能量法

第十章能量法

承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生变化，从而使载荷位能

减少。如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机械能守恒定律，减少了

的载荷位能将全部转变为应变能储存于构件或结构内。据此，通过计算构件或结构

的应变能，可以确定构件或结构加力点处沿加力方向的位移。

但是，机械能守恒定律难以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移，也不

能确定构件或结构上各点的位移函数。应用更广泛的能量方法，不仅可以确定构件

或结构上加力点处沿加力方向的位移，而且可以确定构件或结构上任意点沿任意方

向的位移；不仅可以确定特定点的位移，而且可以确定梁的位移函数。

本章介绍的是：用应变能的概念，根据能量守恒原理来解决与弹性结构或构件

变形有关问题的一般方法，这种方法称为能量法。能量法既可用于计算构件或结构

位移；也可用以解决静不定问题及其它一些问题；本章只讨论用能量方法计算位移。

§10.1 杆件的应变能计算

前面我们曾讨论过拉伸（压缩）、扭转或弯曲时的变形计算。但是在工程上还常遇到比较复杂的结构，例如图10-1中所示的桁架、刚架——是指由直杆组成的具有刚性结点的结构、拱——是指杆轴为曲线而且在铅垂载荷作用下会产生水平支座反力的结构等。在计算这些结构上某一点或某一截面的位移时，能量法是比较简单的方法。

通过拉伸（压缩）、扭转、弯曲时的应变能分析，可见：杆件在受力变形后，都储藏有应变能。若不计杆件变形过程中少量的热能等损失，则杆件能量守恒，外力在弹性

体变形过程中所作的功W应等于杆件内储藏的应变能V

ε，即V

ε

=W。

在第七章我们曾经分别得到等截面杆各横截面上的内力为常量时，拉伸（压缩）、扭转、弯曲（参看图10-2）时的应变能表达式如下

拉伸（压缩）时

2

1

22

N

P

F l

V F l

EA

ε

=?=此处F N=F P（10-1）

圆轴扭转时 21

22x P P

M l V M GI ε?== 此处M x =M P （10-2）

平面弯曲时 2122P M l

V M EI

εθ== 此处M =M P （10-3）

综合以上三个表达式中外力表达的部分，可以把应变能概括地写为

1

2

V W F εδ==

(10-4) 式中 F ——在拉伸（压缩）时表示拉力（压

力），在扭转或弯曲时表示集中力偶，所以此处F 称为广义力；

δ——在广义力作用处与广义力F 相应的位移，称为广义位移，在拉伸（压缩）时它是与拉力（压力）相应的位移l ?，在扭转时它是与扭转力偶矩相应的转角φ，在平面弯曲时它是与弯曲力偶矩相应的截面转角θ（如图2所示）。 倘若构件或结构上作用着若干个广义力F i （i =1、2、 、n ），由这些广义力共同引起的广义位移为δi （i =1、2、 、n ），则此时也可以从广义力所作的功来求应变能：由于外力所作功W 或应变能V ε均可证明与加载顺序无关，而只

与各载荷最终值有关（见例10-1）；故在求上述

应变能V ε时，可认为各载荷F i ，均同时从零开始

按同一比例增长到最终值。当构件或结构上的广义位移δi 与广义力F i 成正比时，在这种加载方式下，构件或结构内的应变能可用每一广义力在其作用点的广义位移上所作的功的和来计量，即

11221

11112222n

n n i i i V W F F F F εδδδδ===+++=∑ (10

5)- 由于杆件处于线性弹性（即材料符合虎克定律，力与变形成正比）的情况下，广义力与

广义位移之间应该有成正比例的关系，设其比例系数为ｃｉ，则

i i i F c δ=

将其代入式(10-1) 可得

22

111122i n n i i i i i

F V W c c εδ=====∑∑

(106- 上式表明杆件的应变能与外力功都是广义力Ｆｉ的二次齐次函数，所以对功或应变能来

说，在一般情况下力的作用独立性原理已不再成立，也就不能再用叠加法进行计算。由于i c 是比例系数，故由式(103)-可见应变能总是正值。

例101- 如图10-3所示，有一简支梁，跨中C 点受有集中力P F ，左支座上作用有

弯曲力偶矩0M ，试计算此梁与弯曲变形相应的应变能。

解： (1)若P F 与0M 同时作用，并由零逐渐增加到这一数值。由挠度表可直接查得跨中和左端支座截面处由于P F 、0M 分别作用时所引起的位移，再利用叠加法即得

2

3200,

4816163P P C A M l M l F l F l y EI EI EI EI

θ=+=+

由于力与位移方向一致，所以将此位移代人式（10-5）时应取正值，从而得

2

2230

001112296616P P P C A M l M F l F l V W F y M EI εθ??==+=++ ???

