2020年北师大版 《因式分解》 知识点总结

因式分解

4.1 因式分解

PPT ---8页

1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 例如，a3－a ＝ a (a ＋1)(a －1)，

am ＋bm ＋cm ＝m(a ＋b ＋c)，x2＋2x ＋l ＝(x ＋1)2都是因式分解。因式分解也可称为分解因式.

下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )

A ．a2＋1＝a(a ＋ 1

a )

B ．(x ＋1)(x －1)＝x2－1

C ．a2＋a －5＝(a －2)(a ＋3)＋1

D ．x2y ＋xy2＝xy(x ＋y)

2、整式乘法与因式分解的关系：

整式乘法与因式分解：一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．

即：多项式

整式乘积．

即：几个整式相乘 一个多项式

因式分解整式乘法垐垐垎噲垐垐整式乘法因式分解垐垐垎噲垐垐

4.2.1 公因式----PPT

1、公因式的定义：（3页）

一个多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.

2、怎样确定多项式各项的公因式？（6页）

系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；

字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；

指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；

习题：指出下列多项式各项的公因式：

(1)3a2y－3ya＋6y；(2) 4

9

xy3－

8

27x3y2；

(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；

(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.

3、找准公因式要“五看”，即：

一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；

三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；

四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，

不要拆开；

五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般情况下公因式符号为负．(4)－24x3＋12x2－28x＝－( 24x3－12x2＋28x)

＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)＝－4x(6x2－3x＋7).

4.2.2 提公因式法----PPT

请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，

使等式成立：(1) 2－a＝_____(a－2)；(2) y－x＝_____(x－y )；

(3)b＋a＝_____(a＋b)；(4)(b－a)2＝____(a－b)2；

(5 ) －m－n＝____(m＋n); (6)－s2＋t2＝___(s2－t2).

1、添括号法则：

(1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不变.

(2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改变符号.

练习1、把a(x－y)－b(y－x)提公因式后，所得的另一个因式是() A．a－b B．a＋b

C．x＋y D．x－y

2、总结：根据x－y与y－x互为相反数，将y－x化成－(x－y)，从而使原式出现公因式，体现了数学上的转化思想的运用．

3、提公因式法分解因式，要注意分解彻底；当某项恰好是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；出现形如(b－a)3，(b－a)2 等形式的问题，可化成－(a－b)3，(a－b)2的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变．

4、知识小结

（1）公因式：各项都有的公共因式

（2）确定公因式：定系数→定字母→定指数

（3）步骤：观察多项式→确定公因式→提取公因式

→确定另外一个因式(找公因式→提公因式)

4.3.1 平方差公式---ppt

1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.

2、用平方差公式分解因式

平方差公式：

(a+b)(a－b)=a2－b2 整式乘法

a2－b2= (a+b)(a－b) 因式分解

这种分解因式的方法称为公式法.

3、

4、利用平方差公式分解两项式的一般步骤：

（1）找出公式中的a、b;

（2）转化成a2－b2的形式；

（3）根据公式a2－b2＝(a＋b) (a－b) 写出结果.

5、应用平方差公式分解因式的注意事项：

(1)等号左边：

①等号左边应是二项式；

②每一项都可以表示成平方的形式；

③两项的符号相反．

(2)等号右边是等号左边两底数的和与这两个数的差的积．

4.3.3 完全平方公式1、

2、

3、

4、完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，

中间项为这两个数或两个式子积的2倍．

5、在求与完全平方式有关的字母取值时，要注意中间项的符号有“＋”“－”两种

情形，否则容易产生漏解．

6、用公式法正确分解因式关键是什么？

从项数看：都是有3项

从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.

从符号看：带平方的项符号相同（同“+”或同“-”）

7、因式分解的一般步骤：

1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；

2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；

3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.

8、完全平方公式法：

两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.