重要的概率分布

第三章重要的概率分布

(1)正态分布；

χ分布；

(2)2

(3)t分布；

(4)F分布。

3.1 正态分布

对于连续型随机变量而言，正态分布(normal distribution)是最重要的一种概率分布。

经验表明：对于依赖于众多微小因素；且每一因素均产生微小的或正或负影响的连续型随机变量来说，正态分布是一个相当好的描述模型。

如人的体重，因为遗传、骨骼结构、饮食、锻炼、等都对人的体重有影响，但又没有一种因素起到压到一切的主导作用。与此相类似，人的身高、考试分数等都近似地服从正态分布。

通常用：

δ) (3 - 1)

X～N(u, 2

δ称为正态分布的表示随机变量X服从正态分布。N表示正态分布，括号内的参数u, 2

总体均值(或期望)和方差。

3.1.1 正态分布的性质

(1) 正态分布曲线以均值u 为中心，对称分布。

(2) 正态分布的概率密度函数呈中间高、两边低，在均值u 处达到最高，向两边逐渐降低，即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变小。

(3) 正态曲线下的面积约有68%位于u ±δ

两值之间；约有95%的面积位于u±22

δ之间；

而约有99.7%的面积位于u±3

δ之间。

★ (4) 两个(或多个)正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布。

令X 和Y 相互独立： X ～N(u X ，2x

δ)

Y ～N(u Y ，

2y δ)

现在考虑两个变量的线性组合：W ＝a X+b Y 则 W ～N(u W ，

2w

δ) ( 3 - 2 ) 其中，

u W =(au X ＋bu Y ) ( 3 - 3 )

2w δ = (22x

a δ+22y

b δ) (3 - 4)

例3.1

令X 表示在下沙高教区一花店每日出售玫瑰花数量， Y 表示在下沙镇一花店每日出售玫瑰花的数量，假定X 和Y 服从正态分布，且相互独立，并有：

X ～N( 100，64 )，Y ～N( 150，81 )

求两天内两花商出售玫瑰花数量的期望及方差？

W ＝2X ＋2Y

根据式( 3 - 3 )

E(w)＝E( 2X+ 2Y) = 5 0 0，

Var (w) = 4var(X) + 4var(Y) = 5 8 0

因此，W 服从均值为5 0 0，方差为5 8 0的正态分布，即W ～N( 5 0 0，5 8 0 )。

★★3.1.2 标准正态分布

两个正态分布可能因为期望或方差的不同，或是期望和方差均不同而相区别。如何比较各种不同的正态分布呢？

定义一个新的变量Z ：

X u Z δ

-=

如果变量X 的均值为u ，方差为

2δ，则根据式(3 - 4)，变量Z 的均值为0，方差为1。称之

为标准正态变量(standard normal variable) 。

即若X ～N(u ，

2δ)，那么变量Z 就是标准正态变量，用符号表示为：

Z ～N(0，1) (3 - 5) 证明： （1） 均值为0

因为有E (aX+b) = a E(X) + b ，所以

1E E X u X u δδδδ

-+=-+（）（）=0

（2）方差为1

因为有var ( aX +b ) = a 2var ( X ) ，所以

21var var X u X δδδ

-+=（）（）=1

图3 - 3a 和3 - 3b 分别给出标准正态分布的概率密度函数和累积分布函数。

例3.2

变量x 表示花房每日出售的玫瑰花量，假定它服从均值为70、方差为9的正态分布，即X ～N( 70，9 )，求任给一天，出售玫瑰花数量大于75支的概率。

7570 1.763

Z -=≈

服从标准正态分布，求P(Z> 1 . 6 7 )。

从附录表可知， Z 位于区间( 0 , 1.3 )的概率为0.4032，位于( 0，2.5 )的概率为0.4938。由正态分布的对称性可知，Z 位于区间(-1.3 , 0 )的概率也为0.4032，位于(-2.5 , 0 )的概率为0.4938。由于这种对称性，在标准正态分布表中一般仅给出Z 取正值的情形。也就是说，标准正态密度函数，在Z=0的左右面积均为0.5，整个面积(或概率)为1。

根据正态分布表得： P( 0≤Z ≤1.67)=0.4525 因此，

P(Z>1.67)=0.5000－0.4257=0.0475

即每天出售玫瑰花的数量超过75支的概率为0.0475。(参见图3-3a )

例3.3

继续例3. 2 ,现假定要求每天出售玫瑰花数量小于或等于7 5支的概率。 概率为： 0.500 0+0.452 5=0.952 5 (见图3-3b )。 例3.4