(2)假定先作用集中力P F ，然后再加0M ，如图10-4，则集中力所作功为

32311224896P P P F P CP P F l F l W F y F EI EI

===

且在再加力偶0M 的过程中外力作功为

0002

20

0,01122316P

M F AM P CM P M l M l W M F y F EI EI

θ=+=+ 上式的第二项是力P F 在跨中C 点位移0CM y （由力偶0M 所引起的）所作的功；由于这一过程中，P F 之值不变，所以所作功为0P CM F y 而没有系数

1

2

。 于是总的应变能为

0222300,196616P P

P P F M F M l M F l F l V W W W EI ε??==+=++ ???

以上两种不同加载顺序下所得结果完全相同；由此可见，应变能的数值只与

所受载荷（P F ，0M ）的最终值有关，与加载的顺序无关。同时，由于存在2

016

P M F l ，

可见P F 与0M 引起的变形对它们作的功是互相影响的，所以对功或应变能来说，力的作用独立性原理不再成立，因而也就在计算时不能应用叠加法。

现验证如下：

在按叠加法计算时，须分别计算此梁在P F 与0M 各自单独作用下的应变能，然后求和，其结果应为

(x )

图10-5

0022232300011

22

11124823966P P CF AM P P P V W F y M M l M l F l F l F M EI EI EI εθ==

+??

=?+?=+ ???

显然这比上面结果少了2

016P M F l EI

这一项；这就说明了，在计算外力作功或应变能时不能

应用叠加法。

由上面的例题可见：当所求杆件的外力与外力作用处的位移已知时，此杆件的应变能可以比较简便地算出。但是，如果位移是尚待求出的未知量，就不能按上面讲的方法求应变能了；此时，必须用到广义内力（F N 、M x 、F Q 、M ）来表达应变能公式，再通过内力与外力的关系，得出应变能与外力的关系式。由于无论外力多么复杂，内力分量只有F N 、M x 、F Q 、M 四种，下面仅就弯曲变形为例，讨论如何以M 表达弯曲应变能。

如图10-5所示，若杆件的截面上的内力M 沿杆件

长度是改变的，即M =M （x ），可以把杆件分成长度为d x 的微分段，在这个微分段的两个端截面上的内力的

改变dM （x ）可以忽略不计，因此可以利用式（10-3）表示这个微分段的应变能

2()2M x dx

dV dW EI

ε==

全杆的应变能应由积分来得出为

2()2l

M x dx

V W EI ε==? （10-7） 同理，可以分别求得当杆件截面上的内力F N 、M x 、F Q 沿杆长改变时，全杆的应变

能为

2()2N l

F x dx V W EA

ε==?

（10-8）

2()2x P l

M x dx

V W GI ε==? （10-9） 2()2Q l

F x dx V W k

GA

ε==? （10-10）

式中，k —是与截面形状、尺寸有关的系数，对于矩形截面为1.2，圆截面为1.185，

薄壁圆环截面2，工字形截面为1.176。

在杆件处于组合变形的情况下，截面上将同时出现几种内力，如图10-6所示，若微分段dx 的两端截面上有内力（对微分段杆而言，它们都是外力）F N （x ）、F Q （x ）、M x （x ）、M （x ），若杆件在小变形的情况下，则对于微分段d x 每一种内力仅对它相应的位移作功，而对其它位移不作功。例如：轴力F N 与剪力F Q 引起的变形相互垂直，剪

B

图10-7

力F Q 与轴力F N 引起的变形垂直，扭矩M x 与弯矩M 引起的转角d θ互相垂直，弯矩M 与扭矩M x 引起的扭转角d ?也互相垂直，所以相应的F N （x ）、F Q （x ）、M （x ）、M x （x ）对这些位移均不作功。于是，在微分段dx 上作用的力和力偶所作的总功为

22

221111

()()()()()2222

()()()()122222N x Q Q N x P dW F x dx M x d M x d kF x dy F x dx F x dx M x dx M x dx k

EA EI GI GA

θ?=

??+?+?+?=+++ 由于V ε=W ，故d V ε=d W ，因而将上式对杆件全长积分后，即可得杆件在组合变形时总的应变能为

22

22()()()()2222Q N x P l l l l

kF x dx

F x dx M x dx M x dx V EA EI GI GA ε=+++????

