最新常微分方程及其应用

常微分方程及其应用

第5章常微分方程及其应用

习题5.2

1．求下列各微分方程的通解：

（1）?Skip Record If...?；（2）?Skip Record If...?；

（3）?Skip Record If...?；（4）?Skip Record If...?；

（5）?Skip Record If...?；（6）?Skip Record If...?．

2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：

（1）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；（2）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；

（3）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；（4）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；

（5）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；（6）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?．

5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程

案例引入求微分方程?Skip Record If...?的通解．

解两边积分，得?Skip Record If...?

两边再积分，得?Skip Record If...?

所以，原方程的通解为?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为任意常数．

5.3.1 可降阶微分方程

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1. 形如?Skip Record If...?的微分方程

特点：方程右端为已知函数?Skip Record If...?．

解法：对?Skip Record If...?连续积分?Skip Record If...?次，即可得含有

?Skip Record If...?个任意常数的通解．

2. 形如?Skip Record If...?的微分方程

特点：方程右端不显含未知函数?Skip Record If...?．

解法：令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．于是，原方程可化为?Skip Record If...?．这是关于?Skip Record If...?的一阶微分方程．设其通解为?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?．两边积分，即可得原方程通解?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为任意常数．

3. 形如?Skip Record If...?的微分方程

特点：方程右端不显含自变量?Skip Record If...?．

解法：令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．于是，原方程可化为?Skip Record If...?．这是关于?Skip Record If...?的一阶微分方程．设其通解为?Skip Record If...?，即

?Skip Record If...?．分离变量，得?Skip Record If...?．然后两边积分，即可得原方程通解

?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为任意常数．例5-7求微分方程?Skip Record If...?的通解．

解两边积分，得?Skip Record If...?

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两边再积分，得?Skip Record If...?

第三次积分，得?Skip Record If...?

所以，原方程的通解为?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为常数．例5-8求微分方程?Skip Record If...?的通解．

解令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．原方程可化为?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?．这是关于?Skip Record If...?的一阶线性齐次微分方程．其通解为：

?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?．两边积分，即得原方程通解?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为任意常数．

例5-9求微分方程?Skip Record If...?的通解．

解令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．于是，原方程可化为

?Skip Record If...?．这是关于?Skip Record If...?的一阶线性非齐次微分方程．其通解为

?Skip Record If...??Skip Record If...?

即?Skip Record If...?．两边积分，即得原方程通解

?Skip Record If...??Skip Record If...?

其中?Skip Record If...?为任意常数．

例5-10求微分方程?Skip Record If...?的通解．

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解令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．于是，原方程可化为

?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?．这是关于?Skip Record If...?的一阶线性齐次微分方程．其通解为

?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?．

所以原方程通解为?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为任意常数．

5.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程

定义5.4形如

?Skip Record If...?（5-5）

的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程．

1. 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构

定理5.1如果函数?Skip Record If...?和?Skip Record If...?是方程（5-5）的两个解，那么

?Skip Record If...?（5-6）

也是方程（5-5）的解．（证明略）

定理5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性．那么叠加起来的解?Skip Record If...?就是通解吗？不一定．

例如，设函数?Skip Record If...?是方程（5-5）的一个解，则函数?Skip Record If...?也是方程（5-5）的一个解．由定理5.1可知，?Skip Record If...?是方程（5-5）的解．但?Skip Record If...?仍是一个任意常数，所以?Skip Record

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If...?不是方程（5-5）的通解．那么在什么条件下才能保证?Skip Record If...?就是通解呢？

定义5.5设?Skip Record If...?和?Skip Record If...?是定义在某区间?Skip Record If...?上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数?Skip Record If...?和?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上恒成立，则称函数?Skip Record If...?与?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上线性相关，否则称线性无关．

由定义5.5可知，判断函数?Skip Record If...?与?Skip Record If...?线性相关或线性无关的方法：

当?Skip Record If...?常数时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?线性相关．当?Skip Record If...?常数时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?线性无关．

定理5.2如果函数?Skip Record If...?和?Skip Record If...?是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么（5-6）是方程（5-5）的通解．（证明略）

2. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法

由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程（5-5）的两个线性无关的特解．

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猜想方程（5-5）有形如?Skip Record If...?的解，其中?Skip Record If...?为待定常数．将?Skip Record If...?代入该方程，得?Skip Record If...?，由于?Skip Record If...?，所以只要?Skip Record If...?满足方程

?Skip Record If...?（5-7）

即当?Skip Record If...?是方程（5-7）的根时，函数?Skip Record If...?就是方程（5-5）的解．

定义5.6方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程．特征方程的根称为特征根．

设?Skip Record If...?为特征方程（5-7）的两个特征根．根据特征根的不同情形，确定方程（5-5）的通解有以下三种情况：

（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?和?Skip Record If...?是方程（5-5）的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为任意常数．（2）若方程（5-7）有两个相等实根?Skip Record If...?，则仅得到一个特解?Skip Record If...?，利用常数变易法可得到与?Skip Record If...?线性无关的另一个特解?Skip Record If...?，故方程（5-5）的通解为?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为任意常数．

（3）若方程（5-7）有一对共轭复根?Skip Record If...?与?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?和?Skip Record If...?是方程（5-5）的两个复数特解．为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上可找到两个线性无关的实数特仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢20

常微分方程的实际应用

常微分方程的实际应用于萍摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process. Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use

常微分方程在数学建模中的应用(免费版)

常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus ）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==．， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地

常微分方程在数学建模中的应用.

