定积分的基本概念
教 学 内 容
方法与手段
定积分的概念
大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分
为三个内容：
定积分概念引入 定积分的定义 定积分的几何性质 首先我们来看第一部分 一、定积分概念引入
说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至古代，最具有代表人物就是阿基米德（公元前287年—公元前212年），我们比较熟悉的就是他的浮力原理，其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。
1曲边梯形的面积问题： 我们知道矩形面积：S ah = 梯形的面积：()
2
a b S h +=
曲边梯形的面积：设()y f x =在区间[a,b]上非负连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。
导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯
那么这样的问题怎么求呢
首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽，b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。
好，现在我们将[a,b] 区间分为两个，同样我们用这两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高，然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积，可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考，是不是切分的越多，其面积越近似我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。
事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。
好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。
解决步骤：
大化小：在区间中任意插入个分点
，用直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形；详讲总结
常带变：在第个窄边梯形上任取作以为底，为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积，得
近似和：
取极限：令
这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个定积分问题例子。
（2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动，已知()
=在区间[1T,2T]上t的连续函数，且()0
v t≥，求在v v t
这段时间内物体所经过的路程s。
考虑：当()0
==≥时（其中C为
v v t C
y f x C
==≥，()0
常数），上面问题的求解。
在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个变量替换就可以了，具体的解决步骤是。
解决步骤：
大化小：在区间中任意插入个分点
，将其分成个小段
，在每个小段物体经过的路程为
；
常带变：任取，以代替第个时间段的速度，则：
近似和：
取极限：令
问题的共性：
解决问题的方法步骤相同：
“大化小，常代变，近似和，取极限”
所求量的极限结构式相同：特殊乘积和式的极限，下面我们从数学的角度对其做个总结就可以得到其定积分定义。
二、定积分的定义
1 定义：
设函数在上有定义，在中任意插入个分点，把区间分成个小区间，各个小区间的长度依次为：
在每个小区间上任取一点，作函数值
与小区间长度的乘积分，并做和数。
在每个记，如果不论怎么分法，也不论上怎么取法，只要当时，和数总趋于确定的极限,则称这个极限值为函数在上的定积分，记作。
其中称为积分区间，为积分下限，为积分上限，为积分变量；称为被积函数，称为被积表达式。积分符号呢就像一个拉长的S。
我们要求一个定积分，对曲边梯形来说就是求他的面积，对匀变速直线运动来说就是他的路程，也就是要求后面这个和式的极限，那么什么情况下这个极限存在呢有两个定理，具体的证明，可以参考数学分析。
定理 1 设在区间上连续，则在上可积。
定理2设在区间上有界，且只有有限个间断
点，则在上可积。
也就是我们的被积函数，要么连续，要么有界且有有限个间断点，那么这样的极限就一定存在。下面我们看一个例子，做个练习。
例利用定义计算定积分。
首先，根据定理1，这个定积分是可以求出来的。
分析：定积分的定义说的什么呢给一个被积函数，给一个积分区间，也就是积分上下限，我们可以转化的求一个和式的极限。
对于这个问题，我们的被积函数是积分区间是
根据定积分的定义我们也就是要求，又由于定积分定义说不论我们怎么个分法，我们不妨将其等分，那么等于多少呢由于在我们很容易算出，我们把区间n等分，那么第k个区间在是什么，是不是，定积分定义还告诉我们是在第k个区间的任意一个取法，那么我们不妨取区间的右端点，即，好，那么我们看看现在要求的问题变成了什么，我们观察这个极限，是个障碍，我们能不能把替换掉其实把区间n等分，
，其实就是，，要求这个极限我需要先求，化简一下可以得到，
，，
。
这样我们就求出了定积分的值。思考如果我们不知道这个定积分到底存不存在对于这个问题我们如何求这个留给大家下去去做，如果会求，也许你能总结出定积分存在的充分必要条件。
下面我们开始学习定积分的几何意义，也有同学可能会说，教员这个我知道，前面不是说了啊，就是被积函数，与积分区间，还有y=0围成的面积啊。
注意我们前面求的曲边梯形的面积是假设这个函数是大于等于0的。好下面我们就讨论一下一般情况。
三、定积分的几何性质
我们已经知道对于，当时，就是、x=a、x=b和y=0所围成的面积。
那么当时呢可以根据定义，做个简单的推导，就可以知道的几何意义就是围成面积的负值。
下面我们看这样一个定积分：
A1,A2,A3，A4对应其各个区域块围成的面积，那个这个积分值是
Y=0上面的面积和- Y=0下面的面积和，也就是：
（A2+ A4）-（A1+A3）
思考：奇函数对称积分区间的几何特征和积分值，还有偶函数在对称积分区间的几何特征和积分值。
好，这就是我们这一节课的内容，下一节课我们介绍定积分的性质。
定积分的概念(教学内容)
授课题目定积分的概念 课时数1课时 教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。 重点与难点重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。难点：定积分概念的理解。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基 于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒 体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化， 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺 垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体 现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变 代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面， 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲 解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。
教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。 课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 教学内容与过程 一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积 设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下： （1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 把],[b a 分成n 个小区间 ],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为：n x x x ???,,,21Λ （2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ?≈?ξ ]).,[(1i i i x x -∈?ξ （3）求和：曲边梯形面积∑∑==?≈?=n i i i n i i x f A A 1 1 )(ξ （4）取极限：曲边梯形面积,)(lim 10∑=→?=n i i i x f A ξλ其中 }.,,m ax {1n x x ??=Λλ 2、变速直线运动路程 设物体做直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s ，具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i x 1-i x i ξ
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
定积分的基本概念
