高中文科数学直线和圆方程复习
第六讲、直线和圆的方程
四、 平面解析几何初步 (一)直线与方程
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素。
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系,掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系。
5.会求两直线的交点坐标。
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。 (二)圆与方程
1.掌握圆的标准方程与一般方程。
2.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
4.初步了解用代数方法处理几何问题。 (三)空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置。
2.了解空间两点间的距离公式。
直线方程
1数轴上两点间距离公式:A B x x AB -=
2直角坐标平面内的两点间距离公式:2
2122121)()(y y x x P P -+-=
3直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点
按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角
当直线和x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°
可见,直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
4直线的斜率:倾斜角α不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k
表示,即k =tan α(α≠90°)
倾斜角是90°的直线没有斜率;倾斜角不是90°的直线都有斜率,其取值范围是(-∞,+∞)
5直线的方向向量:设F 1(x 1,y 1)、F 2(x 2,y 2)是直线上不同的两点,则向量21F F =(x 2
-x 1,y 2-y 1)称为直线的方向向量向量
1
21x x -21F F =(1,
1
212x x y y --)=(1,k )也是该直
线的方向向量,k 是直线的斜率特别地,垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a
=(0,1)
6求直线斜率的方法
①定义法:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k =tan α
②公式法:已知直线过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),且x 1≠x 2,则斜率k =
1
212x x y y --
③方向向量法:若a
=(m ,n )为直线的方向向量,则直线的斜率k =
m
n
平面直角坐标系内,每一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都有斜率
对于直线上任意两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),当x 1=x 2时,直线斜率k 不存在,倾斜角α=90°;当x 1≠x 2时,直线斜率存在,是一实数,并且k ≥0时,α=arctan k ;k <0时,α=π+arctan k
7直线方程的五种形式
点斜式:)(00x x k y y -=-, 斜截式:b kx y +=,两点式:1
211
21x x x x y y y y --=
--,
截距式:
1=+
b
y a
x ,一般式:0=++C By Ax
两直线的位置关系
1.特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时:
(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行;
(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直王新敞
2.斜率存在时两直线的平行与垂直:
两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 王新敞
已知直线1l 、2l 的方程为1l :0111=++C y B x A , 2l :0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A 1l ∥2l 的充要条件是
2
12
12
1C C B B A A ≠= 王新敞
⑵两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是1k 和2k ,则这两条直线垂直的充要条件是121-=k k .
已知直线1l 和2l 的一般式方程为1l :0111=++C y B x A ,
2l :0222=++C y B x A ,则1l ⊥2l ?02121=+B B A A .
3直线1l 到2l 的角的定义及公式:
直线1l 按逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角,叫做1l 到2l 的角 1l 到2l 的角θ:0°
<θ<180°, 如果.2
,1,012121π
θ=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ,
1
2121tan k k k k +-=
θ 王新敞
4.直线1l 与2l 的夹角定义及公式:
1l 到2l 的角是1θ, 2l 到1l 的角是π-1θ,当1l 与2l 相交但不垂直时, 1θ和π-1θ仅有
一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线1l ⊥2l 时,直线1l 与2l 的夹角是
2
π
夹角α:0°<α≤90°王新敞
如果.2
,1,012121π
α=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ,1
2121tan k k k k +-=
α 王新敞
5.两条直线是否相交的判断
两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组: ??