（10-11） 式中，第三项扭转应变能是对圆截面杆推导的。

值得注意的是：对于跨度较大的梁，剪切应变能与弯曲应变能比较数值很小，一般可以

忽略不计。

例10-2 如图10-7所示简支梁，跨中受集

中力F P 作用，梁的抗弯刚度为EI ，并且为常量。试求此梁的弯曲应变能。

解：（1）梁的支反力：2

P

A B F F F ==

（2）梁的弯矩方程：选定每一段的坐标原点如图10-7中所示。

AC 段：111

1()(0)22P A F l

M x F x x x ==≤≤ BC 段： 222

21

()(0)22

P B F M x F x x x ==≤≤ （3）弯曲应变能：由式（10-7）得

()()2

22222

2231212120

000()()228896l

l l l

P P P F x F x M x dx M x dx F l V dx dx EI EI EI EI EI

ε=+=+=

?

??? 如果直接按外力功计算应变能可得

1

2

P P F V F εδ=

由挠度表（附录Ⅳ）可以查得

348P

P F

F l EI

δ= 由于F P 与P F δ同向，于是

3231

24896P P P F l F l V F EI EI

ε=?=

由此可见：按外力功或内力功计算应变能的结果

完全相同，但后者无需预先知道相应的位移。 例10-3 如图10-8所示悬臂梁，自由端有F P 及M 0共同作用，梁的抗弯刚度EI 且为常量。试求此梁的弯曲应变能。

解：（1）梁的弯矩方程

0()P M x M F x =-

（2）弯曲应变能：由式（10-7）得

2

2223200000()()22226l

l P P P M F x M l F M l F l M x dx V dx EI EI EI EI EI

ε-===-+??

如果直接按外力功（式（10-5））计算应变能可得

011

22

P B B V F y M εθ=+

利用挠度表（附录Ⅳ）可以查得

2

3032P B M l F l y EI EI =-

2

02P B M l F l EI EI

θ=-+

因为 011

22

P B B V F y M εθ=+ 以及力F P 与B y 中的正号部分同向、与其负号部分反向；而0M 与B θ中正号部分反

向、与其负号部分同向，故

2320002223001

1()()

23222226P P P P P M l M l F l F l V F M EI EI EI EI

M l F M l F l EI EI EI

ε=-+-=-+

由此可见，按内力计算应变能或按外力功计算结果完全相同。但用内力计算时不需要先求出杆的位移，比较简便。

§10.2 单位载荷法

用能量法计算结构位移的方法有许多种，单位载荷法（又称单位力法，莫尔法）是

广泛采用的方法之一。下面首先从梁的弯曲引起的位移来推出这种方法，然后再推广到其它的位移情况。

设梁在F P 1、F P 2……作用下发生弯曲变形如图10-9a 。设沿载荷F P 1、F P 2……方向的位移分别为1δ、2δ……，则载荷F P 1、F P 2……分别在1δ、2δ……上作功，因此梁内储存了应变能V ε，按照式（10-7）

2()2l M x dx V EI

ε=? （a ）

式中，M （x ）——是在F P 1、F P 2……共同作用下梁任一截面上的弯矩，即梁的弯矩方程。积分范围应该是整个梁长l 。

现在我们来求在上述载荷作用下，梁轴线上任一点C 的挠度y 。

如图10-9b 所示，仍为此梁，我们设想先在C 点沿挠度y 的方向施加一单位载荷

1X =，沿单位载荷1X =方向的位移是0δ，

对于此图中所示梁，按式（10-7）可得出应变能为

2

0()2l M x dx

V EI

ε=? （b ） 式中()M x ——是在单位力1X =单独作用下梁任一截面上的弯矩，即在单位力1X =单

独作用下梁的弯矩方程。

再看图10-9c ，如果在此梁上，先加单位力1X =，然后加F P 1、F P 2……。先加单位载荷 1X =，梁将发生变形，如图10-9c 中虚线所示，此时梁的应变能是V ε0。在此变形的位置上再加载荷F P 1、F P 2……，梁将进一步变形，由图中虚线位置移到实线位置。在材料符合虎克定律，变形很小的情况下，各载荷之间符合互不影响的力的作用独立性原理，因而图10-9c 中从虚线到实线的情况就等于图10-9a 中由F P 1、F P 2……所引起的变形的情况。于是梁因载荷F P 1、F P 2……作用所产生的应变能V ε，不因预先作用1X =而改变，仍是用（a ）式来表示。此外，因为在C 点已经有1X =作用着，且因其方向与挠度y 方向一致，于是在载荷F P 1、F P 2……的作用过程中，单位力1X =又完成了数量为

