2019年浙江大学自主招生试题数学试题及答案

2019年浙江大学自主招生数学试题

2019.06

1. 已知7

π

α=，求cos cos2cos3ααα-+的值.

2. 已知{1,2,3,4}S =，若1324||||a a a a -+-的平均数为最简分数

q

p

，其中1234,,,a a a a S ∈，则p q +的值为

3. 动圆过定点(,0)a ，且圆心到y 轴的距离为2a ，则圆心的轨迹是（ ）

A. 椭圆

B. 双曲线

C. 抛物线

D. 无法确定 4. 一枚质地均匀的硬币，扔硬币10次，正面朝上次数多的概率为

5. 已知2221x y z ++=yz +的最小值.

6. 已知()p n 为n 次的整系数多项式，若(0)p 和(1)p 均为奇数，则（ ）

A. ()p n 无整数根

B. ()p n 可能有负整数根

C. ()p n 无解

D.忘了

7. 3.abc 的数，求a b c ++的值.

8. 已知n *∈N ，下列说法正确的是（ ）

A. 若3n k ≠，k ∈N ，则7|21n -

B. 若3n k =，k ∈N ，则7|21n -

C. 若3n k ≠，k ∈N ，则7|21n +

D. 若3n k =，k ∈N ，则7|21n +

9. 复数12||||1z z ==12()z z ≠，满足|1i ||1i |k k z z +++--=(1,2)k =，求12z z .

10. 若1x >，且满足2213x x +=，求5

5

1x x -.

11. 已知点(,)a b 在椭圆22

143

x y +=上，求234a b ++的最大值与最小值的和.

12. 若将19表示为若干个正整数的和，则这些正整数的积的最大值为

13. 数列{}n a 满足11a =，143n n S a +=+，求20192018a a -的值.

14. 定义在R 上的偶函数()f x 满足1(1)2f x +=121

()2

f .

15. 若p 、q 是方程22650x x a a ++-=的两根，且满足38q p p +=，则a 的可能取值有多少个？

16. △ABC 的顶点(,0)A p -，(,0)B p ，其内心在直线x q =上，且0p q >>，则顶点C 的轨迹方程为

参考答案

1. 令35cos cos

cos

7

77

π

ππ

α=++， 则352sin

2sin

cos

2sin

cos

2sin cos

7

7

7

7

777

a π

π

π

π

πππ

=++， 由积化和差公式可知：242642sin sin

sin sin sin sin

7

77777

a π

πππππ

=+-+-， 化简可得：1

2

a =.

2. 易知1324||||a a a a -+-的最小值为0，最大值为6，则平均数为1234567

62

+++++=，

∴9p q +=.

3. ∵圆心到y 轴的距离为2a ，∴圆心在直线2x a =或2x a =-上，且圆心的轨迹是一个动圆截直线，所截的图像依然还是一条直线，∴圆心的轨迹为直线，故无答案.

4.易知：678910

101010101010193

2512

C C C C C P ++++==.

5. 由常见不等式可知：222

231144

x y y z yz =+++≥-1yz +≥-，

当且仅当2x y =，1

2

z y =-yz +的最小值为1-.

6. 设2012()n n p n a a x a x a x =+++???+，

∵(0)p 和(1)p 为奇数，则0a 为奇数，12n a a a ++???+为偶数， 假设()p n 有整数根，设0()0p x =，易知00|x a ，则0x 为奇数， 情形一：当1a ，2a ，???，n a 全是偶数时，则此时易知：0()p x 为奇数，

情形二：当1a ，2a ，???，n a 中有奇数时，而12n a a a ++???+为偶数，则奇数必定时成对出现，则此时0()p x 还是为奇数， 综上：()p n 无整数根，故选A.

7. 易知3a =，1b =，6c =，则10a b c ++=.

8. 情形一：当3n k =，*k ∈N 时，

则111

2181(71)1777n k k k k k k k k k

C C C ---=-=+-=++???+，此时7|21n -，则B 正确； 情形二：当31n k =-，*k ∈N 时，

则111

8(71)12111(7771)222

k k n

k k k k k k k C C C --+-=-=-=++???+-，此时7|21n -不成立；

情形三：当32n k =-，*k ∈N 时，

则111

8(71)132111(777)4444

k k n

k k k k k k k C C C --+-=-=-=++???+-，此时7|21n -不成立，

则A 错误，同理可得，C 、D 错误， 综上：选B.

9. 设1cos isin z αα=+，2cos isin z ββ=+，

=

=sin cos 0αα+=， 同理可得：sin cos 0ββ+=，∴1324k παπ=

+，2724

k π

βπ=+，12,k k ∈Z ， 而12cos()isin()z z αβαβ=+++，∴12i z z =.

10. ∵2213x x +=，则4

4

17x x +=，11x x

-=， 而4534531111()()()x x x x x x x x +-=---，又3

232

111()(1)4x x x x x x

-=-++=， ∴55

1

11x x -=.

11. 设2cos a α=，b α=，

则2344cos 4)4[4a b ααα?++=++=++∈+， ∴234a b ++的最大值与最小值的和为8.

12. 设分拆中有x 个2，y 个3，则2319x y +=， 当2x =时，此时乘积最大，乘积为2523972?=，

∴乘积的最大值为972.

13. 易知1144n n n a a a +-=-，则112=2(2)n n n n a a a a +---， 此时有122n n n a a --=，整理可得：

1

1

122n n n n a a ---=， ∴122n n n a n -=?-，则20192019201822a a -=.

14.

∵1(1)2f x +=

221

(1)(1)()()4

f x f x f x f x +-++-=-，

令2()()()g x f x f x =-，则1(1)()4

g x g x ++=-

， 由上式可知()g x 具有周期性，周期为2，而()f x 为偶函数，∴()g x 也为偶函数， 则1211(

)()22g g =，111()()224

g g -+=-， 解得：11()2

8

g =-，此时2111()()2

2

8

f f -=-且1()2

f x ≥

，

解得：12()24f +=，∴121

()2

f

的值为24+.

15. 由韦达定理可知：2

26

5364(5)p q pq a a a a +=-??=-???=--?

，又38q p p +=，则(1)(2)(3)0p p p --+=，

情形一：当1p =时，7q =-，则2570a a --=，且0?>， ∴此时a 的值有两个；

情形二：当2p =时，8q =-，则25160a a --=，且0?>， ∴此时a 的值有两个；

情形三：当3p =-时，3q =-，则2590a a -+=，易知此时a 无解； 综上：a 的可能值有4个.

16. 易知点C 的轨迹为双曲线，且c p =，a q =，∴顶点C 的轨迹方程为22

22

2

1x y q p q

-=-.