微分方程应用 1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介

常微分方程在高中物理中的应用

微分方程在高中物理中的应用高中阶段，我们经常会遇到一些需要定性分析的物理问题，其实如果我们应用高等数学的知识，可以把其中一些问题进行定量的分析。例如，质量为m 的物体从高度H 自由下落，所受阻力f 与速度v 成正比，g 为重力加速度这是我们平时常见的一类问题。但我们只知道速度V 最终会趋近于某一数值v0。下面我进行一下定量分析。根据题目所给信息，可列出动力学方程 mg-kv=ma ① a=dv/dt ② 结合①式可得mg-kv=mdv/dt 这里移项可得dt=mdv/(mg-kv)③ 两边同时积分便可的到 V=mg(ce*(-kt/m)+1)/k 又∵自由下落，可得t=0时v=.0 ∴v=mg(1-e*(-kt/m))/k ④ 由④式知，当t 趋近于正无穷时，e*(-kt/m)=0，此时v=mg/k ⑤ 若按照正常思路，当物体受力平衡时，mg=kv,此时也能得到⑤式的结论。而在高考中，更为常见的是在电磁场中的同类问题，我们不妨看一下下面这一道例题（2012·山东理综）如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B 。将质量为m 的导体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g ，下列选项正确的是 A ．P =2mg sin θ B ．P =3mg sin θ C ．当导体棒速度达到v /2时加速度为12 g sin θ D ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功我们根据题目也可以列出动力学方程 Mgsin θ-B*2L*2V/R=ma ① a=dv/dt ② 同样可以解得v=(mgR sin θ/B*2L*2)(1-e*(-B*2L*2t/mR))③ 从③式可以看出当t 趋近于正无穷时，v=mgR sin θ/B*2L*2即B*2L*2v/R=mg sin θ转化而来。所以题目中所说当速度到达V 时开始匀速运动存在明显错误。应改为近似于做匀速直线运动。

常微分方程的应用

17 《常微分方程应用》结课作业学院：轻工与纺织学院班级：服装设计与工程13-1班学号：201321805024 姓名：周志彬

常微分方程经济应用微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用，在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆是，本次我们将集中讨论微分方程的经济应用。读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决经济管理实际问题的魅力. 随着社会经济的迅速发展,数学在我们的生活中可以说无处不在,尤其是在经济管理中的应用越来越广泛.经济学必须进行定量研究.而常微分方程是对经济管理问题进行定量研究的最重要、最基本的数学工具之一，为了研究经济变量之间的联系及其内在规律,常常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式,并由此确定所研究函数的形式,从而根据一些已知条件来确定该函数的表达式.从数学上讲,就是建立微分方程并求解微分方程.用微分方程解决问题，下面就是几个例子：

一、公司资产函数例。某公司t 年净资产有)(t W (百万元), 并且资产本身以每年5%的速度连续增长, 同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资. (1) 给出描述净资产)(t W 的微分方程; (2) 求解方程, 这时假设初始净资产为;0 W (3) 讨论在700,600,5000=W 三种情况下, )(t W 变化特点. 解 (1) 利用平衡法，即由净资产增长速度＝资产本身增长速度－职工工资支付速度得到所求微分方程 .3005.0-=W dt dW (2) 分离变量，得 .05.0600 dt W dW =- 两边积分，得 11(ln 05.0|600|ln C C t W +=-为正常数），于是 , |600|05.01t e C W =- 或 ).(600105.0C C Ce W t ±==- 将0)0(W W =代入，得方程通解： .)600(60005.00 t e W W -+= 上式推导过程中,600≠W 当600=W 时，0=dt dW 知

〈常微分方程》应用题及答案

应用题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程；（2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 ; 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f = ，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=，其中21 ()01 x x x ??。试求在(,)-∞∞内的连续函数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。（1）求曲线()y f x =的方程；（2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 ' 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记

二阶常微分方程的解法及其应用.