?=++=++00
2
22111C y B x A C y B x A 是否有惟一解王新敞
6.点到直线距离公式:
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2
2
00B
A C
By Ax d +++=
7.两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l :01=++C By Ax ,
2l :02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=
王新敞
8 直线系方程:若两条直线1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A 有交点,则过
1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A +++0)(222=++C y B x A λ或
)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)
简单的线性规划及实际应用
1二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中,已知直线Ax+By+C=0,坐标平面内的点P(x0,y0)
B>0时,①Ax0+By0+C>0,则点P(x0,y0)在直线的上方;②Ax0+By0+C<0,则点P(x0,y0)在直线的下方
对于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0),无论B为正值还是负值,我们都可以把y项的系数变形为正数
当B>0时,①Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;②Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的区域
2线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题
满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域);使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题
线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:
(1)根据题意,设出变量x、y;(2)找出线性约束条件;
(3)确定线性目标函数z=f(x,y);
(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域);
(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x,y)=t(t为参数);
(6)观察图形,找到直线f(x,y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案
曲线和方程
1.平面解析几何研究的主要问题:根据已知条件求出表示平面曲线的方程;通过方程,研究平面曲线的性质王新敞
2.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义:
在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程0
x
y
f的实数解建立了如
)
,
(
下关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性)王新敞
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(完备性)王新敞
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线王新敞
3求简单的曲线方程的一般步骤:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标; (2)写出适合条件P 的点M 的集合;
(3)用坐标表示条件P (M ),列出方程0),(=y x f ; (4)化方程0),(=y x f 为最简形式;
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点王新敞
4由方程画曲线(图形)的步骤:
①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点); ②求截距:
方程组,的解是曲线与轴交点的坐标;
f x y y ()==???0
0x 方程组,的解是曲线与轴交点的坐标;
f x y x ()==???0
0y
③讨论曲线的范围; ④列表、描点、画线.
5.交点:求两曲线的交点,就是解这两条曲线方程组成的方程组.
6.曲线系方程:过两曲线f 1
(x ,y)=0和f 2
(x ,y)=0的交点的曲线系方程是f 1
(x ,y)+λ
f 2
(x ,y)=0(λ∈R).
求轨迹有直接法、定义法和参数法,最常使用的就是参数法
圆的方程
1.圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 2圆的标准方程
圆心为(a ,b ),半径为r 的圆的标准方程为2
22)()(r b y a x =-+-
3圆的一般方程
二次方程x 2+y 2
+Dx +Ey +F =0(*)配方得(x +
2
D )2
+(y +
2
E )2
=
4
42
2
F
E D
-+
把方程)04(02
222>-+=++++F E D F Ey Dx y x
其中,半径是2
42
2
F
E D
r -+=
,圆心坐标是??
?
?
?-
-
22
E D ,叫做圆的一般方程
(1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点:x 2、y 2
项系数相等且不为零 没有xy 项
(2)当D 2+E 2-4F =0时,方程(*)表示点(-
2
D ,-
2
E );
当D 2+E 2-4F <0时,方程(*)不表示任何图形
(3)根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组,可确定圆的一般方程
4圆的参数方程
①圆心在O (0,0),半径为r 的圆的参数方程是:cos ()sin x r y r ααα
=??
=?是参数
②圆心在点)(b a C ,,半径为r 的圆的参数方程是:??
?+=+=)(sin cos 是参数αα
αr b y r a x
在①中消去θ得x 2+y 2=r 2,在②中消去θ得(x -a )2+(y -b )2=r 2,把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程
5二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2
+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件
若二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2
+Dx +Ey +F =0表示圆,则有A =C ≠0,B =0,这仅是二元二次方程表示圆的必要条件,不充分
在A =C ≠0,B =0时,二元二次方程化为x 2+y 2+A
D x +
A
E y +
A
F =0,
仅当D 2+E 2-4AF >0时表示圆
故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是:①A =C ≠0,②B =0,③D 2+E 2-4AF >0
6 线段AB 为直径的圆的方程: 若),(),(2211y x B y x A ,,则以线段AB 为直径的圆的方程
是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x
7经过两个圆交点的圆系方程:经过011122=++++F y E x D y x ,0
2222
2=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是:0)(2222
211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ
在过两圆公共点的图象方程中,若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程
8
经过直线与圆交点的圆系方程: 经过直线0=++C By Ax l :与圆
02
2
=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是:0)(2
2
=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ
9确定圆需三个独立的条件
(1)标准方程: 2
22)()(r b y a x =-+-, 半径圆心,----r b a ),(
(2)一般方程:022=++++F Ey Dx y x ,()0422>-+F E D
,)2
,2
(圆心----E D 2
42
2
F
E D
r -+=
对称问题
1点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点,因此中心对称的问题是
线段中点坐标公式的应用问题
设P (x 0,y 0),对称中心为A (a ,b ),则P 关于A 的对称点为P ′(2a -x 0,2b -y 0) 2点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这
两个条件建立方程组,就可求出对顶点的坐标一般情形如下:
设点P (x 0,y 0)关于直线y =kx +b 的对称点为P ′(x ′,y ′),则有 0000122
y y k x x y y x x k b '-?
