A A A ><<=∴，且，∴。

例题6 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。 错解：在△ABC 中，∵a A b B cos cos =，由正弦定理

得22R A A R B B sin cos sin cos =

∴sin sin 222222180A B A B A B ==+=，∴且° ∴A ＝B 且A ＋B ＝90° 故△ABC 为等腰直角三角形。

辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。

正解：在△ABC 中，∵a A b B cos cos =，由正弦定理，

得2222R A A R B B A B sin cos sin cos sin sin ==，∴。∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

例题7 若a ，b ，c 是三角形的三边长，证明长为a b c ，，

的三条线段能构成锐角三角形。

错解：不妨设0<≤≤a b c ，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。

cos ()()()

θ=

+-=

+-a b c a

b

a b c ab

2

2

2

22。

由于a ，b ，c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b c +>，即cos θ>0。 ∴长为a b c ，，

的三条线段能构成锐角三角形。

辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。显

然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。 正解：由错解可得cos θ>0

又∵a b c a b c a b c

a b c +

-

=

+

-

++

+

+

()()

2

0=

=

+

>

即长为a b c ，，的三条线段能构成锐角三角形。

典型题

1、若A B C ?的内角A 满足2sin 23

A =

，则sin cos A A +=

A.3

B ．3

-．53

D ．53

-

解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又2

5(sin cos )1sin 23

A A A +=+=

，故选A

2、如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则

A ．111A

B

C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形

C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形

D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形

解：111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ?是锐角三角形，若222A B C ?是锐角三角形，由

211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-???==-???==-??，得2

1

212

1

2

22A A B B C C πππ?

=-??

?

=

-???

=-??

，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ?是钝角三角形。故选D 。

3、A B C 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q

,则角C 的大小为

(A)

6

π

(B)

3

π

(C)

2

π

(D)

23

π

【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-=

，利用余弦定理可得2cos 1C =，即

1c o s 2

3

C C π

=

?=

，故选择答案B 。

【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 4、已知等腰A B C △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）

Ａ．

2

Ｂ．

8

7

解：

依题意，结合图形可得tan

2

15

A =

，故2

22tan

2

tan 7

1tan

2

15

A A A ?=

==-，选D

5、A B C ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =

A ．

14

B ．

34

C

．

4

D

．

3

解：A B C ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ，2

2

2

cos 2a c b

B ac

+-==

222

2

42344

a a a

a

+-=

，

选B.

6、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =

3

π

,a =3,b =1，则c =

(A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 解：由正弦定理得sinB ＝

12

，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30?，所以C ＝90?，故c ＝2，选B

7、设,,a b c 分别是A B C ?的三个内角,,A B C 所对的边，则()2

a b b c =+是2A B =的 （A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件

（C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件

解析：设,,a b c 分别是A B C ?的三个内角,,A B C 所对的边，若()2

a b b c =+，

则2

sin sin (sin sin )A B B C =+，则

1cos 21cos 2sin sin 2

2

a

B

B C --=

+，

∴

1(cos 2cos 2)sin sin 2

B A B

C -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=，

又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =， 若△ABC 中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2

a b b c =+，

所以()2

a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.

8、在A B C ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________.

解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =?a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ， 由余弦定理可解得B ∠的大小为

3

π

.

9、在?ABC 中，已知4

33=a ，b ＝4，A ＝30°，则sinB ＝

.2

解：由正弦定理易得结论sinB

＝

2

。

10、在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得，

sin 45

sin 60

A C

B

C =

解得AC =

【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理

11、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ．

解析: 由A B C ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3

B π

∠=

AD 为边BC 上的中线可知BD=2,

由余弦定理定理可得AD =

。

本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。

12、在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos . 解：由三角形面积公式，得

1sin 20sin 122

B C C A C C ??==，即3sin 5

C =

．

于是2

7cos 212sin 25

C C =-=从而应填

725

．

13、如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.

（1）证明 sin cos 20αβ+=;（2）若

DC,求β的值. 解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 22

2

2

π

π

π

απββαββ=

--=-

∴=-

=- ，

即sin cos 20αβ+=．

（2）．在A B C ?中，由正弦定理得

,sin sin sin()

sin sin D C A C D C βαα

πβα

β

=

?

