长正方体公式及概念

第三单元长正方体公式及概念（必背）

前（后）面=ah

左（右）面=bh 长方体侧面积=2（前面+右面）上（下）面=ab =2（ah+bh ）长方体侧面积=底面周长×高 =2(a+b)h 面积：物体表面或平面图形的大小

体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

1m 3=1000dm3 1L=1000mL 1L=1dm 3 1dm 3=1000cm3 1mL=1cm 3 第三章（一）长方体和正方体的认识 ★ 一、

填空题

1、长方体有（）个面，（）条棱，（）个顶点。

2、长方体的6个面一般是（）形，也可能有相对的两个面是（）形。二、

判断题

1、有6个面，8个顶点，12条棱的物体都是长方体。（）

2、正方体是一种特殊的长方体。（）

3、长方体每相邻两个面完全相同。（）

4、长方体的每个面都是长方形。（）三、

其它题型

1、填表。

通过上表，可以知道长方体和正方体的关系是： ★★ 一、填空题

1、一个长方体的长是12厘米，宽8厘米，高6厘米，它的棱长和是（）厘米。

2、这个正方体的棱长的和是（）分米。

3、用上图（右）3根铁丝的长度作为长、宽、高，做一个长方体框架，共需要铁丝（）厘米。

4、有一个正方体，棱长是7厘米，它的棱长之和是（）厘米。二、选择题

1、用一根60厘米的铁丝可以折成棱长是（）厘米的正方体。

A ．5

B ．12

C ．10

2、一个长方体的长是9厘米，宽是7厘米，高是4厘米，这个长方体的棱长总和是（） A ．40厘米 B ．80厘米 C ．63厘米

5分米

3、一个长方体的棱长总和是72厘米，这个长方体的长、宽、高的和是（）厘米。A．24 B．18 C．36

2、计算下面长方体棱长和。

（1）（2）

3、解决问题。

（1）一个正方体的棱长是6厘米，它的棱长之和是多少？

（2）用一根24厘米长的铁丝焊成一个长方体框架，这个长方体框架的棱长是多少厘米？（3）一个长方体有两个相对的面是正方形，正方形的边长是5cm，这个长方体的棱长之和是100厘米，它的高是多少厘米？

（4）一个正方体，相交于同一个顶点的三条棱长度的和是12分米。这个正方体的棱长的总和是多少？

★★★

用一根绳子捆扎一种礼盒，如果结头处的绳子长30厘米，求这根绳子的长度。

第三章（二）长方体和正方体的表面积

★一、填空题

1、长方体或正方体（），叫做它的表面积。

2、看图填空：

①前面的面积是（）。

②左、右两个面，面积的和是（）。

③上、下两个面，面积的和是（）。

④表面积是（）。

3、一个正方体的棱长是5厘米，它的面积是（）。

4、有一个长方体的长是12厘米，宽6厘米，高8厘米，把它放在桌面上，它占用桌面的面积最大是（）平方厘米，最小是（）平方厘米。

二、选择题

1、要做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长60厘米，宽50厘米，高40厘米，至少要用（）平方厘米的玻璃。