?=-?'-?
?
''++?=?+??,可求出x ′、y ′ 特殊地,点P (x 0,y 0)关于直线x =a 的对称点为P ′(2a -x 0,y 0);点P (x 0,y 0)关于直线y =b 的对称点为P ′(x 0,2b -y 0)
3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题:一般是转化为点的中心对称或轴对
称(这里既可选特殊点,也可选任意点实施转化)一般结论如下:
(1)曲线f (x ,y )=0关于已知点A (a ,b )的对称曲线的方程是f (2a -x ,2b -y )=0
(2)曲线f (x ,y )=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法:
设曲线f (x ,y )=0上任意一点为P (x 0,y 0),P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′(y ,x ),则由(2)知,P 与P ′的坐标满足 0000122
y y k x x y y x x k b '-?
?=-?'-?
?
''++?=?+??从中解出x 0、y 0, 代入已知曲线f (x ,y )=0,应有f (x 0,y 0)=0利用坐标代换法就可求出曲线f (x ,y )=0
关于直线y =kx +b 的对称曲线方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
1研究圆与直线的位置关系最常用的方法:①判别式法;②考查圆心到直线的距离与半径的
大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种,若2
2
B
A C Bb Aa d +++=,则0??>相离r d ;
0=???=相切r d ; 0>???<相交r d
2两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 ①条公切线外离421??+>r r d ②条公切线外切321??+=r r d ③条公切线相交22121??+<<-r r d r r
④条公切线内切121??-=r r d ⑤无公切线内含??-<<210r r d 3直线和圆相切:
这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点
两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况
①过圆上一点的切线方程:圆),(002
22y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是
2
00r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时,2
00r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地,曲线)(0002
2
y x P F Ey Dx Cy
Ax ,的以点=++-+为切点的切线方程是:
02
2
00=++?
++?
-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时,02
2
00=++?
++?-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方
程。
这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按照求切线方程的常规过程去做。
②过圆外一点的切线方程: 4直线和圆相交:
这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题
5经过两个圆交点的圆系方程:经过011122=++++F y E x D y x ,
02222
2=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是:
0)(2222
2
1112
2
=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ。
在过两圆公共点的图象方程中,若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程
6 经过直线与圆交点的圆系方程: 经过直线0=++C By Ax l :与圆
02
2=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是:
0)(2
2
=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ
7几何法: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小
8代数法: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数
直线与圆练习题
一、选择题:
1. 已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行,则a 的值为( )
A. -10
B. 2
C.5
D.17
2. 设直线0=++n my x 的倾角为θ,则它关于x 轴对称的直线的倾角是( )
A.θ B.θ
π
+2 C.θπ- D.θ
π
-2
3. 已知过)4,(),,2(m B m A -两点的直线与直线x y 2
1=
垂直,则m 的值( )
A.4
B.-8
C.2
D.-1
4. 若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小,则m 的值为( )
A. 2-
B. 1
C. 2
D. 1-
5. 不论k 为何值,直线0)4()2()12(=+----k y k x k 恒过的一个定点是( )
A.(0,0)
B.(2,3)
C.(3,2)
D.(-2,3)
6. 圆8)2()1(2
2=+++y x 上与直线01=++y x 的距离等于2的点共有( )
A .1个
B .2个
C .3 个
D .4个
7. 在Rt △ABC 中, ∠A =90°, ∠B =60°, AB=1, 若圆O 的圆心在直角边AC 上, 且与
AB 和BC 所在的直线都相切, 则圆O 的半径是( ) A.
3
2 B.2
1 C.
2
3 D.
3
3
8. 圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是( )
A.2
B. 12+
C .222
+
D. 122+
9. 过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的圆的切线方程为( )
A.032=-+y x
B. 012=--y x
C. 012=--y x
D. 012=+-y x 10. 已知点),(b a P )0(≠ab 是圆O :222r y x =+内一点,直线m 是以P 为中点的弦所
在的直线,若直线n 的方程为2r by ax =+,则( )
A .m ∥n 且n 与圆O 相离
B .m ∥n 且n 与圆O 相交
C .m 与n 重合且n 与圆O 相离
D .m ⊥n 且n 与圆O 相离 二、填空题:
11. 若直线l 沿x 轴正方向平移2个单位,再沿y 轴负方向平移1个单位,又回到原来的位
置,则直线l 的斜率k =_________ .
