数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结
一．数系的扩充和复数的概念
１．复数的概念
(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地:
.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是
２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的
平面叫做复平面，也叫高斯平面，
轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数
复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
（２）复数的几何意义
坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；
向量表示:以原点
为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作
.即. ３．复数的运算
（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则
12()()z z a c b d i ±=±+±
12()()z z ac bd ad bc i ?=-++
12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d
-++=≠+ （２）几个重要的结论
2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+
22||||z z ?==
若z 为虚数,则22||z z ≠
（３）运算律
m n m n z z z +?=
()m n mn z z =
1212()(,)n n n z z z z m n R ?=?∈
（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：
21i =-
3i i =-
41i =
2340n n n n i i i i ++++++=
注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小
（２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用
二．同步检测
１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是
Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０
Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ ２．复数
5-2
i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i ３．当2<<13m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
４．复数3
12?? ? ???
＝
５．已知复数ｚ与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ
６．已知(1+2=4+3i z i ），求ｚ及z
z
７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12
111
=+z z z ，求ｚ
８．已知２i －３是关于x 的方程２2x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值
数系的扩充和复数的引入教学设计
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方
鲁科版高中化学必修一知识点总结
高一化学模块I主要知识及化学方程式 一、研究物质性质的方法和程序 1．基本方法：观察法、实验法、分类法、比较法 2．基本程序： 第三步：用比较的方法对观察到的现象进行分析、综合、推论，概括出结论。 二、钠及其化合物的性质： 1．钠在空气中缓慢氧化：4Na+O2==2Na2O 2．钠在空气中燃烧：2Na+O2点燃====Na2O2 3．钠与水反应：2Na+2H2O=2NaOH+H2↑ 现象：①钠浮在水面上；②熔化为银白色小球；③在水面上四处游动；④伴有嗞嗞响声；⑤滴有酚酞的水变红色。 4．过氧化钠与水反应：2Na2O2+2H2O=4NaOH+O2↑ 5．过氧化钠与二氧化碳反应：2Na2O2+2CO2=2Na2CO3+O2 6．碳酸氢钠受热分解：2NaHCO3△==Na2CO3+H2O+CO2↑ 7．氢氧化钠与碳酸氢钠反应：NaOH+NaHCO3=Na2CO3+H2O 8．在碳酸钠溶液中通入二氧化碳：Na2CO3+CO2+H2O=2NaHCO3 三、氯及其化合物的性质 1．氯气与氢氧化钠的反应：Cl2+2NaOH=NaCl+NaClO+H2O 2．