阶段质量检测

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)[来源: ] 1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n＝()

A．2n B．2n＋1

C．2n－1 D．2n＋1

答案：B

2．在△ABC中，sin A sin C

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

解析：由sin A sin C0，即cos B<0，所以B为钝角．答案：C

3．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是()

①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理、法则矛盾；④与事实矛盾．

A．①②B．①③

C．①③④D．①②③④

解析：根据反证法的证明步骤：反设，正确推理，矛盾，①②③④给出的矛盾都可以．[来源:数理化网]

答案：D

4．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()

A．28 B．76

C．123 D．199

解析：记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.归纳得f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.[来源: ]

答案：C

5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是()

A．各正三角形内的任一点

B ．各正三角形的中心

C ．各正三角形边上的任一点

D ．各正三角形的某中线的中点

解析：正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．

答案：B 6．有以下结论：

①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；

②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.[来源: ]

下列说法中正确的是( ) A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确

C ．①的假设正确；②的假设错误

D ．①的假设错误；②的假设正确

解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p ＋q >2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．

答案：D

7．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤1

2＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证[来

源: ]

( )

A ．1＋12≤1

2

＋1

B ．1≤1

2＋1

C ．1＋12＋13＋14≤1

2

＋2

D ．1＜1

2

＋1

解析：当n ＝1时不等式左边为1＋12，右边为12＋1，即需要验证：1＋12≤1

2＋1.

答案：A[来源: ]

8．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )

A ．2k ＋1

B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1

k ＋1

D.2k ＋3k ＋1

解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， 所以，增乘的式子为 (2k ＋1)(2k ＋2)

k ＋1＝2(2k ＋1)．

答案：B

9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0[来源: ] C ．不小于0

D ．不大于0

解析：由(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )，知ab ＋bc ＋ca ＝－1

2(a 2＋b 2＋c 2)≤0.

答案：D

10．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零

C ．小于零

D ．正负都有可能[来源: ]

解析：∵f (x )＝x 3＋x ，∴f (x )是增函数且是奇函数． ∵a ＋b >0，∴a >－b ， ∴f (a )>f (－b )，∴f (a )＋f (b )>0. 答案：A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)

11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．

解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”． 答案：x ，y 均不大于1(或x ≤1且y ≤1)

12．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1

2n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.

解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1

2n ＋1.

答案：

12n ＋1

2n ＋1

13．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．