X y ?的功。因为V ε=W ，故由于单位力1X =的存在和载荷F P 1、F P 2……所引起的变形

而增加的那一部分应变能也等于X y ?。所以按先作用单位力1X =，然后加载荷F P 1、F P 2……的方式，梁内的总的应变能应为

V ε1=V ε0+V ε+X y ? (c )

从另一方面考虑，当此梁在载荷F P 1、F P 2……作用下的最后位置上，梁的弯矩方程应为()()M x M x +，

这里()M x 与()M x 分别为载荷F P 1、F P 2……引起的弯矩和单位载荷1X =引起的弯矩，于是由式（10-7），梁内总的应变能又可写为

2

1()()2l M x M x dx

V EI

ε??+??=? (d )

由(c )、(d )两式知

V ε0+V ε+X y ?=2

22()()()()()()222l l l l M x M x dx M x dx M x M x dx M x dx EI EI EI EI

??+?

?=++???? （e ） 从（e ）式中减去（a ）式和（b ）式，得到

X y ?=()()l M x M x dx

EI

?

(f )

现将1X =代人，于是(f )式可改写为

1?y =()()l M x M x dx

EI

?

(10-12)

此式就是计算梁挠度的莫尔定理，又称莫尔积分法。由于用了单位载荷，故这种求位移的方法又称为单位载荷法或单位力法。注意：作此积分时()M x 、()M x 应按弯矩的符号规定给以正负号。如上式右端积分结果为正，说明单位载荷所作的功1?y 为正，即载荷引起的挠度y 与单位载荷的方向一致；如积分结果为负，则说明挠度y 的方向与单位载荷的方向相反。

以上讨论的是，求梁轴线上任一点C 的挠度。如果要求梁上任一截面的转角θ，则仿照上面完全相同的步骤，在该截面处加一单位力偶1X =，仍用()M x 表示单位力偶引起的弯矩，又可得到

1?()()l M x M x dx

EI

θ=?

(10-13)

式中()M x 仍为载荷作用下梁任一截面上的弯矩。

对于刚架，一般在求位移时只考虑弯曲变形，故以上两式仍然适用，但积分应对每一杆进行，然后求和；若将y 或θ统一地用?表示，则对于刚架应有

1?1()()i

n

i i l i i i

M x M x dx

E I =?=∑?

(10-14)

式中 i =1,2， ，n 为刚架中杆件的号码，n 为杆的总数。

对于桁架结构，如果需要求某一节点沿某一方向的位移?，则在该节点上沿该位移

方向加一单位载荷1X =，仿照上面推导式（10-13）的步骤，可以得到

1?1n

Ni Ni i

i i i

F F l E A =?=∑

(10-15) 式中 i =1,2， ，n 为桁架中杆件的号码，n 为杆的总数； F Ni ——在载荷作用下第i 杆的轴力；

Ni F ——在单位载荷1X =作用下第i 杆的轴力；

Ni F 、Ni F 均应有正负号，正号表示拉力，负号表示压力； i i E A ——第i 杆的抗拉（压）刚度。

单位载荷法还可以应用于组合变形的情况，由于所得的结果与以上公式完全相似，这里就不再推导。

应用单位荷载法计算位移一般需按如下步骤进行：

（1）根据所要求的广义位移，确定对应的单位广义力，建立单位广义力状态。即在需求广义位移的截面处加单位广义力X =1：若要求的位移是梁中某截面处的挠度，就在该截面处加一单位集中力X =1；若要求的位移是梁中某截面的转角，就在该截面处沿转动方向加一单位集中力偶X =1；若要求的位移是结构中某相邻两个截面的相对移动，就在这两个截面处沿相对移动方向各加一个单位集中力X =1；若要求的位移是梁中某两个截面的相对转角，就在该两截面处沿相对转动方向各加一个单位集中力偶X =1。

（2）分别作出结构在真实荷载作用下的内力图（即F NP 、F QP 、M P 、M xP 图）和单位广义力产生的内力图（即图、、、x Q N M M F F ）

。 （3）用式（10-12）~（10-15）计算所要求的位移（符合图乘条件时，用图乘代替积分）。

（4）认真校核每一步。需要特别强调的是：初学者往往在做公式计算题时遗忘刚度（EA 、EI 、GA ）等，而做数值计算题时又往往单位不统一。必须注意避免出现这些情况。

