0037算法笔记——【分支限界法】最大团问题

问题描述

给定无向图G=(V, E)，其中V是非空集合，称为顶点集；E 是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“( )”表示。如果U∈V，且对任意两个顶点u，v∈U有(u, v)∈E，则称U是G的完全子图(完全图G就是指图G的每个顶点之间都有连边)。G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。

如果U∈V且对任意u，v∈U有(u, v)不属于E，则称U是G

的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。

对于任一无向图G=(V, E)，其补图G'=(V', E')定义为：V'=V，且(u, v)∈E'当且仅当(u, v)∈E。

如果U是G的完全子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。因此，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。

例：如图所示，给定无向图G={V, E}，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2), (1,4), (1,5),(2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}。根据最大团(MCP)定义，子集{1,2}是图G的一个大小为2的完全子图，但不是一个团，因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。{1,2,5}是G的一个最大团。{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大团。右侧图是无向图G的补

图G'。根据最大独立集定义，{2,4}是G的一个空子图，同时也是G的一个最大独立集。虽然{1,2}也是G'的空子图，但它不是G'的独立集，因为它包含在G'的空子图{1,2,5}中。{1,2,5}是G'的最大独立集。{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大独立集。

算法设计

最大团问题的解空间树也是一棵子集树。子集树的根结点是初始扩展结点，对于这个特殊的扩展结点，其cliqueSize的值为0。算法在扩展内部结点时，首先考察其左儿子结点。在左儿子结点处，将顶点i加入到当前团中，并检查该顶点与当前团中其它顶点之间是否有边相连。当顶点i与当前团中所有顶点之间都有边相连，则相应的左儿子结点是可行结点，将它加入到子集树中并插入活结点优先队列，否则就不是可行结点。

接着继续考察当前扩展结点的右儿子结点。当

upperSize>bestn时，右子树中可能含有最优解，此时将右儿子结点加入到子集树中并插入到活结点优先队列中。算法的while循环的终止条件是遇到子集树中的一个叶结点(即n+1层结点)成为当前扩展结点。

对于子集树中的叶结点，有upperSize＝cliqueSize。此时活结点优先队列中剩余结点的upperSize值均不超过当前扩展结点的upperSize值，从而进一步搜索不可能得到更大的团，此时算法已找到一个最优解。

算法具体实现如下：

1、

1.template

2.class MaxHeap

3.{

4.public:

5.MaxHeap(int MaxHeapSize = 10);

6.~MaxHeap() {delete[] heap;}

7.int Size() const{return CurrentSize;}

8.

9.T Max()

10.{

11.MaxSize = MaxHeapSize;

12.heap = new T[MaxSize+1];

13.CurrentSize = 0;

14.}

15.

16.template

17.MaxHeap& MaxHeap::Insert(const T& x)

18.{

19.if(CurrentSize == MaxSize)

20.{

21.cout<<"no space!"<

22.return*this;

23.}

24.

25.

26.

27.delete[] heap;

28.heap = a;

29.CurrentSize = size;

30.MaxSize = ArraySize;

31.

32.// 从最后一个内部节点开始，一直到根，对每个子树进行堆重整

33.for(int i = CurrentSize/2; i >= 1; i--)

34.{

35.T y = heap[i]; // 子树根节点元素

36.// find place to put y

37.int c = 2*i; // parent of c is target

38.// location for y

39.while(c <= CurrentSize)

40.{

41.// heap[c] should be larger sibling

42.if(c < CurrentSize && heap[c] < heap[c+1])

43.{

44.c++;

45.}

46.// can we put y in heap[c/2]

47.if(y >= heap[c])

48.{

49.break; // yes

50.}

51.

52.// no

53.heap[c/2] = heap[c]; // move child up

54. c *= 2; // move down a level

55.}

56.heap[c/2] = y;

57.}

58.}

2、

1.//最大团问题优先队列分支限界法求解

2.#include ""

3.#include ""

4.#include

5.#include

https://www.360docs.net/doc/237435811.html,ing namespace std;

7.