目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)

二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程

《常微分方程》课程大纲

《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方

向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。（二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）

常微分方程在数学建模中的应用

北方民族大学学士学位论文论文题目:常微分方程在数学建模中的应用院(部)名称:信息与计算科学学院学生姓名:马木沙专业:信计学号:20093490 指导教师姓名:魏波论文提交时间: 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处制

摘要本文利用常微分方程和数学建模二者之间的联系，了解微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、通过几个典型的数学模型如：人口模型、减肥的数学模型、化工车间通风模型、传染病的传播模型及定性分析等例子来体现微分方程在数学建模中的应用. 用数学理论解决实际生活中的问题.微分方程的出现以及运用微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使更多的人理解并运用数学理论，更好的解决实际生活中的问题.努力在各个领域利用并渗透数学知识的广泛运用. 关键词：常微分方程，数学建模，数学模型

Abstract In this paper, ordinary differential equations and mathematical modeling contact between the two, understand the general theory of differential equations, stability problems of the existence and uniqueness of differential equations, differential equations, several typical mathematical models such as: demographic model,example of the mathematical model of weight loss, chemical plant ventilation model, spread of infectious diseases, model and qualitative analysis to reflect the application of differential equations in mathematical modeling. found that the application of mathematical theory to study and solve problems in the actual process of the emergence of ordinary differential equations andOrdinary Differential Equations in Mathematical Modeling widely used, in order to better enable ordinary people to understand and use mathematical theory, solving real-world problems. sublimation theory by the knowledge-based transformation to the ability to type, highlight the differential equationsand differential equations in mathematical modeling efforts made outstanding and significant contribution in various fields. Keywords: ordinary differential equations, mathematical modeling, mathematical model.

常微分方程及其应用

第5章常微分方程及其应用习题5.2 1．求下列各微分方程的通解：（1）02 =+ydy dx x ；（2）0ln =-'y y y x ；（3）0)()(2 2 =-++dy y x y dx x xy ；（4）03=-'xy y ；（5）x e y y =-'2；（6）x x y y cos tan +='． 2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）y x e y -='2，0)0(=y ；（2） 011=+-+dy x y dx y x ，1)0(=y ；（3）x y y cos =-'，0)0(=y ；（4）x x y y sec tan =-'，0)0(=y ；（5）x x x y y sin = + '，1)(=πy ；（6）()0122 =+-+dx x xy dy x ，0)1(=y ． 5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程案例引入求微分方程x y 6=''的通解．解两边积分，得12 36C x xdx y +=='? 两边再积分，得 () 21312 3C x C x dx C x y ++=+= ? 所以，原方程的通解为213 C x C x y ++=，其中21C C 、为任意常数． 5.3.1 可降阶微分方程 1. 形如)() (x f y n =的微分方程特点：方程右端为已知函数)(x f ．解法：对)() (x f y n =连续积分n 次，即可得含有n 个任意常数的通解． 2. 形如),(y x f y '=''的微分方程特点：方程右端不显含未知函数y ．

解法：令)(x p y ='，则)(x p y '=''．于是，原方程可化为),(p x f p ='．这是关于 p p ',的一阶微分方程．设其通解为),()(1C x x p ?=，即),(1C x y ?='．两边积分，即可得原方程通解21),(C dx C x y +=? ?，其中21C C 、为任意常数． 3. 形如),(y y f y '=''的微分方程特点：方程右端不显含自变量x ．解法：令)(y p y ='，则dy dp p dy dp y dx dy dy dp y ='=?= ''．于是，原方程可化为 ),(p y f p p ='．这是关于p p ',的一阶微分方程．设其通解为),()(1C y y p ψ=，即 ),(1C y dx dy ψ=．分离变量，得 dx C y dy =),(1 ψ．然后两边积分，即可得原方程通解 21) ,(C x C y dy +=? ψ，其中21C C 、为任意常数．例5-7 求微分方程x x y cos sin -='''的通解．解两边积分，得12sin cos )cos (sin C x x dx x x y +--=-=''? 两边再积分，得()2 1 1 2cos sin 2sin cos C x C x x dx C x x y +++-=+--=? 第三次积分，得()322 121sin cos 2cos sin C x C x C x x dx C x C x x y ++++=+++-= ? 所以，原方程的通解为322 1sin cos C x C x C x x y ++++=，其中321C C C 、、为常数．例5-8 求微分方程0='-''y y x 的通解．解令)(x p y ='，则)(x p y '=''．原方程可化为0=-'p p x ，即01 =-'p x p ．这是关于p p ',的一阶线性齐次微分方程．其通解为： x C e C e C x p x dx x 1ln 11 1222)(==?=，即x C y 12='．两边积分，即得原方程通解

浅谈常微分方程的数值解法及其应用[文献综述]

毕业论文文献综述信息与计算科学浅谈常微分方程的数值解法及其应用一、前言部分微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论. 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1] “常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。二、主体部分 2.1微分方程概念介绍