例10-4 图10-10a 所示的简支梁受均布载荷作用，已知载荷集度q ；梁 的抗弯刚度EI 是常量。试用单位载荷法求梁跨中C 点的挠度和端截面B 的转角。

解： （一） 先求跨中挠度y C ：在C 点加单位载荷11X =，如图10-10b 所示。其余步骤如下：

（1）求支座反力

载荷引起的支座反力： ,2

2A B ql

ql F F =

=

单位载荷引起的支座反力： 1

1,

2

2

A B F F ==

（2）列弯矩方程

2

21()(0)222

A qlx qx M x F x ql x l =-=-

≤≤

1

(0/2)2

()1(/2)()(/2)

2

A A x F x x l M x F x X x l l x l x l ?

=≤≤??=???+?-=-≤≤??

（3）代入式（10-12）求y C ： 由于梁上的均布载荷与单位载荷对跨中都是对称的，所以在莫尔积分中的上限和下限，可取由0到l /2，然后乘2.这样

2

2

24

()()2

522

22384l

l

C M x M x dx qlx qx x ql y dx EI EI

EI ????==

-=

? ??????

?

计算结果为正值，表示y C 的方向与所加单位载荷11X =的方向一致。

（二） 再求B 端截面的转角： 在B 端加单位力偶21X =，如图10-10c 。 （1）求单位载荷引起的支座反力与弯矩方程

1

1,

A B F F l

l =-= ； ()(0)

A x M x F x

x l l

==-≤≤ （2）代入式（10-13）求B θ： 利用前面的M (x )及上一行的()M x 得

()23

00()()1

2

224l

l

B M x M x dx qlx qx x ql dx EI EI

l EI θ????==

--=- ? ??????? 逆钟向

B θ为负值，表示B θ的转向与单位

力偶21X =的转向相反，即截面B 的转角为逆时针转向。

例10-5 求图10-11a 所示刚架C 点的水平位移，q 为均布载荷集度，EI 为常量。

解： 在C 点加单位载荷

1X =如图10-11b 所示。

由图10-11a 、b 可见，在列

BC 、AB 杆的弯矩方程时，若分别以C 、B 为原点，可以不求支座反力。

（1）列弯矩方程

2

111()(0)2

qx M x x a =-

≤≤； 2

22()(0)2

qa M x x h =-

≤≤

11()0

(0)M x x a =≤≤； 222()(0)M x x x h =-≤≤

（2）代入式（10-14）求C ?水平。

C ?水平=

12121()()()()BC AB M x M x dx M x M x dx EI

?

?+???? 将上面（1）的结果代入，得

C ?水平=()222

2201

024h

qa qa h x dx EI

EI ??+

--= ???

? 结果得正值，表明C ?水平的方向与所加单位载荷的方向相同，即向右。

例10-6 应用单位载荷法求图10-12a 所示刚架上C 点的水平位移C δ和转角C θ。各杆的抗弯刚度均为EI 。

解: （一）先求水平位移C δ：在C 点加单位载荷1X =1，如图10-12b 所示。 （1）求支座反力

载荷引起的支座反力： ,;

P

P

Ax P Ay C F F F F F F =-=-

=

单位载荷引起的支座反力： 1,1;1A x A y

C

F F

F

=-=-=

（2）列弯矩方程 选各杆的原点如图10-12中所示。 CB 段1(0)x l ≤≤

1

111111(),()12

P C C F x M x F x M x F x x x ==

===

AD 段22(0)l x ≤≤

2222222(),

()1Ax Ax P M x F x F x M x F x x x =-==-==

DB 段23()l x l ≤≤

(

)

223333(),()2

2

P Ax Ax P F l l

M x F x F x M x F x x =---=

=-=

（3）代入式（10-14）求C δ

223

/2331122

00/21

()()32228i n

l l l i P P P P C l i M x M x dx F lx dx F x dx F x dx F l EI EI EI EI EI δ===++=∑????