8.const int N = 5;//图G的顶点数

9.ifstream fin("");

10.

11.class bbnode

12.{

13.friend class Clique;

14.private:

15.bbnode *parent; //指向父节点的指针

16.bool LChild; //左儿子节点标识

17.};

18.

19.class CliqueNode

20.{

21.friend class Clique;

22.public:

23.operator int() const

24.{

25.return un;

26.}

27.private:

28.int cn, //当前团的顶点数

29.un, //当前团最大顶点数的上界

30.level; //节点在子集空间树中所处的层次

31.bbnode *ptr; //指向活节点在子集树中相应节点的指针

32.};

33.

34.class Clique

35.{

36.friend int main(void);

37.public:

38.int BBMaxClique(int[]);

39.private:

40.void AddLiveNode(MaxHeap&H,int cn,int un,int level,b

bnode E[],bool ch);

41.int**a, //图G的邻接矩阵

42.n; //图G的顶点数

43.};

44.

45.int main()

46.{

47.int bestx[N+1];

48.int**a = new int*[N+1];

49.for(int i=1;i<=N;i++)

50.{

51.a[i] = new int[N+1];

52.}

53.

54.cout<<"图G的邻接矩阵为:"<

55.for(int i=1; i<=N; i++)

56.{

57.for(int j=1; j<=N; j++)

58.{

59.fin>>a[i][j];

60.cout<

61.}

62.cout<

63.}

64.

65.Clique c;

66.= a;

67.= N;

68.

69.cout<<"图G的最大团顶点个数为："<<(bestx)<

70.cout<<"图G的最大团解向量为："<

71.for(int i=1;i<=N;i++)

72.{

73.cout<

74.}

75.cout<

76.

77.for(int i=1;i<=N;i++)

78.{

79.delete[] a[i];

80.}

81.delete[]a;

82.return0;

83.}

84.

85.//将活节点加入到子集空间树中并插入到最大堆中

86.void Clique::AddLiveNode(MaxHeap &H, int cn, int un, int level,

bbnode E[], bool ch)

87.{

88.bbnode *b = new bbnode;

89.b->parent = E;

90.b->LChild = ch;

91.

92.CliqueNode N;

93.= cn;

94.= b;

95.= un;

96.= level;

97.(N);

98.}

99.

100.//解最大团问题的优先队列式分支限界法

101.int Clique::BBMaxClique(int bestx[])

102.{

103.MaxHeap H(1000);

104.

105.//初始化

106.bbnode *E = 0;

107.int i = 1,

https://www.360docs.net/doc/237435811.html, = 0,

109.bestn = 0;

110.

111.//搜集子集空间树

112.while(i!=n+1)//非叶节点

113.{

114.//检查顶点i与当前团中其他顶点之间是否有边相连115.bool OK = true;

116.bbnode *B = E;

117.for(int j=i-1; j>0; B=B->parent,j--)

118.{

119.if(B->LChild && a[i][j]==0)

120.{

121.OK = false;

122.break;

123.}

124.}

125.

126.if(OK)//左儿子节点为可行结点

127.{

128.if(cn+1>bestn)

129.{

130.bestn = cn + 1;

131.}

132.AddLiveNode(H,cn+1,cn+n-i+1,i+1,E,true); 133.}

134.

135.if(cn+n-i>=bestn)//右子树可能含有最优解

136.{

137.AddLiveNode(H,cn,cn+n-i,i+1,E,false); 138.}

139.

140.//取下一扩展节点

141.CliqueNode N;

142.(N); //堆非空

143. E = ;

https://www.360docs.net/doc/237435811.html, = ;

145.i = ;

146.}

147.

148.//构造当前最优解

149.for(int j=n; j>0; j--)

150.{

151.bestx[j] = E->LChild; 152. E = E->parent; 153.}

154.

155.return bestn;

156.}