定积分的基本概念 摘要：定积分的概念,原理,思想方法。 关键词：分割,求和,取极限。 通过了一个学期的学习，我们的专业课数学分分析从开始接触时的一窍不通到现在的马马虎虎。使我迷茫的学习慢慢的清晰起来，其中给我学以致用的就是定积分了。可以用来做很多方面的问题。下面来和大家分享一下我学习定积分的感悟。 定积分的概念 1)定积分概念的引入 2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 重点：定积分的数学定义 难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 在熟悉定积分的概念的同时我们应该明确定积分的基础思想。 在灵活运动定积分可以求曲边梯形的面积和变力所做的功，下面来分别的求它们的面积。我们可以从中比较一下，以给我们带来启发。 1曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图像画出来，并计算出面积的近似值： 1.当n=10时，用10个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S10 0.7510。（见下图）
2.当n=50时，用50个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S50≈0.6766。 3.当n=100时，用100个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S100≈0.6717。 由此可知，分割越细，越接近面积准确值，而这个和求极限也是同出一则。把它这样简化来理解也就不再那么的难了。 再看一个变力做功的问题。 设质点m受力F（x）的作用，沿直线由A点运动到B点，求力 F（x）的做的功。 F虽然是变力，但在很短一段时间内△x，F的变化不大，可近似看着是常
定积分的基本概念
教 学 内 容 方法与手段 定积分的概念 大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分 为三个内容： 定积分概念引入 定积分的定义 定积分的几何性质 首先我们来看第一部分 一、定积分概念引入 说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至古代，最具有代表人物就是阿基米德（公元前287年—公元前212年），我们比较熟悉的就是他的浮力原理，其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。 1曲边梯形的面积问题： 我们知道矩形面积：S ah = 梯形的面积：() 2 a b S h += 曲边梯形的面积：设()y f x =在区间[a,b]上非负连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。 导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯
那么这样的问题怎么求呢 首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽，b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。 好，现在我们将[a,b] 区间分为两个，同样我们用这两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高，然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积，可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考，是不是切分的越多，其面积越近似我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。 好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。 解决步骤： 大化小：在区间中任意插入个分点 ，用直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形；详讲总结
定积分基本公式
定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.
例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.
高等数学第五章定积分及自测题
第五章定积分 一、基本要求： 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容
Ⅰ. 定积分概念： 1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=，小 区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1 ()n i i i f x ξ=?∑， 若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面 积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定：(1)当a b =时， ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质： (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则 ()0,()b a f x dx a b ≥
有关定积分问题的常见题型解析(全题型)
有关定积分问题的常见题型解析 题型一 利用微积分基本定理求积分 例1、求下列定积分： （1）()1 3 031x x dx -+? （2）() 94 1x x dx +? （3）? --2 2 24x 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。 评注：利用微积分基本定理求定积分 dx x f a b )(?的关键是找出)()(/ x f x F =的函数)(x F 。 如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求 其面积。 题型二 利用定积分求平面图形的面积 例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。 分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。 评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。 关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。 知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法： （1）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≥0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()?b a dx x f ，如图1。 （2）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≤0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()()?? -=b a b a dx x f dx x f ，如图2。 （3）由两条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、两条曲线y=()x f 、y=()x g （()()x g x f ≥）围成的平面图形的面积：S ＝ ()()?-b a dx x g x f ][，如图3。
知识讲解_定积分的概念
定积分的概念 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】 1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景； 2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分； 3.理解掌握定积分的几何意义． 【要点梳理】 要点一、定积分的定义 定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a x n -D = ），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2, ,i i n x =L ，作和式： 1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n x x ==-= D = 邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ? ?）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常 数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ò， 定积分的相关名称： ——叫做积分号， ()f x ——叫做被积函数， ()d f x x ——叫做被积表达式， x ——叫做积分变量， a ——叫做积分下限， b ——叫做积分上限， [a ，b]——叫做积分区间。 要点诠释： （1）定积分 ()b a f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ? ?时） 记为 ()b a f x dx ò，而不是n S ． (2) 定积分是一个数值（极限值） ，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积
高等数学(上)第五章定积分总结
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f x =a x =b y =f
第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i =?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<= 10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i =?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点 i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式.