计算结果为正值，表示y C 的方向与所加单位载荷F 的方向一致，即水平向右。

（二） 再求转角C θ： 在C 点加一单位力偶2X =1，如图10-12c 。 （1）求单位力偶引起的支座反力

11

0,;Ax Ay C F F F l l

==

=- ； （2）单位力偶引起的弯矩方程 CB 段1(0)x l ≤≤

1

121()1C x M x X F x l

'=+=-

AD 段22(0)l x ≤≤： 2()0M x = DB 段23()l x l ≤≤： 3()0M x = （3）代入式（10-14）求C θ

21101

()()1()()0012i

n

l i i P C l i M x M x dx F l M x M x dx EI EI EI θ=??==++=

?

???∑?

? C θ为正值，表示C θ的转向与单位力偶2X 的转向相同，即截面C 的转角为逆时针转向。

例10-7 图10-13a 、c 为一等截面悬臂曲梁，梁轴线为1/4圆弧。若弹性常数和截面的几何性质E 、G 、A 、I 均已知。试求在图示荷载F P 作用下自由端A 的竖向位移Ay Δ和均布水压q 作用下自由端A 的水平位移Ax Δ。

解. 当曲杆的曲率不大时，可用直杆公式计算位移，其误差并不大。大量实际计算结果表明，当杆轴曲率半径大于截面高度的5倍时，曲率对位移的影响不超过0.3%。因此，本例按式（10-12）计算。

为求图10-13a 中点A 的竖向位移，需在该点施加一个竖向单位力X=1如图b 所示。

利用图示分离体平衡条件，可得内力方程如下

对图10-10a ：

0,cos(90)0=-sin ix NP P NP P F F F F F θθ'

=+?-=∑得 0,

cos 0

=cos iy QP P QP P F F F F F θθ'=+=∑得

()0,

sin 0

=-sin O

i P P P P M

F M F R M F R θθ=+=∑得

对图10-13b ：

0,1cos(90)0=-sin N N ix F F F θθ'=+??-=∑得 0,

1cos 0

=cos Q Q iy F F F θθ'=+=∑ 得

()0,

1sin 0

=-sin O

i M

F M R M R θθ=+=∑ 得

利用位移计算公式（10-12），则有

()9090003

900(-sin )(-sin )cos cos =++=++

(-sin )(-sin )+=++444N Q P P Ay F F M s P P P P s F F Rd Rd EA GA

R F R F R F R F R Rd EI EA GA EI

θθθθ

θαθθθπππθα?

???????↓??? 式中FN Δ、FQ Δ、M Δ分别表示轴力、剪力、弯矩引起的位移；计算结果为正，表示点A 竖向位移的方向与所加单位力方向相同。反之，表示点A 竖向位移的方向与所加单位力方向相

反。若该曲梁是高度为h 的矩形截面钢筋混凝土梁，则G ≈0.4E ，I/A=h 2/12，又设h /R =1/10，则FQ Δ/M Δ<1/400，FN Δ/M Δ<1/1200。由此可见，对于细长的受弯杆件，剪切和轴向变形对位移的影响很小，可以略去不计。这就是式（10-12）中

只有弯矩项的原因。由于可以忽略剪力和轴力的影响，因此，在求图10-13c 的水平位移时，只需建立荷载与单位力的弯矩方程。对于图c 、d 所示

的分离体，由力矩平衡条件易知

对图10-13c ：

20

()=0,

+()cos(-)=0

=-sin O i P P M F M q Rd R M qR θ

??θ?θ∑?得

对图10-13d ：

()=0,

+1R(1-cos )=0

=-(1-cos )O

i M

F M M R θθ∑ 得

将其代入位移计算公式可得

[]()4

902

1=

(-sin )-(1-cos )=

2Ax qR qR R Rd EI

EI

θθθ?

?→?

。 ?

例10-8 如图8所示，曲杆AB 的轴线是半径为R 的四分之一圆弧，杆的横截面是直径为d 的实心圆，d R ，杆的A 端固定，B 端自由，并在B 端作用有垂直于杆轴线

x

y z

q l

h

b

m

m

m m

所在平面的集中力F P 。已知材料的拉压弹性模量为E ，剪切弹性模量为G ，许用拉应力为[]σ。（1）按第三强度理论，许用荷载[]P F = ；

（2）在荷载P F 的作用下，自由端绕杆轴线的转角B θ= 。 解. （1）荷载F P 在固定端A 处产生的弯矩和扭矩均达最大值，且：

max ,max ,

P x P M F R M F R == 在A 截面最高点D 有最大拉应力和最大剪应力，其值分别为：

,max max max max max

331

,/32

/162x P P z P

M M F R

F R W d W d στσππ===

=

=

故此危险点处于二向应力状态，其单元体的应力状态图如图9a 所示，所以

(1max max 2311,022

σσσσσ?==?=??