铁丝在氯气中燃烧：2Fe+3Cl2点燃===2FeCl3 3．制取漂白粉（氯气能通入石灰浆）2Cl2+2Ca（OH）2=CaCl2+Ca（ClO）2+2H2O 4．氯气与水的反应：Cl2+H2O=HClO+HCl 5．次氯酸钠在空气中变质：NaClO+CO2+H2O=NaHCO3+HClO 6．次氯酸钙在空气中变质：Ca（ClO）2+CO2+H2O=CaCO3↓+2HClO 四、以物质的量为中心的物理量关系 1．物质的量n（mol）= N/N(A) 2．物质的量n（mol）= m/M 3．标准状况下气体物质的量n（mol）= V/V(m) 4．溶液中溶质的物质的量n（mol）=cV 五、胶体： 1．定义：分散质粒子直径介于1~100nm之间的分散系。 2．胶体性质： ①丁达尔现象 ②聚沉 ③电泳 ④布朗运动 3．胶体提纯：渗析 六、电解质和非电解质 1．定义：①条件：水溶液或熔融状态；②性质：能否导电；③物质类别：化合物。2．强电解质：强酸、强碱、大多数盐；弱电解质：弱酸、弱碱、水等。
集合与简易逻辑知识点整理
集合与简易逻辑 知识点整理 班级： 姓名： 1.集合中元素的性质（三要素）： ； ； 。 2.常见数集：自然数集 ；自然数集 ；正整数集 ； 整数集 ；有理数集 ；实数集 。 3.子集：A B ?? ； 真子集：A B ≠ ?? ； 补（余）集：A C B ? ； 【注意】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 4.交集：A B ?? ； 并集：A B ?? 。 笛摩根定律：()U C A B ?= ；()U C A B ?= 。 性质：A B A ?=? ；A B A ?=? 。 5.用下列符号填空: "","","","","",""≠ ∈???=≠ 0 N ；{}0 R ；φ {}0；{}1,2 {}(1,2)；{}0x x ≥ {} 0y y ≥ 6.含绝对值的不等式的解法：【注意】含等号时端点要取到。 x a < (0)a >的解集是 ；x a > (0)a >的解集是 。 (0)ax b c c +<>? a x b <+< ；(0)ax b c c +<
一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a ≠恒成立? 。 一元二次不等式2 0ax bx c ++≥(0)a ≠恒成立? 。 9．简单分式不等式的解法： () 0()f x g x > ?()()0f x g x ?>?()0()0f x g x >??>?或()0()0f x g x ；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>?；则p q 是的 条件； 若p q ?；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>≠>；则p q 是的 条件。
数与式知识点总结
一、实数、二次根式的有关概念 1. 为了表示具有 的量我们引进负数。 2. 和分数统称为有理数， 叫无理数，有理数和无理数统称为 。 3. 整数可分为 和负整数。分数可分为 。有理数也可分为：正有理数、 和 。0既不是 ，也不是 。 4. 规定了 、 和 的直线叫做数轴。 5. 只有 不同的两个数称为相反数。绝对值最小的数是 ，互为相反数的两数的和为 ，在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的 ，且到 的距离 。 6. 在数轴上，表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值。 ︱a ︱＝ _____________________________ 7. 等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，记作 ，其中a 是 。正数a 的正的平方根叫做a 的 ；一个正数的平方根有 个，它们是 ，0的平方根和算术平方根都是 ，负数 。求 的运算叫做开平方。（a>0）。 8. 如果一个数的 等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，求 的运算叫做开立方。 9、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 10、二次根式的性质： （1）2)(a = （a 0） （2）2a =a = _____________________________ （3）ab = · （a ≥0,b ≥0）; (4)b a = （a ≥0,b ≥0）. 11、最简二次根式要满足以下两个条件：（1）被开方数的因数是 数，因式是 式；（2）被开方数中不含能开得尽方的 数或 式。 12、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数 ，这几个二次根式叫做同类二次根式。 二、实数、二次根式的运算 1、有理数的加减乘除、乘方、开方的法则分别是什么？ ①有理数的加法：同号两数相加，取与 相同的符号，并把 相加；绝对值不相等的异号两数相加，取