A．14800 B．11800 C．12800

三、其它题型

4cm

1、用纸板做一个长15米，宽8米，高2米的长方体纸箱，至少要用纸板多少平方米？

★★

一、填空题

1、一个正方体的表面积是54平方米，它的每个面的面积是（）平方米。

2、一个正方体的表面积是96平方分米，它的每个面的面积是（）平方分米，它的棱长是（）分米。

3、一个长方体的底面积是48平方厘米，宽和高都是4厘米，这个长方体的表面积是（）平方厘米。

4、两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，表面积比原来小（）个面的面积。

5、一个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的最大面的面积是（）。

二、选择题

1、把一块长方体的木块，平均锯成两块后，木块的表面积和原来比较，（）

A．减少了B．增加了C．没有变化

2、大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体棱长的（）倍。A．2 B．4 C．6 D．8

3、将一个大长方体从一角切去一个小正方体,切后图形表面积和原长方体表面积相比，（）A．比原来的表面积大B．一样大C．比原来的表面积小

三、其它题型

1、右图是一个长方体的长、宽、高，

请你把它画完整（不要求用虚线

画看不见的部分）。

1米，宽0.8米，深2米，需要铁皮多少平方米？

2、用铁皮焊接一个长方体无盖水槽，长.5

（焊接损耗不计）

3、有一个长方体的茶叶桶，长和宽都是8cm，高是12cm。在桶的四周贴上商标纸，这张商

标纸的面积是多少平方厘米？（接头处忽略不计）

4、先列式计算，再把表格填写完整。

5、学校粉刷教室的房顶和四壁预算表

6、把三个棱长是4厘米的小正方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘

米？

7、一个长方体的底面周长是24厘米，高6厘米，求这个长方体周围四个面的面积总和是多

少平方厘米？

★★★

一、填空题

1、正方体的棱长扩大2倍，它的表面积就扩大（）倍。

二、判断题

1、长方体的长、宽、高都扩大2倍，表面积扩大6倍。( )

三、其它题型

1、下面的图形中，哪一个可以折成正方体，在下面的（）里画“√”。

2、把6个棱长是1厘米的小正方体拼成一个大长方体，拼成长方体表面积最小是多少平方厘米？

3、有一块铁皮（如图），从四个顶点分别剪去一个边长2厘米的正方形，

所剩的部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒。原铁皮的面积是多少

平方厘米？

4、将12盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须是以全等的面

积对接，最后得到的包装形状是一个长方体。已知磁带盒的长为11厘米，宽为7厘米，高为2厘米。按“规则方式”打包后得到的长方体的表面积最小值是多少平方厘米？

5、有一个正方体，第一次切成两个完全一样的长方体，然后又切成了四个完全一样的长方体，最后再切成八个完全一样的正方体。这时小正方体的表面积之和比原来大正方体增加了15平方厘米。大正方体的表面积是多少？第三章（三）长方体和正方体的体积 ★一、填空题

1、物体所占（）的大小叫做物体的体积。

2、在日常生活中，常用的体积单位有（）、（）和（）。

3、计量液体常用的体积单位是（）和（）。

4、相邻两个体积单位间的进率是（）。

5、棱长是（）的正方体的体积是1立方米。

6、在工程上，“3

1m ”的土、沙石等均简称（）。

7、一个正方体的棱长是dm 4。这个正方体的棱长和是（）；表面积是（）；体积是（）。

8、一个长方体长dm 6，宽dm 5，高dm 4，它的体积是（）。

9、右图中每个小正方体的体积都是3

1cm ，拼成的大长方体的长是（）cm ，宽是（）

cm ，高是（）cm ，体积是（）3

二、选择题

1、下图中表示体积的是：（）

2、一个长方体的长是a ，宽是b ，高是h ，它的体积是（）。 A ．2（ab+ah+bh ） B ．2（a+b+h ） C ．a ×b ×c

3、一个油桶能盛200升汽油，我们就说这个油桶的（）是200升。 A ．体积 B ．质量 C ．容积三、判断题

1、容积和体积的计算方法相同，所以物体的体积等于容积。（）

2、相邻的两个体积单位间的进率是1000，所以体积单位比面积单位大。（）

3、正方体的体积比表面积大。（）

4、两个表面积相等的正方体体积一定相等。（）

5、5立方米比3平方米大。（）

()()()()()()()()()()(

)(

333

333338.041509032.198006.308.2400cm

ml L m

cm L ml dm cm dm cm dm dm dm cm dm m cm dm m dm ===========6、把一个正方体切成两块后，表面积和体积都不变。（） 7、3