=

∴=-

由(1)得sin cos 2αβ=-

，2

sin 22sin ),βββ∴==-

即2

sin 0.sin sin 2

3

ββββ--

==

=-

解得．

α

β A

图3

0,s i n

,.

2

2

3

π

π

βββ<<

∴=?=

14、在锐角A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，

，已知sin 3

A =，

（1）求2

2

tan sin

2

2

B C A ++的值； （2）若2a =

，ABC S =

△b 的值．

解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π

，sin 3

A =

，所以cosA ＝13

，则

2

2

2

22B C

sin

B C A A

2tan

sin

sin B C

2

2

2cos

2

1cos B C 11cos A 17

1cos A 1cos B C 21cosA 33

＋＋＋＝

＋＋－（＋）＋＝

＋（－）＝＋＝

＋（＋）－

（2

）ABC ABC 11S S bc sin A bc 2

23

?

因为又＝

＝

bc ＝3。

将a ＝2，cosA ＝13

，c ＝

3b

代入余弦定理：222a b c 2bc cos A ＝＋－中得42b 6b 90－＋＝

解得b

＝15、如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段

MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（23

3

ππ

α≤≤）

（1） 试将△AGM、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数

（2）求y ＝

2

2

1

2

11S S ＋

的最大值与最小值

解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，

所以 AG

＝

2323

?

，∠MAG ＝

6

π

，

由正弦定理

G M G A sin

sin 6

6

π

π

πα＝

（－－

）

得G M 6sin 6

α＝

（＋

）

则S 1＝

12

GM ?GA ?sin α＝

sin 12sin 6

απ

α（＋

）

，同理可求得S 2＝

sin 12sin 6

α

π

α（－

）

（2） y ＝

2

2

1

2

11S S ＋

＝

2

2

2

144

sin sin sin 6

6

π

π

ααα

〔（＋

）＋（－）〕＝72（3＋cot 2

α），

因为

23

3

π

πα≤≤

，所以当α＝

3

π

或α＝23

π时，y 取得最大值y max ＝240

当α＝

2

π

时，y 取得最小值y min ＝216

A

B

C

16、A B C ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2

B C A ++ 取得最大值，并求出这个最大值。

解: 由A+B+C=π, 得

B+C 2 = π2 －A 2 , 所以有cos B+C 2 =sin A 2

. cosA+2cos

B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2 =－2(sin A 2 － 12)2+ 32

当sin A 2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3

2

17

、在45,cos 5

ABC B AC C ?∠=?=

=

中，,求

（1）?B C = (2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。 解：（1

）由cos sin 5

5

C C =

=

sin sin(18045)sin )2

10

A C C C =--=

+=

由正弦定理知sin sin 102

AC BC A B

=

?=

=（2

）sin 2sin 5

2

AC AB C B

=

?=

=，112

BD AB =

=

由余弦定理知C D =

=

18、已知,,A B C 是三角形A B C ?三内角，

向量(()1,,cos ,sin m n A A =-=

，且1m n ?=

（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若

2

2

1sin 23cos sin B B B

+=--，求tan B

解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。

（Ⅰ）∵1m n ?=

∴(()1,cos ,sin 1A A -?=

cos 1A A -=

12sin cos 122A A ???= ? ???

, 1sin 62A π??-= ??? ∵50,66

6

A A π

π

ππ<<-

<-

<

∴6

6

A π

π

-

=

∴3

A π

=

（Ⅱ）由题知

2

2

12sin cos 3cos sin B B B B

+=--，整理得2

2

sin sin cos 2cos 0B B B B --=

∴cos 0B ≠ ∴2

tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-

而tan 1B =-使22

cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2

B =

∴()tan tan C A B π=-+????()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-

-=-

811

+=

19、如图，在ABC ?中，2A C =，1B C =，4

3cos =C ．

（1）求A B 的值； （2）求()C A +2sin 的值.

本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解 决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理，

2222..cos AB AC BC AC BC C =+-341221 2.4=+-???