[],313max 3

3

[]P cr P P R

d

F F σσσσπ∴=-==

≤?

≤

=

=

（2） 求B θ：用能量法求算较为方便，为此，在B 截面加一逆时针转向的单位力

1X =1X =/2

/20

0()()()()1T T

B P

M M M M Rd Rd EI GI ππ????θ??∴

?=+?

?

即

()2

22/2

/20

02

2/2

/2

/2

2222440cos 1cos sin 1cos 21cos 2cos 221632sin 1424P P B P

P P P

P P P P P F R F R d d EI GI F R F R d d EI

GI F R F R F R F R EI GI Ed G d πππππ???

θ??

?????π?π?π-=--+?

?=-- ???

??

??=?--=-- ? ?????

?

??

?

B θ计算结果为正，表明B θ与所加单位力偶1X =的转向相同，即为逆时针转向。

例10-9 图10-14a 所示桁架，各杆的EA 相等。求：（1）节点C 的竖向位移；（2）AC 杆与BC 杆的相对转角。

解. (1) 节点C 竖向位移

为了用公式（10-15）计算位移，用节点法或截面法分别解出载荷和成对单位广义力作用下的各杆轴力，并分别标在图10-14a 、b 的杆边。将其代入式（10-15），可得

()1==)+21+1+20222N NP Cy P P P P F F l F a F a a EA EA F a

EA ??

??

??????????

↓∑

（2）AC 杆与BC 杆的相对转角

为求相对转角，单位广义力状态如图10-14c 所示，是一对加在AC 与CB 杆上的单位力偶。单位力偶作用下的各杆轴力标在图10-14c 的杆边，将其代入式（10-14），可得

121==)+(-)-+2N NP C P P P P

F F l F a F a EA EA a a F EA

?????

?????? ???

??∑

。

§10.3 图 乘 法

由上节可知，计算梁和刚架在载荷作用下的位移时，先要列出()M x 和()M x 方程，然后代入式（10-12）、（10-13）、（10-14）进行积分运算才能求得结果。这样的计算往往是比较麻烦的。但是当梁和刚架符合○1杆轴为直线；○2代表()M x 和()M x 的两个弯矩图中至少有一个是直线图形这些条件时，则上述积分可用图形互乘的代数运算来代替，从而使运算简化。

公式推导

假设在定积分

()()B

A

I M x M x dx =?

的被积函数中M (x )为曲线，()M x 为直线，如图10-15所示。若以图中O 点为原点，则()M x 可表示为

()=tan M x x α?

式中tan α是斜直线()M x 的斜率。由此，积分I 成为

tan ()B

A

I M x xdx α=?

若记M (x )·dx =dA ，它是M (x )图曲线下画阴影线的微面积。则()B A

M x xdx ? 表示曲线M (x )下的图形面积对y 轴的静矩，以x C 表示曲线M (x )下的图形面积形心的位置坐标，A M 为曲线M (x )下的图形面积，则上述定积分变成

()()tan B

M C M C A

I M x M x dx A x A y α===?

式中：tan C C y x α= 为曲线M (x )下的图形面积形心对应的直线y = ()M x 在x =x C 处的纵坐标。上式即为图乘法的依据。

图乘法计算位移的前提条件是杆件为等截面直杆，也即EI 是常数。 因为 ()()1

1

()()M C l l

M x M x dx M x M x dx A y EI EI

EI

=

=

??

? 故以弯曲变形为主的结构位移计算公式（10-14）可改写为

1

i n

M Ci i i i

A y E I =??=∑

（10-16）

由此可见，式（10-12）和（10-13）中的积分可用载荷弯矩图M P (x )图的面积A M 与M P (x )图的形心C 所对应的()M x 图中的()M C =y C 的乘积来代替。这种方法称为图乘法。

图乘法求位移时需注意的问题

（1）i M A （载荷弯矩图的面积）与y C 在杆轴线同侧时i M A ·y C 为正，反之为负。

（2）如果整根杆件不符合图乘法条件，但经过分段后可以使其符合图乘条件，则仍可应用图乘法分段计算。

（3）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能用公式积分，不能进行图乘。

（4）如果某段弯矩图面积及形心位置不易确定时，可将其分解为几个简单图形分别图乘再叠加计算。

在利用图乘法进行运算时，需要计算弯矩图的面积和形心。对于常见的简单图形，笔者已经求得了载荷弯矩图M(x)图与单位弯矩图()

