我们知道,有放回抽签和无放回抽签都是公平的。下述问题可看成

我们知道，有放回抽签和无放回抽签都是公平的。下述问题可看成“有条件放回”抽签。

“实验”如下: 设袋中有一红签和一黑签。甲、乙二人按如下规则抽签:

甲先抽签，若抽到红签，游戏结束。若甲抽到黑签，则将黑签放回，乙再上场抽签。

(自然假设有二签时，任何人是等可能抽到其中之一)。

问题1: 求甲抽到红签的概率；

问题2: 求乙抽到红签的概率；

问题3: 在同一样本空间Ω的框架下解问题1和问题2。

(等价说法: 甲先抽签，乙后抽签，若甲抽到红签，则不将红签放回，甲若抽到黑签则放回，

然后乙在上场抽签。)

下面有几种不同解法，各有优缺点（看是什么观点），并涉及许多基本概念。

[解法一] 解问题一: 象扔硬币实验一样，显然结果是1/2。

解问题二: 乙抽到红签的“可能性”相当于“扔两次硬币”实验时发生(黑面，红面)

的“可能性”，于是结果是1/4。

缺点: 分别孤立地求出答案，实际上是对问题一和问题二采用了不同的古典概率模型来计算，不适合合问题3。而且所谓“相当于”实际上有点“含糊”。此外，可用多种方法解问题二。

[解法二]分析该“实验”所有可能发生的结果:

ω1=实验结果一: 甲抽到红，乙不上场；

ω2=实验结果二: 甲抽到黑，乙上场抽到黑；

ω3=实验结果三: 甲抽到黑，乙上场抽到红；

样本空间Ω={ω1，ω2，ω3}。(记号:P({ω1})简记为P{ω1}或P(ω1))

容易说明P{ω1}=1/2，于是P{ω2，ω3}=1/2，而ω2，ω3等可能，

于是P{ω2}=1/4，P{ω3}=1/4。这样就解决了问题三。

优点: 符合(非等可能)古典概率模型“样本空间是实验所有可能出现的结果所构成的集合”的定义。

缺点: 该模型不是等可能古典概型，若所提问题稍为复杂，将会有一定难度。

[解法三]构造另一个“等价实验”。设想有一裁判监督抽签，若甲抽到红签，裁判记录下“甲先抽到红签”

后要甲归还那红签。此时乙仍可上场抽签，只是裁判不记录乙的结果；

若甲抽到黑签，则归还后乙上场抽签并由裁判记录结果。于是在不影响求解我们所提概率的情下，转化成下述(实验以及)问题:

甲和乙在有放回抽签的情况下，(问题1)求甲首先抽到红球和(问题2)乙首先抽到红球的概率。

此时，实验所有可能的结果为

Ω={(红，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黑，黑)}，其中每个样本点为等可能(各1/4)。

事件A=“甲首先抽到了红”={(红，红)，(红，黑)}， P(A)=1/2；

事件B=“乙首先抽到了红”={(黑，红)}， P(B)=1/4。

优点: 等可能古典概型，事件是Ω的子集，相应概率立刻可按古典概型方法得到。而且有推广价值。

缺点: 不是利用原先“给定”的实验。

[解法四(错误)] 看原问题，问题2是“求乙上场的条件下抽到红球”的概率。用[三]的模型计算如下：P{乙抽红|乙上场}=P{乙抽红且乙上场}/P{乙上场}

= P{乙抽红且甲抽黑}/P{甲抽黑}=P{(黑，红)}/P{(黑，红)， (黑，黑)}

=(1/4)/(1/2)=1/2。（可能还没学到条件概率）

错误所在: P{乙抽红|乙上场}=1/2确实没错（仔细想想和实际也是吻合的），

但原问题二是求“乙上场抽到红球”=“乙上场且乙抽到红球”的概率，而不是“乙上场的条件下抽到红球”（虽然在原模型下乙能抽到红签的前提是能上场）。

小结: 上述问题是一简单例题。对于较复杂的古典概型习题，我们常常忽略其“原样本空间”，或找一个便于计算的合理的“等价”空间，采用组合方法直接计算出来某些事件的概率。实际计算中(比如用全概率公式计算某些概率)，可能在计算的各步骤中采用了不同的“等价模型”来计算。若强行要求先写出Ω，然后将事件写成Ω的子集，然后再计算，则可能相当困难，起码常会出现非等可能的样本点的模型。

但为什么可以“在计算的各步骤中采用了不同的等价模型来计算”呢? 道理在于我们感兴趣的是其概率而不是其样本，正如我们以后会讲到的是分布决定了那些数值特征。所以我们不要求同学们对每个习题都写出Ω，但开始学习时需要一些基本理解，哪怕是钻几次牛角尖，这就是本次例题的目的。