a 表示3个a 相加。

8、棱长为6厘米的正方体的表面积和体积相等。（）四、其它题型 1、填表

2、计算下面长方体和正方体的体积和表面积。（单位：cm ）

3、在括号里填上合适的单位名称。

一瓶墨水是32（）；拖拉机油箱的容积是12（）；喷雾器的体积是15（）药液箱的容积是14（）；电冰箱的体积大约是210（）；一张写字台大约占地2（）

★★一、填空题

1、一个正方体的棱长之和是72厘米，它的表面积是（），体积是（）。

2、长方体的长、宽、高各缩小2倍，它的体积缩小（）倍。

3、四个同学分别用8个1立方厘米的立方体测量了4个盒子的容积，第（）个盒子容积最大，是（）立方厘米。

二、选择题

1、底面积是36平方分米的正方体,体积是（）立方米。

A．216 B．2160000 C．0.216

2、体积为8立方厘米的正方体积木，放在桌子上所占桌面的面积是（）

A．8平方厘米B．4平方厘米C．4立方厘米D．16平方厘米

三、判断题

1、正方体的边长扩大5倍，它的体积就扩大5倍。（）

2、长方体的长扩大2倍，宽缩小2倍，高不变，这个长方体的体积不变。（）

四、其它题型

1、要制作60个棱长是0.4dm的正方体木块，要损耗木材多少立方分米？

2、学校要修建一个游泳池，游泳池长25米，宽15米，深1.6米。一台挖土机如果每小时能挖土50方，几小时能挖完？

3、一根长3m的长方体枕木，横截面是边长0.3m的正方形。每立方米枕木质量是3.2吨，这根枕木的质量是多少吨？

4、把一块棱长为40厘米的正方体钢块，熔成一根长80厘米，厚40厘米的钢条。这根钢条宽多少厘米？

★★★

1、一个长方体木块，长12.5dm，如果沿着与高平行的方向把它切

成两个长方体，这两个长方体的表面积的和比原长方体表面积增加

8dm。原长方体的体积是多少？

2、一个长40厘米的长方体，它的横截面是正方形，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，求原长方体的表面积和体积。

3、下面的长方体都是用棱长1厘米的小正方体摆成的。算出它们的体积。

★★★★

1、一个底面是正方形的长方体的纸箱，如果把它的侧面展开，可以得到一个长120cm，宽是

80cm的长方形。这个纸箱的体积可能是多少？（两个答案你都能求出来吗？）

2、有一个长方体容器，从里面量长6分米，宽5分米，高8分米，里面注有水，水深4分米。

如果把一块边长3分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？

3、一个边长为4厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的

中心位置打一个直穿木块的洞，洞口为边长1厘米的正方形（如图）。

求挖洞后木块的体积及表面积。

第一关:运用公式填一填

1.一个长方体的长是5厘米,宽是4厘米,高是3厘米, 它的表面积是( )平方厘米。

2.一个正方体的棱长之和是24厘米,它的表面积是( ) 平方厘米。

3.一个长方体的长是

4.2分米,宽是3分米,高是2分米,一个正方体的表面积和这个长方体的表面积相等,这个正方体一个面的面积是( )平方分米。

第二关:细心读题辩一辩

1.如果一个长方体和一个正方体的所有棱长之和相等, 那么它们的表面积相( )

2.一个长方体的长、宽、高都扩大2倍,它的表面积就扩大8倍。( )

3.正方体的棱长扩大3倍,表面积就扩大9倍。( )

第三关:联系实际用一用

1.（如图）根据图中标注的茶叶筒的有关尺寸,请你算出商标的面积.

2．（如图）手提袋的长是25厘米,宽是10厘米,高是45厘米.做一个这样的手提袋大约需要多少平方厘米的硬纸板?

第四关：仔细观察算一算

请你算出下面图形的表面积.(单位:厘米)

第五关：细心读题比一比

1.把一个长方体切成两个大小完全相同的正方体,这时表面积增加了40平方分米.原来长方体的表面积是多少平方分米?

2.把一个长方体切成三个完全相同的正方体,这三个正方体的表面积之和比原来长体的表面积大8平方厘米.原来长方体的表面积是多少平方厘米?

3.把一个长方体接上一个正方体后,表面积比原来增加80平方厘米.接上的正方体的表面积是多少平方厘米?

4.一个正方体和一个长方体拼在一起成为一个新的长方体,新的长方体的表面积比原来长方体的表面积增加90平方厘米.原来正方体的表面积是多少平方厘米?

第六关：放飞思维想一想

1.一个长方体,长10分米,宽8分米,高2分米.现要求只锯一次,锯成两个长方体,表面积可能增加多少平方分米?

2.用12个棱长是1厘米的小正方体拼成一个新的长方体,拼成的长方体的表面积可能是多少平方厘米?

3.从一块长3分米、宽2分米、高1分米的长方体木料上截取一个尽可能大的小正方体,剩下木料的面积可能是多少?