=

那么，AB =

（Ⅱ）解：由3cos 4

C =，且0,C π<<

得sin 4

C ==

由正弦定理，

,sin sin A B B C C

A

=

解得sin sin 8

BC C A AB

=

=

所以，cos 8

A =

。由倍角公式sin 2sin 2cos 16

A A A =?=

，

且2

9cos 212sin 16

A A =-=

， 故(

)sin 2sin 2cos cos 2sin 8

A C A C A C +=+=

.

20、在ABC ?中，,75,45,30

===

C A AB 则BC =（ ）

A.33-

B.

2 C.2 D.33+

【答案】：A 【分析】

：00

45,75,AB A C =

== 由正弦定理得：

,sin sin sin 45

sin 75

4

a c BC AB A

C

=

?

=

=

3BC ∴=-

21、在A B C △中，若1tan 3

A =

，150C =

，1B C =，则A B =

解析：在A B C △中，若1t a n 3

A =

，150C =

，∴ A 为锐角

，s i n A =

，1B C =，则根据正弦定理

A B =

s i n s i n B C C A

?

2

．

22、在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b

，c =，则B = ．

【答案】

5π6

【解析】由正弦定理得cos,

2

B==-，所以

5π

.

6

B=

23、在A B C

?中，角A、B、C所对的边分别为a b c

、、

，若1,

3

a c C

π

===，则A= .

【解析】由正弦定理得

2

1

3

2

3

sin

sin

sin

sin

=

=

=

?

=

c

C

a

A

C

c

A

a

，所以A=

π

6

24、在△ABC中，AB=1,B C=2,B=60°，则AC＝。【答案】：3

【分析】

：由余弦定理得：222

12212cos60 3.

AC AC

=+-???=∴=

24、2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦

图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，

大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于．

解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则

2225

1

6

2

a b

ab

?+=

?

?

=

?

?

，

∴两条直角边的长分别为3，4，

设直角三角形中较小的锐角为θ，cosθ=

5

4

，cos2θ=2cos2θ－1=

7

25

。

25、在A B C

△中，

1

tan

4

A=，

3

tan

5

B=．

（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若A B C

△

，求最小边的边长．

本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ）π()

C A B

=-+

，

13

45

tan tan()1

13

1

45

C A B

+

∴=-+=-=-

-?

．

又0π

C

<<

，

3

π

4

C

∴=．

（Ⅱ）

3

4

C=π

，A B

∴

边最大，即AB=．

又tan tan0

A B A B

π

??

<∈ ?

2

??

，，，，∴角A最小，B C边为最小边．

由

22

sin1

tan

cos4

sin cos1

A

A

A

A A

?

==

?

?

?+=

?

，

，

且

π

2

A

??

∈ ?

??

，，

得sin

17

A=

sin sin

A B B C

C A

=

得：

sin

sin

A

B C A B

C

==

所以，最小边BC=

26、已知A B C

△顶点的直角坐标分别为(34)

A，，(00)

B，，(0)

C c，．

（1）若5c =，求sin A ∠的值；

（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．

解析： （1）(3,4)AB =-- ，(3,4)AC c =-- ，若c=5， 则(2,4)AC =-

，

∴cos cos ,

A AC A

B ∠=

<>==

，∴sin ∠A 5

；

2）若∠A 为钝角，则391600

c c -++

c >，∴c 的取值范围是25(,)

3+∞；

28、已知A B C △的面积为3，且满足06AB AC ≤?≤ ，设AB

和A C 的夹角为θ．

（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f π

θθθ??

=+-

???

的最大值与最小值．

本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设A B C △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由

1

sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ??

∈

???

?，∴．

（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ??

=+-

???

π1cos 222θθ??

??=-+-

??????

?

(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ?

?

=-

+=-

+ ??

?

． ππ42θ??

∈????

，∵，ππ2π2363θ??-∈????，，π22sin 2133θ??-+ ???∴≤≤．

即当5π12

θ=

时，m ax ()3f θ=；当π4

θ=

时，m in ()2f θ=．

29、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．

（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．

解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2

B =

，

由A B C △为锐角三角形得π6

B =

．

（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π

??+=+π-

- ?6?

