笛卡尔方法论及应用

笛卡尔方法论及应用

察右中旗一中沈平

笛卡尔是一位伟大的学者、数学家、解析几何的创始人，也是讨论方法论问题的一位大师。他专门写了一部书名为≤方法论≥的著作来表达自己的方法论思想。笛卡尔认为方法问题对人类太重要了，他说“那些只是缓慢地前进的人如果总是遵循正确的道路，可以比那些奔跑着然尔离开正确道路的人走在前面许多”。笛卡尔曾苦思冥想过一种解决一切问题的万能方法，这种万能方法主要分如下三步：

1、把所有的实际问题转化为数学问题；

2、把所有的数学问题转化为代数问题；

3、把所有的代数问题转化为方程问题。

当然，这种万能方法的每一步的完全实现都几乎是不可能。但是这一设想对于科学发展的影响比起千万个雕虫小技来仍要大的多。因为它虽不能保证解决每一个问题，但它却保证了许多问题的解决。例如，对于一个中学生来说，遇到含有数量关系应用题，他总是想方设法了；列出一个或几个方程，列方程的过程实际就是由日常语言到代数语言的翻译转化过程，列出方程也就解决了问题的一大半，这正是实践了笛卡尔的基本思想和方法。所以笛卡尔方法论中一个最基本、最具体、在初等数学中应用最广泛的转化是把所有的问题转化为方程（组）问题（或不等式问题）。

一般的方法论可以解决初等数学的如下三类问题。

1、求值问题；

2、求范围问题；

3、求关系问题。

下面我们分别阐述：

一、关于求值问题

一般地求n个字母的值至少要列出这n个字母为未知数的n个方程（多了也可以）组成的方程组。一旦方程个数少于未知数的个数——即不定方程，在解不定方程（组）时往往出现三种情形：

①不定方程有无数组解（有几个自由未知数）；

②抓住方程的结构特征挖掘内含的方程使方程个数增加；

③抓住整除性和一些重要不等式由不等转化成相等增加方程个数。

例1、设θ∈[1、2π]，且关于x的一元二次方程

x2+xcosθ+sinθ=0 ①

x2+xsinθ+cosθ=0 ②

至少有一个相同的实根，求θ的值。

解：⑴方程有两个相同的实数根，当且仅当

sinθ=cosθ

?=sin2θ-4cosθ≥0成立

sinθ(sinθ-4)≥0 sinθ≥4无解∴sinθ≤0

又由于sin θ=cos θ ∴只有θ=45π时才成立. ⑵设方程①②有且只有一个相同的根ξ，则有

ξ2+ξcos θ+sin θ=0 ③

ξ2+ξsin θ+cos θ=0 ④

④-③得：ξ(sin θ-cos θ)=sin θ-cos θ

sin θ-cos θ≠0 ∴ξ=1代入③得：

1+cos θ+sin θ=0 即sin(θ+4π)= -22

πθ2,0[∈]. ∴4π≤+≤πθ49π

∴ θ取π或23π

综合⑴、⑵得θ取π、23π、45π

从上例解的过程看，不论有等实根还是只有一个相同的根，我们的主要精力是放在如何建立以θ为未知数的方程（不等式）上，近而达到求值的目的。

例2、 求cos200cos400cos600cos800的值

解：设x=cos200cos400cos600cos800 ①

y=sin200sin400sin600sin800 ⑵

①.②得：xy=sin400sin800sin1200sin1600/16

=sin300sin400sin600sin800/16 ∴ x=161

本题虽有其它解法，但是用笛卡尔方法论建立所求值的方程是十分

新颖的。 例3、 直线L 与圆x 2+y 2=1交于P 、Q ，与双曲线x 2-y 2=1交于R 、S 两点，如果P 、Q 三等分线段RS ，求直线L 的方程。 解： ∣RS ∣=∣PQ ∣=QS ∣ ∴RS 与PQ 的中点应该重合。 设直线L 的方程为：y=kx+b 则 y=kx+b x 2+y 2=1 消去 y 得：(1+k 2)x 2+2bkx+b 2-1=0 PQ 的中点横坐标 x=- bk/(1+k 2) 又 y=kx+b x 2-y 2=1 消去y 得：(1-k 2)x 2-2bkx-b 2-1=0 RS 的中点横坐标 x=bk/(1-k 2) -bk/(1+k 2)=bk/(1-k 2) ∴b=0或k=0 ①若 b=0 则 y=kx x 2-y 2=1 消去y 得(1-k 2)x 2-1=0

∣RS ∣=3∣PQ ∣=6 解得:k=±552 直线L 的方程为：y=±55

2

x

②若k=0 则 y=b

x 2-y 2=1

解得x=±(1+b 2)1/2 |RS|=3|PQ| 可以解得：b=±5

52 直线L 得方程为：y=±55

2

综合得L 的方程为：y=±552 ,y=±x 55

2

该解题过程是设出直线的斜截率方程后，焦点是建立以为未知数的方程组达到求解目的。

例4、已知 x 2-4+2+y =0求x+2y=?