(完整版)五年级长方体和正方体概念和公式归纳

长方体和正方体一、概念： 1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。 3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 5、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 6、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 7、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。 3 8、a 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a? a ?a）

二、计算公式：长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积、横截面积、上面积）＝长×宽侧面积（左面、右面）＝宽×高前（后）面积＝长×高表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 或＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2－长×宽体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高正方体公式：棱长和＝棱长×12棱长＝棱长和÷12 表面积＝棱长×棱长×6（任意一个面积×6）没盖的表面积＝棱长×棱长×5 体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长三、体积单位换算：高级单位化成低级单位乘进率低级单位化成高级单位除以进率进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升 1立方厘米＝1毫升

高等数学常用公式大全

高数常用公式平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -

人教版数学五年级下册《长方体和正方体的认识》教材分析

五年级下册数学第三单《长方体和正方体》教材分析姜凌平一、教学内容 1、长方体和正方体的认识。 2、长方体和正方体的表面积。 3、长方体和正方体的体积。二、教学目标 1、通过观察和操作，认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图。 2、通过实例，了解体积（包括容积）的意义及度量单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），会进行单位之间的换算，感受1m 3、1dm3、1cm3以及1L、1ml的实际意义。 3、结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，并能运用所学知识解决一些简单的实际问题。 4、探索某些实物体积的测量方法。三、编写特点 1、注意联系生活实际。（1）结合学生熟悉的事物认识图形和概念。（2）注意用所学的知识解决实际问题。（3）选取具有鲜明时代特征的素材。2、更加重视对概念的理解，如对体积概念的认识。 3、加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程。

本单元的一些概念和计算方法都是通过学生动手操作、自主探索来学习的。如，长方体体积的计算方法。 4、对一些内容进行了调整。不再安排对体积和表面积进行对比的例题。四、具体编排（一）长方体和正方体的认识 1、教材的变化。（1）长方体、正方体的引出，直接从实物中抽象出相应的图形，不再从与平面图形的对比中引出。（2）直观、直接地给出长方体的面、棱、顶点的概念。（3）突出了学生自主探索的学习方式，让学生通过动手操作、自主探索来学习的。 2、题图。呈现了一些长方体或正方体形状的建筑物和生活用品，从中抽象出长方体和正方体的图形，让学生感受到生活中很多物品的形状都是长方体和正方体的。

长方体正方体计算公式及练习

注：计算时，一定看清单位名称，单位不统一，一定要先换算统一后再计算。一、长方体公式： 1、棱长总和：长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=长方体的棱长总和÷4 2、长方体表面积公式=(长×宽＋长×高＋宽×高)×2 S=(a×b＋a×h＋b×h) ×2 3、长方体无盖或粉刷房屋(或水池）的面积=（长×高＋宽×高) ×2＋长×宽 S=( a×h＋b×h)×2＋a×b 3. 计算长方体通气管或排水管面积=(长×宽＋长×高)×2 S=(a×b＋a×h)×2 4. 计算长方体贴四周商标或瓷砖的面积=（长×高＋宽×高)×2 S=( a×h＋b×h)×2 5.长方体体积=长×宽×高 V= a×b×h 6.长方体体积=底面积×高 V= s×h 7.底面积=长×宽 s= a×b 二、正方体公式： 1、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体的一条棱长=棱长总和÷12 2、正方体表面积公式=棱长×棱长×6 S= a×a×6 3、正方体无上盖面积=棱长×棱长×5 S= a×a×5 4、正方体贴四周商标=棱长×棱长×4 5、正方体体积=棱长×棱长×棱长 S= a×a×4 V= a×a×a 6、正方体体积=底面积×高 V= s×h 三、体积单位换算： 1立方米=1000立方分米1立方分米=103立方厘米 1 m3=1000 dm3 1 dm3=1000cm3 1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升 1 L=1 dm31mL=1cm3 1L=1000mL

四、面积单位换算： 1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米1平方米＝10000平方厘米 1公顷=10000平方米1平方千米=100公顷=1000000平方米五、长度单位换算： 1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米四周只有四个面、无盖只有五个面、占地面积指的是地面面积

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点

一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1

高等数学所有公式汇总

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

长方体和正方体的知识点

长方体和正方体的知识点 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

长方体和正方体的知识整理一、【概念】 1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中， 2棱顶点长、宽、高。 3、由正方体（也叫做立方体）。正方体有 4 5、长方体有642个面是正方形。正方体有长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 L=（a ＋b ＋h ）×4 长=棱长总和÷4－宽－高 a=L ÷4－b －h 宽=棱长总和÷4－长－高 b=L ÷4－a －h