?cos sin 6A A π??

=++ ???

1

cos cos sin 2

2

A A A =+

+

3A π?

?=+ ??

?．

由A B C △为锐角三角形知，

2

2

A B ππ->-，

2

2

6

3

B ππππ-=

-

=

．

23

3

6

A πππ<+<，所以

1

sin 232A π?

?+< ??

?．

2

32A π?

?<

+< ???

，

所以，cos sin A C +的取值范围为322

?

?

? ???

，． 30、在A B C △中，已知内角A π=

3

，边BC =．设内角B x =，周长为y ．

（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． 解：（1）A B C △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=

>>3

，，得20B π<<

3

．

应用正弦定理，知sin sin 4sin sin sin

BC AC B x x A

===π3

，

2sin 4sin sin BC

AB C x A π??=

=- ?3??

．

因为y AB BC AC =++， 所

以224sin 4sin 03y x x x π

π???=+-+<<

??3???，

（2

）因为14sin cos sin 2y x x x ??=+++ ? ?2??

5x x ππ

ππ???=++<+< ??6666???， 所以，当x ππ+

=

6

2

，即x π=

3

时，y

取得最大值

32、在A B C △中，角A B C ，，

的对边分别为tan a b c C =，，，． （1）求cos C ； （2）若5

2

C B C A = ，且9a b +=，求c ．

解：（1

）sin tan cos C C C

=∴= 又22sin cos 1C C +=

解得1cos 8C =±

．

tan 0C > ，C ∴是锐角．

1cos 8

C ∴=

．

（2）52C B C A = ，

5

cos 2

ab C ∴=， 20ab ∴=． 又9a b += 22281a ab b ∴++=． 22

41a b ∴+=．

222

2cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．

33、在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4

π,2=

=C a ，5

522

cos

=

B ，求AB

C △的面

积S ．

解： 由题意，得3

cos 5B B =，为锐角，5

4sin =

B ，

10274π3sin )πsin(sin =??

? ??-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ，∴ 111048

sin 222757S ac B ==???= ．

34、在A B C △中，已知2A C =，3B C =，4cos 5

A =-

．

（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π?

?

+

??

?

的值． 本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解：在A B C △

中，3sin 5A =

=

=，

由正弦定理，

sin sin B C A C A

B

=．所以232sin sin 355

A C

B A B C

==

?=．

（Ⅱ）解：因为4cos 5

A =-，所以角A 为钝角，从而角

B 为锐角，于是

cos 5

B ==

=

217cos 22cos 1215

25

B B =-=?

-=

，

2sin 22sin cos 25

5

15

B B B ==?

?

=

．

sin 2sin 2cos cos 2sin

666B B B πππ?

?+=+ ??

?171252252=?+

?1750=． 35、已知A B C △

1+

，且sin sin A B C +=．

（I ）求边A B 的长； （II ）若A B C △的面积为1sin 6

C ，求角C 的度数．

解：（I

）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=

，BC AC +=，

两式相减，得1AB =．

（II ）由A B C △的面积

11sin sin 2

6

B C A C C C =

，得13

B C A C =

，

由余弦定理，得2

2

2

cos 2AC BC AB

C AC BC

+-=

2

2

()2122

AC BC AC BC AB

AC BC

+--=

=

，所以

60C =

．

36、如图，在ABC ?中，120,2,1,B A C A B A C D ∠=?==是边B C 上一点，2,D C B D =则

AD BC = __________. 【答案】8

3

-

【分析】法一：由余弦定理得22

2

22

2

cos 22AB AC

BC

AB AD

BD

B AB AC

AB BD

+-+-=

=

????

可得BC

=

,3

A D =

，

又,AD BC 夹角大小为ADB ∠

，22232cos 29BD AD AB ADB BD AD +-∠=

=-?=-??，

所以8

cos 3

AD BC AD BC AD B =??∠=-

.

法二：根据向量的加减法法则有:BC AC AB =- 112()333

AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+

,

此时 22

12122()()33333AD

BC AC AB AC AB AC AC AB AB =+-=+- ·· 1818

3333

=--=-. A

B

D

C