12. 斜率为1的直线l 被圆422=+y x 截得的弦长为2,则直线l 的方程为 . 13. 已知直线l 过点P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l 的方程
为 .
14. 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 .
15. 已知圆C 的圆心与点P (2,1)-关于直线1+=x y 对称,直线01143=-+y x 与圆C
相交于A 、B 两点,且6AB =,则圆C 的方程为 .
三、解答题:
16. 求经过直线l 1:3x+4y-5=0 l 2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线方程:
(Ⅰ)经过原点; (Ⅱ)与直线2x+y+5=0平行; (Ⅲ)与直线2x+y+5=0垂直.
17. 已知△ABC 的两个顶点A(-10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),求顶点C 的坐标.
18. 已知圆C :()2
219x y -+=内有一点P (2,2),过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.
(Ⅰ)当l 经过圆心C 时,求直线l 的方程;
(Ⅱ)当弦AB 被点P 平分时,写出直线l 的方程; (Ⅲ)当直线l 的倾斜角为45o时,求弦AB 的长.
19. 已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为22时, 求 (Ⅰ)a 的值;
(Ⅱ)求过点)5,3(并与圆C 相切的切线方程.
20. 已知方程04222=+--+m y x y x . (Ⅰ)若此方程表示圆,求m 的取值范围;
(Ⅱ)若(Ⅰ)中的圆与直线042=-+y x 相交于M ,N 两点,且OM ⊥ON (O 为坐标原点)求m 的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求以MN 为直径的圆的方程.
21. 已知圆22
:(1)5C x y +-=,直线:10l mx y m -+-=。 (Ⅰ)求证:对m R ∈,直线l 与圆C 总有两个不同交点;
(Ⅱ)设l 与圆C 交与不同两点A 、B ,求弦AB 的中点M 的轨迹方程; (Ⅲ)若定点P (1,1)分弦AB 为
12
A P P B
=,求此时直线l 的方程。
人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套
人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线,了解直线方程的概念,掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式. (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析,培养学生分析、提出问题的能力;通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系,培养学生的知识转化、迁移能力. (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质,事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想. 二、教材分析 1.重点:通过对一次函数的研究,学生对直线的方程已有所了解,要对进一步研究直线方程的内容进行介绍,以激发学生学习这一部分知识的兴趣;直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,是研究两条直线位置关系的重要依据,要正确理解概念;斜率公式要在熟练运用上多下功夫. 2.难点:一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点.由于以后还要专门研究曲线与方程,对这一点只需一般介绍就可以了. 3.疑点:是否有继续研究直线方程的必要? 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习. 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1,试判断点A(1,2)和点B(2,1)是否在函数图象上. 初中我们是这样解答的:
∵A(1,2)的坐标满足函数式, ∴点A在函数图象上. ∵B(2,1)的坐标不满足函数式, ∴点B不在函数图象上. 现在我们问:这样解答的理论依据是什么?(这个问题是本课的难点,要给足够的时间让学生思考、体会.) 讨论作答:判断点A在函数图象上的理论依据是:满足函数关系式的点都在函数的图象上;判断点B不在函数图象上的理论依据是:函数图象上的点的坐标应满足函数关系式.简言之,就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系. (二)直线的方程 引导学生思考:直角坐标平面内,一次函数的图象都是直线吗?直线都是一次函数的图象吗? 一次函数的图象是直线,直线不一定是一次函数的图象,如直线x=a连函数都不是. 一次函数y=kx+b,x=a都可以看作二元一次方程,这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应. 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解.这时,这个方程就叫做这条直线的方程;这条直线就叫做这个方程的直线. 上面的定义可简言之:(方程)有一个解(直线上)就有一个点;(直线上)有一个点(方程)就有一个解,即方程的解与直线上的点是一一对应的. 显然,直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念. (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数,我们对直线的方程已有了一些了解,但有些问题还没有完全解决,如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究. (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾斜角,如图1-21中的α.特别地,当直线l和x轴平行时,我们规定它的倾斜角为0°,因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)
高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定。以下是圆的方程专题练习,请考生查缺补漏。 一、填空题 1.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0 和x轴都相切,则该圆的标准方程是________. [解析] 设圆心C(a,b)(a0,b0),由题意得b=1. 又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1, 解得a=2或a=-(舍). 所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. [答案] (x-2)2+(y-1)2=1 2.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,则圆C的圆心坐标为________. [解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上, 该直线过圆心,即圆心满足方程x+y-1=0, 因此-+1-1=0,解得a=0,所以圆心坐标为(0,1). [答案] (0,1) 3.已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),则该圆的方程是________. [解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x