高=棱长总和÷4－长－宽 h=L÷4－a－b 正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12 6、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，棱长总和会扩大相同的倍数。（如长、宽、高各扩大2倍，棱长总和就会扩大到原来的2倍）。二、【长方体和正方体的表面积】 1、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。长方体的表面积S=2（ab＋ah＋bh）无底（或无盖）长方体表面积 S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab 无底又无盖长方体表面积S=2（ah＋bh）正方体的表面积S=a×a×6= 6a2 2、表面积的常用单位有：平方米、平方分米、平方厘米相邻两个面积单位之间的进率是1001m2 =100dm2 1 dm2 =100 cm2 1m2 =10000 cm2 3、生活实际

油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸、粉刷教室等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。 4、长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表面积。 5、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。三、【长方体和正方体的体积】 1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。（就是看物体含有多少个体积单位） 2、常用的体积单位有：立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3） ①棱长是1 cm的正方体，体积是1 cm3 ②棱长是1 dm的正方体，体积是1 dm3 ③棱长是1 m的正方体，体积是1 m3 相邻两个体积单位之间的进率是1000 1 m3 =1000 dm3? 1dm3=1000 cm3 1 m3 =1000000 cm3 长方体的体积 V=abh 长÷b÷h

长方体和正方体的特征

长方体和正方体的特征一、教学目标： 1、经历观察、交流、归纳等认识长方体和正方体特征的过程。 2、知道长方体、正方体各部分名称，了解长方体、正方体的特征以及长方体、正方体之间的关系。 3、积极主动参与数学活动，在总结和归纳长方体、正方体特征及关系的过程中，获得积极的学习体验。二、教学重点：掌握长方体和正方体的面、棱、顶点的特征，认识其长、宽、高及长方体和正方体之间的关系。三、教学难点：长方体和正方体的概念，发展学生的空间观念。四、教学准备：每个学生准备一个长方体、一个正方体实物，教师准备长方体、正方体模型，课件。五、教学过程：（一）创设情境，设疑激趣：师：同学们，老师手中拿的这个盒子，谁知道它是什么形状的（长方体）那么这个盒子的形状谁知道呢（正方体）师：真不错，老师还为大家准备了一张图片，你能从中找出长方体或正方体的物体吗（出示图片，指生回答）师：同学们说得很好，在我们的生活中，你还见过哪些物体的形状是长方体或正方体生自由回答：大部分药盒是长方体，香皂包装盒是长方体，骰子是正方体，粉笔盒是正方体、讲台是长方体。师：看来同学们都是生活中的有心人，我们已经认识了长方体和正方体，这节课我们就来共同研究长方体和正方体有什么特征。（板书课题：长方体和正方体的特征）（二）引导探究，自主建构： 1、师出示长方体模型。师：（师拿模型）关于长方体，你还知道些什么生：我知道长方体有平平的面。（师在黑板上课前画好长方体和正方体）（板书：面）师：再看一看两个面相交处有什么

生：有一条边。师：我们把两个面相交的这条边叫做棱。（板书：棱）师：请同学们看一看三条棱相交处有什么生：尖。（或点）师：三条棱相交的点叫做顶点。（板书：顶点）师：请同学们拿起自己准备的长方体，摸一摸它的面、棱、顶点。学生按要求摸一摸。 2、师：下面我们就从面、棱、顶点这三个方面来研究长方体的特征。自己数一数你手中的长方体有几个面生：长方体有6个面。师：你们同意吗谁来说一说你是怎样数的生1：我是转圈数，再数左、右两边的两个面，共6个面。（边说边演示）生2：我是按上面、下面、前面、后面、左面、右面的顺序数的，共6个面。（边说边演示）师：她按上、下、前、后、左、右的顺序数，这样既不重复，也不容易漏数，这个方法不错，你们认为这些面有什么特征生可能回答：生1：这6个面都是长方形。生2：上、下两个面大小相等。生3：左、右两个面大小相等。生4：前、后两个面大小相等。生5：老师，我和某某有不同的意见，我手中的长方体不是6个面都是长方形的，有2个面是正方形的（师拿着展示）师：也就是说长方体的6个面不一定都是长方形，也有可能有两个面是正方形的，刚才同学们提到的上下面，前后面，左右面都是分别相对的，我们称它们为相对的面。那么上下面、前后面、左右面的大小是否真的相等呢请同学们以同桌为单位，共同验证一下这些相对的面的大小是否真的相等呢学生同桌合作交流并集体汇报：生1：我们是用尺子测量的，通过测量我们发现相对的面的长、宽、都相等，所以面积就相等。生2：我们先在纸上描出底面的长方形，再把上面的长方形放在上面，