M x图的图乘结果，并将这些结果汇总于表10-1中，以备读者做题时查用。

几种常见图形的图乘结果

表10-1

0()()

l

M x M x dx

?的值

位移计算举例

例10-10 简支梁受均布荷载q的作用如图10-16a所示。梁的抗弯刚度为EI，长度为l。q、EI、l均为已知。求：梁在B端截面的转角和跨中挠度。

解. (1) B截面的转角

为求B截面的转角，单位广义力状态为在B截面加一单位集中力偶，如图10-16b 所示。分别作出梁在荷载和单位力偶作用下的弯矩图如图10-16a、b所示。

由于单位广义力的弯矩图为直线，梁又是等截面的，因此可用图乘法代替积分。查表10-1第6行第1列可知A M ·y C =3/31h lh 。其中：h 1=1，h 3=ql 2/8。代入图乘公式，得

3

124B C ql A y EI EI

θ== ，（逆时针转向）

（2）跨中挠度

为求跨中挠度，建立图10-16c 所示单位广义力状态与单位弯矩图。查表10-1第6行第3列可知

A ·y C =31213h h l

ab

l +

其中：h 1=l /4，h 3=ql 2/8，a =b =l /2。代入图乘公式，得

241

Δ55()1248384Cy C A y EI

l l ql ql EI EI

=

=??=↓ ?

例10-11 试用图乘法求图10-17a 所示梁自由端的挠度y B 。已知梁是等截面的，其抗弯刚度为EI 。

解： 为了求y B ，在梁的自由端加单位载荷

1X =。其余步骤如下。

分别作载荷及单位载荷所产生的弯矩图，如

图10-17b 、c 所示。查表10-1第8行第1列和第2行第1列可知

A M 1·y C 1+ A M 2·y C 2=131443

lh h lh h

+。其中：h 1=-l ，h 3=-ql 2/2，h 4=-F P l 。代入图乘公式，得

()()23411()()42383B C P P l ql l y A y l l F l EI EI F l ql EI EI

????==?-?-+?-?-??

?????=+↓

例10-12 试用图乘法求图10-18a 所示外伸梁自由端C 的挠度y C 。已知梁是等截面的，其抗弯刚度为EI 。

解： 为了求C y ，在梁的自由端C 加单位载荷1X =。分别作载荷及单位载荷所产生的弯矩图，如图10-18b 、c 所示。查表10-1第6行第1列和第8行第1列及第2行第1列，分段图乘可知A M ·y C =

131414

343

lh h ah h lh h ++。 其中：h 1=-/2l ，h 3=ql 2/8，h 4=- ql 2/8。代入图乘公式，得

()222221

132842283281114812848128C l l ql l l ql l l ql y EI

ql ql EI EI

??

??????????=

?-?+??-?-+?-?-??

? ? ? ? ???????????????=-+

+=↓ ??? 例10-13 试用图乘法求图10-19a 所示悬臂梁中点C 的挠度y C 。已知梁是等截面的，其抗弯刚度为EI 。

解： 为了求C y ，在梁的中点C 加单位载荷1X =。分别作载荷及单位载荷所产生的弯矩图，如图10-19b 、c 所示。查表10-1第2行第2列可知

A M ·y C =()123/2

26l h h h +。

其中：h 1=-F P /2l ，h 2=-F P l ，h 3=- l /2。代入图乘公式，得

()()3

512622248P P C P F l F l l l y F l EI EI

????=??-+--=

↓ ? ?????

例10-14 试用图乘法求图10-20a 所示简支梁端截面A 的转角A θ。已知梁是等截面的，其抗弯刚度为EI 。

解： 为了求端截面A 的转角A θ，在梁端截

面A 处加单位力偶1X =。分别作载荷及单位载荷所产生的弯矩图，如图10-20b 、c 所示。查表10-1第2行第2列和第3行第2列可知

A ·y C =()()12312

32266

a a

h h h h h h '''+++。其中：h 1=F P /2a ，h 2=34

P F a 3，h 3=1/2；

12

331/2,1,4

P F a

h h h '''===代入图乘公式，得

()23311221624224512P P P A P F a F a F a a EI

F a EI θ??

????=

+??+?+? ? ?????????=顺时针转向

例10-15 试用图乘法求图10-21a 所示变截面简支梁跨中C 的挠度C y 。梁的抗弯

刚度如图所示。