联立可求得圆心为(1,-4). 半径r=2,所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. [答案] (x-1)2+(y+4)2=8 4.(2019江苏常州模拟)已知实数x,y满足 x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y|的最小值为________. [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1,令 x=2+cos , y=-3+sin ,则|2x-y|=|4+2cos +3-sin | =|7-sin (-7-(tan =2). [答案] 7- 5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0,b0)对称,则+的最小值是________. [解析] 由圆的对称性可得,直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4),所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9,由=,则a2=4b2,又由a+b=2,故当且仅当a=,b=时取等号. [答案] 9 6.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,若圆x2+(y-1)2=4上存在A,B两点关于点P(1,2)成中心对称,则直线AB的方程为________. [解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB,所以kOP==1,kAB=-1, 而直线AB过P点,所以直线AB的方程为y-2=-(x-1),即
最新高中数学参数方程大题(带答案)精选
参数方程极坐标系 解答题 1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数) (Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程. (Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. +=1 , , 的距离为 则 取得最小值,最小值为 2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为: ,曲线C的参数方程为:(α为参数). (I)写出直线l的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. 的极坐标方程为: cos= ∴
y+1=0 ( d= 的距离的最大值. 3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数). (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值. :(化为普通方程得:+ t=代入到曲线 sin =,),﹣
4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为 ,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C 上不同于A,B的任意一点. (Ⅰ)求圆心的极坐标; (Ⅱ)求△PAB面积的最大值. 的极坐标方程为,把 ,利用三角形的面积计算公式即可得出. 的极坐标方程为,化为= 把 ∴圆心极坐标为; (t , = 距离的最大值为 5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值. 由题意椭圆的参数方程为为参数)直线的极坐标方程为
高中数学 必修内容复习(7) 直线和圆的方程
高中数学必修内容复习(7)---直线和圆的方程 一、 选择题(每题3分,共54分) 1、在直角坐标系中,直线033=-+y x 的倾斜角是( ) A . 6 π B . 3 π C . 6 5π D . 3 2π 2、若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称,则圆C 的方程是( ) A .1)1()2(2 2 =++-y x B .1)1()2(2 2=-+-y x C .1)2()1(2 2 =++-y x D .1)2()1(2 2 =-++y x 3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限,则c b a 、、应满足( ) A .0,0<>bc ab B .0,0<>bc ab C .0,0>>bc ab D .0,0<
(完整版)高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆 一.直线 1.斜率与倾斜角:tan k θ=,[0,)θπ∈ (1)[0,)2π θ∈时,0k ≥; (2)2πθ=时,k 不存在;(3)(,)2πθπ∈时,0k < (4)当倾斜角从0?增加到90?时,斜率从0增加到+∞; 当倾斜角从90?增加到180? 时,斜率从-∞增加到0 2.直线方程 (1)点斜式:)(00x x k y y -=- (2)斜截式:y kx b =+ (3)两点式:1 21121x x x x y y y y --=-- (4)截距式:1x y a b += (5)一般式:0C =++By Ax 3.距离公式 (1)点111(,)P x y ,222(,)P x y 之间的距离:12PP = (2)点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离:d = (3)平行线间的距离:10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离:d = 4.位置关系 (1)截距式:y kx b =+形式 重合:1212 k k b b == 相交:12k k ≠ 平行:1212 k k b b =≠ 垂直:121k k ?=- (2)一般式:0Ax By C ++=形式 重合:1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行:1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直:12120A A B B += 相交:1221A B A B ≠ 5.直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=+()表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程(不含2l ) 二.圆 1.圆的方程 (1)标准形式:222 ()()x a y b R -+-=(0R >) (2)一般式:220x y Dx Ey F ++++=(2240D E F +->) (3)参数方程:00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? (θ是参数) 【注】题目中出现动点求量时,通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. (4)以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是:()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2.位置关系 (1)点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系: 当22200()()x a y b R -+-<时,点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时,点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时,点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 (2)直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系: 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时,直线和圆相交(有两个交点); 当d R =时,直线和圆相切(有且仅有一个交点); 当d R <时,直线和圆相离(无交点);
