人教版八年级数学上册培优讲义 第二讲：全等三角形与轴对称

模型一：手拉手模型

第二讲：全等三角形与轴对称

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC =180°（3）OA 平分∠BOC

例 1.如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形?ABD 与?BCE ，连结 AE 与CD ，求证： （1） ?ABE ? ?DBC （2） AE = DC （3） AE 与 DC 之间的夹角为60?

（4） ?AGB ? ?DFB （5） ?EGB ? ?CFB （6） BH 平分∠AHC （7） G F // AC

变式精练1：两个等腰三角形?ABD 与?BCE ，其中AB =BD , CB =EB, ∠ABD =∠CBE =α,

连结AE与CD，问：（1）?ABE??DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？

（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分∠AHC ？

变式精练2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结AG, CE ,二者相交于点H

问：（1）?ADG??CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？

模型二：对角互补模型

（1）全等型——90°

条件：① ∠AOB =∠DCE = 90?②OC 平分∠AOB

结论：① CD =CE ；②OD +OE = 2OC ；③S

四边形ODCE =S

?OCD

+S

?OCE

=

1

OC 2

2

辅助线之一：作垂直，证明?CDM ≌?CEN

辅助线之二：过点C 作CF⊥OC，证明?ODC≌?FEC

结论：①CD =CE ；②OE -OD = 2OC ；③S

?OCE -S

?OCD

=

1

OC 2

2

条件：① ∠AOB =∠DCE = 90?②CD =CE

结论：①OC 平分∠AOB；②OD +OE = 2OC ；③S

四边形ODCE =S

?OCD

+S

?OCE

=

1

OC 2

2

（2）全等型——120°

条件：① ∠AOB = 2∠DCE = 120?②OC 平分∠AOB

结论：① CD =CE ；②OD +OE =OC ；③ S

四边形ODCE 模仿（全等型——90°）辅助线之一完成证明=S

?OCD

+S

?OCE

=

3

OC 2

4

辅助线之二：在OB 上取一点F，使OF=OC,证明△OCF 为等边三角形

（3）全等型——任意角α

条件：① ∠AOB = 2α,∠DCE = 180?- 2α

结论：OC 平分∠AOB

②C D =CE

例：四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD ，其中∠A 和∠C 都是直角，另一条对角线AC 的长度为2 ，求四边形ABCD 的面积．

A

B D

C

变式精练1：已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．

（1）在图 1 中，若∠MAN = 120?，∠ABC =∠ADC = 90?，求证：AB +AD =AC ；

（2）在图2 中，若∠MAN = 120?，∠ABC +∠ADC = 180?，则⑴中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;

变式精练2：已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，

⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要求证明）

⑵如果点M、N 分别在线段AC、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN 的形状，并证明你的结论.

⑶如果点M、N 分别在线段CA、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．

模型三：角含半角模型

（1）角含半角模型90°-1

条件：①正方形ABCD ②∠EAF = 45?

结论：① EF =DF +BE ；② ?CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半；也可以这样：

条件：①正方形ABCD ②EF =DF +BE

结论：① ∠EAF = 45?；

口诀：角含半角要旋转

（2）角含半角模型90°-2

条件：①正方形ABCD ②∠EAF = 45?

结论：① EF =DF -BE ；

辅助线：

（2）角含半角模型90°-3

条件：①等腰直角三角形ABC ②∠DAE = 45?

结论：① BD2+CE2=DE2；（勾股定理知识）

辅助线：将△ACE 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ABF，并连接DF.

若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，

结论BD2 +CE 2 =DE 2 仍然成立。

例：在正方形ABCD 中，已知E、F 分别是边CB、DC 延长线上的点，且满足∠EAF=45°，

求证：DF+EF=BE.

变式精练1：如图，?ABC 为边长是1的等边三角形，?BDC 为顶角(∠BDC) 是120?的等腰三角

形，以D 为顶点作一个60?角，角的两边分别交AB 于M ，AC 于N ，连接MN ，形成一个

?AMN ．求证：MN =BM +CN ．

变式精练2：（1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90?，E、F分别是边BC、CD上

的点，且∠EAF = 1

∠BAD ．求证：EF =BE +FD ; 2

(2)如图在四边形ABCD 中，AB =AD，∠B + ∠D =180?，E、F 分别是边BC、CD 上的点，且

∠EAF =1

∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．2

(3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180?，E，F分别是边BC，CD延长线上的

点，且∠EAF =1

∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请2

写出它们之间的数量关系，并证明．

模型四：倍长中线类模型

通过构造“8”字型全等线段数量及位置关系，角的大小转化

例：如图，已知在?ABC 中，AD 是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于 F ，求证：AF =EF

变式精练1：如图，在?ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG =CF ，求证：AD 为?ABC 的角平分线．

变式精练2：如图：AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM.