求每天出售玫瑰花数量在在65与75支之间的概率。

6570 1.673

Z -=≈-

7570 1.673

Z -=≈

查表得，

P(－1.67≤Z ≤0)=0.4525 P(0≤Z ≤1.67)=0.4525

由正态分布的对称性得到， P(－1.67≤Z ≤1.67)=0.9050

即每天出售面包的数量介于65条与75条之间的概率约为90.5% (见图3-3a )。

上面的例子表明：一旦知道某一正态变量的期望与方差，先将其转化为标准正态变量，然后根据正态分布表求得相应的概率。

★★3.2样本均值X 的抽样分布或概率分布

样本均值是总体均值的估计量，但由于样本均值是依据某一给定样本而定，因此其值也会因随机样本的不同而变化。也就是说，样本均值也是随机变量，并且有其自己的概率分布函数。

称X1，X2，??，Xn 构成一个容量为n 的独立同分布随机变量(independently and identically distributed random variables,i.i.d.random variables)，即所有的X 是从同一概率密度(即每个Xi 有相同的概率密度函数)中独立抽取得到的。

如果Xi~N(u ，2δ)且每个Xi 独立抽取得到，则称X1，X2， ?? ，Xn 是 i.i.d.随机变量，正态概率密度函数是其共同的概率密度。

估计量(比如样本均值)的概率密度。 例3.6

正态分布的均值为10，方差为4，即N( 10，4 )。从这个正态总体中抽取20个随机样本，每个样本包括2 0个观察值。对抽取的每一个样本，得到其样本均值X ，因而共有20个样本均值，见表3-3。

图3- 的条线图描绘了样本均值的经验概率分布。

如果列出更多这样的样本，那么样本均值的概率分布服从正态分布。

若X1,X2,? ?,Xn 是来自于均值为u ，方差为2δ的正态总体的一随机样本。则样本均值，X

也服从正态分布，其均值为u ，方差为2n

δ，即

2

~(,

)u n

δX N (3 - 6)

样本均值X (u 的估计量)的抽样(或概率)分布，同样服从正态分布。其均值与每一个Xi 的均值相同，但方差等于Xi 的方差(2δ)除以样本容量n 。

证明：

因为X = (X1 + X2 +…+ Xn )

n E(X ) = [E(X1) + E(X2) +…+ E(Xn )] n

= [u + u +…+ u]

n = u

Var(X ) = var[（X1 + X2 +…+ Xn ）/ n] = var( X1 + X2 +…+ Xn )

n 2

= [var(X1 )+ var(X2) +…+ var(Xn)] n 2

(独立变量方差性质)

= (

2

δ

+

2

δ

+…

2

δ

) / n 2

= n 2δ / n 2

=

2δ / n

X ~ N(u ，2n

δ) 可以转化为标准正态分布

X u Z n

δ

-=

中心极限定理

从正态总体中抽样，其样本均值同样服从正态分布。但是如果从其他总体中抽样又如何呢？

中心极限定理(central limit theorem,CLT)：

如果X1，X2，…，Xn 是来自(均值为u 方差为2

δ

的)任一总体的随机样本，随着样本

容量无限增大，则其样本均值

X 趋于正态分布，其均值为u ，方差为2

δ

/n 。

注意样本方差的公式，分母是n-1，因为要求估计量是无偏的。 证明：

2

22

222222222()

[]

1

1 =[()]1

1 =[()2(()]

1

1[()2()()()]1

()2(),1[()2()()]1

211()()111

X X ES E n E X u X u n E X u X u X u X u n E X u X u X u X u n X u n X u E X u n X u X u n n E X u E X u E n n n -=∑----∑-----+-∑-=----+-∑∑∑--=-∑=---+-∑∑-=---+---因为所以

（））2

222

22

222

2

()]

21()()()111

1 =()()11

1 =11(1) =

1 =X u n n E X u E X u E X u n n n n E X u E X u n n n n n n n

n n δδδδ-∑∑=---+-∑

------∑

---

----（ 注：如果X 为样本均值X ，则X 为X ）

3.3

2χ分布

如果随机变量X 服从均值为u ，方差为

2δ的正态分布，即X ～N(u ，2δ)，则随机变量

Z= (X －u) /

δ

是标准正态变量，即Z ～N(0，1)。

标准正态变量的平方服从自由度(degrees of freedom,d.f.)为1的2

χ分布，即是一种特殊的

2χ分布，用符号表示为，

Z 2=

2

(1)

χ (3 - 7) 其中

2χ的下标(1)表示自由度(d.f.)为1，这里定义自由度是平方和中独立观察值的个

数。

令Z1，Z2，??，Z K 为K 个独立的标准正态变量(即每一个变量均是均值为0，方差为1的

正态变量)，对所有的变量Z 平方，它们的平方和服从自由度为K 的2χ分布，即

22222

12()i k k Z Z Z Z Z =++???+∑ ( 3 - 8 )