最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程
2018高考数学解题技巧 解答题模板3:极坐标与参数方程 1、 题型与考点(1){极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 (2) {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程:直线参数方程:00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点, t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量; 圆锥曲线参数方程:圆的参数方程:cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心,r 为半径; 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数; 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数; 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式: 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,点P 的极坐标为(,)ρθ,直角坐标为(,)x y , 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 (1)、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t ,先确定一个关系()x f t =(或()y g t =,再代入普通方程(),0F x y =,求得另一关系()y g t =(或()x f t =).一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标) 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222(t 为参数)表示的曲线是( ) A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析:注意到2t t 与2t -互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t 的项,4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ,即有422=+y x ,又注意到 02>t ,222222=?≥+--t t t t ,即
高中文科数学直线和圆题目精选和答案
1 在直角坐标系中,直线033=-+y x 的倾斜角是( ) A . 6 π B . 3 π C . 6 5π D . 3 2π 2 若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称,则圆C 的方程是( ) A .1)1()2(2 2=++-y x B .1)1()2(2 2=-+-y x C .1)2()1(2 2=++-y x D .1)2()1(2 2 =-++y x 4 已知直线22 1 :1+= x y l ,直线2l 过点)1,2(-P ,且1l 到2l 的夹角为ο45,则直线2l 的方程是( ) A .1-=x y B .5 3 31+= x y C .73+-=x y D .73+=x y 5 不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的( ) A .左上方 B .右上方 C .左下方 D .左下方 6 直线0943=--y x 与圆42 2 =+y x 的位置关系是( ) A .相交且过圆心 B .相切 C .相离 D .相交但不过圆心 7 已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆12 2 =+y x 相切,则三条边长分别为c b a 、、的三角形( ) A .是锐角三角形 B .是直角三角形 C .是钝角三角形 D .不存在 8 过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是( ) A .2 3- B .3 2- C . 5 2 D .2 9 点)5,0(到直线x y 2=的距离为( ) A . 2 5 B .5 C . 2 3 D . 2 5 10 下列命题中,正确的是( ) A .点)0,0(在区域0≥+y x 内 B .点)0,0(在区域01<++y x 内 C .点)0,1(在区域x y 2>内 D .点)1,0(在区域01<+-y x 内 11 由点)3,1(P 引圆92 2 =+y x 的切线的长是 ( ) A .2 B .19 C .1 D .4 12 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点,则a 的值是( )
2020届高三数学一轮复习 圆的方程巩固与练习
巩固 1.圆(x +2)2 +y 2 =5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A .(x -2)2+y 2=5 B .x 2+(y -2)2 =5 C .(x +2)2+(y +2)2=5 D .x 2+(y +2)2 =5 答案:A 2.已知⊙C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,则F =E =0且D <0是⊙C 与y 轴相切于原点的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:选A.由题意可知,要求圆心坐标为(-D 2 ,0),而D 可以大于0,故选A. 3.已知两定点A (-2,0),B (1,0),如果动点P 满足|PA |=2|PB |,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A .π B .4π C .8π D .9π 解析:选B.设P (x ,y ),由题知有:(x +2)2+y 2=4[(x -1)2+y 2],整理得x 2-4x +y 2 =0,配方得(x -2)2+y 2 =4.可知圆的面积为4π,故选B. 4.(2020年高考广东卷)以点(2,-1)为圆心且与直线x +y =6相切的圆的方程是________. 解析:将直线x +y =6化为x +y -6=0,圆的半径r =|2-1-6|1+1=5 2 ,所以圆的方程 为(x -2)2+(y +1)2 =252 . 答案:(x -2)2+(y +1)2 =252 5.