鲁科版高中化学必修一《硫的转化》.doc
高中化学学习材料 《硫的转化》 一、选择题 1. 绿色植物是空气天然的“净化器”，研究发现，1公顷柳杉每月可以吸收160kg SO2，则1 公顷柳杉每月吸收的SO2的物质的量为 A．164kg B．2.5mol C．2500mol D．2500g/mol 2. 二氧化硫和氯气均有一定的漂白作用，前者是因为它与水生成的亚硫酸可与有色有机物加 成得到无色物质，其过程可逆：后者是因为它与水作用生成的次氯酸具强氧化性氧化有色物，其过程不可逆。若将相同条件下等体积的这两种气体混合后通入到溶有品红和硝酸钡的水中，能观察到的现象是 A．溶液很快褪色 B．溶液不褪色 C．出现白色沉淀 D．无明显现象 3. 为了提高SO2的转化率，通常通入过量的空气，使SO2充分和O2反应，则从接触室导出的混 合气体含有 A．SO3、O2B．SO3，O2，N2 C．SO3，SO2，O2，N2D．SO3，N2 4. 除去SO2中的SO3，并得到纯净的SO2，最好使混合气体通过 A、水 B、NaHSO3饱和溶液 C、NaHCO3饱和溶液 D、98.3%浓硫酸 5. 为了降低硫氧化物造成的空气污染，可以在含硫的燃料中加入生石灰，这种方法称为“钙 基固硫”，则燃料燃烧过程中的“固硫”反应为 A． B． C．D．
6. 接触法制硫酸中，进入接触室的气体必须净化、干燥，其主要原因是 A．防止催化剂中毒 B．提高反应效率 C．提高SO2转化率 D．防止环境污染7. 工业上生产硫酸，回收尾气中气体，选用的试剂是 A． B． C． D．浓 8. 在工业生产硫酸中，在吸收塔内用来吸收三氧化硫的是 A． B．稀 C．浓 D． 9. 我国环境空气质量标准中对每次空气质量测定中SO2的最高浓度限值如下左表所示。 浓度限值/（mg·m－3）分组第一小组第二小组一级标准二级标准三级标准抽气次数100120 0.150.500.70SO2含量/（mg·m－3）0.0640.53 该学生课外活动小组分成第一小组和第二小组，使用相同的实验装置和溶液A。在同一地点、同时测量空气中SO2的含量。当反应恰好完全进行，记录抽气次数和结果如下（假设每次抽气500mL）。 小组的测定结果正确。 A．第一B．第二C．都正确 D．都不正确 10.我国环境空气质量标准中对每次空气质量测定中SO2的最高浓度限值如下左表所示。 浓度限值/（mg·m－3）分组第一小组第二小组一级标准二级标准三级标准抽气次数100120 0.150.500.70SO2含量/（mg·m－3）0.0640.53 该学生课外活动小组分成第一小组和第二小组，使用相同的实验装置和溶液A。在同一地点、同时测量空气中SO2的含量。当反应恰好完全进行，记录抽气次数和结果如下（假设每次抽气500mL）。 判断该地点的空气中SO2的含量属于级标准。 A．一级B．二级C．三级 D．四级
集合与简易逻辑知识点归纳(1)
{}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的
①一个命题的否命题为真，它的逆 命题一定为真. （否命题?逆命 题.）②一个命题为真，则它的逆 否命题一定为真.（原命题?逆 否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页
数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1-
数与式--知识点
科目:数学年级:初中 中考专题复习一 数与式 一、知识网络: 1、实数????????????????????数轴相反数有关概念绝对值倒数近似值及有效数字—科学记数法分类 2、实数的大小比较方法????????????????? 利用数轴直接法近似估计放缩法间接法分子有理化作商或作差比较 3、?→→?? 单项式：系数、次数代数式有理式整式多项式：次数、项数 4、????? 互 逆提取因式法整式乘法因式分解运用公式法分组解法 5、???????????????→?????→??????????????????????????整式概念有意义及值为０的条件有理式代数式分式基本性质约分运算通分分式混合运算无理式 6、n →→??→→??? 开平方平方根算术平方根乘方开方开立方立方根开次方
7 、 ?≥ ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? →=|| ? ?→ ? ? ? ? ? ? ? ?? a０） 最简二次根式 有关概念同类二次根式 互为有理化因式 分母有理化平方根二次根式a 运算化简求值 二、学习目标： 1．理解相反数、绝对值、有理数、无理数、数轴的意义,知道实数与数轴上的点一一对应. ２.掌握实数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）；理解实数的运算律，能运用实数的运算解决简单的问题. 3.了解近似数与有效数字的概念;在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值，会用科学记数法表示数. 