长方体和正方体周长面积和体积计算公式大全

长方体和正方体的周长面积和体积计算公式大全周长：长方形周长公式=（长+宽）X2 正方形周长公式=边长X4 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径，或=圆周率×半径×2 面积：长方形面积=长X宽正方形面积公式=边长X边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 圆的面积=圆周率×半径×半径容积：容器若能容纳的物体的体积：表面积：长方体或正方体六个面的总面积。正方体的表面积：S=6a×a（棱长×棱长×6）正方体体积公式：V=a×a×a（棱长×棱长×棱长）长方体的表面积：S=2×(ab+bc+ac)((长×宽＋长×高＋宽×高）×2）长方体体积公式：长X宽X高长方体棱长总和公式：（长+宽+高）X4 正方体体积：Va×b×c（长×宽×高）正方体棱长总：棱长X12 圆柱体的侧面积=底面圆的周长×高圆柱体表面积=上下底面面积+侧面积，[或S=2π*r*r+2π*r*h（2×π×半径×半径+2×π×半径×高）] 圆柱体的体积=底面积×高，[或V=π *r*r*h（π×半径×半径×高）] 圆锥体积：V=S底×h÷3（底面积×高÷3）正方体体积公式：棱长X棱长X棱长通用体积公式：底面积X高截面积X长

表面积的变化要会人折。长方体或正方体被锯开后，一次会增加两个面；反之，两个相同，体或长方体拼在一起，一次会减少两个面。长方体和正方体的特征，相同点和不同点要牢记。平面图形名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 菱形 a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 S＝(a+b)h/2

高等数学积分公式大全

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d () x x ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C 11．x ?＝22(3215ax b C a - 12．x x ?＝22232(15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22(23ax b C a - 14． 2x ＝22232(34815a x abx b C a -+

15 ．＝(0)(0)C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b 18 ．x ＝2a x -+? （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0)(0)C b C b ?+>+< 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 21ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +?＝21d a x bx b ax b --+?

长方体和正方体_概念和公式归纳

《长方体和正方体》概念和公式归纳、概念: 1、长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2、正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。（正方体也叫立方体）。正方体有12条棱, 它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 3、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 5、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积 &物体所占空间的大小叫做物体的体积。计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米规定：棱长是1cm的正方体，体积是1cm3. 棱长是1dm的正方体，体积是1dn3. 棱长是1m的正方体，体积是1n3. 7、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。 8、a3读作“ a的立方”表示3个a相乘，（即a ? a ? a） 9、至少用（8 ）个小正方体能拼成一个大正方体。 10、箱子、油桶、仓库等所能容物体的体积，通常叫做它们的容积。计量容积，一般就用体积单位 11、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml 。 12、长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽, 13、计量不规则物体的体积可以用排水法。（水面上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。）二、公式：

长方体公式：棱长和=（长+宽+高）X 4 底面积（占地面积、、上面积）=长乂宽左面、右面=宽乂咼前（后）面积=长乂咼表面积=（长x宽+长X高+宽X高）X 2 没盖的表面积=长乂宽+ （长x高+宽X高）X 2 或=（长X宽+长X高+宽X高）X 2—长X宽体积（容积）=长乂宽X高长=体积*宽*高宽=体积*长*高高=体积*长*宽体积（容积）=底面积X高 =横截面积X长底面积=体积*高高=体积*底面积横截面积=体积*长长=体积*横截面积正方体公式：棱长和=棱长X 12 棱长=棱长和* 12 表面积二棱长X棱长X 6 （任意一个面积X 6）没盖的表面积二棱长X棱长X 5 体积（容积）=棱长X棱长X棱长=底面积X棱长三、体积单位换算：进率： 1L= 1000ml 1L=1dm 3 1ml=1 cm 3 1 立方米=1000立方分米=1000000立方厘米 1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升 1立方厘米二1毫升