模型五：截长补短模型

例：已知：如图，在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD

A

1 2

B D C

变式精练1：已知等腰?ABC ，∠A = 100?，∠ABC 的平分线交AC 于 D ，则BD +AD =BC ．

变式精练2：如图， ABC 中，∠BAC = 90?，AB=AC，AD⊥BC 于点D，点E 是AC 中点，连结BE，作AG⊥BE 于F，交BC 于点G，连接EG，求证：AG+EG=BE.

模型六：一线三等角模型

【条件】∠EDF =∠B =∠C，且DE =DF

【结论】 BDE ? CFD

常见三垂直模型：

例：已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：AC⊥CE；

⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，AB =C

D ，

1其余条件不变，试判断AC⊥C1E 这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.

变式精练1：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，AB=1，点P 是线段BC （不与点B、

C 重合）上的动点，过点P 作DP⊥AP 交射线CM 于点D，连结AD．

（1）如图1，若BP=3，求△ABP 的周长．

（2）如图2，若DP 平分∠ADC，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由．

（3）若△PDC 是等腰三角形，作点B 关于AP 的对称点B′，连结B′D，

则B′D=．（请直接写出答案）

变式精练2：⑴如图1，△ABC 是等边三角形，D、E 分别是AB、BC 上的点，且BD=CE，连接AE、CD 相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数= ；

⑵如图2，Rt△ABC 中，∠B=90°，M、N 分别是AB、BC 上的点，且AM=BC、BM=CN，

连接AN、CM 相交于点P．请你猜想∠APM= °，并写出你的推理过程．

变式精练3：已知：C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交x 轴于B。① 求证：CA＝CB；

② 问OB－OA 是否为定值，是定值并求其定值。

模型七：最短路径模型

【两点之间线段最短】

1、将军饮马

2、费马点

【垂线段最短】

【两边之差小于第三边】

例：如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC，AB 边于E，F 点．若点D 为BC 边的中点点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12

10

变式精练1：如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是12，腰AB

的垂直平分线EF 分别交AB，AC 于点E，F，若D 为底边BC 的中点，

点M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长最小值为（）

A．12 B．8 C．7 D．6

变式精练2：如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是

AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF 取得最小值时

则∠ECF 的度数为（）

A．15°B．22.5°C．30°D．45°

变式精练3：如图，点P 是∠AOB 内的一点，且OP=5，且∠AOB=30°，

点M、N 分别是射线OA、OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为（

A．5 B．6 C．8 D．10

变式精练4：如图，锐角△ABC 中，∠ACB=30°，AB=5，△ABC 的面积为23．（1）若点P 在AB 边上且CP= 3 ，D，E 分别为边AC，BC 上的动点．求△PDE 周长的最小值；

（2）假设一只小羊在△ABC 区域内，从路边AB 某点出发跑到水沟边AC 喝水，然后跑向路边BC 吃草，再跑回出发点处休息，直接写出小羊所跑的最短路程．

D 巩固提升：

1.如图两个等边三角形?ABD 与?BCE ，连结 AE 与CD ，

求证：（1） ?ABE ? ?DBC （2） AE = DC （3） AE 与 DC 之间的夹角为60?

（4） AE 与 DC 的交点设为 H , BH 平分∠AHC

2.如图 1，已知△ABC 中， AB = BC = 1，∠ABC = 90 ，把一块含30 角的直角三角板 DEF 的

直角顶点 D 放在 AC 的中点上（直角三角板的短直角边为 DE ，长直角边为 DF ），将直角三角板 DEF 绕 D 点按逆时针方向旋转．

⑴在图 1 中， DE 交 AB 于M ， DF 交 BC 于 N ． ①证明 DM = DN ；

②在这一旋转过程中，直角三角板 DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形 DMBN ，请说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

⑵继续旋转至如图 2 的位置，延长 AB 交 DE 于 M ，延长 BC 交 DF 于 N ， DM = DN 是 否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

⑶继续旋转至如图 3 的位置，延长 FD 交 BC 于 N ，延长 ED 交 AB 于M ，DM = DN 是否 仍然成立？请写出结论，不用证明． F

A D M

E B N C A

D N A C

E E

M

F

M 图 2

图 1

F

B

N

C

图 3

B

3.问题 1：如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点 M ，N 分别在 AD ，CD

上，∠MBN = 1

∠ABC ，试探究线段 MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；

2

问题 2：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点 M ，N 分别在 DA ，

CD 的延长线上，若∠MBN = 1

∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段 MN ，AM ，CN 又有

2

怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.

4.已知△ABC 为等边三角形，E 为射线BA 上一点，D 为直线BC 上一点，ED=EC．

（1）当点E在AB的上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC=CD；

（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想；

（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD 的数量关系．

D

Q

5.如图，已知△ABC 中，AB =AC = 10厘米，BC = 8厘米，点 D 为AB 的中点．

⑴如果点P 在线段BC 上以3 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由

C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

⑵若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

A

B C

P