4．在现实情境中理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示.会求代数式的值，会进行简单的整式混合运算. 会推导乘法公式,了解公式的几何背景，并能进行简单计算. 5. 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）. 6. 了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、乘、除运算. 三、命题热点: 1. 实数的有关概念历来是中考考查的基本内容，涉及相反数、绝对值、有理数、无理数、数轴等概念，多以填空、选择题的形式出现. ２.灵活运用实数运算法则和运算律进行化简与混合运算是中考的常考内容. 3. 科学记数法和近似数、有效数字往往以解决实际问题为背景，有较强的应用性，是近几年考查的热点. 4.因式分解主要考查会用提公因式法、公式法进行分解，直接考查的题型以填空、选择为主. ５. 分式作为单独的知识进行考查,其难度在逐年下降，重点考查对分式概念的理解和基本运算. 四、考点扫描: 考点Ⅰ.实数 1、实数的分类:
高中化学_硫的转化(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计 【引入】：放映：孙思邈用硫磺炼丹的视频 【板书】第三节硫的转化 一，自然界中的硫 【讲述】：古代的中国就已经开始研究硫的用途，对于硫，我们并不陌生，现在听说过的火山所喷发出的硫化氢气体、二氧化硫、三氧化硫等等，还有沉积下来的含有硫元素的矿石，以及人体的蛋白质中也会含有硫元素。 1.自然界中的不同价态的硫元素之间的转化 【板书】2 .认识硫单质 （1）物理性质 【讲述】刚才视频里面管硫的单质俗名叫硫磺，颜色是淡黄色的。【总结】学生一起来说硫单质的物理性质，通常状况下，它是一种黄色或淡黄色固体，很脆，易研成粉末，不溶于水，微溶于酒精，易溶于二硫化碳，熔点，沸点都不高。硫单质有多种同素异形体，如单斜硫和斜方硫等。（强调记忆溶解性） 【思考】试管内壁附着硫单质怎么去除？ 1、利用物理性质：二硫化碳溶液洗涤试管（此方法学生都能想到） 2、利用化学性质：热的氢氧化钠溶液洗涤 【板书】（2）化学性质 1、3S+6NaOH2Na2S+Na2SO3+3H2O（分析氧化还原反应，巩固之前的
知识） （让学生自己配平该方程式） 【讲述】该方程式上就已经出现了硫元素的三种价态。 【板书】不同价态硫的关系转化价态轴 【回顾】回忆氧化还原反应中元素的性质与化合价的关系。进而预测硫单质的化学性质。既有还原性又有氧化性 【实验1】观看实验视频《硫粉与铁粉的反应》。 【思考】学生独立思考学案上的1-3思考题 1.Fe与S反应实验中，只加热混合物一端就能继续反应,这是为什么？ 2.铁与硫的生成物中铁是（+2价还是+3价）如何验证？（提示：生成物不溶于水而溶于稀盐酸） 3．写出Fe与氯气反应方程式，并比较硫、氯气氧化性强弱说明理由。【小组讨论】讨论最终的答案并展示答案。 【板书】Fe + S FeS、2Fe + 3Cl22FeCl3、 【讲述】由此可得硫单质在这起了氧化作用，并且把金属氧化到了它的低价态。和它类似的有铜和硫的反应，汞和硫的反应（温度计）【板书】2Cu + S Cu2S、Hg+S=HgS 【实验2】观看实验视频《硫的燃烧》 【提问】仔细观察实验，总结现象。
数学简易逻辑 知识点+题型
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆 否 互 互逆 否 互文科数学选修1-1 第一章 简易逻辑 一．四种命题及关系 1.命题：__________的语句； 2.分类：①简单命题：不含有逻辑联结词的命题； ②复合命题：由_________和逻辑联结词“___”、“___”、“____”构成的命题； 构成复合命题的形式：p 或q 记作______；p 且q 记作____；非p 记作_____. 3.命题的四种形式与相互关系 原命题：若p 则q ； 逆命题：________； 否命题：________； 逆否命题:________. 注： ①互为_____关系的两个命题同真假． 1、下列说法：①若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；②若一个命 题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；③若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题；其中正确的说法是 （ ） A.①② B.①③④ C.②③④ D.①②③ 2、已知m,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A 、若α,β垂直于同一个平面，则α//β B 、若m,n 平行于同一个平面，则m//n C 、若α,β不平行，则α内不存在与β平行的直线 D 、若m,n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一个平面 3．原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2 ”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ) 4．有四个命题：①“若0x y +=，则x 、y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤，则关于x 的方程220x x q ++=有实根”的逆命题；