长方体和正方体有关概念与公式

第一部分长方体和正方体的认识 1、长方体是由六个长方形，特殊情况下（由两个相对面是正方形）围成的立体图形。正方体是由六个完全相同的正方形围成的立体图形。 2、长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。长方体相对的2个面的面积相等，相对的4条棱的长度相等。正方体的6个面完全相同，12条棱长度都相等。正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。正方体是特殊的长方体。 3、长方体中最少有2个面完全相同，最多有4个面完全相同。长方体最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。 4、计算长方体或正方体的棱长总和就用长度单位：米、分米、厘米。每相邻两个长度单位之间的进率是10。长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4 长方体的棱长总和 =（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长总和÷4 长方体的长=棱长总和÷4 -（宽+高）长方体的宽=棱长总和÷4-(长+高) 长方体的高=棱长总和÷4 -（长+宽）5、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 第二部分长方体和正方体的表面积 1、长方体和正方体6个面的总面积叫做它们的表面积。计算表面积也用面积单位：平方米、平方分米、平方厘米。每相邻两个面积单位之间的进率是100。 2、长方体上（下）面的面积=长×宽长方体左（右）面的面积=宽×高长方体前（后）面的面积=长×高长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高) ×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体一个面的面积=正方体的表面积÷6

第三部分长方体或正方体的体积和容积 1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2、常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 3、棱长1米的正方体，体积是1立方米。用3根1米长的木条做成一个互成直角的架子，放在墙角，是1立方米。棱长1分米的正方体，体积是1立方分米。一个粉笔盒的体积接近1立方分米。棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米。一个手指尖的体积大约是1立方厘米。 4、长方体的体积=长×宽×高 V= abh 长方体的长= 长方体的体积÷宽÷高长方体的宽=长方体的体积÷长÷高长方体的高=长方体的体积÷长÷宽正方体的体积= 棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=a 5、长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体（或正方体的体积）=底面积×高 V=sh 6、一个正方体的棱长扩大a倍，棱长总和扩大a倍，表面积扩大a×a倍，体积扩大a× a× a倍。 7、计算不规则物体的体积可以用排水法。水中物体的体积（不规则物体的体积）=容器的底面积×水面上升（或下降）的高度。水面上升（或下降）的高度=水中物体的体积（不规则物体的体积）÷容器的底面积。 8、容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，常用容积单位升或毫升，也可以写成L或ml。 1ml=1cmlL=1dm 1L=1000ml 9、长方体和正方体的容积计算方法，跟体积的计算方法相同。但是容积要从容器里面量出长、宽、高。物体的容积一般都小于物体的体积。只是，为了计算方便，我们把厚度忽略不计。

(整理)高等数学基本公式概念和方法

高等数学基本公式、概念和方法一．函数 1．函数定义域由以下几点确定（１）0)(;) (1 ≠= x f x f y （２）0)(;)(2≥=x f x f y n （其中n 为正整数）（３）0)(:)(log >=x f x f y a 。（４）1 )(1);(arccos 1)(1);(arcsin ≤≤-=≤≤-=x f x f y x f x f y （５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．（６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定． 2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．（１）若)(),()(x f x f x f =-是偶函数，若)(),()(x f x f x f -=-是奇函数．（２）若)(x f y =的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如x y x y cos ..2 ==等。若)(x f y =的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如x y x y x y sin (3) === ３．将函数分解成几个简单函数的合成．由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系．二．极限与连续 1．主要概念和计算方法：（１）．A x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0 （２）．若0)(lim 0 =→x f x x （极限过程不限），则当0x x →时)(x f 为无穷小量。（3）．若)()(lim 00 x f x f x x =→，则函数在0x 处是连续的。即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。若上述三条至少一条不满足，则0x 是函数的间段点。（4）．间断点的分类：设0x 是函数的间断点若左、右极限均存在，则0x 称为第一类间断点。若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x 称为第二类间断点。（5）．重要公式：条件0)(lim =x ?（极限过程不限）