常微分方程在实际生活中的应用

目录序言 (2) 一、鉴别名画的真伪 (2) 二、测定考古发掘物的年龄 (6) 三、在军事上的应用 (8) 四、在社会经济中的应用 (13) 五、应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定 (16) 六、在人口增减规律中的应用 (17) 结束语 (18) 参考文献 (19)

常微分方程在实际生活中的应用曹天岩（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：现代的科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用常微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程，从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断地取得了显著的成效。常微分方程来自人类的社会实践，又是解决实际问题的一个最强有力的数学方法，在现实生活中，能用常微分方程研究的实际问题非常多，几乎在人类社会的每一个角落它都展示了无穷的威力，尤其是在工程技术、军事、经济、医学、生物、生态等领域它都发挥着极其重要的作用。所以研究常微分方程对人类社会生活有非常重要的意义和很实用的价值。本文介绍了利用常微分方程的知识和放射性物质可以衰变的特性来鉴别名画的真伪。利用放射现象测定考古发掘物的年龄，利用常微分方程了解深水炸弹在水下的运动，也就是其在军事上的应用，利用常微分方程对社会经济进行分析研究，利用牛顿冷却定律和常微分方程的知识对刑事侦察中死亡时间的鉴定，以及常微分方程在人口增减规律中的应用等几部分内容。关键词：常微分方程应用解. Application of ordinary differential equation in actual life Cao Tianyan (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：A great deal of mathematics models in science,technique,engineering of the summary modern all can use a differential calculus a square distance to often describe, the basic and square distance of a lot of modern natural sciences is a differential calculus square distance, from the calculus theories formation, people had been use a square distance of differential calculus to describe,explain or foresee various natural phenomena, obtaining to show the result of the constantly. Often differential calculus the square distance come from the mankind's social fulfillment, is the most powerful mathematics method that resolves an actual problem again, can use a differential calculus a square distance to often study in the realistic life of the actual problem is quite a few, almost at mankind each corner of the society display endless of power is in the realms, such as engineering technique,military,economy,medical science,living creature and ecosystem...etc. particularly it develops a very and important function.So research often differential calculus the square distance have count for much meaning to mankind's social activities with the very practical value.This text introduced to make use of differential calculus often the knowledge and the radio material of the square distance can be change with of characteristic to discriminate a painting of true false.Make use of emanation the phenomenon measurement to study of ancient relics age of discover the thing, make use of a differential calculus a square distance understanding often deeply the water bomb at underwater of sport be also it to apply militarily, make use of often differential calculus the square distance is to the social economy carry on analysis research, make use of Newton to cool off laws and often differential calculus the pertaining to crime for the knowledge of the square distance is on the scout to die time of authenticate, and often differential calculus the square distance is in the population increase or decrease the application in the regulation to wait several parts of contentses. Key Words: Ordinary differential equation application solution

二阶常系数线性微分方程的应用举例

第七章常微分方程7.13 二阶常系数线性微分方程的应用举例数学与统计学院赵小艳

解受力分析例1 （弹簧的机械振动）如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1=x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由t x kx pt H t x m d d d d μ--=sin 22可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位置的位移为x (t ). .0,000====t t x x d 还应满足初始条件：

.0,000====t t x x d 还应满足初始条件：2m t x kx pt H t x m d d d d μ--=sin 22 可得m m pt h x t x t x sin 2222=++ωδd d d d 强迫振动的微分方程

2m m m pt h x t x t x sin 2222=++ωδd d d d 强迫振动的微分方程对应齐次方程： 02222=++x t x t x ωδd d d d 自由振动的微分方程其特征方程： 0222=++ωδλλ. ,222221ωδδλωδδλ---=-+-=. 0)1(22>-ωδ.)(2)(12222t t e C e C x ωδδωδδ-+----+=齐次方程的通解为 .0)(→∞→t x t 时，当此时物体运动按指数函数规律衰减. t x O

微分方程在日常实际中的应用

微分方程在实际中的应用——以学习物理化学为例函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具有重要意义。在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有未知函数及其导数的关系式，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4 ，这样的关系就是所谓微分方程，。一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程。如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流

模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。但是在实际工作中，常常出现一些特点和初等数学中的某些方程完全不同的问题，如我们所学过的自由落体运动规律，单摆运动，真空中的抛射体运动，深水炸弹的水下运动，电容器的放电规律，质量和能量之间转换关系规律，运载火箭的运动规律，行星运动规律和万有引力定律，人造地球卫星的运动规律，导弹的导引规律等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数，即其都是一些常见的微分方程的问题。本次论文讨论的是微分方程在物理化学中的应用，前面了解了微分方程的相关知识，下面则来了解物理化学的相关知识。物理化学是化学科学中的一个重要学科，又称为理论化学。它借助数学，物理学等基础学科的理论及其提供的实验手段为基础，研究化学科学中的原理和方法及化学体系的性质和行为最一般的宏观微观