最新数系的扩充和复数的概念教案
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
2019年数与式知识点总结
2019年数与式知识点总结 数学需要学习的知识点有很多，那么，你会怎么总结数与式的知识点呢？本文是为大家收集整理的数与式知识点总结，欢迎参考借鉴。 数与代数A、数与式 1、有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 实数无理数 无限不循环小数叫无理数
集合与简易逻辑知识点
集合、简易逻辑 知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?；
数与式知识点归纳
一、数的分类 实数????? ??????????????????????????负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 或 实数???????????负无理数负有理数负零正无理数正有理数正实数实数 其中：有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数；无理数即无限不循环小数。 二、 数轴 （１）三要素：原点、正方向、单位长度。 （２）实数???→←一一对应 数轴上的点。 （３）利用数轴可比较数的大小，理解实数及其相反数、绝对值等概念。 三、 绝对值 （１）几何定义：数轴上，表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a 。 （２）代数定义：a ＝?? ???<-=>) 0()0(0 )0(a a a a a 四、 相反数、倒数 （１）a 、b 互为相反数?a ＋b ＝０（或a ＝－b ）； （２）a 、b 互为倒数?a ·b ＝１（或a ＝ b 1）。 五、几个非负数 （１）a ≥０； （２）a 2≥０； （３）a ≥０（a ≥０）。
（４）若几个非负数之和为０，则这几个非负数也分别为０． 六、 （１）a n 叫做a 的n 次幂，其中，a 叫底数，n 叫指数。 （２）若x 2＝a （a ≥０），则x 叫做a 的平方根，记做±a ；算术平方根记做a 。 （３）若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，记做3a 。因此33)(a ＝a （４）算术平方根性质： ①（a ）2＝a （a ≥０）； ②2a ＝a ； ③b a ab =（a ≥０，b ≥０）； ④b a b a =（a ≥０，b ＞０）。 七、运算顺序： １． 同 级：左→右 ２． 不同级：高→低（先乘方和开方，再乘除，最后加减） ３． 有括号：里→外（先去小括号、再去中括号、最后去大括号） 八、运算律： 九、运算法则 ①加法法则：
硫的转化知识点总结归纳
第 3 节硫的转化 达成目标 1.了解硫单质及其重要化合物的主要性质及应用。 2.了解硫单质及其重要化合物对环境质量的影响。 一、硫单质 1 2 要求：写出有关的化学方程式。 与铁、铜反应，。 与氧气、氢气反应，。 与碱的反应NaOH: 。 黑火药的反应一硫二硝三木炭。 微思考： 1、实验室中，残留在试管内壁上的硫用什么方法除去？ 2、汞蒸气有毒，实验室里不慎洒落一些汞，应该怎样处理？ 达标训练： 1.下列化合物不能由单质直接化合生成的是（） A. Cu2S B. CuS C. Al2S3 D. FeS 2 .对于反应3S+6KOH==2K2S+K2SO3+3H2O，下列说法正确的是（） A. S是氧化剂，KOH是还原剂 B.若3mol硫完全反应，则反应中共转移了6mol电子 C.还原剂与氧化剂的质量比是1:2 D.氧化产物和还原产物的物质的量之比为3:2 二、二化氧硫的性质 (1)物理性质 (2)化学性质 ①具有酸性氧化物的通性。 a.与H2O反应：__________ _______。 b.与NaOH反应：(NaOH过量)_______________ _______；(NaOH不足)_______ ___________。 c.与CaO反应：SO2+CaO====CaSO3。 ②具有氧化性。