定积分基础知识
专题三：定积分 1、定积分的概念 （1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零； （2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式) 如果()()F x f x '=，且()f x 在],[b a 上可积，则 ()()()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ， 【其中()F x 叫做()f x 的一个原函数，因为()()()()F x C F x f x ''+==】 3、常用定积分公式 ⑴0dx c ?=（c 为常数） ⑵1dx x c ?= + ⑶1 (1)1 x x dx c αααα+?=+≠-+ ⑷1ln dx x c x ?=+ ⑸x x e dx e c ?=+ ⑹(0,1)ln x x a a dx c a a a ?=+>≠ ⑺sin cos xdx x c ?=-+ ⑻cos sin xdx x c ?=+ ⑼1sin cos (0)axdx ax c a a ?=-+≠ ⑽1cos sin (0)axdx ax c a a ?=+≠ 4、定积分的性质 ⑴??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； ⑵???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ⑶()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+???（其中)a c b <<;
⑷利用函数的奇偶性求定积分:若()f x 是[,]a a -上的奇函数,则0dx )x (f a a =?-;若()f x 是[,]a a -上的偶函数,则??=-a 0a a dx )x (f 2dx )x (f . 5、定积分的几何意义 定积分()b a f x dx ?表示在区间[,]a b 上的曲线()y f x =与直线x a =、x b =以及x 轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即()b a x x f x dx S S =?轴上方轴下方－.（在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号） 6、求曲边梯形面积的方法与步骤 ⑴画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； ⑵借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ⑶写出定积分表达式； ⑷求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.
定积分的概念教学反思
渭南市吝店中学曹茹军 本节课是高二新授课，是选修2-2第四章第一节的内容：《定积分的概念》课程内容安排为一课时。 此内容要求学生在充分认识导数的基础上，通过运用积分手段解决曲边梯形的面积问题，从而借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．理解掌握定积分的几何意义和性质；认识到数学知识的实用价值。 新课标要求我们在教学过程中要着重培养学生的探究、发现、创新等方面的能力。学习的全过程需要学生的参与，学生是学习的主体和中心。围绕这个宗旨，我在课堂内容的编排上作了一定的思考。在内容编排上，我基本遵循由易到难的过程，从最基本的，学生所熟知的前课知识开始引入，由浅入深的引导学生加以足够地探究，使学生的发现变得自然而水到渠成。同时对于学生可能的探究结果留有足够的空间，充分肯定学生的创新发现，对于学生考虑不到的地方加以补充、引导、完善，并留出一定课后思考得余地。在问题设置上，尽量让学生能通过自己的努力探索独立完成，通过独立思考展示与合作探究展示相结合，让其承担起引导思考与解释的重任。 我想，一堂好的示范课，不应该只是一次简单的表演与展示，如果在上课之前反复编排到一词一句，会让学生疲惫，听课老师觉得虚假而没有了讨论与交流的兴致，这其实也是对听课老师的一种不尊重的表现。因此我按照正常的教学进度，以便学生在课堂上有充分的暴露与发现的机会，当然这样一来对于老师的临场应变要求会更高，我想这也应该是一个合格教师的基本素养吧。 当然这节课还有一些不足之处，由于没有在课前提前向学生透漏问题，想要在课堂上反应学生的真实水平，因此学生回答问题时不够全面，导致学生回答的次数较多且有些同学比较拖沓，出现了上课前松后紧的遗憾。我觉得这样的课堂模式导学案的设置是很重要的，在今后的教学中我会不断的完善自己的教学技能，提高自己的业务水平。 最后为了上好这堂课，背后凝聚了我们全组老师集体的智慧与力量，大家在一起共同研究与探讨，出了许多好的主意，在此一并表示感谢。
定积分的发展史
定积分的发展史 起源 定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。在历史上，积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。 未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。 牛顿和莱布尼茨 在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理。定理演示了一个整合和分化之间的连接。这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。 正式积分
定积分概念的理论基础是极限。 人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000年的时间。在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。现代教科书中有关定积分的定义是由黎曼给出的。 术语和符号 艾萨克牛顿以上的变量使用一个小竖线表示一体化，或放置在一个盒子里的变量，竖线是很容易混淆。或牛顿用来指示分化和方块符号打印机难以重现，所以这些符号没有被广泛采用。 1675 年戈特弗里德莱布尼茨改编的积分符号，∫，从字母 S（“总结”或“总”）。 ∫符号表示的整合; A和 B 的下限和上限，分别一体化，定义域的融合; f是积，x在区间[a，b]上的变化进行评估; 从历史上看，黎曼严格解释无穷小的早期努力失败后，正式定义为积分的加权求和的限制，使有差别的限制（即间隔宽度）。黎曼的间隔和连续性的依赖的缺点促使了新的定义，尤其是勒贝格积分，这是建立能力，延长了“措施”，以更灵活的方式的想法。因此，符号 是指在分区函数值μ测量的重量被分配到每个值，加权总和。 在这里，A表示一体化的地区。