解： x 2-4 ≥0 ,2+y ≥0. 又 x 2-4+2+y =0

∴ x 2-4=0 x=2 x=-2

y+2=0 则 y=-2 y=-2

∴x+2y= -2

-6

本解法的特点是两个未知数一个方程，利用算术根（完全平方或者

绝对值）的非负性由一个方程转化为两个方程，从而求的值。这种方法常常对增加方程个数是十分有益的。

例5、已知两个等差数列{a n },{b n }分别为54、51、48…和49、47、45…

将{a n }与{b n }中相同的项依次找出来，得到数列c 1,c 2,c 3…c k …问当k 为何值{c k }的前k 项和s k 有最大值，并求出这个最大值。 解： a n =57-3n b n =51-2n 设a n =b m 则 57-3n=51-2m 即 m=23n -3 (m,n ∈N*) ∴ n 是偶数且不等于2 . n=4、6、8、10… ∴ {c k }是一个以c 1=a 4=45,d=-6的等差数列. 从而s k =8(48-3k) 要使s k 最大 c k 是一个递减的数列 . ∴ 只要c k ≥0 即可。 即 45+(k-1).(-6) ≥ 0 得k ≤651 ∴ k=8 故当k=8时,(s k )max =192 这个题目在解的过程中，由于两个未知数一个方程，考虑到m 、n ∈N*抓住整除性从而解得m 、n ，这也是解不定方程的一种常用方法。 例6、 a,b ∈N*,{a n }是首项为a,公差为b 的等差数列,{b n }是首项为b ，公比为a 的等比数列，且满足a 1

又 a 1

即 211+<<+<

a b a

b a

又a ∈N*,∴a=2

⑵设a m +1=b n 即a+b(m-1)+1=ba n-1 ∴2+bm-b+1=b2n-1

∴ m=[b(2n-1+1)-3]/b=2n-1+-b 3

又 m,n ∈N* ∴b 只能等于3 此时得m=2n-1

⑶sk=(b 1-1)+(b 2-1)+…+(b k -1)

=(b 1+b 2+…+b k )-k

=3.2k -(k+3)

解⑴时我们运用了由不等转化为相等解得a ；而解⑵中的b 时，我们又运用了整除性得解。

二、 关于求范围问题

一般地，求谁的范围，设法建立以谁为未知数的不等式或者不等式组，通过解不等式求出其范围。那么如何去建立不等式或者不等式组呢？这需要在解题过程中不断的总结，常用的方法有：已知条件法、判别式法、图象法、运动法、重要不等式法（定理法）、放缩法等等。 例7、 设A={x ∣a x ≤≤-2},B={y ∣y=2x+3,x ∈A},C={z ∣z=x 2,x ∈A},且

C ?B ，求实数a 的去取值范围。

解：B={y ∣-1≤y ≤2a+3}

2 ①当22≤≤a 时 C={z ∣a 24≤≤z } C ?B ∴a 2324+≤≤a 即 221

≤≤a ②当a 2≥时, C={z=∣4a z ≤≤2} C ?B ∴432+≤≤A A 即 23≤≤a 综合得 : 321≤≤a 本例的解法是用图象法建立a 的不等式。 例8、 已知曲线C ：y=(3-k)sinx-22cos x k -623+k x ]2,0[π∈ ①求证：当x 在上述范围内变化时，曲线C 必过定点。②求证：如果曲线C 与x 轴有四个交点，求k 的取值范围。 解：①曲线C 可化为：（3sinx+6-y ）+k(sin 2x-sinx-2)=0 ∴ 3sinx+-y=0 sin 2x-sinx-2=0 交点（23π，3） ∴曲线必过定点（23π，3） ②令y=f(sinx)=ksinx2-(k-3)sinx-2k+6 x ]2,0[π∈ 曲线C 与x 轴有四个不同的交点 ∴在（-1，1）内，sinx 的二次方程f(sinx)=0有两个不同的根。 ∴ (k-3)2-4k(-2k+6)>0 kf(-1)>0 kf(1)>0 ∣k-3∣/∣2k ∣<1 解得：3

三、关于求关系问题

方法论还可以解决求关系问题。一般地，求n个字母的关系需要列n-1个方程，有了这个思想，就不难理解解析几何求轨迹方程的参数法。（只是比求值问题少一个方程），请看下面的例子。

例9、双曲线的中心在直线x=-2上，已知一条准线是y轴，一条渐近线y=k(x+1)，(k>0),求双曲线的右焦点F2的轨迹。

解：设双曲线的中心为（-2，y0 ），长、短半轴，半焦矩分别为a、b、c，焦点F2(x,y)，这样在该题的求x,y的关系方程中，共有a,b,c,y0,k,x,y七个字母，我们只要列出6个方程，从中消去a,b,c,y0,k即可。

y0

=k(-2+1)

a2/c=2

c2=a2+b2

a

b=k

x=c-2

y=y0得：y2=

2

1x (y<0)

例10、已知双曲线C：x2-y2/2=1和定点P（1，2），双曲线C的弦AB过P点。

（1）若P点平分弦AB，求AB所在直线的方程；

（2）求动弦AB中点M的轨迹方程。解：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得：

x21-y21/2=1

x22-y22/2=1 k=(y1-y2)/(x1-x2)

x1+x2=2

y1+y2=4 得：直线AB的方程为：x-y-1=0 (2)依题意，有：

x21-y21/2=1

x22-y22/2=1

x1+x2=2x

y1+y2=2y

(y1-y2)/(x1-x2)=

2

1

-

-

y

x

消去x1,x2,y1,y2得所求轨迹：xy+y-4=0 (∣x∣≥1)