与H2S溶液反应：_____________________。 ③具有还原性。 a.与O2反应：____________________。 b.与氯水反应：_________________________。 ④漂白性：可使品红溶液等有色物质退色，生成不稳定的无色物质。 例1、如图所示，在注射器中加入少量Na2SO3晶体，并吸入少量的浓硫酸(以不接触纸条为准)。则下列有关说法正确的是() A.蓝色石蕊试纸先变红后退色 B.沾有KMnO4溶液的滤纸退色，证明 了SO2的漂白性 C.品红试纸退色，证明了SO2的漂白性 D.沾有酚酞和NaOH溶液的滤纸退色， 证明了SO2的漂白性 变式训练1、SO2和Cl2都具有漂白作用，能使品红溶液退色，若将等物质的量的SO2、Cl2混合后再通入品红与BaCl2的混合溶液，能观察到的现象是() ①溶液很快退色②溶液不退色③出现沉淀④不出现沉淀 A．①②B．①③C．②③D．②④ (3)SO2对大气的污染与防治。 ①来源： ②危害： ③防治：开发新能源、燃煤除硫、处理工业废气。 微思考： 1、SO2能漂白酸碱指示剂吗？ 2、SO2能使溴水、酸性KMnO4溶液退色，SO2体现的是漂白性吗？ 达标训练： 3.既能使石蕊试液变红，又能使品红试液变为无色，还能使溴水退色的是（） A.Cl2 B.H2S C.SO2 D.CO 4.下列化学反应中，SO2是还原剂的是（） A.SO2+2H2S＝3S↓+2H2O B.SO2+2Mg点燃2MgO+S C.SO2+NaOH＝NaHSO3 D.2SO2+O22SO3 5.酸雨形成的主要原因是（） A.汽车排出大量尾气 B.自然界中硫化物分解
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
北师大版初中数学知识点分类数与式
数与式 一、有理数及其运算（七年级上册第二章） 1. 数怎么不够用了 ①借助生活中的实例，理解有理数的意义，体会负数引入的必要性。②会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量。 ⑴正数与负数的意义：像5，，1/2，…这样的数叫做正数，它们都比0大；在正数的前面加上“－”号的数叫做负数，如，－10，－3，… 0既不是正数，也不是负数。 正数与负数的引入，是为了表示生活中相反意义的量。引入负数后，“0”的意义不仅仅表示“没有”了，它还是“正数”“负数”的分界线，是“基准”。 ⑵有理数的意义：正整数、零、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数，整数与与分数统称为有理数。 2. 数轴 ①通过与温度计的类比认识数轴，会用数轴上的点表示有理数。②借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系。③能用数轴比较有理数的大小。 ⑴数轴：原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴是一个非常有用的数学工具，它使数与数轴上的点建立起对应关系，可以用它提示数与形之间的内在联系，是数形结合的基础。 ⑵相反数：如果两个数只是符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，零的相反数是零。 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 ⑶有理数大小的比较：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3. 绝对值 ①助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，比较两个负数的大小。 ②应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。 ⑴绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。例如， +2的绝对值等于2，记作|+2|=2，－3的绝对值等于3，记作|－3|=3。 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0绝对值是0。 ⑵负数大小的比较：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 负数大小的比较，除了用绝对值的方法比较以外，还可以运用数轴进行比较。 4. 有理数的加法 ①经历探索有理数加法法则和运算过程，理解有理数的加法法则和运算律；②能熟练进行整数加法运算，并能运用运算律简化运算。 ⑴有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数同0相加，仍得这个数。 ⑵在有理数运算中，加法的交换律、结合律仍然成立。 a 、 b 、 c 为任意有理数。 加法的交换律：a b b a +=+； 加法的结合律：）（）（c b a c b a ++=++。 5. 有理数的减法 ①经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则；②能熟练进行整数减法的运算。 有理数减法的法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 6. 有理数的加减混合运算 ①能进行包括小数或分数的加减混合运算；②能根据具体问题，适当运用运算律简化运算。 在进行加减混合运算时，可以适当运用加法交换律和结合律来简化运算。