这里的自由度为k ，因为在式(3 - 8)的平方和中，有K 个独立的观察值。

2χ 分布的性质

(1) 如图3 - 8示, 与正态分布不同, 2χ分布只取正值(它是平方和的分布)且取值范围

从0到无限大。

(2)与正态分布不同，

2χ分布是斜分布，其偏度取决于自由度的大小，自由度越小，

越向右偏，但随着自由度的增大，逐渐呈对称，接近正态分布。

( 3 ) 2χ分布的期望为k ，方差为2k 。

( 4 ) 若E1、E2分别为自由度为k1,k2的两个相互独立的2χ变量，则其和(Z1+Z2)也是

一个

2χ变量，其自由度为(k1+k2)。

★★ 3.4 t 分布

运用最广泛的另一个概率分布是t 分布，t 分布又称为学生t 分布(Student's t distribution)，与正态分布也密切相关。

（注：学生是统计学家W.S.Gosset 的笔名，他于1908年发现了这一概率分布。）

若X ~ N(u ，2n

δ) 则变量Z 服从标准正态分布：

X u Z n

δ

-=

(3 - 9)

假定仅知道u 及2δ的估计量的值2s ，用样本标准差S 代替总体标准差δ

，得到一

个新的变量

/X u t s n -= (3 -10)

变量t 服从自由度为(n-1)的学生t 分布。与2

χ分布类似，t 分布也与参数自由度有关，

自由度为n-1。

t 分布的性质 (1) t 分布与正态分布类似，具有对称性。

(2) t 分布均值，与标准正态分布均值相同为0，但方差为k / (k －2)。 （注：在求t 分布的方差时定义自由度必须大于2。）

标准正态分布方差总为1，表明t 分布方差总比标准正态分布方差大——t 分布比正态分布略“胖”一些。但是当k 增大时， t 分布的方差接近于标准正态分布方差值1。

如果自由度k=10，则t 分布方差为10/8 = 1.25； 如果自由度k ＝30，则其方差为30 / 28 = 1.0； 如果自由度k=100，则其方差为100 / 98 = 1.02

因此与

2

χ分布类似，随着自由度的逐渐增大时， t 分布近似正态分布。

（注：当k 为30，t 分布的方差已与标准正态分布方差相差不大。）

例3.7

假定真实的出售平均数量为70支，那么15天内出售玫瑰花平均数量为74支的概率是多少？(样本方差为4)

如果知道真实的标准差

δ，则可通过标准正态分布变量Z 来解答。但是，现在仅知道

真实标准差的估计量S ，则可以利用式(3 - 10)来计算t 值。

7470/4/15X u t s n --== 3.873=

自由度为14时，查表得，t 值大于等于2.145的概率为0.025 (2.5%)，t 值大于等于2.624的概率为0.01 (1%)，t 值大于等于3.787的概率为0.001 (0.1%)。

★ ★ 3.5 F 分布

如果随机样本X1，X2，…，Xm 来自均值为u X ，方差为

2X δ的正态总体，其样本容量为m ；随机样本Y1，Y2，??，Yn 为来自均值为u Y

，方差为2Y

δ的正态总体，其样本容量为n ，且这两个样本相互独立。

如何知道这两个正态总体是否同方差？即

2X

δ = 2Y

δ

由于不能直接观察两个总体的方差，但假定可以知道它们的估计量：

2

()1

i X

X X S m -=∑

- 2

()1i Y Y Y S N -=∑-

现考虑比值：

2

2X Y S F S = ()/(1)()/(1)

i i X X m Y Y n --=--

如果两总体方差真实值确相等，则F 值将接近于1，但如果两总体方差真实值不相等，则F 值不等于1；两总体方差相差越大，F 值就越大。

如果

2X

δ=2Y

δ (即两总体同方差)，则比值F 值服从分子自由度为(m －1)，分母自由度为(n －1)的F 分布。

1,2

k k F

双下标表明了分子与分母自由度。（在此例中， k1= (m －1)，k2= (n －1) ]。

F 分布的性质 ( 1 ) 与2

χ分布类似，F 分布也是斜分布，向右偏，其取值范围也为0到无限大。

(2)

与

2

χ分布类似，当自由度k1, k2逐渐增大时，F 分布近似正态分布。

( 3 ) t 分布变量的平方服从分子自由度为1，分母自由度为k 的F 分布，即

21,k

k t F =

例3.8

两班做同样的经济计量学测试。其中，一个班级共有100名学生，另一班级共有150名学生，该老师从第一个班级随机抽取25个学生，从第二个班级随机抽取31个学生，观察得到两个班级学生考试平均分数的样本方差分别为100和132。假设学生考试平均分数这一随机变量服从正态分布，那么是否能够认为两班级分数平均值同方差。

因为这两个随机样本来自两个正态总体，并且相互独立，则

132100F = 1.32=

服从自由度为30、24的F 分布。查F 分布表得当分子自由度为30、分母自由度为24时，F 值大于等于1.31的概率为25%。