(原创题)已知圆x 2+y 2 +2x -4y +a =0关于直线y =2x +b 成轴对称,则a -b 的取值范围是________. 解析:圆的方程变为(x +1)2+(y -2)2 =5-a , ∴其圆心为(-1,2),且5-a >0,即a <5. 又圆关于直线y =2x +b 成轴对称, ∴2=-2+b ,∴b =4.∴a -b =a -4<1. 答案:(-∞,1) 6.已知圆x 2+y 2 =4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程. 解:(1)设AP 中点为M (x ,y ), 由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). ∵P 点在圆x 2+y 2=4上, ∴(2x -2)2+(2y )2 =4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2 =1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ), 在Rt△PBQ 中,|PN |=|BN |, 设O 为坐标原点,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2 , 所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2 =4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2 -x -y -1=0. 练习 1.过点A (1,-1),B (-1,1),且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是( ) A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2 =4
高中数学全参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2 +b 2 =1,②即为标准式,此 时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2 ≠1,则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +|t |. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) 若P 1、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α); (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ,则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离|PP 0|=|t |=|2 2 1t t +| (4)若P 0为线段P 1P 2的中点,则 t 1+t 2=0.
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
高中数学直线与圆精选题目(附答案) 一、两直线的位置关系 1.求直线斜率的基本方法 (1)定义法:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k =tan α. (2)公式法:已知直线过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且x 1≠x 2,则斜率k =y 2-y 1 x 2-x 1. 2.判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在,且分别为k 1,k 2,则k 1=k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在,其倾斜角都为90°,则l 1∥l 2. 3.判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在,且分别为k 1,k 2,则k 1·k 2=-1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2,若其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,求满足下列条件的a ,b 的值. (1)l 1⊥l 2且l 1过点(-3,-1); (2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. [解] (1)∵l 1⊥l 2, ∴a (a -1)-b =0,① 又l 1过点(-3,-1), ∴-3a +b +4=0.② 解①②组成的方程组得??? a =2, b =2. (2)∵l 2的斜率存在,l 1∥l 2, ∴直线l 1的斜率存在. ∴k 1=k 2,即a b =1-a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,l 1∥l 2, ∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,
即4 b =-(-b ).④ 由③④联立,解得??? a =2, b =-2或????? a =23 ,b =2. 经检验此时的l 1与l 2不重合,故所求值为 ??? a =2, b =-2或????? a =23 , b =2. 注: 已知两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0 (1)对于l 1∥l 2的问题,先由A 1B 2-A 2B 1=0解出其中的字母值,然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合,若重合,舍去. (2)对于l 1⊥l 2的问题,由A 1A 2+B 1B 2=0解出字母的值即可. 2.直线ax +2y -1=0与直线2x -3y -1=0垂直,则a 的值为( ) A .-3 B .-4 3 C .2 D .3 解析:选D 由2a -6=0得a =3.故选D. 3.已知直线x +2ay -1=0与直线(a -1)x +ay +1=0平行,则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C .0 D .-2 解析:选A 当a =0时,两直线的方程化为x =1和x =1,显然重合,不符合题意;当a ≠0时,a -11=a 2a ,解得a =3 2.故选A. 二、直线方程 1.直线方程的五种形式
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)圆的方程
第三节 圆的方程 [备考方向要明了] [归纳·知识整合] 1.圆的定义 (1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. (2)确定一个圆的要素是圆心和半径. 2.圆的方程 (1)标准方程 ①两个条件:圆心(a ,b ),半径r ; ②标准方程:(x -a )2+(y -b )2=r 2. (2)圆的一般方程 ①一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0; ②方程表示圆的充要条件为:D 2+E 2-4F >0; ③圆心坐标????-D 2,-E 2,半径r =D 2+E 2-4F 2. [探究] 1.方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0一定表示圆吗? 提示:不一定.只有当D 2+E 2-4F >0时,上述方程才表示圆. 2.如何实现圆的一般方程与标准方程的互化? 提示:一般方程与标准方程互化,可用下图表示: 圆的标准方程 展开配方 圆的一般方程