硫的转化 知识点总结
第2讲硫的转化 (1)硫以游离态和化合态广泛存在于自然界中，并且能相互转化。 (2)硫单质俗称硫磺，它是一种黄色或淡黄色固体；很脆，易研成粉末；不溶于水，微溶于酒精，易溶于二硫化碳，熔点和沸点都不高。硫有多种同素异形体，常见的有斜方硫和单斜硫。 (3)单质硫化合价处于中间价态，既有氧化性又有还原性： ①氧化性： (剧烈反应，能保持红热，生成黑色固体） 注意：S与变价金属Fe、Cu反应时,化合价显低价，说明硫的氧化性比氯气的氧化性弱。 ②还原性：硫在空气中点燃，火焰为淡蓝色，在纯氧中则为蓝紫色，生成二氧化硫气体。其方程式为： (4)通常状况下，二氧化硫是无色、有刺激性气味、有毒气体，1体积水大约能溶40体积。 总结：①常见气体溶解性NH3>HCl>SO2>Cl2>CO2>O2 ②常见有刺激性气体Cl2、HCl 、NH3、SO2 、NO2 (5)SO2的化学性质 ①是酸性氧化物，是亚硫酸的酸酐，具有酸性氧化物的通性。与水反应： ②与碱反应： ③将SO2通入澄清的石灰水中变浑浊，继续通入又变澄清。和CO2的性质相似 ④还原性： ⑤氧化性： ⑥漂白性：SO2能跟某些有色物质反应而生成不稳定的无色物质，该物质受热分解会恢复原状，如品红溶液。HClO是因为有氧化性而具有漂白性，不能恢复原状。 (6)纯硫酸是无色粘稠油状液体，沸点高，难挥发。易溶于水，放出大量的热。稀释时应将浓硫酸慢慢加入水中，并用玻璃棒不断搅拌。 (7)浓硫酸具有吸水性、脱水性、强氧化性。能够与很多物质发生氧化还原反应。 [经典例题] 例1. 下列化合物中不能由单质直接化合而制成的是（） A. FeS. B. Cu 2S. C. SO 3 D. Al 2 S 3 . 例2.在下列反应中H 2SO 4 既表现氧化性,又表现酸性的是（） A. C+H 2SO 4 (浓) B. Cu+H 2 SO 4 (浓) C. Ba(OH) 2 +H 2 SO 4 D. H 2 S+H 2 SO 4 (浓) 例3．“铅室法”制硫酸的过程中有如下反应：NO＋1 2 O2＝NO2，SO2＋H2O＝H2SO3，H2SO3＋NO2＝H2SO4＋NO，其中
集合与简易逻辑知识点汇编
第一章知识点 、知识结构： 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易 二、知识回顾: （一）集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的 使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法 3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 4. 集合运算：交、并、补. 交：A PIB U {X |X 亡 A ,且X 亡 B} 并: A UB U {X |X 忘 A 或 X 忘 B} 补：GAu {x^U ,且X 芒 A 5. 主要性质和运算律 （1）包含关系: A 匸A,①匸A, A 匸U,GA 匸U, A J B, A 匸 C; A R B 匸 A, A Cl B 匸 B; A U B 二 A,A U B 二 B. 逻辑三部分:
(2) 等价关系：A C B U AnB=A= AUB=B= GAUB = U （3）集合的运算律: 交换律：A n B =B n A; A U B = B U A. 结合律：（A P I B ）n c = A n （B n c ）；（A U B ）U C = A U （B U C ） 分配 律:.A n （B U c ）=（A n B ）u （A n c ）；A U （B n c ）=（A U B ）n （A U c ） ① RA 二①，① UA = A,U nA = A,U U A=U An ^u A=? A U 5u A=U 3U L=? S U ? =U S U U^^U A)=A NA n B )=(右LA ) U (B U D 齢(A u B )=( S U A> n ^U B) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为card （ A ）规 定 card( ? ) =0. 基本公式: (1)card(AUB) =card(A) +card(B)-card(AnB) ⑵ card (A U B U C) = card (A) + card (B) + card(C) -card(A^B) -card (B RC) -card(cn A) + card(AnBnc) ⑶ card ( 3L A)= card(U)- card(A) (4) 设有限集合A, card(A)=n, 2n -2. 0-1 律: 等幕律: A " A =A,AU A = A. 求补律: 反演律: （i ）A 的子集个数为2n ; （ii ）A 的真子集个数为2n -1 ; （iii ）A 的非空子集个数为2 -1 ； （iv ）A 的非空真子集个数为