长方体和正方体必背概念

其它4个面是(完全相同)的长方形。】 2、长方体有( 6 )个面，(相对)的两个面完全相同；长方体有( 8 )个顶点，每个顶点引出( 3 ) 条棱；长方体有( 12 )条棱，12条棱分为( 3 )组，【每组就是相对的( 4 )条棱，它们的长度(相等)并且( 平行)】。 3、长方体中相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的（长）.（宽）.（高）。 4、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 或者=长×4+宽×4+高×4 5、（1）正方体的（6）个面是完全相同的（正方形）。（2）正方体的（12）条棱长度都（相等）。（3）正方体有（8）个顶点。 6、正方体可以看成是（长、宽、高）都相等的长方体。（正方体）是特殊的（长方体）。 7、正方体的棱长总和=棱长×12 8、用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体,至少需要（8）个小正方体。 9、长方体或正方体（6个面的总面积），叫做它的表面积。长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 10、正方体的表面积=（棱长×棱长×6） 11、用刀分开物体时，每分一次增加（两）个面。 12、物体所占（空间的大小）叫做物体的体积。 13、长方体的体积= （长×宽×高）。用字母表示（V=a b h） 14、正方体的体积= （棱长×棱长×棱长）。用字母表示（V=a3） “a3”，读作“a的立方”，表示（3个a相乘a×a×a）。 15、长方体或正方体（底面的面积）叫做底面积。 16、长方体（或正方体）的体积公式也可以=（底面积×高）用字母表示：V=S h （横截面积相当于底面积，长相当于高）。 17、常用的体积单位有（立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米）相邻两个单位间的进率是（1000）。1m3=1000dm3、1dm3=1000cm3、1 cm3=1000 mm3、1m3=1000000 cm3 18、容器（如箱子、油桶、仓库等）所能（容纳物体的体积），通常叫做它们的容积。 19、固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位(升)和( 毫升)，也可以写成L和ml。1L=1 dm31ml=1 cm31L=1000ml 20、长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。对于同一个物体，体积（大于）容积。 21、形状不规则的物体常用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来也可以②V物体=S×(h现在- h原来) ③V物体= S×h升高

高等数学思想方法

高等数学思想方法第一章函数与极限主要的思想方法： (1)函数的思想高等数学的核心内容是微积分，而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时，首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系，这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程，体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。（2）极限的思想极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势，是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势，即函数或者数列的极限，这是一种重要的数学思想方法。第二章导数与微分主要的思想方法：（1）微分的思想微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化，一般地，求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出，在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现，而这也是微积分的一个基本思想。（2）数形结合的思想书本中在引入导数与微分概念时，也讨论了它们的几何意义，这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法，这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。（3）极限的思想不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。（4）逻辑思维方法在本章中，归纳法（从特殊到一般），分类（整合）法等逻辑思维方法都得到了充分的体现，理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。第三章中值定理与导数的应用主要的思想方法：导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型，它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态；而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”，利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质，具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。

六上第一单元,长方体和正方体概念归纳(填空)学习资料

六上第一单元《长方体和正方体》概念归纳 1、两个面相交的线叫作。 2、三条棱相交的点叫作。 3、长方体是由个长方形围成的立体图形。长方体的面是长方形（也可能有个相对的面是正方形），相对的面完全，相对的棱长度。 4、长方体的棱有组，每组的条棱长度。有条棱，个顶点。 5、相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的、、。 6、正方体是由个完全相同的正方形围成的立体图形。正方体有条棱，它们的长度都。正方体有个顶点。 7、正方体和长方体的关系：正方体可以看成是长、宽、高都的长方体。正方体是特殊的。 8、长方体的棱长和= = 正方体的棱长和= 9、在长方体当中，上、下面的面积= ；前、后面的面积= ；左、右面的面积= 。 10、长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的。 11、长方体的表面积= = 正方体的表面积= 12、物体所占空间的大小叫作物体的。 13、常用的体积单位有、、，可以分别写成、、。

14、棱长1厘米的正方体，体积是1 。手指头的体积大约是1 。 15、棱长1分米的正方体，体积是1 。粉笔盒的体积接近1 。 16、棱长1米的正方体，体积是1 。用3根1米长的木条做成一个互成直角的架子，放在墙角，圈定的空间的大小为1 。 17、长方体的体积= V= 18、正方体的体积= V= = 19、长方体和正方体底面的面积，叫作它们的。长方体的底面积= 正方体的底面积= 20、长方体（或正方体）的体积= V= 21、容器所能容纳物体的体积，通常叫做容器的。 22、计量液体的体积常用和作单位。 1升= 毫升 23、容积是1立方分米的容器，正好盛水升。 1升= 立方分米容积是1立方厘米的容器，正好盛水毫升。 1毫升= 立方厘米 24、1立方分米= 立方厘米 1立方米= 立方分米 25、长度单位：、和。每相邻两个单位间的进率是。

高等数学常用积分公式查询表

导数公式：基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='

31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32．＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C

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